2020-2021學(xué)年天津某中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年天津一中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每題4分，共32分）.

1.復(fù)數(shù)z滿足/=-l+2i，則|z|=（）

Z

A.—B.C.D.-710

5525ViU

2.已知向量之=（1,m）,三=（3,-2）,且（Z+E）X則機(jī)=（）

A.-8B.-6C.6D.8

3.“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用

區(qū)間［0,10］內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.現(xiàn)隨機(jī)抽取10位嘉祥

縣居民，他們的幸福感指數(shù)為3,4,5,5,6,7,7,8,9,10.則這組數(shù)據(jù)的80%分

位數(shù)是（）

A.7.5B.8C.8.5D.9

4.在普通高中新課程改革中，某地實(shí)施“3+1+2”選課方案.該方案中“2”指的是從政治、

地理、化學(xué)、生物4門中任選2門作為選考科目，假設(shè)每門科目被選中的可能性相等，

那么化學(xué)和生物至多有一門被選中的概率是（）

119R

A.—B.—C.—D.—

6236

5.為了給熱愛朗讀的師生提供一個(gè)安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”.如圖

所示，該朗讀亭的外形是一個(gè)正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對(duì)側(cè)棱所

在的軸截面為正方形，若正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積之比為有：8,則正六棱錐與正

六棱柱的高的比值為（）

A.返B.—C.返D.—

2342

6.2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，為全面貫徹黨的教育方針，提高學(xué)生的審美水平和

人文素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.某學(xué)校高一年級(jí)舉辦了班級(jí)合唱活動(dòng).現(xiàn)從全校學(xué)生中

隨機(jī)抽取部分學(xué)生，并邀請(qǐng)他們?yōu)榇舜位顒?dòng)評(píng)分（單位：分，滿分100分），對(duì)評(píng)分進(jìn)

行整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論不正確的是（

A歿4

0.020k—

O5（）607080DO100分ft

A.a=0.028

B.若該學(xué)校有3000名學(xué)生參與了評(píng)分，則估計(jì)評(píng)分超過90分的學(xué)生人數(shù)為600

C.學(xué)生評(píng)分的眾數(shù)的估計(jì)值為85

D.學(xué)生評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值為83

7.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）

①若A>2,則sinA>sinB；

②若A=30°,b=4,a=3,則△ABC有兩解；

③若3c為鈍角三角形，則層+抉>,2；

④若A=60°,a=2,則△ABC面積的最大值為

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.在△ABC中，E為AC上一點(diǎn)，7C=3AE，尸為BE上任一點(diǎn)，若

AP=mAB+nAC（m>0,n>0），則、"的最小值是（）

mn

B.10C.11D.12

二、填空題：（每小題4分，共24分）

9.某高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150、150、400、300名學(xué)生，為了解學(xué)生的就業(yè)

傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)在丙專業(yè)抽取

的學(xué)生人數(shù)為.

10.某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，在甲、乙、丙三個(gè)不同的位置投中的概率分別《，2,p,該同

學(xué)站在這三個(gè)不同的位置各投籃一次，恰好投中兩次的概率為；g,則P的值

18

為.

11.已知某6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4,方差為8,現(xiàn)加入2和6兩個(gè)新數(shù)據(jù)，此時(shí)8個(gè)數(shù)據(jù)的

方差為

12.已知邊長為4的正方形ABCD中，AC與2。交于點(diǎn)E,且RG分別是線段EC和線段

EB的中點(diǎn)，則(而+五)?菽=.

13.如圖，三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=2C=2,點(diǎn)M,N分別是AD,

BC的中點(diǎn)，則異面直線AN,CM所成的角的余弦值是.

14.如圖三棱錐P-ABC,平面PBCJ_平面ABC,已知△PBC是等腰三角形，ZVIBC是等

腰直角三角形，若AB=BC=2,PB=PC=?球。是三棱錐尸-ABC的外接球，則球

O的表面積是.

三.解答題：(本大題共4小題，共44分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

15.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c已知a+b-ccosA-愿asinC=O.

(1)求角C的值；

(2)若c=2?,b=2a,求△ABC的面積S.

16.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面四邊形ABC。滿足AB_LA。，BC//AD,AD=2BC,

且M為PA的中點(diǎn).

(1)求證：〃平面尸。；

(2)若平面E4Z)_L平面ABCD,且DP=D4,求證：平面BDALL平面PAB.

17.天津市某中學(xué)高三年級(jí)有1000名學(xué)生參加學(xué)情調(diào)研測試，用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取

了一個(gè)容量為50的樣本，得到數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示：

(D求第四個(gè)小矩形的高，并估計(jì)本校在這次統(tǒng)測中數(shù)學(xué)成績不低于120分的人數(shù)和這

1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分.

(2)已知樣本中成績?cè)冢?40,150］內(nèi)的學(xué)生中有兩名女生，現(xiàn)從成績?cè)谶@個(gè)分?jǐn)?shù)段的學(xué)

生中隨機(jī)抽取2人做學(xué)習(xí)交流，

①寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(用恰當(dāng)?shù)姆?hào)表達(dá))

②設(shè)事件4“選取的兩人中至少有一名女生”，寫出事件A的樣本點(diǎn)，并求事件人發(fā)

生的概率.

18.如圖，在三棱柱ABC-ASG中，平面ABC,AAi=AC=BC=2,ZACB=9Q°,

D,E分別是CG的中點(diǎn)

(I)求證：G?！ㄆ矫鍭iBE；

(ID求直線AB與平面所成角的正弦值；

(III)在棱CG上是否存在一點(diǎn)尸，使得平面與平面所成二面角為60°?若

存在，求出尸點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案

一、選擇題（每題4分，共32分）.

1.復(fù)數(shù)z滿足±±=-i+2i，貝旭=（）

Z

A.—B.C.D.710

55257

【分析】先利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)模長公式求解.

解：：上L-l+2i,

z

1-i.--3-i31.

復(fù)數(shù)z=

-l+2i~(-l+2i)(-l-2i)-5-55

故選：B.

2.已知向量之=（1,m）,］=（3,-2）,且（［+%）則加=（）

A.-8B.-6C.6D.8

【分析】求出向量Z+E的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直的充要條件，構(gòu)造關(guān)于機(jī)的方程，解得答

案.

解：二?向量W=（1,m）,三=（3，-2）,

"a+b=（*m-2）,

又?。╝+b）b,

A12-2（m-2）=0,

解得：加=8,

故選：D.

3.“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用

區(qū)間［0,1。］內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.現(xiàn)隨機(jī)抽取10位嘉祥

縣居民，他們的幸福感指數(shù)為3,4,5,5,6,7,7,8,9,10.則這組數(shù)據(jù)的80%分

位數(shù)是（）

A.7.5B.8C.8.5D.9

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義，即可求出該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù).

解：因?yàn)?0X80%=8,

所以數(shù)據(jù)3,4,5,5,6,7,7,8,9,10的80%分位數(shù)是

—X（8+9）=8.5.

2

故選：C.

4.在普通高中新課程改革中，某地實(shí)施“3+1+2”選課方案.該方案中“2”指的是從政治、

地理、化學(xué)、生物4門中任選2門作為選考科目，假設(shè)每門科目被選中的可能性相等，

那么化學(xué)和生物至多有一門被選中的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

6236

【分析】采用列舉法將從4門學(xué)科中任選2門得到所有可能的情況列舉出來，再確定其

中滿足化學(xué)和生物至少有一門被選中的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式即可

得到結(jié)果.

解：從4門學(xué)科中任選2門共有：政治+地理、政治+化學(xué)、

政治+生物、地理+化學(xué)、地理+生物、化學(xué)+生物，共6種情況，

其中滿足化學(xué)和生物至少有一門被選中的有5種情況，所以其概率為?.

0

故選：D.

5.為了給熱愛朗讀的師生提供一個(gè)安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”.如圖

所示，該朗讀亭的外形是一個(gè)正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對(duì)側(cè)棱所

在的軸截面為正方形，若正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積之比為有：8,則正六棱錐與正

六棱柱的高的比值為（）

A.返B.—C.返D.—

2342

【分析】設(shè)出棱柱的底面邊長，可得棱柱的高，再設(shè)出棱錐的斜高，由已知側(cè)面積的比

值求得棱錐斜高與棱柱底面邊長的關(guān)系，再由勾股定理得到棱錐的高與棱柱高的關(guān)系，

則答案可求.

解：設(shè)正六棱柱的底面邊長為“，

:正六棱柱兩條相對(duì)側(cè)棱所在的軸截面為正方形，，正六棱柱的高為2m

再設(shè)正六棱錐的高為，，斜高為力，

則正六棱錐的側(cè)面積為S1=6X^XaXh=3ah>

正六棱柱的側(cè)面積為S2=6XaX2a=12a2，

由已知可得："=烏。=坐，得仁

S212a282

又h?=（坐a）2+H2=（乎a）2，得8=。，

.??正六棱錐與正六棱柱的高的比值為旦后-4.

2a2a2

6.2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，為全面貫徹黨的教育方針，提高學(xué)生的審美水平和

人文素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.某學(xué)校高一年級(jí)舉辦了班級(jí)合唱活動(dòng).現(xiàn)從全校學(xué)生中

隨機(jī)抽取部分學(xué)生，并邀請(qǐng)他們?yōu)榇舜位顒?dòng)評(píng)分（單位：分，滿分100分），對(duì)評(píng)分進(jìn)

行整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.。=0.028

B.若該學(xué)校有3000名學(xué)生參與了評(píng)分，則估計(jì)評(píng)分超過90分的學(xué)生人數(shù)為600

C.學(xué)生評(píng)分的眾數(shù)的估計(jì)值為85

D.學(xué)生評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值為83

【分析】對(duì)4由頻率之和為1可得；對(duì)8,根據(jù)頻率分布直方圖直接計(jì)算；對(duì)C,由最

高長方形底邊中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)是樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)可得；對(duì)先判斷出中位數(shù)在［80,

90)內(nèi)，列出式子可求.

解：對(duì)于A,由頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形的面積之和為1,知0.06+0。6+10“+0.4+0.2

=1,解得a=0.028,A正確；

對(duì)于8,由頻率分布直方圖易知，估計(jì)參與評(píng)分的3000名學(xué)生中，評(píng)分超過9(0分)

的人數(shù)

為3000X(0.02X10)=600,2正確；

對(duì)于C,由頻率分布直方圖可知，眾數(shù)的估計(jì)值為85,C正確；

對(duì)于，前三組頻率之和為(0.006+0.006+0.028)X10=0.4,前四組頻率之和為0.4+0.04

X10=0.8,則中位數(shù)在［80,90)內(nèi)，

設(shè)學(xué)生評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值為無，則0.4+(x-80)X0.04=0.5,解得x=82.5,O錯(cuò)誤.

故選：D.

7.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列說法正確的個(gè)數(shù)是()

①若A>8,貝!］sinA>sinB：

②若A=30°,b=4,a=3,則△ABC有兩解；

③若AABC為鈍角三角形，則層+62>02；

④若A=60°,a=2,則△ABC面積的最大值為港.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】利用正弦定理結(jié)合大邊對(duì)大角定理可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用正弦定理可判斷

B選項(xiàng)的正誤；利用余弦定理可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用基本不等式、余弦定理結(jié)合三

角形的面積公式可判斷D選項(xiàng)的正誤.

解：對(duì)于A選項(xiàng)，若則a>6,由正弦定理可得一^—=,所以，sinA>sinB,

sinAsinB

A選項(xiàng)正確；

對(duì)于8選項(xiàng)，Z?sinA=4sin30°=2,則6sinA<a<Z?,所以，/XABC有兩解，2選項(xiàng)正確;

222

對(duì)于C選項(xiàng)，若△A2C為鈍角三角形且C為鈍角，則cos，一—如二V0,可得a2+b2

2ab

<2,。選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，由余弦定理與基本不等式可得4=?2=Z?2+c2-2bccosA—b2+c2-bc^lbc-

bc=bc,

即反W4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，等號(hào)成立，

所以，S△皿c卷bcsinAq^bc《后，。選項(xiàng)正確?

故選：C.

8.在△A3C中，E為AC上一點(diǎn)，AC=3AE，P為BE上任一點(diǎn)、,若

AP=mABtnAC0,n>0），則鼻二的最小值是（）

mn

A.9B.10C.11D.12

【分析】利用向量共線定理可得：相+3〃=1.再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即

可得出.

解：.?.正二3彘，

AP=mAB+nAC=mAB+3nAE>

為BE上任一點(diǎn)，：.m+3n=l.

—-k-^=（m+3n）（34）=3+3+%+旦N6+&但■?&=12,當(dāng)且僅當(dāng)根=3〃=』時(shí)

mnmnmnVmn2

取等號(hào).

故選：D.

二、填空題：（每小題4分，共24分）

9.某高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150、150、400、300名學(xué)生，為了解學(xué)生的就業(yè)

傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)在丙專業(yè)抽取

的學(xué)生人數(shù)為16.

【分析】根據(jù)四個(gè)專業(yè)各有的人數(shù)，得到本校的總?cè)藬?shù)，根據(jù)要抽取的人數(shù)，得到每個(gè)

個(gè)體被抽到的概率，利用丙專業(yè)的人數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，得到丙專業(yè)要抽取

的人數(shù).

解：???高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150、150、400、300名學(xué)生

，本校共有學(xué)生150+150+400+300=1000,

???用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查

每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是渭不=上，

100025

;丙專業(yè)有400人，

，要抽取400X上=16

25

故答案為：16

10.某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，在甲、乙、丙三個(gè)不同的位置投中的概率分別［■,Xp,該同

學(xué)站在這三個(gè)不同的位置各投籃一次，恰好投中兩次的概率為二，則P的值為-.

【分析】在甲、乙、丙處投中分別記為事件A,B,C,恰好投中兩次為事件ABR,BO

NBC發(fā)生，由此利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出結(jié)果.

解：在甲、乙、丙處投中分別記為事件4B,C,

恰好投中兩次為事件AB己BC-NBC發(fā)生，

故恰好投中兩次的概率：

尸=5X5X(1-p)(1--^-)Xp+(1-X-^-Xp=1p

32p323218

解得P=~T.

o

故答案為：泉

11.已知某6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4,方差為8,現(xiàn)加入2和6兩個(gè)新數(shù)據(jù)，此時(shí)8個(gè)數(shù)據(jù)的

方差為7.

【分析】根據(jù)題意，設(shè)原數(shù)據(jù)為a\,ai,。3,。4,。5,46,則有

￡a,=6X4=24,:￡(a「4)2=&由平均數(shù)、方差的計(jì)算公式計(jì)算可得答案.

i=l6i=l

616

-2

解：根據(jù)題意，設(shè)原數(shù)據(jù)為“1,〃2,〃3,〃4,〃5,〃6,則￡=6X4=24,(aJ4)=8

i=la6i=l

6

加入2和6兩個(gè)新數(shù)據(jù)后，所得8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2」「2+6,

1-1J.

所得8個(gè)數(shù)據(jù)的方差為營，「4)2+(2-4)2+(6-4)2醛+4

S=8=~8

故選：7.

12.已知邊長為4的正方形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)E,且RG分別是線段EC和線段

的中點(diǎn)，則(而+而),AG=-16.

【分析】以AB為所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和

向量的數(shù)量積計(jì)算即可.

解：以AB為所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸，

則A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4),

E(2,2)

：.F(3,3),G(3,1)

；.而=(-3,1),而=(-2,-2),筋=(3,1),

■<,FD+EA=(-3,1)+(-2,-2)=(-5,-1),

(而+嬴)?AG=(-5,-1)?(3,1)=-16

故答案為：-16

13.如圖，二棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=3C=2,點(diǎn)N分別是A。,

2C的中點(diǎn)，則異面直線⑷V,CM所成的角的余弦值是1.

一8一

【分析】連結(jié)柳，取ND的中點(diǎn)為：E,連結(jié)ME說明異面直線AN,CM所成的角就是

/EMC通過解三角形，求解即可.

解：連結(jié)N。，取ND的中點(diǎn)為：E,連結(jié)ME,則腔〃AN,異面直線A7V,CM所成的

角就是/EMC,

,:AN=2近,

:.ME=-f^=EN,MC=2近,

又?：ENLNC,.?衣=在西用=正，

■?■COSZ￡MC=EM2+?C2-EC22+8-3_7

2EM-MC2X&X2&—百

14.如圖三棱錐P-ABC,平面PBC，平面ABC,已知△P8C是等腰三角形，△ABC是等

腰直角三角形，若AB=BC=2,PB=PC=?球。是三棱錐尸-ABC的外接球，則球

O的表面積是—里二

【分析】直接利用三棱錐體和球體的關(guān)系，三角形的中心的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用和球

的表面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果.

解：設(shè)該幾何體的外接球的半徑為R,

如圖所示：

設(shè)點(diǎn)E為△尸3c的中心,

所以PE=EC=EB,

利用C￡^=l2+(2-PE)2,

由于尸E=CE,

所以尸￡=三，故。。=2一I■鳥

444

在△ABC中，利用勾股定理：AC=2亞，

所以BD=\J~^,

所以R2=BC?2=、）2+（亞）2=普,

故S表=4冗。1r丁?

故答案為：絲L.

4

三.解答題：（本大題共4小題，共44分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

15.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c已知a+b-ccosA-愿asinC=O.

（1）求角C的值；

（2）若c=2次，b=2a,求AABC的面積S.

【分析】（1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得sin（C-3）4,

62

結(jié)合范圍2<cT<器，可求C的值.

666

（2）由已知利用余弦定理可得以8的值，進(jìn)而利用三角形的面積公式即可求解.

解：（1）由正弦定理可得：sinA+sinB-sinCcosA-J^sinAsinC=O,

整理得，sinA+sin（A-K：）-sinCcosAV3sinAsinC=0,

即sinA+sinAcosC^/3sinAsinC=0,

又因?yàn)锳c（0,IT）,貝！JsinA>0,

所以J§sinC-cosC=2sin（Cy）=1，

b

即sin（C-?）］，

62

又因?yàn)橐弧词模?/p>

666

by兀兀員”口71

所以。下十，解得C-，

663

(2)由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcosC=a2^-b2-ab,

因?yàn)閏=2?,b=2af解得。=2,

所以。=4,

貝U三角形ABC的面積S卷absinC=yX2X4X坐=2加.

16.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面四邊形ABC。滿足BC//AD,AD=2BC,

且M為PA的中點(diǎn).

(1)求證：〃平面尸CD；

(2)若平面PAO_L平面ABCD,且DP=ZM,求證：平面平面PAB.

【分析】(1)取的中點(diǎn)N,連結(jié)MN,CN,推導(dǎo)出四邊形BMNC是平行四邊形，得

到BM//CN,由此能證明〃平面PCD.

(2)推導(dǎo)出AB_L平面PAD,AB±DM,DM±PA,得到DALL平面尸AB,由此能證明平

面BDALL平面PAB.

【解答】證明：(1)取尸。的中點(diǎn)M連結(jié)MN,CN,

是尸4的中點(diǎn)，是△FA。的中位線，

：.MN//AD,MN=W處,

'：BC//AD,BC=—AD,：.MNIIBC,

2=

.??四邊形BMNC是平行四邊形，；.BM//CN,

：BMC平面「CD,CNu平面尸CD,

〃平面PCD.

(2)?.?平面PAZ)J_平面ABCD,且平面PADC平面A3cr>=AD,

AB±AD,ABu平面ABC。，

面PAD,

「OMu平面PA。，：.AB±DM,

,：DP=DA,M■為尸A的中點(diǎn)，：.DM_LPA,

：PAu平面PAB,ABu平面P4B,且PAAAB=A,

，DW_L平面PAB,

?：OAfc平面BDM,，平面BDML平面PAB.

17.天津市某中學(xué)高三年級(jí)有1000名學(xué)生參加學(xué)情調(diào)研測試，用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取

了一個(gè)容量為50的樣本，得到數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示：

（1）求第四個(gè)小矩形的高，并估計(jì)本校在這次統(tǒng)測中數(shù)學(xué)成績不低于120分的人數(shù)和這

1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分.

（2）已知樣本中成績?cè)冢?40,150］內(nèi)的學(xué)生中有兩名女生，現(xiàn)從成績?cè)谶@個(gè)分?jǐn)?shù)段的學(xué)

生中隨機(jī)抽取2人做學(xué)習(xí)交流，

①寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；（用恰當(dāng)?shù)姆?hào)表達(dá)）

②設(shè)事件人”選取的兩人中至少有一名女生”，寫出事件A的樣本點(diǎn)，并求事件4發(fā)

生的概率.

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中求頻數(shù)與平均數(shù)的算法計(jì)算即可解決此問題；

（2）根據(jù)題意可算出成績?cè)冢?40,150］的人數(shù)是6,其中2名女生和4名男士，進(jìn)行編

號(hào)羅列樣本點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算即可解決此問題.

解：（1）由頻率分布直方圖可知，第四個(gè)矩形的高為：0.1-（0.010+0.020+0.030+0.012）

=0.028,

成績不低于1（20分）的頻率為：（0.030+0.028+0.012）X10=0.7,

所以高三年級(jí)不低于1（20分）的人數(shù)為：0.7X1000=700人.

平均分7=105X0.1+115X0.2+125X0.3+135X0.28+145X0.1=126.2；

（2）由頻率分布直方圖知，成績?cè)冢?40,150］的人數(shù)是6,記女生為A,B,男生為c,d,

e，力

從這6人中抽取2人的情況有AB,Ac,Ad,Ae,Af,Be,Bd,Be,Bf,cd,ce,cf,de,

df,ef,共15種.

其中至少有一名女生的情況有AB，Ac,Ad,Ae,Af,Be,Bd,Be,”