人教版高中數(shù)學(xué)選修一3.3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)（一）-B提高練（解析版）

3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（1）-B提高練一、選擇題1．（2020·江蘇省江浦高級中學(xué)月考）過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．或 B．C．或 D．【答案】C【解析】設(shè)焦點(diǎn)在軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)代入可得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是；設(shè)焦點(diǎn)在軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)代入可得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．綜上可知，過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是或．故選：C.2．（2020·江蘇省響水中學(xué)高二期中）已知拋物線上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別為3和，則（）A．2 B．2或4 C．1或2 D．1【答案】B【解析】因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別為3和，所以，即，代入拋物線方程可得，整理得，解得或.故選：B.3.（2020·廣西南寧二中高二月考）已知是拋物線上的一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則拋物線的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】過向軸作垂線，設(shè)垂足為，∵，，∴，，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，故的方程為.4．（2020·河南洛陽高二月考）已知點(diǎn)為拋物線：上一點(diǎn)，且點(diǎn)到軸的距離比它到焦點(diǎn)的距離小3，則（）A．3 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】由題得，拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可知，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，所以點(diǎn)到軸的距離比它到準(zhǔn)線的距離小3，于是得，所以．5．（多選題）（2020·全國高二課時(shí)練）點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2，則a的值可以為（）A． B． C． D．【答案】AB【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2，所以，解得或，故選AB．6.（多選題）（2020·重慶八中高二期中）設(shè)是拋物線上兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，下列結(jié)論正確的為（）A．為定值 B．直線過拋物線的焦點(diǎn)C．最小值為16 D．到直線的距離最大值為4【答案】ACD【解析】對于A，因?yàn)?，所以，所以，故A正確；對于B，設(shè)直線，代入可得，所以，即，所以直線過點(diǎn)，而拋物線的焦點(diǎn)為，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，等號成立，又直線過點(diǎn)，所以，故C正確；對于D，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以到直線的距離最大值為4，故D正確.故選：ACD.二、填空題7．（2020·重慶市廣益中學(xué)校高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)滿足，則拋物線的方程為__________.【答案】【解析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作直線于點(diǎn)，交軸于由拋物線的定義可得：，結(jié)合可知：，即，據(jù)此可知拋物線的方程為：.8.若拋物線y2=2x上有兩點(diǎn)A,B,且AB垂直于x軸,若|AB|=22,則點(diǎn)A到拋物線的準(zhǔn)線的距離為_________.【答案】3【解析】由拋物線y2=2x,其準(zhǔn)線方程為x=-12,∵AB垂直于x軸,|AB|=22,A到y(tǒng)軸的距離為2,假設(shè)A在y軸上側(cè),即y=2,代入拋物線y2=2x,求得x=1,點(diǎn)A到拋物線的準(zhǔn)線的距離d=1+129．（2020·青海高二期末）已知點(diǎn)(x,y)在拋物線y2=4x上,則z=x2+12y2+3的最小值是【答案】3【解析】因?yàn)辄c(diǎn)(x,y)在拋物線y2=4x上,所以x≥0,因?yàn)閦=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以當(dāng)x=0時(shí),z最小,其值為310.拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線x23-y23=1相交于A,B兩點(diǎn),若【答案】6【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F0,p2,準(zhǔn)線方程為y=-p2.將y=-p2代入x23-y23=1得|x|=3+p24三、解答題11.（2020·全國高二課時(shí)練）設(shè)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn).（1）若點(diǎn)P到直線的距離為，求的最小值；（2）若，求的最小值.【解析】（1）依題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.由已知及拋物線的定義，可知，于是問題轉(zhuǎn)化為求的最小值.由平面幾何知識知，當(dāng)F，P，A三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為，即的最小值為.（2）把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入中，得，因?yàn)椋渣c(diǎn)B在拋物線的內(nèi)部.過B作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)（如圖所示）.由拋物線的定義，可知，則，所以的最小值為4.12.（2020·重慶八中高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，平面上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于兩個(gè)不同點(diǎn)、.若點(diǎn)，且，求直線的方程.【解析】（1）依據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)到的距離等于到直線的距離，由拋物線定義知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的