人教A版高中數(shù)學(xué)（選擇性必修三）同步講義第13講 7.4.1 二項(xiàng)分布 （教師版）

第06講7.4.1二項(xiàng)分布課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解相互獨(dú)立事件的概念，理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念，理解二項(xiàng)分布的概率模型。②理解相互獨(dú)立事件的概率模型.伯努利試驗(yàn)的特點(diǎn)。③掌握二項(xiàng)分布的特點(diǎn)，會(huì)求二項(xiàng)分布列，期望與方差。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)求二項(xiàng)分布列及應(yīng)用分布列公式的特點(diǎn)求解相關(guān)量及參數(shù)，會(huì)求二項(xiàng)分布列的期望與方差知識(shí)點(diǎn)1：SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)(SKIPIF1<0次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))（1）SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)的定義①我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).②將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行SKIPIF1<0次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn).（2）SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)的特征①每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行的，有關(guān)事件的概率保持不變；②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，結(jié)果互不影響；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，這兩種結(jié)果是對(duì)立的（3）SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)的概率公式一般地，如果在一次試驗(yàn)中事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率是SKIPIF1<0,事件SKIPIF1<0在SKIPIF1<0次試驗(yàn)中發(fā)生SKIPIF1<0次，共有SKIPIF1<0種情形，由試驗(yàn)的獨(dú)立性知，每種情形下，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0次試驗(yàn)中發(fā)生，而在其余SKIPIF1<0次試驗(yàn)中不發(fā)生的概率都是SKIPIF1<0,所以由概率加法公式知，在SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)中，事件SKIPIF1<0恰好發(fā)生次的概率為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0).知識(shí)點(diǎn)2：二項(xiàng)分布（1）二項(xiàng)分布一般地，在SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，用SKIPIF1<0表示事件SKIPIF1<0發(fā)生的次數(shù)，則SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.如果隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從二項(xiàng)分布，記作SKIPIF1<0．【即學(xué)即練1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案：應(yīng)聘者從SKIPIF1<0道備選題中一次性隨機(jī)抽取SKIPIF1<0道題，按照題目要求獨(dú)立完成．規(guī)定：至少正確完成其中SKIPIF1<0道題便可通過．已知SKIPIF1<0道備選題中應(yīng)聘者甲有SKIPIF1<0道題能正確完成，SKIPIF1<0道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是SKIPIF1<0，且每題正確完成與否互不影響．(1)求甲恰好正確完成兩個(gè)面試題的概率；(2)求乙正確完成面試題數(shù)SKIPIF1<0的分布列及其期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0【詳解】（1）解：由題意得：設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0；（2）設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取值范圍是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．應(yīng)聘者乙正確完成題數(shù)SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）明確二項(xiàng)分布中的各量表示的意義SKIPIF1<0：伯努利試驗(yàn)的次數(shù)SKIPIF1<0：事件SKIPIF1<0發(fā)生的次數(shù)SKIPIF1<0：每次試驗(yàn)中事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率分布列：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0結(jié)論：隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從參數(shù)為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的二項(xiàng)分布記法：記作SKIPIF1<0,并稱SKIPIF1<0為成功概率（3）二項(xiàng)分布的均值與方差若隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從參數(shù)為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的二項(xiàng)分布，即SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【即學(xué)即練2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由二項(xiàng)分布的期望、方差公式可得：SKIPIF1<0.題型01SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)的判斷【典例1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤（正確的寫正確，錯(cuò)誤的打?qū)戝e(cuò)誤）（1）有放回地抽樣試驗(yàn)是SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)．()（2）在SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒有影響．()（3）在SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率可以不同．()（4）如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是SKIPIF1<0，那么在SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率SKIPIF1<0.()【答案】正確正確錯(cuò)誤正確【詳解】（1）中，在有放回地抽樣試驗(yàn)中，其中每次抽取之間是相互獨(dú)立的，所以是SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)，所以（1）正確；（2）中，在SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)中，每次的試驗(yàn)結(jié)果之間世相互獨(dú)立的，所以各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒有影響，所以（2）正確；（3）中，在SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率是相同的，所以（3）錯(cuò)誤；（4）如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，可得在SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率SKIPIF1<0，所以（4）正確.故答案為：（1）正確；（2）正確；（3）錯(cuò)誤；（4）正確.【典例2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)應(yīng)滿足的條件：①各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果；③各次試驗(yàn)成功的概率是相同的；④每次試驗(yàn)發(fā)生的事件是互斥的．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】C【詳解】解：只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行SKIPIF1<0次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)，故SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)應(yīng)滿足的條件：①各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果；③各次試驗(yàn)成功的概率是相同的；故選：C【典例3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）以下真命題共有個(gè)．①在n重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒有影響；②在n重伯努利試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率可以不同；③如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率SKIPIF1<0．【答案】2【詳解】①，n重伯努利試驗(yàn)是相互獨(dú)立試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒有影響，①是真命題.②，n重伯努利試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，各次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率相同，②是假命題.③，結(jié)合二項(xiàng)分布的知識(shí)可知，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率為SKIPIF1<0，所以③是真命題.綜上所述，真命題共有SKIPIF1<0個(gè).故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤（1）在伯努利試驗(yàn)中，關(guān)注的是事件A是否發(fā)生，而在n重伯努利試驗(yàn)中，關(guān)注的是事件A發(fā)生的次數(shù)．()（2）n重伯努利試驗(yàn)中每次試驗(yàn)只有發(fā)生與不發(fā)生兩種結(jié)果．()（3）將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，則正面向上的次數(shù)的方差等于SKIPIF1<0．()【答案】正確正確錯(cuò)誤【詳解】（1）在伯努利試驗(yàn)中，關(guān)注的是事件A是否發(fā)生，而在n重伯努利試驗(yàn)中，關(guān)注的是事件A發(fā)生的次數(shù)．故正確；（2）n重伯努利試驗(yàn)中每次試驗(yàn)只有發(fā)生與不發(fā)生兩種結(jié)果．故正確；（3）將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，則正面向上的次數(shù)的方差等于SKIPIF1<0．故錯(cuò)誤.【變式2】（多選）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）下列試驗(yàn)不是SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)的是（

）．A．依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣B．某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了SKIPIF1<0次C．口袋中裝有SKIPIF1<0個(gè)白球，SKIPIF1<0個(gè)紅球，SKIPIF1<0個(gè)黑球，依次從中抽取SKIPIF1<0個(gè)球D．小明做SKIPIF1<0道難度不同的數(shù)學(xué)單選題【答案】ACD【詳解】A．由于試驗(yàn)的條件不同（硬幣質(zhì)地不同），因此不是SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)．B．某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，因此是SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)．C．每次抽取，每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，因此不是SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)．D．SKIPIF1<0道題難度不同，每道題做對(duì)的概率也不同，因此不是SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)．故選：ACD．【變式3】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列試驗(yàn)是不是n重伯努利試驗(yàn)：(1)依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣，3次正面向上；(2)某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次，其中6次擊中；(3)口袋中裝有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，依次從中抽取5個(gè)球，恰好抽出4個(gè)白球．【答案】(1)不是n重伯努利試驗(yàn)(2)是n重伯努利試驗(yàn)(3)不是n重伯努利試驗(yàn)【詳解】（1）由題意，∵試驗(yàn)的條件不同(質(zhì)地不同)，∴不是n重伯努利試驗(yàn)（2）由題意，∵某人射擊且擊中的概率是穩(wěn)定的，∴是n重伯努利試驗(yàn)．（3）由題意，∵每次抽取，試驗(yàn)的結(jié)果有三種不同的顏色，且每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，∴不是n重伯努利試驗(yàn)．題型02SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)的概率問題【典例1】（2023下·福建南平·高二統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次成功的概率為SKIPIF1<0，則失敗的概率為SKIPIF1<0，將試驗(yàn)進(jìn)行到恰好出現(xiàn)SKIPIF1<0次成功時(shí)結(jié)束試驗(yàn)，用隨機(jī)變量SKIPIF1<0表示試驗(yàn)次數(shù)，則稱SKIPIF1<0服從以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為參數(shù)的帕斯卡分布，記為SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：C【典例2】（2022上·吉林長春·高二東北師大附中校考期末）某n重伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p，事件A發(fā)生的次數(shù)記為X，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0/0.2【詳解】依題意得X服從二項(xiàng)分布，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【典例3】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）將3個(gè)不同的小球隨機(jī)投入編號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)盒子中（每個(gè)盒子容納的小球的個(gè)數(shù)不限），則1號(hào)盒子中有2個(gè)小球的概率為，2號(hào)盒子中小球的個(gè)數(shù)SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望為.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】由于每個(gè)小球投入每個(gè)盒子是可能的，故每個(gè)小球放入1號(hào)盒子的概率為SKIPIF1<0，不放入1號(hào)盒子的概率為SKIPIF1<0，故1號(hào)盒子中有2個(gè)小球個(gè)概率SKIPIF1<0，同理，每個(gè)小球放入2號(hào)盒子的概率為SKIPIF1<0，不放入2號(hào)盒子的概率為SKIPIF1<0，將3個(gè)小球投放到4個(gè)盒子中，則2號(hào)盒子中小球的個(gè)數(shù)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【變式1】（2021·高二課時(shí)練習(xí)）若某一試驗(yàn)中事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率為SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)中，SKIPIF1<0發(fā)生SKIPIF1<0次的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0重伯努利試驗(yàn)中，事件SKIPIF1<0發(fā)生SKIPIF1<0次的概率為SKIPIF1<0．故選：D．【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）一次擲兩枚骰子，若兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4或5或6，則稱這是一次成功試驗(yàn)．現(xiàn)進(jìn)行四次試驗(yàn)，則恰出現(xiàn)一次成功試驗(yàn)的概率為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】一次擲兩枚骰子，兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4的情況有3種，兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為5的情況有4種，兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為6的情況有5種，在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)成功試驗(yàn)的概率SKIPIF1<0，設(shè)出現(xiàn)成功試驗(yàn)的次數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以重復(fù)做這樣的試驗(yàn)4次，則恰出現(xiàn)一次成功試驗(yàn)的概率為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【變式3】（2023下·廣東潮州·高二統(tǒng)考期末）在3重伯努利試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少出現(xiàn)1次的概率為SKIPIF1<0，則事件A在1次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】記“A至少發(fā)生1次”為事件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0表示其對(duì)立事件“A發(fā)生0次”，事件A的發(fā)生符合二項(xiàng)分布，設(shè)事件A在1次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，

故答案為：SKIPIF1<0．題型03二項(xiàng)分布及其應(yīng)用【典例1】（2024上·廣東廣州·高二華南師大附中?？计谀榱隧憫?yīng)教育部門疫情期間“停課不停學(xué)”的號(hào)召，某校實(shí)施網(wǎng)絡(luò)授課，為了檢驗(yàn)學(xué)生上網(wǎng)課的效果，在高三年級(jí)進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試，從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示），其中數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖求學(xué)生成績?cè)趨^(qū)間[110，120）的頻率，并求抽取的這100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)(2)若將頻率視為概率，從全校高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取3個(gè)人，記抽取的3人成績?cè)赱100，130）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列.【答案】(1)頻率為SKIPIF1<0；中位數(shù)為SKIPIF1<0(2)分布列見解析【詳解】（1）由直方圖可知，數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的頻率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的頻率為SKIPIF1<0，因?yàn)閿?shù)學(xué)成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1，所以數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[110，120）的頻率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[70，100）的頻率為SKIPIF1<0，所以中位數(shù)落在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以抽取的這100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為SKIPIF1<0.（2）由（1）知，數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[100，130）內(nèi)的頻率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典例2】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）某電商車間生產(chǎn)了一批電子元件，為了檢測(cè)元件是否合格，質(zhì)檢員設(shè)計(jì)了如圖，甲所示的電路.于是他在一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了電子元件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，安裝在如圖甲所示的電路中，已知元件SKIPIF1<0的合格率都為SKIPIF1<0，元件SKIPIF1<0的合格率都為SKIPIF1<0.

(1)質(zhì)檢員在某次檢測(cè)中，發(fā)現(xiàn)小燈泡亮了，他認(rèn)為這三個(gè)電子元件都是合格的，求該質(zhì)檢員犯錯(cuò)誤的概率；(2)經(jīng)反復(fù)測(cè)驗(yàn)，質(zhì)檢員把一些電子元件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0接入了圖乙的電路中，記該電路中小燈泡亮的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析【詳解】（1）當(dāng)小燈泡亮的時(shí)候，后一個(gè)元件SKIPIF1<0是合格的，前面的AB至少有一個(gè)是合格的，概率SKIPIF1<0，小燈泡亮了，并且質(zhì)檢員犯錯(cuò)誤的情況，對(duì)于前面的元件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分為兩大類：第一類：元件SKIPIF1<0合格，元件SKIPIF1<0不合格，故SKIPIF1<0，第二類：元件SKIPIF1<0合格，元件SKIPIF1<0不合格，故SKIPIF1<0，所以在發(fā)現(xiàn)小燈泡亮了的前提下，該質(zhì)檢員犯錯(cuò)誤的概率為：SKIPIF1<0.（2）在圖甲中，記小燈泡亮的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0服從二項(xiàng)分布：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0的分布列為：0123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在一個(gè)系統(tǒng)中，每一個(gè)設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度，為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”（即正在使用的設(shè)備出故障時(shí)才啟動(dòng)的設(shè)備）．已知某計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”（即一臺(tái)正常設(shè)備，兩臺(tái)備用設(shè)備）的配置，這三臺(tái)設(shè)備中，只要有一臺(tái)能正常工作，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會(huì)斷掉．系統(tǒng)就能正常工作．設(shè)三臺(tái)設(shè)備的可靠度均為SKIPIF1<0，它們之間相互不影響．(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，求SKIPIF1<0的最小值；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求能使系統(tǒng)正常工作的設(shè)備數(shù)SKIPIF1<0的分布列；(3)已知某高科技產(chǎn)業(yè)園當(dāng)前的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中每臺(tái)設(shè)備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉可給該產(chǎn)業(yè)園帶來約50萬的經(jīng)濟(jì)損失．為減少對(duì)該產(chǎn)業(yè)園帶來的經(jīng)濟(jì)損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺(tái)設(shè)備的可靠度維持在0.8，更換設(shè)備硬件總費(fèi)用為0.8萬元；方案2：花費(fèi)0.5萬元增加一臺(tái)可靠度是0.7的備用設(shè)備，達(dá)到“一用三備”．請(qǐng)從經(jīng)濟(jì)損失期望最小的角度判斷決策部門該如何決策？并說明理由．【答案】(1)0.8(2)答案見解析(3)決策部門應(yīng)選擇方案2，理由見解析【詳解】（1）要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，設(shè)能正常工作的設(shè)備數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值為0.8．（2）設(shè)SKIPIF1<0為正常工作的設(shè)備數(shù)，由題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<00123SKIPIF1<00.0270.1890.4410.343（3）設(shè)方案1?方案2的總損失分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，采用方案1，更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺(tái)設(shè)備的可靠度維持在0.8，可知計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0萬元．采用方案2，花費(fèi)0.5萬元增加一臺(tái)可靠度是0.7的備用設(shè)備，達(dá)到“一用三備”，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0萬元．因此，從經(jīng)濟(jì)損失期望最小的角度，決策部門應(yīng)選擇方案2．【變式1】（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期末）有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因?yàn)槭怯蟹呕氐厝‘a(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為SKIPIF1<0．從中取3次，SKIPIF1<0為取得次品的次數(shù)，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,選擇D答案．【變式2】（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知某地中學(xué)生的男生和女生的人數(shù)比例是SKIPIF1<0，為了解該地中學(xué)生對(duì)羽毛球和乒乓球的喜歡情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取部分中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，了解到該地中學(xué)生喜歡羽毛球和乒乓球的概率如下表：男生女生只喜歡羽毛球0.30.3只喜歡乒乓球0.250.2既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球0.30.15(1)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，已知抽取的這名中學(xué)生喜歡羽毛球，求該中學(xué)生也喜歡乒乓球的概率；(2)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，記抽取到的中學(xué)生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和期望.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)分布列見解析，24.【詳解】（1）記事件SKIPIF1<0表示從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生喜歡羽毛球，事件SKIPIF1<0表示從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生喜歡乒乓球，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以所求的概率SKIPIF1<0.（2）由（1）知從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的概率SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0，期望為SKIPIF1<0.【變式3】（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考期末）甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每次比賽中，甲?乙各射擊一次，甲?乙每次至少射中8環(huán).根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料可知，甲擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為SKIPIF1<0，乙擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為SKIPIF1<0，且甲?乙兩人射擊相互獨(dú)立.(1)在一場(chǎng)比賽中，求乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)的概率；(2)若獨(dú)立進(jìn)行三場(chǎng)比賽，其中X場(chǎng)比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)0.2(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為0.6【詳解】（1）設(shè)乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)為事件SKIPIF1<0，則事件SKIPIF1<0包括：甲擊中9環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中9環(huán)，則SKIPIF1<0.（2）由題可知SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0，由（1）可知，在一場(chǎng)比賽中，甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的概率為0.2，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00123SKIPIF1<00.5120.3840.0960.008所以SKIPIF1<0.題型04二項(xiàng)分布的均值與方差【典例1】（2024上·湖北十堰·高三統(tǒng)考期末）某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取SKIPIF1<0份作為樣本，將SKIPIF1<0個(gè)樣本數(shù)據(jù)按SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分成SKIPIF1<0組，并整理得到如下頻率分布直方圖.(1)請(qǐng)通過頻率分布直方圖估計(jì)這SKIPIF1<0份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.(2)以樣本頻率估計(jì)概率，若競(jìng)賽成績不低于SKIPIF1<0分，則被認(rèn)定為成績合格，低于SKIPIF1<0分說明成績不合格.從參加知識(shí)競(jìng)賽的市民中隨機(jī)抽取SKIPIF1<0人，用SKIPIF1<0表示成績合格的人數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖可知，SKIPIF1<0份樣本數(shù)據(jù)的平均值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）解：競(jìng)賽成績不低于SKIPIF1<0分的頻率為SKIPIF1<0，低于SKIPIF1<0分的頻率為SKIPIF1<0.由題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0期望SKIPIF1<0.【典例2】（2024上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三統(tǒng)考期末）為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；(1)求SKIPIF1<0的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率；(2)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出SKIPIF1<0件，記這SKIPIF1<0件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)SKIPIF1<0，優(yōu)質(zhì)率為25%(2)分布列見解析，1【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)超過130的頻率為SKIPIF1<0，所以這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率為SKIPIF1<0；（2）因?yàn)槌榈疆a(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的頻率為0.25，以頻率作為概率，所以每件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為SKIPIF1<0，所以4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<001234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【典例3】（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立SKIPIF1<0周年，某市開展了黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，競(jìng)賽結(jié)束后，為了解本次競(jìng)賽的成績情況，從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了SKIPIF1<0名學(xué)生的競(jìng)賽成績作為樣本，數(shù)據(jù)整理后，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示．成績區(qū)間SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0頻數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0假設(shè)用樣本頻率估計(jì)總體概率，且每個(gè)學(xué)生的競(jìng)賽成績相互獨(dú)立．(1)為了激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)黨史的熱情，決定對(duì)競(jìng)賽成績優(yōu)異的學(xué)生進(jìn)行表彰，如果獲得表彰的學(xué)生占樣本總?cè)藬?shù)的SKIPIF1<0，試估計(jì)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線；(2)該市決定從全市成績不低于SKIPIF1<0分的學(xué)生中隨機(jī)抽取SKIPIF1<0人參加省級(jí)黨史知識(shí)競(jìng)賽，成績?cè)赟KIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0【詳解】（1）解：由表格知，成績?cè)赟KIPIF1<0的頻率為SKIPIF1<0，成績?cè)赟KIPIF1<0的頻率為SKIPIF1<0，成績?cè)赟KIPIF1<0的頻率為SKIPIF1<0，設(shè)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．（2）解：從全市成績不低于SKIPIF1<0分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人參加省級(jí)黨史知識(shí)競(jìng)賽，成績?cè)赟KIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0，由題意知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．【變式1】（2024上·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某大型企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品細(xì)分為10個(gè)等級(jí)，為了解這批產(chǎn)品的等級(jí)分布情況，從流水線上隨機(jī)抽取了1000件進(jìn)行檢測(cè)、分類和統(tǒng)計(jì)，并依據(jù)以下規(guī)則對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行評(píng)分：檢測(cè)到1級(jí)到3級(jí)的評(píng)為優(yōu)秀，檢測(cè)到4級(jí)到6級(jí)的評(píng)為良好，檢測(cè)到7級(jí)到9級(jí)的評(píng)為合格，檢測(cè)到10級(jí)的評(píng)為不合格.以下把頻率視為概率，現(xiàn)有如下檢測(cè)統(tǒng)計(jì)表：等級(jí)12345678910頻數(shù)10901001501502001001005050(1)從這1000件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，請(qǐng)估計(jì)這件產(chǎn)品評(píng)分為良好或優(yōu)秀的概率；(2)從該企業(yè)的流水線上隨機(jī)抽取4件產(chǎn)品，設(shè)這一件產(chǎn)品中評(píng)分為優(yōu)秀的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列、期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，期望SKIPIF1<0.【詳解】（1）記事件A：產(chǎn)品的評(píng)分為優(yōu)秀，事件B：產(chǎn)品的評(píng)分為良好根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，可以用樣本來估計(jì)總體，由統(tǒng)計(jì)表得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)锳，B互斥，所以可以估計(jì)這件產(chǎn)品評(píng)分為良好或優(yōu)秀的概率為SKIPIF1<0.（2）由（1）知，評(píng)分為優(yōu)秀的概率為SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的可能值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的分布列為X01234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【變式2】（2024·河南鄭州·統(tǒng)考一模）某自行車廠為了解決復(fù)合材料制成的自行車車架應(yīng)力不斷變化問題，在不同條件下研究結(jié)構(gòu)纖維按不同方向及角度黏合強(qiáng)度，在兩條生產(chǎn)線上同時(shí)進(jìn)行工藝比較實(shí)驗(yàn)，為了比較某項(xiàng)指標(biāo)SKIPIF1<0的對(duì)比情況，隨機(jī)地抽取了部分甲生產(chǎn)線上產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)的SKIPIF1<0值，并計(jì)算得到其平均數(shù)SKIPIF1<0，中位數(shù)SKIPIF1<0，隨機(jī)地抽得乙生產(chǎn)線上100件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)的SKIPIF1<0值，并繪制成如下的頻率分布直方圖．(1)求乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)SKIPIF1<0值的平均數(shù)SKIPIF1<0與中位數(shù)SKIPIF1<0（每組值用中間值代替，結(jié)果精確到0.01），并判斷乙生產(chǎn)線較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)SKIPIF1<0值是否更好（如果SKIPIF1<0，則認(rèn)為乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)SKIPIF1<0值較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)SKIPIF1<0值更好，否則不認(rèn)為更好）．(2)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從乙生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取5件產(chǎn)品，抽出指標(biāo)SKIPIF1<0值不小于70的產(chǎn)品個(gè)數(shù)用SKIPIF1<0表示，求SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望與方差．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，乙生產(chǎn)線較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)SKIPIF1<0值更好(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以中位數(shù)在區(qū)間SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即中位數(shù)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以乙生產(chǎn)線較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)SKIPIF1<0值更好；（2）指標(biāo)SKIPIF1<0值不小于70的概率為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式3】6（2024·全國·高二假期作業(yè)）為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.

(1)求SKIPIF1<0的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率：（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；(2)若按照分層的方法從質(zhì)量指標(biāo)值在SKIPIF1<0的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取SKIPIF1<0件，再從這SKIPIF1<0件中隨機(jī)抽取SKIPIF1<0件，求至少有一件的指標(biāo)值在SKIPIF1<0的概率；(3)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出SKIPIF1<0件，記這SKIPIF1<0件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)SKIPIF1<0，優(yōu)質(zhì)率為25%(2)SKIPIF1<0(3)分布列見解析，SKIPIF1<0【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)超過130的頻率為SKIPIF1<0，所以這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率為25%.（2）因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的頻率分別為0.4和0.3.所以質(zhì)量指標(biāo)在SKIPIF1<0產(chǎn)品中抽取7件，則質(zhì)量指標(biāo)在SKIPIF1<0有SKIPIF1<0件，質(zhì)量指標(biāo)在SKIPIF1<0有SKIPIF1<0件.所以從這7件中任取2件，至少有一件質(zhì)量指標(biāo)在SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0.（3）因?yàn)槌榈疆a(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的頻率為0.25，以頻率作為概率，所以每件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為SKIPIF1<0.所以4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<001234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.題型05服從二項(xiàng)分布的概率最值問題【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量SKIPIF1<0，若對(duì)SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【典例2】（2024上·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一種趣味答題比賽，其比賽規(guī)則如下：①每位參賽者最多參加5輪比賽；②每一輪比賽中，參賽選手從10道題中隨機(jī)抽取4道回答，每答對(duì)一道題積2分，答錯(cuò)或放棄均積0分；③每一輪比賽中，獲得積分至少6分的選手將獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章一枚；④結(jié)束所有輪比賽后，參賽選手還可以憑總積分獲得相對(duì)應(yīng)的禮品．據(jù)主辦方透露：這10道題中有7道題是大家都會(huì)做的，有3道題是大家都不會(huì)做的．(1)求某參賽選手在一輪比賽中所獲得積分X的分布列和期望；(2)若參賽選手每輪獲得勛章的概率穩(wěn)定且每輪是否獲得勛章相互獨(dú)立．問：某參賽選手在5輪參賽中，獲得多少枚“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率最大？【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0(2)獲得3枚或4枚“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率最大.【詳解】（1）由題知：SKIPIF1<0可取2，4，6，8，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<02468SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的期望SKIPIF1<0.（2）解法一：由（1）知參賽選手在一輪比賽中獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率為SKIPIF1<0，則某參賽選手在5輪挑戰(zhàn)比賽中，記獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的枚數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0假設(shè)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，概率最大，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0.故某參賽選手在5輪挑戰(zhàn)比賽中，獲得3枚或4枚“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率最大．解法二：由（1）知參賽選手在一輪獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率為SKIPIF1<0，則某參賽選手在5輪挑戰(zhàn)比賽中，獲得“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的枚數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以Y的分布列為：SKIPIF1<0012345SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0從分布列中可以看出，概率最大為SKIPIF1<0，所以參賽選手在5輪挑戰(zhàn)比賽中，獲得3枚或4枚“挑戰(zhàn)達(dá)人”勛章的概率最大．【典例3】（2024·全國·高二假期作業(yè)）某學(xué)校為了提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉行了“趣味數(shù)學(xué)”闖關(guān)比賽，每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答，每答對(duì)一道題積1分.已知小明同學(xué)能答對(duì)10道題中的6道題.(1)求小明同學(xué)在一輪比賽中所得積分SKIPIF1<0的分布列和期望；(2)規(guī)定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，若參賽者每輪闖關(guān)成功的概率穩(wěn)定且每輪是否闖關(guān)成功相互獨(dú)立，問：小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，需幾次闖關(guān)成功才能使得對(duì)應(yīng)概率取值最大？【答案】(1)分布列見解析，SKIPIF1<0(2)3次或4次【詳解】（1）由題知：SKIPIF1<0可取0，1，2，3，則:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的期望為：SKIPIF1<0.（2）方法1、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，記概率為SKIPIF1<0若小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，記闖關(guān)成功的次數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0012345SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，需3次或4次闖關(guān)成功才能使得對(duì)應(yīng)概率取值最大.方法2、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，記概率為SKIPIF1<0若小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，記闖關(guān)成功的次數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0故SKIPIF1<0∴假設(shè)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，對(duì)應(yīng)概率取值最大，則SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0故小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，需3次或4次闖關(guān)成功才能使得對(duì)應(yīng)概率取值最大.【變式1】（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）聊天機(jī)器人（chatterbot）是一個(gè)經(jīng)由對(duì)話或文字進(jìn)行交談的計(jì)算機(jī)程序.當(dāng)一個(gè)問題輸入給聊天機(jī)器人時(shí)，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答.在對(duì)某款聊天機(jī)器人進(jìn)行測(cè)試時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為30%.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為10%.(1)求一個(gè)問題的應(yīng)答被采納的概率；(2)在某次測(cè)試中，輸入了8個(gè)問題，每個(gè)問題的應(yīng)答是否被采納相互獨(dú)立，記這些應(yīng)答被采納的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的概率為SKIPIF1<0，求當(dāng)SKIPIF1<0最大時(shí)SKIPIF1<0的值.【答案】(1)0.75(2)6【詳解】（1）記“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”為事件SKIPIF1<0，“一次應(yīng)答被采納”為事件SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）依題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0最大時(shí)，有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0最大時(shí)，SKIPIF1<0.【變式2】（2024上·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）某區(qū)域中的物種C有A種和B種兩個(gè)亞種．為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個(gè)亞種的數(shù)目比例（A種數(shù)目比B種數(shù)目少），某生物研究小組設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)方案：①在該區(qū)域中有放回的捕捉50個(gè)物種C，統(tǒng)計(jì)其中A種數(shù)目，以此作為一次試驗(yàn)的結(jié)果；②重復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)n次（其中SKIPIF1<0），記第i次試驗(yàn)中的A種數(shù)目為隨機(jī)變量SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）；③記隨機(jī)變量SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0的期望SKIPIF1<0和方差SKIPIF1<0進(jìn)行估算．設(shè)該區(qū)域中A種數(shù)目為M，B種數(shù)目為N，每一次試驗(yàn)都相互獨(dú)立．(1)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)該小組完成所有試驗(yàn)后，得到SKIPIF1<0的實(shí)際取值分別為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），并計(jì)算了數(shù)據(jù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的平均值SKIPIF1<0和方差SKIPIF1<0，然后部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，僅剩方差的數(shù)據(jù)SKIPIF1<0．（?。┱?qǐng)用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別代替SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，估算SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（ⅱ）在（?。┑臈l件下，求SKIPIF1<0的分布列中概率值最大的隨機(jī)事件SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的取值．【答案】(1)證明見解析(2)（ⅰ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（ⅱ）15【詳解】（1）由題可知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，…，n）均近似服從完全相同的二項(xiàng)分布，