考研數(shù)學(xué)一(無窮級(jí)數(shù))模擬試卷9(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)一（無窮級(jí)數(shù)）模擬試卷9(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．設(shè)常數(shù)α＞2，則級(jí)數(shù)A．發(fā)散．B．條件收斂．C．絕對(duì)收斂．D．?dāng)可⑿耘cα有關(guān)．正確答案：C解析：由于設(shè)常數(shù)p滿足1＜p＜α－1，則有由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式知級(jí)數(shù)收斂，進(jìn)而知當(dāng)α＞2時(shí)絕對(duì)收斂，即(C)正確．知識(shí)模塊：無窮級(jí)數(shù)2．設(shè)a＞0為常數(shù)，則級(jí)數(shù)A．發(fā)散．B．條件收斂．C．絕對(duì)收斂．D．?dāng)可⑿耘ca有關(guān)．正確答案：B解析：用分解法．分解級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)因條件收斂，因此(un+wn)條件收斂．選(B)．知識(shí)模塊：無窮級(jí)數(shù)填空題3．設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，它在區(qū)間(－1，1]上定義為則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x=1處收斂于___________；正確答案：3／2解析：根據(jù)收斂定理，f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x=1處收斂于[f(1－0)+f(－1+0)]=3／2．知識(shí)模塊：無窮級(jí)數(shù)4．設(shè)函數(shù)f(x)=x2，0≤x＜1，而S(x)=bnsin(nπx)，－∞＜x＜+∞，其中bn=2f(x)sin(nπx)dx，n=1，2，3，…，則S=___________．正確答案：一1／4解析：由S(x)的形式可知：S(x)是奇函數(shù)．又f(x)在x=連續(xù)，所以知識(shí)模塊：無窮級(jí)數(shù)解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。5．判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：正確答案：(Ⅰ)因而級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散．(Ⅱ)因，而級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散．(Ⅲ)使用比值判別法．因＜1，故原級(jí)數(shù)收斂．涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)6．判定下列級(jí)數(shù)的斂散性，當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)判定是條件收斂還是絕對(duì)收斂：正確答案：(Ⅰ)由于，而級(jí)數(shù)收斂，利用比較判別法即知收斂，所以此級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．(Ⅱ)由于當(dāng)n充分大時(shí)，0＜＞0．所以此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且滿足萊布尼茲判別法的兩個(gè)條件，這說明原級(jí)數(shù)(n→∞)，所以，級(jí)數(shù)條件收斂．(Ⅲ)注意到因?yàn)閺亩?jí)數(shù)絕對(duì)收斂，但級(jí)數(shù)是條件收斂的，故原級(jí)數(shù)條件收斂．涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)7．求下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域正確答案：(Ⅰ)注意=1，對(duì)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)取絕對(duì)值，并應(yīng)用根值判別法，則當(dāng)＜1．即x＞0時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)＞1．即x＜0時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散(x=－1除外)，因?yàn)橐话沩?xiàng)不是無窮小量；當(dāng)x=0時(shí)，原級(jí)數(shù)為收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)．因此，級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇0，+∞)．(Ⅱ)使用比值判別法，則有這就說明：當(dāng)｜x｜＞1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，而且絕對(duì)收斂；然而，當(dāng)｜x｜≤1(x≠－1)時(shí)，比值判別法失效．但是，當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，=1；當(dāng)x=1時(shí)，un(x)=(n=1，2，…)，都不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件．所以，級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋黿｜＞1．涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)8．求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：正確答案：(Ⅰ)=3，故收斂半徑R=1／3．當(dāng)x=1／3時(shí)，原冪級(jí)數(shù)為，是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)；當(dāng)x=－1／3時(shí)，原冪級(jí)數(shù)為的收斂域?yàn)?－1／3，1／3]．(Ⅱ)使用根值法．由于故原級(jí)數(shù)的收斂半徑R=+∞，即收斂區(qū)間也是收斂域?yàn)?－∞，+∞)．涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)9．求冪級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù)．正確答案：容易求得其收斂域?yàn)?－1，1)．為求其和函數(shù)S(x)，在它的收斂區(qū)間(－1，1)內(nèi)先進(jìn)行逐項(xiàng)求導(dǎo)，即得又因?yàn)镾(0)=0，因此注意原級(jí)數(shù)在x=－1處收斂，又ln(1－x)在x=－1處連續(xù)，所以S(x)=－ln(1－x)，x∈[－1，1)．涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)10．設(shè)f(x)=sinax，－π≤x≤π，a＞0，將其展開為以2π為周期的傅里葉級(jí)數(shù)．正確答案：由于f(x)為奇函數(shù)，所以其展開式應(yīng)為正弦級(jí)數(shù)．如果a不是自然數(shù)，則故f(x)=sinax=sinnx．－π＜x＜π，在x=±π時(shí)，右端為0，即其傅里葉級(jí)數(shù)收斂于[sinaπ+sin(－aπ)]=0．當(dāng)a為自然數(shù)時(shí)，根據(jù)三角函數(shù)系的正交性有f(x)=sinax=sinnx，n=a，－π≤x≤π．涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)11．判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：正確答案：(Ⅰ)本題可采用比值判別法．由于=所以，當(dāng)p＜e時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)p＞e時(shí)，該級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)p=e時(shí)，比值判別法失效．注意到數(shù)列是單調(diào)遞增趨于e的，所以當(dāng)p=e時(shí)，＞1，即{un}單調(diào)遞增不是無窮小量，所以該級(jí)數(shù)也是發(fā)散的．總之，級(jí)數(shù)當(dāng)p＜e時(shí)收斂，p≥e時(shí)發(fā)散．(Ⅱ)本題適宜采用根值判別法．由于=0，所以原級(jí)數(shù)收斂．這里用到=0．涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)12．判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：正確答案：(Ⅰ)利用比較判別法的極限形式．由于級(jí)數(shù)發(fā)散，而且當(dāng)n→∞時(shí)所以原級(jí)數(shù)也發(fā)散．(Ⅱ)仍利用比較判別法的極限形式．先改寫用泰勒公式確定的階．由于所以收斂．(Ⅲ)注意到0≤收斂，所以原級(jí)數(shù)也收斂．(Ⅳ)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=單調(diào)遞減，所以再采用極限形式的比較判別法，即將=0，所以，級(jí)數(shù)收斂．再由上面導(dǎo)出的不等式0＜un≤，所以原級(jí)數(shù)也收斂．涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)13．考察級(jí)數(shù)2，其中an=，p為常數(shù)．(Ⅰ)證明：(n=2，3，4，…)；(Ⅱ)證明：級(jí)數(shù)當(dāng)P＞2時(shí)收斂，當(dāng)P≤2時(shí)發(fā)散．正確答案：(Ⅰ)將改寫成(Ⅱ)容易驗(yàn)證比值判別法對(duì)級(jí)數(shù)失效，因此需要用適當(dāng)放大縮小法與比較原理來討論它的斂散性．題(Ⅰ)已給出了{(lán)an}上下界的估計(jì)．由注意當(dāng)p＞2即當(dāng)p＞2時(shí)收斂，當(dāng)p≤2時(shí)發(fā)散．涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)14．判別級(jí)數(shù)的斂散性，其中{xn}是單調(diào)遞增而且有界的正數(shù)數(shù)列．正確答案：首先因?yàn)閧xn}是單調(diào)遞增的有界正數(shù)數(shù)列，所以0≤1－現(xiàn)考察原級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列{Sn}，由于又{xn}有界，即｜xn｜≤M(M＞0為常數(shù))，故所以{Sn}也是有界的．由正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件知原級(jí)數(shù)收斂．涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)15．判別下列級(jí)數(shù)的斂散性(包括絕對(duì)收斂或條件收斂)：正確答案：(Ⅰ)由于，而且級(jí)數(shù)發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂的．原級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，易知=0×1=0．為考察的單調(diào)性，令f(x)＞0(當(dāng)x充分大時(shí))這說明級(jí)數(shù)滿足萊布尼茲判別法的兩個(gè)條件，所以該級(jí)數(shù)收斂，并且是條件收斂的．(Ⅱ)由于sin(nπ+所以此級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)．又由于=1．而且發(fā)散，這說明原級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂的．由于sinx在第一象限是單調(diào)遞增函數(shù)，而是單調(diào)減少的，所以，sin隨著n的增加而單調(diào)遞減．又顯然=0，這說明原級(jí)數(shù)滿足萊布尼茲判別法的兩個(gè)條件，從而它是收斂的．結(jié)合前面的討論，知其為條件收斂．涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)16．判別級(jí)數(shù)(p＞0)的收斂性(包括絕對(duì)收斂或條件收斂)．正確答案：為判斷其是否絕對(duì)收斂，采用極限形式的比較判別法，由于所以，當(dāng)p＞1時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；而當(dāng)p≤1時(shí)，該級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂．下面介紹幾種方法討論0＜p≤l時(shí)，是否條件收斂．方法1°考察部分和Sn的極限是否存在．先考慮部分和數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，即亦即S2n＞，這就說明{S2n}是單調(diào)遞減有下界的，所以其極限存在，設(shè)S2n=S．又由于=S，亦即級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂，所以該級(jí)數(shù)收斂．特別，這說明0所以原級(jí)數(shù)收斂．因此0＜p≤1時(shí)該級(jí)數(shù)條件收斂．方法3°原級(jí)數(shù)=注意，奇偶項(xiàng)互換后的新級(jí)數(shù)是顯然，一般項(xiàng)un是單調(diào)下降趨于零的．于是，由萊布尼茲判別法知，新級(jí)數(shù)收斂．因?yàn)椤?(n→∞)，所以原級(jí)數(shù)收斂．方法4°用泰勒公式((1+x)α=1+αx+o(x)，x→0)將一般項(xiàng)分解．于是當(dāng)0＜p≤1時(shí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)cn收斂(絕對(duì)收斂)．因此原級(jí)數(shù)條件收斂．解析：對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)先要討論其是否絕對(duì)收斂．這里un≥un+1不總是成立的，也就是說萊布尼茲判別法的條件不滿足．這樣，當(dāng)其不是絕對(duì)收斂時(shí)，萊布尼茲判別法也不能使用，可考慮直接用定義討論其收斂性或利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)．知識(shí)模塊：無窮級(jí)數(shù)17．判斷如下命題是否正確：設(shè)無窮小un～vn(n→∞)，若級(jí)數(shù)un收斂，則vn也收斂．證明你的判斷．正確答案：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，比較判別法的極限形式就是：un與vn同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散．本題未限定vn一定收斂．比如，取則即un～vn(n→∞)．級(jí)數(shù)un是收斂的，然而級(jí)數(shù)vn是不收斂的．這個(gè)例子說明：對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法的極限形式不能用于判定任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的條件收斂性．要注意變號(hào)級(jí)數(shù)與正項(xiàng)級(jí)數(shù)的區(qū)別．涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)18．確定下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域：正確答案：(Ⅰ)使用比較判別法．當(dāng)x≤1時(shí)，由于發(fā)散，而當(dāng)n≥2時(shí)，也發(fā)散．當(dāng)x＞1時(shí)，取p∈(1，x)，由于所以的收斂域?yàn)?1，+∞)．(Ⅱ)當(dāng)x＞0時(shí)，由于滿足萊布尼茲判別法的兩個(gè)條件，因此是收斂的．而當(dāng)x≤0時(shí)，因該級(jí)數(shù)通項(xiàng)不趨于零，所以是發(fā)散的．故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?0，+∞)．涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)19．求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域或收斂區(qū)間：(Ⅰ)xn－1；(Ⅱ)x2n；(Ⅲ)anxn的收斂半徑R=3；(只求收斂區(qū)間)(Ⅳ)an(x－3)n，其中x=0時(shí)收斂，x=6時(shí)發(fā)散．正確答案：(Ⅰ)xn有相同的收斂半徑，可以用求收斂半徑公式即(11．3)式計(jì)算收斂半徑．首先計(jì)算(Ⅱ)這是缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)即冪級(jí)數(shù)的系數(shù)有無限多個(gè)為0(a2n－1=0，n=1，2，…)，所以不能直接用求收斂半徑公式，求收斂半徑R．一般有兩種方法：方法1°它是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，可直接用根值判別法．由于因此R=方法2°作變量替換t=x2，原級(jí)數(shù)變成tn，對(duì)此級(jí)數(shù)用求收斂半徑R的公式：因此，此級(jí)數(shù)發(fā)散．所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?Ⅲ)，由冪級(jí)數(shù)收斂性的特點(diǎn)知，nan(x－1)n+1與an(x－1)n有相同的收斂半徑R=3．因而其收斂區(qū)間為(－2，4)．(Ⅳ)考察antn，由題設(shè)t=－3時(shí)它收斂收斂半徑R≥3，又t=3時(shí)其發(fā)散R≤3．因此R=3，antn的收斂域是[－3，3)，原級(jí)數(shù)的收斂域是[0，6)．涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)20．求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)并指出收斂域：(Ⅰ)xn；(Ⅱ)n(n+1)xn．正確答案：(Ⅰ)為求其和函數(shù)，先進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，使其能夠通過逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分等手段變成幾何級(jí)數(shù)求和．設(shè)并令S1(x)=xn，則=－4ln(1－x)，(－1≤x＜1)，(利用ln(1+t)的展開式)所以S(x)=S1(x)－S2(x)+S3(x)=ln(1－x)=ln(1－x)，x∈(－1，1)，x≠0．當(dāng)x=0時(shí)，上面的運(yùn)算不能進(jìn)行，然而從原級(jí)數(shù)看S(0)=a0=1，同時(shí)，也容易看出S(x)==1．這就說明S(x)在x=0處還是連續(xù)的，這一點(diǎn)也正是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)必須具備的性質(zhì)．(Ⅱ)令S(x)=n(n+1)xn－1=xφ(x)，而于是S(x)=xφ(x)=，x∈(－1，1)．涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)21．將下列函數(shù)展成麥克勞林級(jí)數(shù)并指出展開式成立的區(qū)間：(Ⅰ)ln(1+x+x2)；(Ⅱ)arctan正確答案：(Ⅰ)由于ln(1+x+x2)=ln=ln(1－x3)－ln(1－x)，利用公式(11．14)，并分別以(－x3)與(－x)代替其中的x，就有l(wèi)n(1－x3)=，(－1＜－x3≤1即－1≤x＜1)；ln(1－x)=，(－1＜－x≤1即－1≤x＜1)，于是(Ⅱ)由于，利用公式(11．16)，并以x2代替其中的x，就有(－1)nx2n，－1＜x2＜1即－1＜x＜1．上式兩端再進(jìn)行積分，注意到arctanf′(t)dt即得注意函數(shù)arctan在點(diǎn)x=－1處也收斂，從而上式在端點(diǎn)x=－1處也成立．即涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)22．將下列函數(shù)在指定點(diǎn)處展開為泰勒級(jí)數(shù)：(Ⅰ)，在x=1處；(Ⅱ)ln(2x2+x－3)，在x=3處．正確答案：(Ⅰ)f(x)=其中＜1即－1＜x＜3．在上述展式中就是以代替(11．16)式中的x．類似地，有所以f(x)=(x－1)n，－1＜x＜3．(Ⅱ)由于ln(2x2+x－3)=ln(2x+3)(x－1)=ln(2x+3)+ln(x－1)，對(duì)于右端兩項(xiàng)應(yīng)用公式(11．14)，得所以ln(2x2+x－3)=ln2+2ln3+(x－3)n，其中1＜x≤5．解析：使用間接法在指定點(diǎn)x0處作泰勒展開，就要用x－x0，或者x－x0的倍數(shù)與方冪等代替原來的x．知識(shí)模塊：無窮級(jí)數(shù)23．將下列函數(shù)f(x)展開成x的冪級(jí)數(shù)并求f(n)(0)：(Ⅰ)f(x)=g(x)，其中g(shù)(x)=(Ⅱ)f(x)=dt．正確答案：(Ⅰ)因=1，故(Ⅱ)應(yīng)用公式(11．12)，有(－∞＜x＜+∞)．逐項(xiàng)積分得(－∞＜x＜+∞)．由此又得f(2n)(0)=0(n=1，2，3，…)，涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)24．求級(jí)數(shù)的和．正確答案：根據(jù)已經(jīng)熟悉的事實(shí)：=e，可以得到涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)25．求下列級(jí)數(shù)的和：正確答案：(Ⅰ)S==S1+S2．S2為幾何級(jí)數(shù)，其和為2／3．S1可看作冪級(jí)數(shù)(－1)nn(n－1)xn在x=1／2處的值．記從而(Ⅱ)令S=，先分解成直接利用ln(1+x)的展開式得涉及知識(shí)點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)26．設(shè)周期為2π的函數(shù)f(x)=的傅里葉級(jí)數(shù)為(ancosnx+bnsinnx)，(Ⅰ)求系數(shù)a0，并證明an=0，(n≥1)；(Ⅱ)求傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)g(x)(－π≤x≤π)，及g(2π)的值．正確答案：(Ⅰ)根據(jù)定義注意：奇函數(shù)xcosnx在對(duì)稱區(qū)間上的積為零．從另一個(gè)角度看，f(x)－為奇函數(shù)，而(ancosnx+bnsinnx)實(shí)際上就是f(x)－a0／2的傅里葉級(jí)數(shù)，所以an=0．(Ⅱ)根據(jù)收斂定理，和函數(shù)g(x)=另外，g(2π)=g(0)=π．涉及