2019-2020學年人教A版寧夏銀川九中高一第一學期期末數學試卷 含解析

2019-2020學年高一第一學期期末數學試卷

一、選擇題

1.如圖（1）、（2）、（3）、（4）為四個幾何體的三視圖，根據三視圖可以判斷這四個

幾何體依次分別為（

IXI⑵

俯視圖

A.三棱臺、三棱柱、圓錐、圓臺

B.三棱臺、三棱錐、圓錐、圓臺

C.三棱柱、正四棱錐、圓錐、圓臺

D.三棱柱、三棱臺、圓錐、圓臺

2.下列命題為真命題的是（）

A.平行于同一平面的兩條直線平行

B.與某一平面成等角的兩條直線平行

C.垂直于同一平面的兩條直線平行

D.垂直于同一直線的兩條直線平行

3.下列命題中錯誤的是（：）

A.如果aJL#,那么戊內一定存在直線平行于平面產

B.如果那么a內所有直線都垂直于平面尸

C.如果平面a不垂直平面尸，那么a內一定不存在直線垂直于平面廣

D.如果a_Ly,ly,a0|￡=?,那么？_Ly

4.正方體膽中，異面直線必與反7所成角的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

A.(272+4>B.(2^/2+6>C.6萬D.(3+4加

6.梯形44G4（如圖）是一水平放置的平面圖形地如的直觀圖（斜二測），若44/。'

=1,則平面圖形月BCD的面積是（）

C.5&D.1072

7.已知一直線斜率為3,且過北3,4）,兩點，則x的值為()

A.4B.12C.-6D.3

8.一個斜三棱柱的一個側面的面積為S,另一條側棱到這個側面的距離為a,則這個三棱

柱的體積是（）

A.-SaB.L網

C.-SaD.-Sa

3423

9.一個球的體積和表面積在數值上相等,則該球半徑的數值為（)

A.1B.2C.3D.4

10.若直線過點（1,2）,（4,2+73）,則此直線的傾斜角是（）

A.30°B,45°C.60°D.90°

11.有一種圓柱體形狀的筆筒，底面半徑為4cm,高為12cM.現要為100個這種相同規(guī)格

的筆筒涂色（筆筒內外均要涂色，筆筒厚度忽略不計）.如果每0.5館涂料可以涂

那么為這批筆筒涂色約需涂料（）

A.1.23kgB.1.76kgC.2.46AgD.3.52kg

12.已知函數<>)=卜：+4"減，若f(2a+l)>/(a),則實數白的取值范圍是()

K-4r,r<0

A.(-co,-1)|J(-1,+co)B.(-8,-3)<J(-1,+oo)

C.(-L-g)D.(-3,-1)

二、填空題(共4道小題，每題5分，共20分)

13.函數了=：+1咤式丫+3)的定義域.

14.若三點收3,1),頤-2力)，式8,11)在同一直線上，則實數匕等于.

15.已知正六棱錐底面邊長為a,體積為41",則側棱與底面所成的角為.

2

16.將一副斜邊長相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形，其中心=助=0,

NR4c=30°,若它們的斜邊?15重合，讓三角板曲)以壁為軸轉動，則下列說法正確

的是.

①當平面平面火B(yǎng)C時，C、D兩點間的距離為

②在三角板用D轉動過程中，總有JWICD；

③在三角板月ED轉動過程中，三棱錐體積的最大值為9.

三、本題共六道題，17題10分，其余各題每題12分，共70分)

17.如圖，圓柱的底面半徑為2,球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點

為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面.

(I)計算圓柱的表面積；

(II)計算圖中圓錐、球、圓柱的體積比.

18.設集合J4={X|-14<3),B=(x|2x-4>x-2],C={x|x2a-1}.

(1)求以1B;

(2)若B(JC=。，求實數。的取值范圍.

19.三棱柱壁。-4片G中，平面月FC,A4B。是邊長為4的等邊三角形，D為邊壁

的中點，且％=2度.

(1)求證：平面&CDJ.平面RDG；

(2)求證：力6〃平面。陽；

(3)求三棱錐D-C44的體積.

20.如圖，在三棱錐P-HB。中，汽7，底面媽7,ABLBC,D,E分別是四，PB的

中點.

(1)求證：DE”平面PAC;

(2)求證：AB1PB;

(3)若PC=BC,求二面角P-RB-。的大小.

21.已知定義域為R的函數工是奇函數，

2+a

(1)求a,2?的值；

(2)若對任意的teR,不等式/(產-2t)+/(2F-h)<0恒成立，求k的取值范圍.

22.如圖所示，正四棱錐P-J1BCD中，。為底面正方形的中心，側棱風與底面月BCD所

成的角的正切值為理.

2

(1)求側面R4D與底面壁如所成的二面角的大??；

(2)若E是而的中點，求異面直線PD與松所成角的正切值；

(3)問在棱加上是否存在一點產，使即1側面陽C,若存在，試確定點9的住置；若

不存在，說明理由.

D

參考答案

一、選擇題（本題12道小題，每題5分，共60分，每小題只有一個正確答案）

1.如圖（1）、（2）、（3）、（4）為四個幾何體的三視圖，根據三視圖可以判斷這四個

幾何體依次分別為（）

正視圖側視圖

CO）

俯視圖（4）

A.三棱臺、三棱柱、圓錐、圓臺

B.三棱臺、三棱錐、圓錐、圓臺

C.三棱柱、正四棱錐、圓錐、圓臺

D,三棱柱、三棱臺、圓錐、圓臺

【分析】三視圖復原，判斷4個幾何體的形狀特征，然后確定選項.

解：如圖（1）三視圖復原的幾何體是放倒的三棱柱；

（2）三視圖復原的幾何體是四棱錐；（

3）三視圖復原的幾何體是圓錐；

（4）三視圖復原的幾何體是圓臺.

所以（1）（2）（3）（4）的順序為：三棱柱、正四棱錐、圓錐、圓臺.

故選：C.

2.下列命題為真命題的是（）

A.平行于同一平面的兩條直線平行

B.與某一平面成等角的兩條直線平行

C.垂直于同一平面的兩條直線平行

D.垂直于同一直線的兩條直線平行

【分析】選項力、8、D均可以從正方體模型中找到反例，故都不正確.選項?？梢杂梅?/p>

證法進行證明，故。正確.

解：如圖1,4G〃平面壁⑵，用4〃平面壁⑵，但是4。「|弓。=。，所以力錯；

4。、&。與平面壁⑵所成角度大小相同，但是4?！竱5。=。，所以B錯；

44,4力，44,4月，但是耳外「|耳4=月，所以。錯；

如圖2,假設a_La,bla,且4「|》=力，

則過一點有兩條直線均垂直于平面,

故假設不成立，

即垂直于同一平面的兩條直線平行,

所以。正確.

故選：C.

圖1圖2

3.下列命題中錯誤的是（）

A.如果aJ?尸，那么a內一定存在直線平行于平面?

B.如果aJ?產，那么a內所有直線都垂直于平面產

C.如果平面a不垂直平面力,那么a內一定不存在直線垂直于平面足

D.如果a_Ly,/?!/,=那么？_Ly

【分析】如果a，#,則a內與兩平面的交線平行的直線都平行于面尸，進而可推斷出力命

題正確；儀內與兩平面的交線平行的直線都平行于面故可判斷出8命題錯誤；根據

平面與平面垂直的判定定理可知。命題正確；根據兩個平面垂直的性質推斷出D命題正

確.

解：如果a_L#,則a內與兩平面的交線平行的直線都平行于面產，故可推斷出力命題正

確.

B選項中a內與兩平面的交線平行的直線都平行于面尸，故8命題錯誤.

。根據平面與平面垂直的判定定理可知。命題正確.

。根據兩個平面垂直的性質推斷出D命題正確.

故選：B.

4.正方體期"中，異面直線必與所成角的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】由題意即正方體圖形，利用正方形的特點.由于利用異面直線的定義

即可得求.

解：根據題意，的正方體兒紀。-4494中，易得幺40=90°.

ADHBC

二異面直線必與BC垂直，即所成的角為90°,

故選：D.

5.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

A.（20+4泗B.（25/2+6>C.6萬D.（淄+4）方

【分析】直接利用組合體的表面積公式的應用求出結果.

解：根據幾何體的三視圖轉換為幾何體為兩端為圓錐體，中間為圓柱體的組合體.

所以：S=2x；x2萬*淄+2x2萬=2也萬+4萬.

故選：A.

6.梯形44G4（如圖）是一水平放置的平面圖形須如的直觀圖（斜二測）,若4〃/。'

軸，44〃/軸，A4=：qa=2,44=1,則平面圖形必如的面積是（）

A.5B,10C.5收D.10播

【分析】根據直觀圖畫法的規(guī)則，確定原平面圖形四邊形壁⑵的形狀，求出底邊邊長,

上底邊邊長，以及高，然后求出面積.

解：如圖，根據直觀圖畫法的規(guī)則，

直觀圖中44〃。，'，44=1,=原圖中加〃5，

從而得出且40=244=2,

直觀圖中44〃G4，A4=|q4=2,=原圖中＞IB"CD,AB=1CD=2,

即四邊形壁⑵上底和下底邊長分別為2,3,高為2,如圖.

故其面積S=；（2+3）x2=5；

故選：A.

7.已知一直線斜率為3,且過收3,4）,與X,7）兩點，則x的值為（）

A.4B.12C.-6D.3

【分析】由一直線斜率為3,且過北3,4）,用x,7）兩點，代入斜率公式，可構造關于x的方

程，解方程求出了值.

解：若過壁的直線斜率為3,

解得x=4

故選：A.

8.一個斜三棱柱的一個側面的面積為S,另一條側棱到這個側面的距離為a,則這個三棱

柱的體積是（）

1112

A.-SaB.-SaC.D.-Sa

3423

【分析】將該斜三棱柱補成一個四棱柱，將其放倒使側面與它所對的棱的距離為d,成為

四棱柱的高，然后求體積.

解：將該斜三棱柱補成一個四棱柱，該四棱柱的底面積為S,高為。，故四棱柱的體積為黝，

二%三財

故選：C.

9.一個球的體積和表面積在數值上相等，則該球半徑的數值為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】設該球的半徑為R,球的體積公式為，=表面積公式為S=4萬K,根據球

的體積和表面積在數值上相等列方程，即可解得球的半徑

解：設該球的半徑為R,

依題意，-n

3

解得R=3

故選：C.

10.若直線過點。,2）,（4,2+73）,則此直線的傾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90。

【分析】根據斜率公式求得直線的斜率，再根據傾斜角和斜率的關系，求得傾斜角的值.

解：???直線過點（1,2）,（4,2+73）,

■，直線的斜率為卜=三變二=蟲.

4-13

設直線的傾斜角為a,則0?！?<180°,

由tan&=蟲，可得a=30°,

3

故選：A.

11.有一種圓柱體形狀的筆筒，底面半徑為4CM,高為12cm.現要為100個這種相同規(guī)格

的筆筒涂色（筆筒內外均要涂色，筆筒厚度忽略不計）.如果每0.5炮涂料可以涂配2,

那么為這批筆筒涂色約需涂料()

A.1.23kgB.1.76姐C.2.46炮D.3.52kg

【分析】先求出一個筆筒的里外面積，再求出100個筆筒的總面積，又每05炮涂料可以涂

1m1,所需涂料易求.

解：由題設知，這種規(guī)格的筆筒表面積是萬x42+0x4x2xl2=112萬，

里外的全面積為224萬，

100個這種相同規(guī)格的筆筒的全面積為100X224>7=22400萬cm?=2.24萬疝，

又每0.5炮涂料可以涂配2,

故所需涂料數為2.24萬x0.5=1.12萬炮m3.52炮，

故選：D.

12.已知函數F(X)=[￡+4X，XX),若/(2a+l)>/(a),則實數。的取值范圍是()

[r2-4r,x<0

A.(-8,-l)U(-；,+8)B.(-oo,-3)kJ(-l,+8)

c.D.(-3,-1)

【分析】先判斷函數人x)的奇偶性和單調性，求參數的取值范圍.

解：因為函數/(x)=F：+4，'X20,所以作出函數/&)的圖象，則函數/(X)為偶函數，且

\x2-4x,x<0

在(0,+8)上單調遞增.

則了(加+1)>/(a),等價為/(|2a+l|)>/(|aD,

所以|2a+平方得4〃+4a+1>d,即3a?+4a+l>0,

解得a>-：或a<—1.

故選：A.

二、填空題(共4道小題，每題5分，共20分)

13.函數y=」+log式X+3)的定義域_(-3x_0)<J(0J[_+oo)_.

【分析】由函數的解析式可得x#。，且了+3>0,由此求得函數『=：+log式x+3)的定義

域.

解：?.?函數j=1+log式x+3),

x

r*0,J.X+3>0.

解得-3<x<0,或0<x<+8,

故答案為(-3,0)U(0,+8).

14.若三點收3,1),頤-2,b),式8,11)在同一直線上，則實數匕等于_-9一

【分析】三點題3,1),5(-2,b),0(8,11)在同一直線上，可得小加=勾「利用斜率計算公式

即可得出.

解：?.?三點式3,1),夙-2曾,C(8,11)在同一直線上，

,,凡IfHE一=I兒fTU，

.d-111-1

三F'

即紅?=普，化為5-1=-10.

—55

解得b=-9.

故答案為-9.

15.已知正六棱錐底面邊長為。，體積為立厘，則側棱與底面所成的角為45°.

2一一

【分析】由已知條件推導出棱錐的高A=a,側棱長為6a,由此能求出側棱與底面所成的

角的大小.

解：?.?正六棱錐的底面邊長為a,

?.?體積為正"，

2

/.棱錐的高h=a,

側棱長為0a

-，側棱與底面所成的角為45。，

故答案為：45°.

16.將一副斜邊長相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形，其中加=BD=M，

ZB4C=30°,若它們的斜邊重合，讓三角板45D以壁為軸轉動，則下列說法正確

的是①③.

①當平面R5D1平面為BC時，C、D兩點間的距離為尤；

②在三角板月ED轉動過程中，總有西1CD；

③在三角板曲）轉動過程中，三棱錐D-RBC體積的最大值為由.

【分析】①結合圖象，利用面面垂直的性質及直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一

半求解；

②用反證法，假設垂直，根據線面垂直的判定與性質推到是否可能，從而得出結論；

③根據棱錐的體積公式，在底面積不變的情況下，體積的大小取決于高，當平面血）1平

面RBC時，高最大，求出即可.

解：①取抽中點。，連接D。、CO,

AD=BD=V5，;DO=1,AB=2,OC=1

???平面平面月BC,二DO_L平面火B(yǎng)C,DO^OC,O

DC=42,①正確；

②若則超1平面8。，ABLOC,:。為中點，二47=BC,4&4。=45°與

NR4C=30°矛盾，二②錯誤；

③當DO_L平面ABC時，棱錐的高最大，此時

=Lxlx>lCxBCxDO=lx^xlxl=^.③正確.

故答案是①③

三、本題共六道題，17題10分，其余各題每題12分，共70分)

17.如圖，圓柱的底面半徑為2,球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點

為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面.

(I)計算圓柱的表面積；

(II)計算圖中圓錐、球、圓柱的體積比.

【分析】(I)根據圓柱的幾何特征求出底面積和側面積，即可求出表面積.

(II)根據圓柱、圓錐、球的體積公式，表示相應的體積，即可求出體積之比.

解：(I)1?圓柱的底面半徑為y=2,球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等,

圓柱和圓錐的高為h=2r=4,圓柱和圓錐的底面半徑y=2,

圓柱的表面積為：

區(qū)住體=2X^X22+4XJTX22=24萬.

(II)由(I)知/邂=；x萬x2/x4=與方，

2

VBfi=>7X2X2X2=16>7,

"4?32

心=—x>7x23=—0,

月33

圓錐、球、圓柱的體積比為：

——>r:l6>r=1:2:3.

33

18.設集合力={n-14<3),B={x|2r-4>r-2),C=(r|x><7-1).

(1)求R0|B;

(2)若B(JC=。，求實數a的取值范圍.

【分析】(1)化簡集合8,然后求集合的交集.(2)利用B|JC=C，得到&U。，然后

求實數a的取值范圍.

解:(1)由題意知，B={r|2r-4^r-2)={x|r^2)...

所以J4nB={燈24x<3}…

(2)因為B|JC=C，

所以BQC…

所以a-l42,即a43…

19.三棱柱月FC-44G中，平面的,41BC是邊長為4的等邊三角形，D為逆AB

的中點，且鵑=2度.

(1)求證：平面&CD_L平面加G；

(2)求證：為6”平面。叫；

(3)求三棱錐D-C44的體積.

。冰

【分析】(1)推導出%_1壁，CD1四，從而花，平面QCD,由此能證明平面GCD_L

平面加q.

(2)連結8G，交4。于點。，連結DO.則DO//RG，由此能證明力弓〃平面C%.

(3)三棱錐D-C44的體積分_「何=以產收，由此能求出結果.

【解答】證明：(1)?.?cq_L平面的,又花(=平面刎7,二

?.?胡&。是等邊三角形，⑵為＞15邊上的中線，

CDLAB,

CDp|CG=..AB1平面q。。，

???RBu平面為Dq,

：.平面C;CDJ_平面＞wq.

(2)連結gq,交4c于點。，連結DO.

則。是gq的中點，DO是A&4G的中位線.

DO/ZAC[.

?.?0。＜=平面。％,月qa平面。陽，

：.月q”平面。羽.

解：(3)???CqJL平面展C,B^f/CC,,

：.J?平面AFC.

:.B線為三棱錐D-CB4的高.

■.三棱錐D-C44的體積:

"171C211第〃2。16力

=XX-X

唯…=^S,-CBD=qS4se?螞324-^x8=——

二三棱錐D-C44的體積為幽.…

20.如圖，在三棱錐F-HB。中，PC工底面ABC,AB1BC,D,E分別是AB,PB的

中點.

(1)求證：DE"平面以。；

(2)求證：AB1PB;

(3)若R7=BC,求二面角P-四一。的大小.

【分析】(1)由D,E分別是壁，的中點，結合三角形中位線定理和線面平行的判

定定理可得DE//平面R4C;

(2)由線面垂直的性質，可得汽結合4F1B。和線面垂直的判定定理可得超1

平面陽C,再由線面垂直的性質可得兒51陽；

(3)由(2)知，AB1PB,ABLBC,故NPBC即為二面角F-工3-。的平面角，解APBC

可得答案.

【解答】證明：(1)-.-D,E分別是"，的中點

DEHPA

又?.?以匚平面F4C,DEct平面PAC

DE”斗面PAC;

(2)YPCL底面ABC,ABu底面ABC,

:.PCIAB

又???ASJ.B。，PC[\BC=C,PC,BCU平面PBC

RBJL平面R5。

文；PBu平面PBC

:.AB1PB;

解：(3)由(2)知，AB1PB,ABIBC,

NPB。即為二面角P-JIB-C的平面角

-：PC=BC,ZR7B=90°

:.ZPBC=45°

二面角P-JlB-。的大小為45°

21.已知定義域為R的函數士是奇函數，

2+a

(1)求a,b的值；

(2)若對任意的於R,不等式了(產-2。+/(2產-儲〈。恒成立，求k的取值范圍.

【分析】(1)根據奇函數的性質，定義域包括0,則有K0)=0,定義域為R,7(-1)=-/

(1)即可求得a,匕的值.

(2)將/(產-2t)+/(2F-%)0變形為：/(t2-2f)+-k),因為/(x)是奇函數，

-/(2t2-k)=-f(k-2t2),在利用/⑶減函數解不等式即可

解：(1)因為/(X)是奇函數，所以『(0)=0,

即.二+=0=3=1；

2+a

“、-2,+l

fW=—；

2+a

又?.?定義域為R,則有7(-1)=--(1),

_11

可得：2=_￡na=2；

4+a\+a

經檢驗：六目是奇函數，滿足題意.

所以a,b的值分別為2,1.

(II)由(I)知/(x)=_2：+1」+—L

'2l+1+222'+l

易知/(x)在(-8,+8)上為減函數；

又因了(X)是奇函數，

從而不等式：fit1-2t)+/(2f-k)<0等價于/(t2-2t)<-/(2t2-fc)=f(k-2t2),

因/(x)為減函數，</(Ar-2t2),

得：產-2O2T?

即對一切teR有：3t2-2t-*>0,開口向上，

從而判別式△=4+12k<0=>k

3

即出的取值范圍是(-8,-；)

22.如圖所示，正四棱錐P-AB如中，。為底面正方形的中心，側