2020-2021學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊 第十七章勾股定理- 教學(xué)質(zhì)量檢測卷

八年級(jí)下冊數(shù)學(xué)第十七章勾股定理-2020-2021學(xué)年人教版教學(xué)質(zhì)量檢測卷

一、單選題

1.ABC中，ZA,ZB,/C的對(duì)邊分別記為a,b,c,由下列條件不能判定ABC為直角三角形的是（）

A.ZA+ZB=ZCB.ZA：ZB：ZC=1：2：3

C.a2=c2-b2D.a：b：c=3：4：6

,ZACB=90°,CDLAB于點(diǎn)。，已知AC=3,BC=4,則3。=(

1292A/316

A.B.RD.—

T55

3.已知直角三角形紙片的兩條直角邊長分別為根和九（機(jī)＜〃），過銳角頂點(diǎn)把該紙片剪成兩個(gè)三角形，若這

兩個(gè)三角形都為等腰三角形，則（）

A.n-2mn-m2=0B.m2+2mn-n2=0

C.m2-2mn-n2=0D.m2—Imn+n1=0

4.如圖，在四邊形ABC。中，AB=BC=2,DC=372>AD=>/26,ZABC=90°,則四邊形ABC。

C.10D.12

5.如圖，已知正方體紙盒的高為1,已知一只螞蟻從其中一個(gè)頂點(diǎn)A,沿著紙盒的外部表面爬行至另一個(gè)

頂點(diǎn)B,則螞蟻爬行的最短距離是（）

A

A.B.2C.75D.72+1

6.如圖，分別以RtABC的三邊為斜邊向外作等腰直角三角形，若斜邊AB=6,則圖中陰影部分的面積

為（）.

A.6B.12C.16D.18

.如圖，在中，于點(diǎn)

7ABCAOLBCD,平分NAC3交于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,AB=15fAD=12,

8C=14,則DE的長是（）

A

BD

10

A.3B.4C.5D.—

3

8.在RtAABC中，ZACB=90°,BC=5cm,AC=12cm,三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到AB

的距離尸”為（）

3060

A.1cmB.2cmC.—cmD.—cm

1313

9.如圖，在RtZXABC中，ZAC5=90°,ZABC=30°,CD平分NACB.邊AB的垂直平分線DE分

別交。,鉆于點(diǎn)。,后.以下說法錯(cuò)誤的是()

B上-------------.----BC

A.ABAC=60°B.CD=2BEC.DE=ACD.y/2CD=BC+-AB

2

10.如圖，在等腰RfABC中，ZACB=90。，點(diǎn)P是A6c內(nèi)一點(diǎn)，且CP=1,BP：五,AP=2,

以。尸為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn),作等腰RtDCP,下列結(jié)論:①點(diǎn)A與點(diǎn)D的距離為72；@AP±PC；

()

③AB=2。?SAPB=2,其中正確結(jié)論有是

C8

A.①②③B.②④C.①②D.②③④

11.如圖，等邊46c的邊長為8.P,Q分別是邊AC8C上的點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)0.以下結(jié)論:

①若AP=CQ,貝！JBAP烏ACQ-②若AQ=5P,則NAO8=120。；③若AP=CQ,3P=7,則

PC=5；④若點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（到達(dá)點(diǎn)C就停止），則

點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長為4代.其中正確的（）

C.①②D.①③④

12.如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為15cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)3

處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的

最短路徑為25cm,則該圓柱底面周長為（）

18cmC.25cmD.40cm

二、填空題

13.已知在45c中，NACB=90°,NA=30°,若該三角形的一中線長為加，則的長為

14.如圖，在ABC中，已知AB=2逐，AC=442>BC=6.貝UABC的面積為.

15.如圖是一棵勾股樹，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A,B,C,D的邊長分別是4,5,3,

4,則最大正方形E的面積是.

16.在RtaABC中，NA=90°,BC=1Q,AB=6,如果點(diǎn)P在AC邊上，且點(diǎn)P到Rt^ABC的兩個(gè)

頂點(diǎn)的距離相等，那么AP的長為.

17.如圖，在A5c中，ZC=90°,以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC,AB于點(diǎn)M,N,

再分別以M，N為圓心，大于‘MN長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)。，作射線A。，交BC于點(diǎn)E；已知

2

CE=3,BE=5,則AC的長為.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOv中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（5,o）,點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)，以A3為邊作等腰

RtABC,ZBAC=9Q°（點(diǎn)A,B,。呈順時(shí)針排列），當(dāng)點(diǎn)8在V軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。也隨之運(yùn)動(dòng).在

點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，OC+AC的最小值為.

三、解答題

19.如圖所示，DE±AB,CFLAB,大壩橫截面迎水坡AD的坡比為4:3,背水坡的坡比為1:2,

坡高20米，壩頂寬10米，求大壩截面周長.

D

20.如圖，在RfAABC中，ZACB=90°,AC=12,A3=13,點(diǎn)。是R/AA5C外一點(diǎn)，連接OC,DB,

且CD=4,BD=3.

(1)求證：ND=90°

(2)求：四邊形A3DC的面積.

21.如圖，BC=4cm,AB=3cm,AF=12cm,AC1AF,正方形CDEF的面積是169cm?.

(1)求AC的長度；

(2)判斷A5c的形狀？并說明理由.

22.如圖，點(diǎn)。為AB上的一點(diǎn)，△ACE^ABCD,AD2+DB2=DE2.

Cl)試說明AAED是直角三角形;

(2)試判斷△ABC的形狀，并說明理由.

23.如圖，在ABC中，AB=AC=5cm,BC=6cm,5。_LAC交AC于點(diǎn)D,動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)，按

CfAf3fC的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為2cm/s,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.

(1)求8。的長.

(2)當(dāng)7=3.2時(shí)，求證：CAB.

(3)P在運(yùn)動(dòng)過程中，若CDP是以CP為腰的等腰三角形，求出所有滿足條件t的值.

24.如圖，在45c中，點(diǎn)。、E分別是AB,AC邊中點(diǎn)CDLA5于。，延長DE,過。作CFLDE

于F.

(1)求證：△ADgABDC.

(2)若3c=10,DF=9,求FC的長度.

25.如圖，ABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速

度沿折線A—B—C—A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/(r〉0)秒.

(1)AC=cm；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在邊AC上且恰好又在/ABC的角平分線上時(shí)，求此時(shí)/的值；

(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)/為多少秒時(shí)，為等腰三角形(直接寫出結(jié)果).

參考答案

1.D

解：A、ZA+ZB=ZC,又NA+NB+NC=180。，則NC=90。，是直角三角形；

B、ZA：ZB：ZC=1：2：3,又NA+NB+NC=18O°,則NC=90°,是直角三角形;

C、由a2=c2-b2,得a?+b2=c2,符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；

D、32+42*62,不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形.

解：VZACB=90°,AC=3,BC=4,

二AB=VAC2+BC2=A/'32+42=5，

設(shè)BD=x,AD=5-x,?.*CD±AB

.,.ZCDA=ZCDB=90",

AC2-AD2=BC2-BD2,

32-(5-X)2=42-X2,

解得，x=g，

解：如圖，ABD是等腰三角形，ACD是等腰直角三角形,

AD=BD=n-m,

根據(jù)勾股定理得：m2+m2=(n-m)2,

：?2m2=n2-2mn+m2,

m2+2mn-n2=0.

4.B

連接AC,如圖:

D

口

??,ZABC=90°,AB=BC=2,

???AC=2萬

?.?在ADC中，AC2+DC'=(2^)2+(3A/2)2=26,

AD2=A/262=26-

AC2+DC2=AD2,ADC是直角三角形，

SA5C'x2x2=2,

2

SADC=；x2叵義3人=6,

S四邊形ABCD=SiABC+SADC=2+6=8,

5.C

方法一：走兩個(gè)正方形兩接的面展開成日字形的對(duì)角線

在三角形ABC中，由勾股定理AB=VAC2+BC2=A/,22+12=A/5；

DB

AC

方法二：走一面折線AD-BD,由勾股定理BD=a+付=叫

AD+DB=^+1；

方法三折線AE-ED-DB即AE+ED+DB=3；

在正方體外部表面走有這三類走法，

V5<9,

二逐<3，

V2>1,

5/2>1,

2A/2>2，

2友+3>2+3，

,?A/2+1>y/5，

螞蟻爬行的最短距離是逃.

6.D

解：在RtAAHC中，AC2=AH2+HC2,AH=HC,

.*.AC2=2AH2,

AC

，HC=AH=~產(chǎn),

V2

BCAB

同理：CF=BF=-^,BE=AE=

在RtAABC中，AB2=AC2+BC2,AB=6,

111

4(?4(f)=%AC,BC,AB2)

=—1(AB2+AB2)

=18.

7.D

解：如圖所示，作EG，AC于點(diǎn)G,

??,于點(diǎn)D,

在RtAABD中，BD=VAB2-AD2=9，

3c=14,

二DC=BC—BD=5,

...在中，AC=VAD2+CD2=13?

平分乙4cB交AD于點(diǎn)E,EGLAC,EDIBC

：.DE=GE,

,:CE=CE

???ACEDdCEG,

，CD=CG=5,

設(shè)DE=GE=xf則AE=AD—ED=12—x,AG=AC—GO=8,

222

:?在RtAEG中，AE=EG+AG9

即：（12—x）2=必+82,

解得：x=—,即：DE=—,

33

故選：D.

A

8.B

解：在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=5cm,AC=12cm,

AB=A/,AC2+BC2=A/'52+122=13

P是RtZXABC中三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，

ZCAP=ZPAB,ZABP=NCBP,ZACP=ZBCP

過點(diǎn)P,分別作Rt^ABC三邊的垂線段，如圖，

在4P與△HAP中，

'ZCAP=ZBAP

<AP=AP

ZAMP=NAHP

：.AMAP=AHAP(ASA)

PM=PH

同理得，△PMC=APNC(ASA),BHP=^BNP(ASA)

:.PM=PN,PN=PH

PM=PH=PN

S=-ACPM+-ABPH+-BCPN

ABRC222

=~(AC+AB+BC)PH

=1x(5+12+13)-PH

=15PH

又S=-AC-BC=-x5xl2=30

^22

.-.15PH=30

PH=2

故選：B.

9.B

解：如圖，連接BD、AD,過點(diǎn)D作DM_LBC于M,DN_LCA的延長線于N,

90°,ZABC=30°,

：.ZBAC=60°.故此選項(xiàng)說法正確;

B、VDM±BC,DN±CA

.?.ZDNC=ZDMC=90°,

VCD平分NACB,

二ZDCN=ZDCM=45°.

.,.ZDCN=ZCDN=45".

/.CN=DN.

則△CDN是等腰直角三角形.

同理可證：△CDM也是等腰直角三角形,

CD=NDN?+CN?=yJlDN-CD=?DM、CM?=^,

DM

.?.DM=DN=CM=CN,NMDN=90".

???DE垂直平分AB,

；.BD=AD,AB=2BE.

.,.RSBDM^AADN,

/.ZBDM=ZAND.

.,.ZBDM+ZADM=ZAND+ZADM=ZMDN.

ZADB=90".

???AB=^BET+AD1=y/2AD-

即2BE=72AD.

,在RtAAND中，AD是斜邊，DN是直角邊，

.,.AD>DN,則亞AD>?DN.

.,.2BE>CD.故此選項(xiàng)說法錯(cuò)誤.

C>VBD=AD,ZADB=90",

.?.△ABD是等腰直角三角形.

.*.DE=-AB.

2

在RtAABC中，ZACB=90°,/ABC=30。,

/.AC=-AB.

2

.*.DE=AC.故此選項(xiàng)說法正確.

D、VRtABDM^AADN,

.*.BM=AN.

CN=AC+AN=AC+BM=CM.

二BC=BM+CM=AC+2BM.

,/CD=72CN,

:.母CD=2CN=2AC+2BM=AC+2BM+AC.

VAC=—AB,

2

L1

:.72CD=—AB+BC.故此選項(xiàng)說法正確.

10.c

連結(jié)AD,

在等腰RfABC中，ZACB=90°,

.*.AC=BC,

Rt0cp是等腰三角形，

.?.CD=CP,

AZACD+ACP=90",ZACP+ZPCB=90",

.,.ZDCA=ZPCB,

在乙ADC^DABPC中，

AC=BC,

ZDCA=ZPCB,

DC=PC,

.".△ADC^ABPC(SAS),

；?AD=BP=g

①點(diǎn)A與點(diǎn)D的距離為應(yīng)正確，

在RtADCP中，由勾股定理DP=7CD2+CP2=V2，

在AADP中，AD2+DP2=(V2J'+(A/2)'=4=AP2,

.?.△ADP為等腰直角三角形，

.".AD±DP,

②AP工PC正確；

BD=BP+PD=2及，

在RtAADB中，由勾股定理，

AB=^/AD2+BD2=72+8=710，

③AB=2血不正確；

SAPB=~PBAD=-S/2XS/2=1,

APB22

④SAPB=2不正確?

故選擇：C.

CB

11.B

①在三角形△BAP和小ACQ中：

AP=CQ

<ABAC=NC

AB=AC

則△BAPgZkACQ(SAS)；①正確;

②如圖1,

在片的位置，ZAOB=120°,

在鳥的位置，NAOB的大小無法確定；②錯(cuò)誤;

③本問與AP=CQ這個(gè)條件無關(guān)，如圖，

P還是會(huì)有兩個(gè)位置即：P1、P2，

當(dāng)在片時(shí)，

作BELAC于E點(diǎn)，貝（JE為AC中點(diǎn),

VAB=8,AE=-AC,

2

?*-BE==4^/3>

又BP=7,

：,PE={BP2-BE?=1，

.?.CP=CE+PE=5,

當(dāng)在月時(shí)，同理解ABCP,得CP=CE-PE=3;故③錯(cuò);

④由題可得：AP=BQ,由對(duì)稱性可得0的運(yùn)動(dòng)軌跡為△ABC中AB邊上的中垂線

則；AB=8,

，BC=AB=8,

則AB邊上的中垂線的長為:BC2-

...運(yùn)動(dòng)軌跡路徑長為4途；④正確;

...正確的為①④;

12.D

解：如圖，將圓柱展開，EG為上底面圓周長的一半,

作A關(guān)于E的對(duì)稱點(diǎn)A',連接48交EG于尸，

則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為A尸+3萬的長，

即+A'B=25cm,

延長5G,過H作A。，3G于D,

AE=AE=3cm,BD=BG+DG=BG+AE=15-3+3=15cm,

.?.RtZXADB中，由勾股定理得：AD=JA?—BQ?=—15?=20cm，

，該圓柱底面周長為：20x2=40cm,

13.2或拽I或而.

7

解：設(shè)設(shè)BC=x,

VZACB=90°,NA=30°,

，AB=2x,

?*-AC=ylAB2-BC2=出x，

當(dāng)BC邊上的中線長為歷時(shí)，

(^3)2=(73X)2+(1)2

Vx>0,解得x=2；

當(dāng)AC邊上的中線長為而時(shí),

(5=(爭+X2

Vx>0,解得x=2叵；

7

A

當(dāng)AB邊上的中線長為而時(shí),

AB=2VH，

BC=屈；

故答案為：2或號(hào)L或厲.

14.12

解：如圖，過A作AO,8c于D,

設(shè)8。=尤，則CO=6—x,

依題意有（2占）2_/=（4應(yīng)）2_（6-尤）2,

解得x=2,

在RtAADB中，AD=^A^-BD1=^245）2-2/=4,

則AA3C的面積為工x6x4=12.

2

故答案為：12.

根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為％,D的面積和為S2,

2222

SI=4+5,S2=3+4,

于是S3=S1+S2>

即可得53=16+25+9+16=66.

故答案是：66.

-7

16.4或一.

4

在RtAABC中，

VZA=90",BC=10,AB=6,

???AC=7BC2-AB-=A/102-62=8>

若PB=PC,連結(jié)PB,

設(shè)PA=x,則PB=PC=8-x,

在RtAPAB中，

,."PB2=AP2+AB2,

:.(8-x)2=X2+62,

77

.*.x=—,即PA=一，

44

若PA=PC,則PA=4,

若PA=PB,由圖知，在RtAPAB中，不可能，

.?.PA=4或一.

4

17.6

如圖，過點(diǎn)E做E。，A3交AB于點(diǎn)D

ZADE=ZBDE=90

,ZADE=ZC=90

根據(jù)題意得：A。為aBAC的平分線，即NC4EZDAE

XVAE=AE

:.AADE^AACE

：.AC=AD,DE=CE=3

■:NBDE=90，BE=5

?*-DB=4BE1-DE1=4?BC=CE+BE=8

設(shè)AC=AD=x

:.AB—AD+DB=x+4

VZC=90°

AAC2+BC2=AB2,即f+82=a+4『

:.8%=64—16

，x=6

18.5A/5

如圖，過點(diǎn)A作直線IJ_x軸，過C,B作CDJJ于點(diǎn)D,BEL于點(diǎn)E,

,.,ZDCA+ZCAD=90°,ZEAB+ZCAD=180o-90o=90o,

.,.ZDCA=ZEAB,

又；NCDA=NAEB=90。，AB=AC,

；.ACDA*AEB(AAS),

.?.BE=AD,

VA(5,0),

，AD=BE=0A=5,

作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A，，連接CA，，則點(diǎn)A在直線I上,DA,=DA=5,AC=AT,

...OC+AC=OC+AZC,

■:在ACOA，中，OC+A0OA，,

...當(dāng)o,c,A，三點(diǎn)共線時(shí)，。。+4。有最小值=0"，此時(shí)，OAJ《Q42+=舊+1()2=5指,

?*-OC+AC最小值=5#).

故答案是：5A/5.

19.100+2075（米）

解：???壩橫截面迎水坡AD的坡比為4：3,坡高20米,

???AE=-^=15米，AD7AE?包￡2=25米,

4v

同理可得：BF=40米，BC=20小米，

XVEF=CD=10^,

.??大壩截面周長為：15+25+40+206+10+10=100+20小(米).

20.

解：(1)在RtAABC中，ZBCA=90",AC=12,AB=13,

BC2=AB2-AC2=132-122=25,

:.BC=5,

VCD=4,BD=3,

.".CD2+BD2=42+32=25,

VBC=5,HPBC2=25,

.,.CD2+BD2=BC2,

???△DBC是直角三角形，

.,.ZD=90".

(2)DBC是直角三角形，且ND=90。，

SAnBr=—BDxDC——x3x4=6,

???在RSABC中，ZBCA=90°,AC=12,BC=5,

:.SiAV4lDoCr=—2BCxAC2=—x5x12=30,

,S四邊形ABCD=S^ABC+SADBC=30+6=36.

21.解：(1)?.?正方形CDEF的面積為169cm2,

???CF=V169=13cm，

又ACLAE,

：.ZCAF=90°,

在放ACF中，A尸=12,CF=13,

AC=yjCF2-AF-=5cm>

(2)A6c為直角三角形，ZB=90°,理由如下：

在ABC中，BC=4cm,AB=3cm,AC=5,

???AB2+BC2=32+42=25=52=AC2，

46c為直角三角形，48=90°.

22.

證明：（1）VAACE^ABCD,

：.AE=BD

"：AD^DB^DE2

:.AD2+AE'DE2

...^AED是直角三角形，且NEAD=90"；

（2）AA8c是等腰直角三角形，理由如下

是直角三角形，且NEAD=90。；

.*.ZEAC+ZCAB=90o

?/△/ICE^ABCD,

.*.AC=BC,ZEAC=ZDBC

.,.ZDBC+ZCAB=90°

.?.△A8C是等腰直角三角形.

23.

解：（1）如圖1中，作AHL8C于H.

AH=^AB^-BH2=正-32=4cm,

S=—,BC?AH——?AC-BD,

ABC22

(2)如圖2中,

A

當(dāng)Z=3.2時(shí)，3.2x2=6.4,

此時(shí)點(diǎn)P在A3邊上，AP=6.4-5=1.4cm,

由(1)可知A￡)=J"?—皿=I"111'

AP^AD,

VAC=AB,ZA=ZA

在△APC與△ADB中

AP=AD

<ZA=ZA,

AC=AB

：.AP?ADB^AS,

ZAPC=AADB=90,

/.PCLAB.

(3)當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，CP=(16—2力cm,

①如圖3-1中，當(dāng)CD=CP時(shí)，

A

*?*CD=5—1.4=3.6cm,

/.16—2t=3.6,

?*.t=6.2s?

②如圖3-2中，當(dāng)PD=PC時(shí),

A

圖3—2

VPD=PC,

：.ZC=ZPDC,

VZC+Z.CBD=90,APDC+APDB=90

二ZPBD=NPDB,

:.PB=PD,

:.PC=PB=3cm,

V16-2t=3,

:?t=6.5s.

綜上所述，滿足條件的t的值為6.2s或6.5s.

24.

(1)VD為AB中點(diǎn)，

AAD=BD,

VCD±AB