2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破練習(xí)題型9 二次函數(shù)綜合題 類型11 二次函數(shù)與正方形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）（教師版）

PAGE類型十一二次函數(shù)與正方形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）1．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)，且一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0的左側(cè)．這樣的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理由．(3)將拋物線SKIPIF1<0的圖象向右平移SKIPIF1<0個(gè)單位長度得到拋物線SKIPIF1<0，此拋物線的圖象與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)（SKIPIF1<0點(diǎn)在SKIPIF1<0點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0上的一個(gè)動點(diǎn)且在直線SKIPIF1<0下方．已知點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0．過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0為何值時(shí)，SKIPIF1<0有最大值，最大值是多少？【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)滿足條件的E、F兩點(diǎn)存在，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①當(dāng)SKIPIF1<0為正方形的邊長時(shí)，分別過SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0點(diǎn)作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0同理可得，SKIPIF1<0；②以SKIPIF1<0為正方形的對角線時(shí)，過SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互相平分且相等，則四邊形SKIPIF1<0為正方形，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或4，進(jìn)而即可求解；（3）得出SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，則SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，且橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0，進(jìn)而可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0

解得SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0

把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）滿足條件的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)存在，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

解：①當(dāng)SKIPIF1<0為正方形的邊長時(shí)，分別過SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0點(diǎn)作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.

過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0同理可得，SKIPIF1<0②以SKIPIF1<0為正方形的對角線時(shí)，過SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互相平分且相等，則四邊形SKIPIF1<0為正方形，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0

∵SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或4當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)點(diǎn)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0右側(cè)故舍去；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.綜上所述：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（3）∵SKIPIF1<0向右平移8個(gè)單位長度得到拋物線SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)∴SKIPIF1<0

在直線SKIPIF1<0下方的拋物線SKIPIF1<0上任取一點(diǎn)SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0軸交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0

∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形∴SKIPIF1<0∵點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，且橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0

∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，拋物線SKIPIF1<0的頂點(diǎn)為SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0，且平行于SKIPIF1<0軸，與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的右側(cè)）．將拋物線SKIPIF1<0沿直線SKIPIF1<0翻折得到拋物線SKIPIF1<0，拋物線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，頂點(diǎn)為SKIPIF1<0．

(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；(2)連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為直角三角形，求此時(shí)SKIPIF1<0所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(3)在（2）的條件下，若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0兩點(diǎn)分別在邊SKIPIF1<0上運(yùn)動，且SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為一邊作正方形SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，寫出SKIPIF1<0長度的最小值，并簡要說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，見解析【分析】（1）將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而得出頂點(diǎn)坐標(biāo)SKIPIF1<0，根據(jù)對稱性，即可求解．（2）由題意得，SKIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱，SKIPIF1<0，則拋物線SKIPIF1<0．進(jìn)而得出可得SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，如圖1，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸，垂足為SKIPIF1<0．求得SKIPIF1<0，代入解析式得出SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0．②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，如圖2，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0．同理可得SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，代入解析式得出SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；③當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，此情況不存在．（3）由（2）知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0的面積為1，不合題意舍去．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0的面積為3，符合題意．由題意可求得SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中可求得SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中可求得SKIPIF1<0．易知當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，SKIPIF1<0取最小值，最小值為SKIPIF1<0．【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，∴拋物線SKIPIF1<0的頂點(diǎn)坐標(biāo)SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱．∴SKIPIF1<0．（2）由題意得，SKIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱，∴SKIPIF1<0，拋物線SKIPIF1<0．∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，如圖1，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸，垂足為SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵直線SKIPIF1<0軸，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．又∵點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0圖像上，∴SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．∵當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0重合，舍去．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，符合題意．將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．

②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，如圖2，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長線于點(diǎn)SKIPIF1<0．同理可得SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．又∵點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0圖像上，∴SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．此時(shí)SKIPIF1<0符合題意．將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．③當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，此情況不存在．綜上，SKIPIF1<0所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（3）如圖3，由（2）知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為1，不合題意舍去．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0的面積為3，符合題意∴SKIPIF1<0．依題意，四邊形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中可求得SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中可求得SKIPIF1<0．∴當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，SKIPIF1<0取最小值，最小值為SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，特殊三角形問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，面積問題，分類討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知點(diǎn)A在y軸正半軸上．

(1)如果四個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0中恰有三個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)SKIPIF1<0（a為常數(shù)，且SKIPIF1<0）的圖象上．①SKIPIF1<0________；②如圖1，已知菱形SKIPIF1<0的頂點(diǎn)B、C、D在該二次函數(shù)的圖象上，且SKIPIF1<0軸，求菱形的邊長；③如圖2，已知正方形SKIPIF1<0的頂點(diǎn)B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B、D在y軸的同側(cè)，且點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，試探究SKIPIF1<0是否為定值．如果是，求出這個(gè)值；如果不是，請說明理由．(2)已知正方形SKIPIF1<0的頂點(diǎn)B、D在二次函數(shù)SKIPIF1<0（a為常數(shù)，且SKIPIF1<0）的圖象上，點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關(guān)系式．【答案】(1)①1；②SKIPIF1<0；③是，值為1；(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）①當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0不在二次函數(shù)圖象上，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0值即可；②由①知，二次函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，設(shè)菱形的邊長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由菱形的性質(zhì)得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，計(jì)算求出滿足要求的解即可；③如圖2，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交點(diǎn)為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由正方形的性質(zhì)可知，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，計(jì)算求解即可1；（2）由題意知，分①當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸右側(cè)時(shí)，②當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸左側(cè)時(shí)，③當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸左側(cè)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸右側(cè)時(shí)，三種情況求解；①當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸右側(cè)時(shí)，SKIPIF1<0，同理（1）③，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；②當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸左側(cè)時(shí)，求解過程同（2）①；③當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸左側(cè)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸右側(cè)時(shí)，且SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0軸時(shí)，同理可求SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸左側(cè)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸右側(cè)時(shí)，且SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0軸時(shí)，由正方形、二次函數(shù)的性質(zhì)可得，SKIPIF1<0．【詳解】（1）①解：當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0不在二次函數(shù)圖象上，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案為：1；②解：由①知，二次函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，設(shè)菱形的邊長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由菱形的性質(zhì)得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0軸，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0，∴菱形的邊長為SKIPIF1<0；③解：如圖2，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交點(diǎn)為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，

由正方形的性質(zhì)可知，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點(diǎn)B、D在y軸的同側(cè)，且點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是定值，值為1；（2）解：由題意知，分①當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸右側(cè)時(shí)，②當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸左側(cè)時(shí)，③當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸左側(cè)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸右側(cè)時(shí)，三種情況求解；①當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸右側(cè)時(shí)，∵SKIPIF1<0，同理（1）③，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；②當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸左側(cè)時(shí)，同理可求SKIPIF1<0；③當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸左側(cè)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸右側(cè)時(shí)，且SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0軸時(shí)，同理可求SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸左側(cè)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸右側(cè)時(shí)，且SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0軸時(shí)，由正方形、二次函數(shù)的性質(zhì)可得，SKIPIF1<0；綜上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合，正方形、菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．4．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題提出：某興趣小組開展綜合實(shí)踐活動：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0，動點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿SKIPIF1<0勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，以SKIPIF1<0為邊作正方形SKIPIF1<0設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0的而積為S，探究S與t的關(guān)系

(1)初步感知：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0_______．②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．(2)當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段SKIPIF1<0的長．(3)延伸探究：若存在3個(gè)時(shí)刻SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）對應(yīng)的正方形SKIPIF1<0的面積均相等．①SKIPIF1<0_______；②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求正方形SKIPIF1<0的面積．【答案】(1)①3；②SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)①4；②SKIPIF1<0【分析】（1）①先求出SKIPIF1<0，再利用勾股定理求出SKIPIF1<0，最后根據(jù)正方形面積公式求解即可；②仿照（1）①先求出SKIPIF1<0，進(jìn)而求出SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（2）先由函數(shù)圖象可得當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0，由此求出當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，利用待定系數(shù)法求出SKIPIF1<0，進(jìn)而求出當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求得t的值即可得答案；（3）①根據(jù)題意可得可知函數(shù)SKIPIF1<0可以看作是由函數(shù)SKIPIF1<0向右平移四個(gè)單位得到的，設(shè)SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0上的兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0上的兩點(diǎn)，由此可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，根據(jù)題意可以看作SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；②由（3）①可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，繼而得答案．【詳解】（1）解：∵動點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿SKIPIF1<0勻速運(yùn)動，∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，點(diǎn)P在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：3；②∵動點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在SKIPIF1<0勻速運(yùn)動，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：由圖2可知當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，由圖2可知，對應(yīng)的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，∴可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0中得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴S關(guān)于t的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）解：①∵點(diǎn)P在SKIPIF1<0上運(yùn)動時(shí)，SKIPIF1<0，點(diǎn)P在SKIPIF1<0上運(yùn)動時(shí)SKIPIF1<0，∴可知函數(shù)SKIPIF1<0可以看作是由函數(shù)SKIPIF1<0向右平移四個(gè)單位得到的，設(shè)SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0上的兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0上的兩點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵存在3個(gè)時(shí)刻SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）對應(yīng)的正方形SKIPIF1<0的面積均相等．∴可以看作SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：4；②由（3）①可得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．

.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與圖形運(yùn)動問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理等等，正確理解題意利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．5．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為拋物線上的動點(diǎn)，SKIPIF1<0軸于H，且SKIPIF1<0．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值；(3)如圖2，四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)式坐標(biāo)公式和待定系數(shù)法分別求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0值，即可求出拋物線解析式．（2）利用拋物線的解析式可知道SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線SKIPIF1<0的解析式，從而設(shè)SKIPIF1<0，根據(jù)直線SKIPIF1<0的解析式SKIPIF1<0可推出SKIPIF1<0，從而可以用SKIPIF1<0表達(dá)SKIPIF1<0長度，在觀察圖形可知SKIPIF1<0，將其SKIPIF1<0和SKIPIF1<0長度代入，即可將面積比轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的形式，根據(jù)SKIPIF1<0橫坐標(biāo)取值范圍以及此二次函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求出SKIPIF1<0的最大值．（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)和SKIPIF1<0可求出SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0相似和SKIPIF1<0可推出SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，即可求出直線SKIPIF1<0的解析式，用SKIPIF1<0表達(dá)SKIPIF1<0點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，最后代入拋物線解析式，求出SKIPIF1<0的值即可求出SKIPIF1<0點(diǎn)橫坐標(biāo)．【詳解】（1）解：SKIPIF1<0拋物線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0拋物線的解析式為：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．（2）解：過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，如圖所示，

SKIPIF1<0拋物線的解析式為：SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的解析式為：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的解析式為：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0的解析式為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最大值，且最大值為：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．（3）解:∵＋SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0拋物線的解析式為：SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0．設(shè)直線SKIPIF1<0的解析式為：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的解析式為：SKIPIF1<0．

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（十字相乘法），由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)橫坐標(biāo)為：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，屬于壓軸題，解題的關(guān)鍵在于能否將面積問題和二次函數(shù)有效結(jié)合．6.（2022·浙江湖州）如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是邊長為3的正方形，其中頂點(diǎn)A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，拋物線SKIPIF1<0經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)D．(1)①求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；②求b，c的值．(2)若點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)AP，過點(diǎn)P作PM⊥AP，交y軸于點(diǎn)M（如圖2所示）．當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動．設(shè)BP＝m，CM＝n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值．【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【分析】（1）①根據(jù)坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)即可求解；②利用待定系數(shù)法求解即可；（2）證明Rt△ABP∽Rt△PCM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到n關(guān)于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．(1)解：①∵正方形OABC的邊長為3，∴點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②把點(diǎn)A(3，0)，C(0，3)的坐標(biāo)分別代入y=?x2+bx+c，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；(2)解：由題意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，∴Rt△ABP∽Rt△PCM，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．整理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，n的值最大，最大值是SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖像與SKIPIF1<0軸分別交于點(diǎn)SKIPIF1<0（點(diǎn)A在點(diǎn)SKIPIF1<0的左側(cè)），直線SKIPIF1<0是對稱軸．點(diǎn)SKIPIF1<0在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4，連接SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，以點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心，作半徑為SKIPIF1<0的圓，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切，切點(diǎn)為SKIPIF1<0．

(1)求點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；(2)若以SKIPIF1<0的切線長SKIPIF1<0為邊長的正方形的面積與SKIPIF1<0的面積相等，且SKIPIF1<0不經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0長的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）令SKIPIF1<0求得點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)即可解答；（2）由題意可得拋物線的對稱軸為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；如圖連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，進(jìn)而可得切線長SKIPIF1<0為邊長的正方形的面積為SKIPIF1<0；過點(diǎn)P作SKIPIF1<0軸，垂足為H，可得SKIPIF1<0；由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；然后再分當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方和下方兩種情況解答即可．【詳解】（1）解：令SKIPIF1<0，則有：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）解：∵拋物線過SKIPIF1<0∴拋物線的對稱軸為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,如圖：連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴切線SKIPIF1<0為邊長的正方形的面積為SKIPIF1<0，過點(diǎn)P作SKIPIF1<0軸，垂足為H，則：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，

假設(shè)SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0,則有以下兩種情況：①如圖1：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；②如圖2：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；綜上，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．∴當(dāng)SKIPIF1<0不經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，掌握分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．8.（2022·山東泰安）若二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其對稱軸為直線SKIPIF1<0，與x軸的另一交點(diǎn)為C．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)M在直線SKIPIF1<0上，且在第四象限，過點(diǎn)M作SKIPIF1<0軸于點(diǎn)N．①若點(diǎn)N在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②以SKIPIF1<0為對角線作正方形SKIPIF1<0（點(diǎn)P在SKIPIF1<0右側(cè)），當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【分析】（1）利用待定系數(shù)解答，即可求解；（2）①先求出直線SKIPIF1<0的表達(dá)式為SKIPIF1<0，然后設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0．可得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．再由SKIPIF1<0，即可求解；②連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交與點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)