人教版高中數(shù)學(xué)選修一1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問題（一） -A基礎(chǔ)練（解析版）

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(1)-A基礎(chǔ)練一、選擇題1.若O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),則線段AB的中點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為()A.1652 B.214 C.53 D.【答案】D【解析】∵OP=12(OA+OB)∴PC=OC-OP=-22.已知平面α的一個(gè)法向量n=(-2,-2,1),點(diǎn)A(-1,3,0)在平面α內(nèi),則平面α外的點(diǎn)P(-2,1,4)到平面α的距離為()A.10 B.3 C.83 D.【答案】D【解析】由題意可知PA=(1,2,-4).設(shè)點(diǎn)P到平面α的距離為h,則h=|PA3．（2020山東濰坊高二期末）已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），則點(diǎn)A到直線BC的距離為（）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），∴點(diǎn)A到直線BC的距離為：d＝||＝1×＝．4.在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中點(diǎn),則點(diǎn)A1到平面MBD的距離是()A.6a6 B.3a6 C.【答案】A【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),Ma,0,a2,B(a,a,0),A1∴DM=a,0,a2,DB=(a,a設(shè)平面MBD的法向量為n=(x,y,z),則n令x=1,則y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).∴點(diǎn)A1到平面MBD的距離d=|D5．（2020全國二高課時(shí)練）已知空間直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)的直線上的動(dòng)點(diǎn)，則，兩點(diǎn)的最短距離是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是平面內(nèi)的直線上的動(dòng)點(diǎn),所以可設(shè)點(diǎn)，由空間兩點(diǎn)之間的距離公式,得,令,當(dāng)時(shí),的最小值為,所以當(dāng)時(shí),的最小值為,即兩點(diǎn)的最短距離是,故選B.6．（多選題）（2020福建省高二期末）在正方體中，，分別是和的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．平面 B．平面C． D．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等【答案】AC【解析】對(duì)A,因?yàn)?分別是和的中點(diǎn)故,故平面成立.對(duì)B,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2則，.故.故不互相垂直.又屬于平面.故平面不成立.對(duì)C,同B空間直角坐標(biāo)系有,.故成立.對(duì)D,點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等則點(diǎn)與點(diǎn)中點(diǎn)在平面上.連接易得平面即平面.又點(diǎn)與點(diǎn)中點(diǎn)在上,故點(diǎn)不在平面上.故D不成立.故選AC二、填空題7．（2020浙江省高二期中）空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是______，______.【答案】；【解析】①空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)分別與的縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)互為相反數(shù)即；②利用空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離公式即可求得.故答案為：①；②8.如圖,P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn),PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,則點(diǎn)P到直線BD的距離為.

【答案】135【解析】如圖,分別以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),∴PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0),∴點(diǎn)P到直線BDd=|PB|2-PB·BD|BD9.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,M,N,E,F分別為A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中點(diǎn),則平面AMN與平面EFBD的距離為.

【答案】83【解析】如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).∴EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(-2,0,4),BF=(-2,0,4),∴EF=∴EF∥MN,BF∥AM,EF∩BF=F,MN∩AM=M.∴平面AMN∥平面EFBD.設(shè)n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,則n·MN取z=1,則x=2,y=-2,得n=(2,-2,1).平面AMN到平面EFBD的距離就是點(diǎn)B到平面EFBD的距離.∵AB=(0,4,0),∴平面AMN與平面EFBD間的距離d=|n10．（2020山東泰安一中高二月考）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)在棱PD上，AF⊥PD，點(diǎn)B到平面AEF的距離為．【答案】【解析】∵四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，∴以A為原點(diǎn)，AE為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵AB＝2，PA＝，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)在棱PD上，AF⊥PD，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），E（），P（0，0，），D（0，2，0），設(shè)F（a，b，c），，則（a，b，c﹣）＝（0，2λ，﹣），解得a＝0，b＝2λ，c＝，∴＝（0，2λ，），＝（0，2，﹣），∵AF⊥PD，∴＝4λ﹣，解得λ＝，∴＝（），＝（），＝（0，，），設(shè)平面AEF的法向量＝（x，y，z），則，取y＝，得＝（0，），∴點(diǎn)B到平面AEF的距離為：d＝＝．三、解答題11.四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=4,E是PA的中點(diǎn),求PC與平面BED的距離,并說明直線PC上各點(diǎn)到平面BED的距離間的關(guān)系.【解析】以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,△ACD中CD邊上的高AF所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則F為CD的中點(diǎn),A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,23,0),C(2,23,0),D(-2,23,0),P(0,0,4),E(0,0,2).設(shè)平面BED的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),由BE=(-4,0,2),DE=(2,-23,2),得n·BE取z=2,則x=1,y=3,得n=(1,3,2).∵PC=(2,23,-4),∴n·PC=2+6-8=0,∴n⊥PC,故PC∥平面BED,∴PC到平面BED的距離就是點(diǎn)P到平面BED的距離.∵EP=(0,0,2),∴點(diǎn)P到平面BED的距離d=|EP即PC到平面BED的距離為2,且直線PC上各點(diǎn)到平面BED的距離都相等.12.（2019?全國高考新課標(biāo)Ⅰ）如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．【解析】解法一：證明：（1）連結(jié)B1C，ME，∵M(jìn)，E分別是BB1，BC的中點(diǎn)，∴ME∥B1C，又N為A1D的中點(diǎn)，∴ND＝A1D，由題設(shè)知A1B1DC，∴B1CA1D，∴MEND，∴四邊形MNDE是平行四邊形，MN∥ED，又MN?平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．解：（2）過C作C1E的垂線，垂足為H，由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，∴CH⊥平面C1DE，故CH的長(zhǎng)即為C到時(shí)平面C1DE的距離，由已知可得CE＝1，CC1＝4，∴C1E＝，故CH＝，∴點(diǎn)C到平面C1DE的距離為．解法二：證明：（1）∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DE為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，M（1，，2），N（1，0，2），D（0，0，0