2024年中考數(shù)學二輪復習 壓軸題 專項培優(yōu)練習11（含答案）

2024年中考數(shù)學二輪復習壓軸題專項培優(yōu)練習11LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，拋物線y=ax2+bx+4交x軸于A(﹣3，0)，B(4，0)兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m．(1)求此拋物線的表達式；(2)過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q．試探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標，若不存在，請說明理由；(3)過點P作PN⊥BC，垂足為點N．請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，拋物線y=﹣eq\f(3,5)x2＋bx＋c與x軸交于點A和點B(5，0)，與y軸交于點C(0，﹣3)，連接AC，BC，點E是對稱軸上的一個動點．(1)求拋物線的解析式；(2)當S△BCE＝2S△ABC時，求點E的坐標；(3)在拋物線上是否存在點P，使△BPE是以BE為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，在平面直角坐標系中，已知直線y＝2x＋8與x軸交于點A、與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c經(jīng)過點A、B．(1)求拋物線的表達式；(2)P是拋物線上一點，且位于直線AB上方，過點P作PM∥y軸、PN∥x軸，分別交直線AB于點M、N．①當MN＝eq\f(1,2)AB時，求點P的坐標；②聯(lián)結OP交AB于點C，當點C是MN的中點時，求的值．LISTNUMOutlineDefault\l3定義：如果拋物線C1的頂點在拋物線C2上，同時，拋物線C2的頂點在拋物線C1上，則稱拋物線C1與C2關聯(lián)．例如，如圖，拋物線y＝x2的頂點(0，0)在拋物線y＝﹣x2＋2x上，拋物線y＝﹣x2＋2x的頂點(1，1)也在拋物線y＝x2上，所以拋物線y＝x2與y＝﹣x2＋2x關聯(lián)．(1)已知拋物線C1：y＝(x＋1)2﹣2，分別判斷拋物線C2：y＝﹣x2＋2x＋1和拋物線C3：y＝2x2＋2x＋1與拋物線C1是否關聯(lián)；(2)拋物線M1：y＝eq\f(1,8)(x＋1)2﹣2的頂點為A，動點P的坐標為(t，2)，將拋物線M1繞點P(t，2)旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線M2，若拋物線M1與M2關聯(lián)，求拋物線M2的解析式；(3)拋物線M1：y＝eq\f(1,8)(x＋1)2﹣2的頂點為A，點B是與M1關聯(lián)的拋物線的頂點，將線段AB繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AB1，若點B1恰好在y軸上，請直接寫出點B1的縱坐標．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖(1)，拋物線y＝ax2＋bx＋6與x軸交于點A(﹣6，0)、B(2，0)，與y軸交于點C，拋物線對稱軸交拋物線于點M，交x軸于點N．點P是拋物線上的動點，且位于x軸上方．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖(2)，點D與點C關于直線MN對稱，若∠CAD＝∠CAP，求點P的坐標．(3)直線BP交y軸于點E，交直線MN于點F，猜想線段OE、FM、MN三者之間存在的數(shù)量關系，并證明．LISTNUMOutlineDefault\l3已知拋物線C：y＝ax2＋bx＋c(a＞0，c＜0)的對稱軸為x＝4，C為頂點，且A(2，0)，C(4，﹣2).【問題背景】求出拋物線C的解析式．【嘗試探索】如圖2，作點C關于x軸的對稱點C′，連接BC′，作直線x＝k交BC′于點M，交拋物線C于點N．①連接ND，若四邊形MNDC′是平行四邊形，求出k的值．②當線段MN在拋物線C與直線BC′圍成的封閉圖形內(nèi)部或邊界上時，請直接寫出線段MN的長度的最大值．【拓展延伸】如圖4，作矩形HGOE，且E(﹣3，0)，H(﹣3，4)，現(xiàn)將其沿x軸以1個單位每秒的速度向右平移，設運動時間為t，得到矩形H′G′O′E′，連接AC′，若矩形H′G′O′E′與直線AC′和拋物線C圍成的封閉圖形有公共部分，請求出t的取值范圍．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，已知點A(1，0)，B(3，0)，D(2，﹣1)，C是y軸上的點，且OC＝3．(1)過點A作AM⊥BC，垂足為M，連接AD、BD，求證：四邊形ADBM為正方形；(2)若過A、B、C三點的拋物線對稱軸上有一動點P，當PC﹣PB的值最大時，求出點P的坐標；(3)設Q為線段OC上的一動點，問：AQ＋eq\f(\r(10),10)QC是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋2交x軸于點A(﹣3，0)和點B(1，0)，交y軸于點C．已知點D的坐標為(﹣1，0)，點P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接AP、PC、CD．(1)求這個拋物線的表達式．(2)點P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形ADCP面積的最大值．(3)①點M在平面內(nèi)，當△CDM是以CM為斜邊的等腰直角三角形時，求出滿足條件的所有點M的坐標；②在①的條件下，點N在拋物線對稱軸上，當∠MNC＝45°時，求出滿足條件的所有點N的坐標．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由二次函數(shù)交點式表達式得：y=a(x+3)(x﹣4)=a(x2﹣x﹣12)，即：﹣12a=4，解得：a=﹣eq\f(1,3)，則拋物線的表達式為y=﹣eq\f(1,3)x2+eq\f(1,3)x+4；(2)存在，理由：點A、B、C的坐標分別為(﹣3，0)、(4，0)、(0，4)，則AC=5，AB=7，BC=4eq\r(2)，∠OAB=∠OBA=45°，將點B、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：y=kx+b并解得：y=﹣x+4…①，同理可得直線AC的表達式為：y=eq\f(4,3)x+4，設直線AC的中點為M(﹣eq\f(3,2)，4)，過點M與CA垂直直線的表達式中的k值為﹣eq\f(3,4)，同理可得過點M與直線AC垂直直線的表達式為：y=﹣eq\f(3,4)x+eq\f(7,8)…②，①當AC=AQ時，如圖1，則AC=AQ=5，設：QM=MB=n，則AM=7﹣n，由勾股定理得：(7﹣n)2+n2=25，解得：n=3或4(舍去4)，故點Q(1，3)；②當AC=CQ時，如圖1，CQ=5，則BQ=BC﹣CQ=4eq\r(2)﹣5，則QM=MB=，故點Q(，)；③當CQ=AQ時，聯(lián)立①②并解得：x=12.5(舍去)；故點Q的坐標為：Q(1，3)或(，)；(3)設點P(m，﹣eq\f(1,3)m2+eq\f(1,3)m+4)，則點Q(m，﹣m+4)，∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB=45°=∠PQN，PN=PQsin∠PQN=eq\f(\r(2),2)(﹣eq\f(1,3)m2+eq\f(1,3)m+4+m﹣4)=﹣eq\f(1,6)eq\r(2)m2+eq\f(7,6)eq\r(2)m，∵﹣eq\f(1,6)eq\r(2)＜0，∴PN有最大值，當m=eq\f(7,2)時，PN的最大值為：．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵拋物線y=﹣eq\f(3,5)x2＋bx＋c經(jīng)過B(5，0)，C(0，﹣3)，∴，解得：，∴該拋物線的解析式為y＝﹣eq\f(3,5)x2＋eq\f(18,5)x﹣3；(2)∵y＝﹣eq\f(3,5)x2＋eq\f(18,5)x﹣3，∴拋物線對稱軸為直線x＝3，∵點A與B(5，0)關于直線x＝3對稱，∴A(1，0)，∴AB＝5﹣1＝4，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×4×3＝6，設E(3，m)，對稱軸交BC于點F，設直線BC的解析式為y＝kx＋d，則，解得：，∴直線BC的解析式為y＝eq\f(3,5)x﹣3，∴F(3，﹣eq\f(6,5))，∴EF＝|m＋eq\f(6,5)|，∴S△BCE＝eq\f(1,2)EF×OB＝eq\f(5,2)|m＋eq\f(6,5)|，∵S△BCE＝2S△ABC，∴eq\f(5,2)|m＋eq\f(6,5)|＝12，解得：m＝eq\f(18,5)或﹣6，∴點E的坐標為(3，eq\f(18,5))或(3，﹣6)；(3)設E(3，m)，P(n，﹣eq\f(3,5)n2＋eq\f(18,5)n﹣3)，①當點P在x軸上方時，如圖2，過點P作對稱軸的垂線，垂足為F，過點B作BG⊥PF于點G，∵△BPE是以BE為斜邊的等腰直角三角形，∴∠BPE＝90°，PB＝PE，∴∠BPG＋∠EPF＝90°，∵∠G＝∠PFE＝90°，∴∠BPG＋∠PBG＝90°，∴∠PBG＝∠EPF，∴△BPG≌△PEF(AAS)，∴BG＝PF，PG＝EF，∴，解得：，，當n＝0時，P(0，﹣3)；當n＝eq\f(13,3)時，BG＝PF＝n﹣3＝eq\f(13,3)﹣3＝eq\f(4,3)，∴P(eq\f(13,3)，eq\f(4,3))；②當點P在x軸下方時，如圖2，過點P作x軸的垂線，垂足為H，過點E作EK⊥PH于點K，∵△BPE是以BE為斜邊的等腰直角三角形，∴∠BPE＝90°，PB＝PE，∴∠BPH＋∠EPK＝90°，∵∠K＝∠PHB＝90°，∴∠BPH＋∠PBH＝90°，∴∠PBH＝∠EPK，∴△BPH≌△PEK(AAS)，∴BH＝PK，PH＝EK，∴eq\f(3,5)n2﹣eq\f(18,5)n＋3＝n﹣3，解得：n＝6或n＝eq\f(5,3)(舍去)，∴P(6，3)；綜上所述，點P的坐標為(0，﹣3)或(eq\f(13,3)，eq\f(4,3))或(6，3)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵直線y＝2x＋8與x軸交于點A、與y軸交于點B，∴令x＝0，則y＝8，令y＝0，則x＝﹣4，∴B(0，8)，A(﹣4，0)，∵拋物線y＝﹣x2＋bx＋c經(jīng)過點A、B，∴，∴，∴拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣2x＋8；(2)①∵P是拋物線上一點，且位于直線AB上方，過點P作PM∥y軸、PN∥x軸，分別交直線AB于點M、N，∴PM⊥PN，∠PNM＝∠BAO，∴∠MPN＝∠AOB＝90°，∴△PMN∽△OBA，∴，設點M的橫坐標為m(﹣4＜m＜0)，則M(m，2m＋8)，P(m，﹣m2﹣2m＋8)，∴PM＝﹣m2﹣2m＋8﹣(2m＋8)＝﹣m2﹣4m，∵B(0，8)，A(﹣4，0)，∴OA＝4，OB＝8，∵MN＝eq\f(1,2)AB，∴，∴＝，解得m1＝m2＝﹣2，∴P(﹣2，8)；②如圖，連接OP交AB于點C，∵PN∥x軸，P(m，﹣m2﹣2m＋8)，∴點N的縱坐標為﹣m2﹣2m＋8，令y＝﹣m2﹣2m＋8，則2x＋8＝﹣m2﹣2m＋8，解得：x＝﹣eq\f(1,2)m2﹣m，N(﹣eq\f(1,2)m2﹣m，﹣m2﹣2m＋8)，∵點C是MN的中點，M(m，2m＋8)，∴C(﹣eq\f(1,4)m2，﹣eq\f(1,2)m2＋8)，由①知：∠MPN＝90°，又點C是MN的中點，∴PC＝CM＝CN，∴∠CPN＝∠CNP，∠CPM＝∠CMP，∵PM∥y軸、PN∥x軸，∴∠BOC＝∠CPM，∠OBC＝∠CMP，∠OAC＝∠CNP，∠AOC＝∠CPN，∴∠BOC＝∠OBC，∠OAC＝∠AOC，∴AC＝OC，BC＝OC，∴AC＝BC，∴點C是AB的中點，∴C(﹣2，4)，∴﹣eq\f(1,4)m2＝﹣2，解得：m＝±2eq\r(2)，∵﹣4＜m＜0，∴m＝﹣2eq\r(2)，∴PM＝﹣m2﹣4m＝﹣(﹣2eq\r(2))2﹣4×(﹣2eq\r(2))＝8eq\r(2)﹣8，∵PM∥y軸，∴△PCM∽△OCB，∴＝＝eq\r(2)﹣1，故的值為eq\r(2)﹣1．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵拋物線C1：y＝(x＋1)2﹣2的頂點坐標為M(﹣1，﹣2)，∴當x＝﹣1時，y＝﹣x2＋2x＋1＝﹣1﹣2＋1＝﹣2，∴C1的頂點在拋物線C2上；∵拋物線C2：y＝﹣x2＋2x＋1＝﹣(x﹣1)2＋2，其頂點坐標為(1，2)，當x＝1時，y＝(x＋1)2﹣2＝22﹣2＝2，∴C2的頂點在拋物線C1上；∴拋物線C1、C2是關聯(lián)的；∵拋物線C3：y＝2x2＋2x＋1的頂點坐標為M(﹣eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，∴當x＝﹣eq\f(1,2)時，y＝(x＋1)2﹣2＝eq\f(1,4)﹣2＝﹣eq\f(7,4)，∴拋物線C1與C3不關聯(lián)；綜上，拋物線C1、C2是關聯(lián)的；拋物線C1與C3不關聯(lián)；(2)拋物線M1：y＝eq\f(1,8)(x＋1)2﹣2的頂點M的坐標為(﹣1，﹣2)，∵動點P的坐標為(t，2)，∴點P在直線y＝2上，作M關于P的對稱點N，分別過點M、N作直線y＝2的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則ME＝NF＝4，∴點N的縱坐標為6，當y＝6時，eq\f(1,8)(x＋1)2﹣2＝6，解得：x1＝7，x2＝﹣9，①設拋物M2的解析式為：y＝a(x﹣7)2＋6，∵點M(﹣1，﹣2)在拋物線M2上，∴﹣2＝a(﹣1﹣7)2＋6，∴a＝﹣eq\f(1,8)．∴拋物線M2的解析式為：y＝﹣eq\f(1,8)(x﹣7)2＋6；②設拋物M2的解析式為：y＝a(x＋9)2＋6，∵點M(﹣1，﹣2)在拋物線M2上，∴﹣2＝a(﹣1＋9)2＋6，∴a＝﹣eq\f(1,8)．∴拋物線M2的解析式為：y＝﹣eq\f(1,8)(x＋9)2＋6；(3)若A為拋物線M1：y＝eq\f(1,8)(x＋1)2﹣2的頂點，∴A(﹣1，﹣2)，當點B1恰好在y軸上，過A作x軸的平行線AN交y軸于N，過B作BM⊥AN于M，如圖，∴AN＝1，∵BA⊥B1A，∴∠BAM＋∠B1AN＝90°，∵∠BAM＋∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠B′AN，∵AB＝AB′，∴△ABM≌△B1AN(AAS)，∴BM＝AN＝1，AM＝B1N，∴B點的縱坐標為﹣1，把y＝﹣1代入y＝eq\f(1,8)(x＋1)2﹣2，解得：x＝﹣1＋2eq\r(2)或x＝﹣1﹣2eq\r(2)，∴B1(0，2eq\r(2)﹣2)或(0，﹣2﹣2eq\r(2))，∴點B1的縱坐標是(0，2eq\r(2)﹣2)或(0，﹣2﹣2eq\r(2))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋6的圖象過點A(﹣6，0)、點B(2，0)，∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣0.5x2﹣2x＋6；(2)如圖1，連接CD，設AP與y軸交點為Q，∵拋物線與y軸交于點C，∴C(0，6)，∵點D與點C關于直線MN對稱，直線MN是拋物線的對稱軸，∴D(﹣4，6)，M(﹣2，8)，N(﹣2，0)，CD∥AB，∵C(0，6)，A(﹣6，0)，∴AO＝CO，CD＝4，∴∠BAC＝∠ACO＝45°，∴∠QCA＝∠DCA，∵∠CAD＝∠CAQ，AC＝AC，∴△DCA≌△QCA(ASA)，∴CQ＝CD＝4，∴Q(0，2)，設直線AP的解析式為y＝kx＋2，把點A坐標代入解析式得：﹣6k＋2＝0，解得：k＝eq\f(1,3)，∴直線AP的解析式為y＝eq\f(1,3)x＋2，∵點P為直線AP與拋物線的交點，∴，解得：或(舍去)，∴P(，)；(3)∵∠BOE＝∠BNF＝90°，∠OBE＝∠NBF，∴△BOE∽△BNF，∴＝，∵OB＝2，BN＝4，∴＝，即2OE＝NF．分類討論：①如圖2，此時FN＝FM＋MN，∴FM＋MN＝2OE；②如圖3，此時FN＋FM＝MN，∴FM＋2OE＝MN．LISTNUMOutlineDefault\l3解：【問題背景】A(2，0)，對稱軸為x＝4，則點B(6，0)，則拋物線的表達式為：y＝a(x﹣2)(x﹣6)，將點C的坐標代入上式得：﹣2＝a(4﹣2)(4﹣6)，解得：a＝eq\f(1,2)，故拋物線的表達式為：y=eq\f(1,2)x2-4x+6…①；【嘗試探索】①點C′(4，2)，由點B、C′的坐標可得，直線BC′的表達式為：y＝﹣x＋6…②，四邊形MNDC′是平行四邊形，則MN＝DC′＝2，設點N的坐標為：(x，eq\f(1,2)k2﹣4k＋6)，則點M(k，﹣k＋6)，即|eq\f(1,2)k2﹣4k＋6﹣(﹣k＋6)|＝2，解得：k＝3±eq\r(13)或3±eq\r(5)，故k的值為：eq\r(13)+3或3-eq\r(13)或eq\r(5)+3或3-eq\r(5).②聯(lián)立①②并解得：x＝0或6，故拋物線C與直線BC′圍成的封閉圖形對應的k值取值范圍為：0≤k≤6，MN＝(﹣k＋6)﹣(eq\f(1,2)k2﹣4k＋6)＝﹣eq\f(1,2)k2＋3k，∵-eq\f(1,2)<00，故MN有最大值，最大值為eq\f(9,2)；【拓展延伸】由點A、C′的坐標得，直線AC′表達式為：y＝x﹣2…③，聯(lián)立①③并解得：x＝2或8，即封閉區(qū)間對應的x取值范圍為：2≤x≤8，(Ⅰ)當t＝2時，矩形過點A，此時矩形H′G′O′E′與直線AC′和拋物線C圍成的封閉圖形有公共部分，(Ⅱ)當H′E′與對稱軸右側(cè)拋物線有交點時，此時y＝H′E′＝4，即eq\f(1,2)x2﹣4x＋6＝4，解得：x＝4±eq\r(3)(舍去4﹣2eq\r(3))，即x＝4＋2eq\r(3)，則t＝3＋4＋2eq\r(3)＝7＋2eq\r(3)，故t的取值范圍為：2≤t≤2eq\r(3)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由點A、D的坐標得，AD＝eq\r(2)，同理可得，BD＝eq\r(2)，而AB＝3﹣1＝2，故AB2＝AD2＋BD2，故△ABD為等腰直角三角形，由B、C的坐標知，OB＝OC，則∠CBO＝45°，則∠DBM＝∠CBO＋∠ABD＝90°＝∠ADB＝∠AMB，故四邊形ADBM為矩形，而AD＝BD，∴四邊形ADBM為正方形；(2)∵OC＝3，故點C(0，3)，設拋物線的表達式為y＝ax2＋bx＋c，將點A、B、C的坐標代入拋物線表達式得：，解得，故拋物線的表達式為y＝﹣x2﹣2x＋3；點B關于拋物線對稱軸的對稱點為點A．連接CA交對稱軸于點P，則點P為所求點，理由：PC﹣PB＝PC﹣PA＝AC為最大值，由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為y＝﹣3x＋3，而拋物線的對稱軸為直線x＝eq\f(1,2)(1＋3)＝2，當x＝2時，y＝﹣3x＋3＝﹣3，故點P的坐標為(2，﹣3)；(3)存在，理由：在x軸取點A′(﹣1，0)，連接A′C，過點A作AH⊥A′C于點H，交y軸于點Q，則點Q是所求點，理由：由點A′、C的坐標得，OA′＝1，OC＝3，則CA′＝eq\r(10)，則sin∠HCQ＝＝，則AQ＋CQ×eq\f(\r(10),10)＝AH＝AQ＋CQsin∠HCQ＝AH為最小，∵tanCA′O＝3，則tan∠HAA′＝eq\f(1,3)，而直線AH過點A(1，0)，故其表達式為y＝﹣eq\f(1,3)(x﹣1)，令x＝0，則y＝eq\f(1,3)，故點Q的坐標為(0，eq\f(1,3))，則CQ＝3﹣eq\f(1,3)＝eq\f(8,3)由點A、Q的坐標得，AQ＝eq\f(1,3)eq\r(10)，∴AQ＋eq\f(\r(10),10)QC的最小值＝eq\f(3,5)eq\r(10)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋2交x軸于點A(﹣3，0)和點B(1，0)，∴拋物線的表達式為：y＝a(x＋3)(x﹣1)＝a(x2＋2x﹣3)＝ax2＋2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣eq\f(2,3)，故拋物線的表達式為：y＝﹣eq\f(2,3)x2﹣eq\f(4,3)x＋2；(2)連接OP，設點P(x，﹣eq\f(