人教A版高中數(shù)學(xué)（選擇性必修三）同步講義第13講 7.4.1 二項分布 （教師版）

第06講7.4.1二項分布課程標(biāo)準學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解相互獨立事件的概念，理解獨立重復(fù)試驗的概念，理解二項分布的概率模型。②理解相互獨立事件的概率模型.伯努利試驗的特點。③掌握二項分布的特點，會求二項分布列，期望與方差。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會求二項分布列及應(yīng)用分布列公式的特點求解相關(guān)量及參數(shù)，會求二項分布列的期望與方差知識點1：SKIPIF1<0重伯努利試驗(SKIPIF1<0次獨立重復(fù)試驗)（1）SKIPIF1<0重伯努利試驗的定義①我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.②將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行SKIPIF1<0次所組成的隨機試驗稱為SKIPIF1<0重伯努利試驗.（2）SKIPIF1<0重伯努利試驗的特征①每次試驗是在同樣條件下進行的，有關(guān)事件的概率保持不變；②各次試驗中的事件是相互獨立的，結(jié)果互不影響；③每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，這兩種結(jié)果是對立的（3）SKIPIF1<0重伯努利試驗的概率公式一般地，如果在一次試驗中事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率是SKIPIF1<0,事件SKIPIF1<0在SKIPIF1<0次試驗中發(fā)生SKIPIF1<0次，共有SKIPIF1<0種情形，由試驗的獨立性知，每種情形下，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0次試驗中發(fā)生，而在其余SKIPIF1<0次試驗中不發(fā)生的概率都是SKIPIF1<0,所以由概率加法公式知，在SKIPIF1<0重伯努利試驗中，事件SKIPIF1<0恰好發(fā)生次的概率為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0).知識點2：二項分布（1）二項分布一般地，在SKIPIF1<0重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，用SKIPIF1<0表示事件SKIPIF1<0發(fā)生的次數(shù)，則SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.如果隨機變量SKIPIF1<0的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量SKIPIF1<0服從二項分布，記作SKIPIF1<0．【即學(xué)即練1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）某公司為招聘新員工設(shè)計了一個面試方案：應(yīng)聘者從SKIPIF1<0道備選題中一次性隨機抽取SKIPIF1<0道題，按照題目要求獨立完成．規(guī)定：至少正確完成其中SKIPIF1<0道題便可通過．已知SKIPIF1<0道備選題中應(yīng)聘者甲有SKIPIF1<0道題能正確完成，SKIPIF1<0道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是SKIPIF1<0，且每題正確完成與否互不影響．(1)求甲恰好正確完成兩個面試題的概率；(2)求乙正確完成面試題數(shù)SKIPIF1<0的分布列及其期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0【詳解】（1）解：由題意得：設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0；（2）設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取值范圍是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．應(yīng)聘者乙正確完成題數(shù)SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）明確二項分布中的各量表示的意義SKIPIF1<0：伯努利試驗的次數(shù)SKIPIF1<0：事件SKIPIF1<0發(fā)生的次數(shù)SKIPIF1<0：每次試驗中事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率分布列：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0結(jié)論：隨機變量SKIPIF1<0服從參數(shù)為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的二項分布記法：記作SKIPIF1<0,并稱SKIPIF1<0為成功概率（3）二項分布的均值與方差若隨機變量SKIPIF1<0服從參數(shù)為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的二項分布，即SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【即學(xué)即練2】（2023上·高二課時練習(xí)）已知隨機變量X服從二項分布SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由二項分布的期望、方差公式可得：SKIPIF1<0.題型01SKIPIF1<0重伯努利試驗的判斷【典例1】（2023上·高二課時練習(xí)）判斷正誤（正確的寫正確，錯誤的打?qū)戝e誤）（1）有放回地抽樣試驗是SKIPIF1<0重伯努利試驗．()（2）在SKIPIF1<0重伯努利試驗中，各次試驗的結(jié)果相互沒有影響．()（3）在SKIPIF1<0重伯努利試驗中，各次試驗中事件發(fā)生的概率可以不同．()（4）如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是SKIPIF1<0，那么在SKIPIF1<0重伯努利試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率SKIPIF1<0.()【答案】正確正確錯誤正確【詳解】（1）中，在有放回地抽樣試驗中，其中每次抽取之間是相互獨立的，所以是SKIPIF1<0重伯努利試驗，所以（1）正確；（2）中，在SKIPIF1<0重伯努利試驗中，每次的試驗結(jié)果之間世相互獨立的，所以各次試驗的結(jié)果相互沒有影響，所以（2）正確；（3）中，在SKIPIF1<0重伯努利試驗中，各次試驗中事件發(fā)生的概率是相同的，所以（3）錯誤；（4）如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式，可得在SKIPIF1<0重伯努利試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率SKIPIF1<0，所以（4）正確.故答案為：（1）正確；（2）正確；（3）錯誤；（4）正確.【典例2】（2022·高二課時練習(xí)）SKIPIF1<0重伯努利試驗應(yīng)滿足的條件：①各次試驗之間是相互獨立的；②每次試驗只有兩種結(jié)果；③各次試驗成功的概率是相同的；④每次試驗發(fā)生的事件是互斥的．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】C【詳解】解：只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行SKIPIF1<0次所組成的隨機試驗稱為SKIPIF1<0重伯努利試驗，故SKIPIF1<0重伯努利試驗應(yīng)滿足的條件：①各次試驗之間是相互獨立的；②每次試驗只有兩種結(jié)果；③各次試驗成功的概率是相同的；故選：C【典例3】（2022·高二課時練習(xí)）以下真命題共有個．①在n重伯努利試驗中，各次試驗的結(jié)果相互沒有影響；②在n重伯努利試驗中，各次試驗中某事件發(fā)生的概率可以不同；③如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率SKIPIF1<0．【答案】2【詳解】①，n重伯努利試驗是相互獨立試驗，各次試驗的結(jié)果相互沒有影響，①是真命題.②，n重伯努利試驗是獨立重復(fù)試驗，各次試驗中某事件發(fā)生的概率相同，②是假命題.③，結(jié)合二項分布的知識可知，在n次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率為SKIPIF1<0，所以③是真命題.綜上所述，真命題共有SKIPIF1<0個.故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2022·高二課時練習(xí)）判斷正誤（1）在伯努利試驗中，關(guān)注的是事件A是否發(fā)生，而在n重伯努利試驗中，關(guān)注的是事件A發(fā)生的次數(shù)．()（2）n重伯努利試驗中每次試驗只有發(fā)生與不發(fā)生兩種結(jié)果．()（3）將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，則正面向上的次數(shù)的方差等于SKIPIF1<0．()【答案】正確正確錯誤【詳解】（1）在伯努利試驗中，關(guān)注的是事件A是否發(fā)生，而在n重伯努利試驗中，關(guān)注的是事件A發(fā)生的次數(shù)．故正確；（2）n重伯努利試驗中每次試驗只有發(fā)生與不發(fā)生兩種結(jié)果．故正確；（3）將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，則正面向上的次數(shù)的方差等于SKIPIF1<0．故錯誤.【變式2】（多選）（2022·高二課時練習(xí)）（多選）下列試驗不是SKIPIF1<0重伯努利試驗的是（

）．A．依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣B．某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了SKIPIF1<0次C．口袋中裝有SKIPIF1<0個白球，SKIPIF1<0個紅球，SKIPIF1<0個黑球，依次從中抽取SKIPIF1<0個球D．小明做SKIPIF1<0道難度不同的數(shù)學(xué)單選題【答案】ACD【詳解】A．由于試驗的條件不同（硬幣質(zhì)地不同），因此不是SKIPIF1<0重伯努利試驗．B．某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，因此是SKIPIF1<0重伯努利試驗．C．每次抽取，每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，因此不是SKIPIF1<0重伯努利試驗．D．SKIPIF1<0道題難度不同，每道題做對的概率也不同，因此不是SKIPIF1<0重伯努利試驗．故選：ACD．【變式3】（2023下·高二課時練習(xí)）判斷下列試驗是不是n重伯努利試驗：(1)依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣，3次正面向上；(2)某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次，其中6次擊中；(3)口袋中裝有5個白球，3個紅球，2個黑球，依次從中抽取5個球，恰好抽出4個白球．【答案】(1)不是n重伯努利試驗(2)是n重伯努利試驗(3)不是n重伯努利試驗【詳解】（1）由題意，∵試驗的條件不同(質(zhì)地不同)，∴不是n重伯努利試驗（2）由題意，∵某人射擊且擊中的概率是穩(wěn)定的，∴是n重伯努利試驗．（3）由題意，∵每次抽取，試驗的結(jié)果有三種不同的顏色，且每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，∴不是n重伯努利試驗．題型02SKIPIF1<0重伯努利試驗的概率問題【典例1】（2023下·福建南平·高二統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0重伯努利試驗中，設(shè)每次成功的概率為SKIPIF1<0，則失敗的概率為SKIPIF1<0，將試驗進行到恰好出現(xiàn)SKIPIF1<0次成功時結(jié)束試驗，用隨機變量SKIPIF1<0表示試驗次數(shù)，則稱SKIPIF1<0服從以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為參數(shù)的帕斯卡分布，記為SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：C【典例2】（2022上·吉林長春·高二東北師大附中?？计谀┠硁重伯努利試驗中，事件A發(fā)生的概率為p，事件A發(fā)生的次數(shù)記為X，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0/0.2【詳解】依題意得X服從二項分布，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【典例3】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）將3個不同的小球隨機投入編號分別為1，2，3，4的4個盒子中（每個盒子容納的小球的個數(shù)不限），則1號盒子中有2個小球的概率為，2號盒子中小球的個數(shù)SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望為.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】由于每個小球投入每個盒子是可能的，故每個小球放入1號盒子的概率為SKIPIF1<0，不放入1號盒子的概率為SKIPIF1<0，故1號盒子中有2個小球個概率SKIPIF1<0，同理，每個小球放入2號盒子的概率為SKIPIF1<0，不放入2號盒子的概率為SKIPIF1<0，將3個小球投放到4個盒子中，則2號盒子中小球的個數(shù)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【變式1】（2021·高二課時練習(xí)）若某一試驗中事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率為SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0重伯努利試驗中，SKIPIF1<0發(fā)生SKIPIF1<0次的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0重伯努利試驗中，事件SKIPIF1<0發(fā)生SKIPIF1<0次的概率為SKIPIF1<0．故選：D．【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）一次擲兩枚骰子，若兩枚骰子點數(shù)之和為4或5或6，則稱這是一次成功試驗．現(xiàn)進行四次試驗，則恰出現(xiàn)一次成功試驗的概率為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】一次擲兩枚骰子，兩枚骰子點數(shù)之和為4的情況有3種，兩枚骰子點數(shù)之和為5的情況有4種，兩枚骰子點數(shù)之和為6的情況有5種，在一次試驗中，出現(xiàn)成功試驗的概率SKIPIF1<0，設(shè)出現(xiàn)成功試驗的次數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以重復(fù)做這樣的試驗4次，則恰出現(xiàn)一次成功試驗的概率為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【變式3】（2023下·廣東潮州·高二統(tǒng)考期末）在3重伯努利試驗中事件出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少出現(xiàn)1次的概率為SKIPIF1<0，則事件A在1次試驗中出現(xiàn)的概率為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】記“A至少發(fā)生1次”為事件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0表示其對立事件“A發(fā)生0次”，事件A的發(fā)生符合二項分布，設(shè)事件A在1次試驗中出現(xiàn)的概率為p，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，

故答案為：SKIPIF1<0．題型03二項分布及其應(yīng)用【典例1】（2024上·廣東廣州·高二華南師大附中校考期末）為了響應(yīng)教育部門疫情期間“停課不停學(xué)”的號召，某校實施網(wǎng)絡(luò)授課，為了檢驗學(xué)生上網(wǎng)課的效果，在高三年級進行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試，從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示），其中數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖求學(xué)生成績在區(qū)間[110，120）的頻率，并求抽取的這100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)(2)若將頻率視為概率，從全校高三年級學(xué)生中隨機抽取3個人，記抽取的3人成績在[100，130）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列.【答案】(1)頻率為SKIPIF1<0；中位數(shù)為SKIPIF1<0(2)分布列見解析【詳解】（1）由直方圖可知，數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的頻率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的頻率為SKIPIF1<0，因為數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1，所以數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[110，120）的頻率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[70，100）的頻率為SKIPIF1<0，所以中位數(shù)落在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以抽取的這100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為SKIPIF1<0.（2）由（1）知，數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[100，130）內(nèi)的頻率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典例2】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）某電商車間生產(chǎn)了一批電子元件，為了檢測元件是否合格，質(zhì)檢員設(shè)計了如圖，甲所示的電路.于是他在一批產(chǎn)品中隨機抽取了電子元件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，安裝在如圖甲所示的電路中，已知元件SKIPIF1<0的合格率都為SKIPIF1<0，元件SKIPIF1<0的合格率都為SKIPIF1<0.

(1)質(zhì)檢員在某次檢測中，發(fā)現(xiàn)小燈泡亮了，他認為這三個電子元件都是合格的，求該質(zhì)檢員犯錯誤的概率；(2)經(jīng)反復(fù)測驗，質(zhì)檢員把一些電子元件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0接入了圖乙的電路中，記該電路中小燈泡亮的個數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析【詳解】（1）當(dāng)小燈泡亮的時候，后一個元件SKIPIF1<0是合格的，前面的AB至少有一個是合格的，概率SKIPIF1<0，小燈泡亮了，并且質(zhì)檢員犯錯誤的情況，對于前面的元件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分為兩大類：第一類：元件SKIPIF1<0合格，元件SKIPIF1<0不合格，故SKIPIF1<0，第二類：元件SKIPIF1<0合格，元件SKIPIF1<0不合格，故SKIPIF1<0，所以在發(fā)現(xiàn)小燈泡亮了的前提下，該質(zhì)檢員犯錯誤的概率為：SKIPIF1<0.（2）在圖甲中，記小燈泡亮的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0服從二項分布：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0的分布列為：0123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在一個系統(tǒng)中，每一個設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠度，為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”（即正在使用的設(shè)備出故障時才啟動的設(shè)備）．已知某計算機網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”（即一臺正常設(shè)備，兩臺備用設(shè)備）的配置，這三臺設(shè)備中，只要有一臺能正常工作，計算機網(wǎng)絡(luò)就不會斷掉．系統(tǒng)就能正常工作．設(shè)三臺設(shè)備的可靠度均為SKIPIF1<0，它們之間相互不影響．(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，求SKIPIF1<0的最小值；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時，求能使系統(tǒng)正常工作的設(shè)備數(shù)SKIPIF1<0的分布列；(3)已知某高科技產(chǎn)業(yè)園當(dāng)前的計算機網(wǎng)絡(luò)中每臺設(shè)備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經(jīng)驗可知，計算機網(wǎng)絡(luò)斷掉可給該產(chǎn)業(yè)園帶來約50萬的經(jīng)濟損失．為減少對該產(chǎn)業(yè)園帶來的經(jīng)濟損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺設(shè)備的可靠度維持在0.8，更換設(shè)備硬件總費用為0.8萬元；方案2：花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設(shè)備，達到“一用三備”．請從經(jīng)濟損失期望最小的角度判斷決策部門該如何決策？并說明理由．【答案】(1)0.8(2)答案見解析(3)決策部門應(yīng)選擇方案2，理由見解析【詳解】（1）要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，設(shè)能正常工作的設(shè)備數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值為0.8．（2）設(shè)SKIPIF1<0為正常工作的設(shè)備數(shù)，由題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<00123SKIPIF1<00.0270.1890.4410.343（3）設(shè)方案1?方案2的總損失分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，采用方案1，更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺設(shè)備的可靠度維持在0.8，可知計算機網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0萬元．采用方案2，花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設(shè)備，達到“一用三備”，計算機網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0萬元．因此，從經(jīng)濟損失期望最小的角度，決策部門應(yīng)選擇方案2．【變式1】（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市第八十三中學(xué)校聯(lián)考期末）有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因為是有放回地取產(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為SKIPIF1<0．從中取3次，SKIPIF1<0為取得次品的次數(shù)，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,選擇D答案．【變式2】（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知某地中學(xué)生的男生和女生的人數(shù)比例是SKIPIF1<0，為了解該地中學(xué)生對羽毛球和乒乓球的喜歡情況，現(xiàn)隨機抽取部分中學(xué)生進行調(diào)查，了解到該地中學(xué)生喜歡羽毛球和乒乓球的概率如下表：男生女生只喜歡羽毛球0.30.3只喜歡乒乓球0.250.2既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球0.30.15(1)從該地中學(xué)生中隨機抽取1人，已知抽取的這名中學(xué)生喜歡羽毛球，求該中學(xué)生也喜歡乒乓球的概率；(2)從該地中學(xué)生中隨機抽取100人，記抽取到的中學(xué)生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和期望.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)分布列見解析，24.【詳解】（1）記事件SKIPIF1<0表示從該地中學(xué)生中隨機抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生喜歡羽毛球，事件SKIPIF1<0表示從該地中學(xué)生中隨機抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生喜歡乒乓球，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以所求的概率SKIPIF1<0.（2）由（1）知從該地中學(xué)生中隨機抽取1人，被抽取的這名中學(xué)生既喜歡羽毛球，又喜歡乒乓球的概率SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0，期望為SKIPIF1<0.【變式3】（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考期末）甲、乙兩人進行射擊比賽，每次比賽中，甲?乙各射擊一次，甲?乙每次至少射中8環(huán).根據(jù)統(tǒng)計資料可知，甲擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為SKIPIF1<0，乙擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為SKIPIF1<0，且甲?乙兩人射擊相互獨立.(1)在一場比賽中，求乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)的概率；(2)若獨立進行三場比賽，其中X場比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)0.2(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為0.6【詳解】（1）設(shè)乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)為事件SKIPIF1<0，則事件SKIPIF1<0包括：甲擊中9環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中9環(huán)，則SKIPIF1<0.（2）由題可知SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0，由（1）可知，在一場比賽中，甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的概率為0.2，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00123SKIPIF1<00.5120.3840.0960.008所以SKIPIF1<0.題型04二項分布的均值與方差【典例1】（2024上·湖北十堰·高三統(tǒng)考期末）某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取SKIPIF1<0份作為樣本，將SKIPIF1<0個樣本數(shù)據(jù)按SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分成SKIPIF1<0組，并整理得到如下頻率分布直方圖.(1)請通過頻率分布直方圖估計這SKIPIF1<0份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.(2)以樣本頻率估計概率，若競賽成績不低于SKIPIF1<0分，則被認定為成績合格，低于SKIPIF1<0分說明成績不合格.從參加知識競賽的市民中隨機抽取SKIPIF1<0人，用SKIPIF1<0表示成績合格的人數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖可知，SKIPIF1<0份樣本數(shù)據(jù)的平均值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）解：競賽成績不低于SKIPIF1<0分的頻率為SKIPIF1<0，低于SKIPIF1<0分的頻率為SKIPIF1<0.由題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0期望SKIPIF1<0.【典例2】（2024上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三統(tǒng)考期末）為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機抽取了部分產(chǎn)品進行檢測，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示.（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；(1)求SKIPIF1<0的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率；(2)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機抽出SKIPIF1<0件，記這SKIPIF1<0件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)SKIPIF1<0，優(yōu)質(zhì)率為25%(2)分布列見解析，1【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)超過130的頻率為SKIPIF1<0，所以這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率為SKIPIF1<0；（2）因為抽到產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的頻率為0.25，以頻率作為概率，所以每件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為SKIPIF1<0，所以4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<001234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【典例3】（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立SKIPIF1<0周年，某市開展了黨史知識競賽活動，競賽結(jié)束后，為了解本次競賽的成績情況，從所有參賽學(xué)生中隨機抽取了SKIPIF1<0名學(xué)生的競賽成績作為樣本，數(shù)據(jù)整理后，統(tǒng)計結(jié)果如表所示．成績區(qū)間SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0頻數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0假設(shè)用樣本頻率估計總體概率，且每個學(xué)生的競賽成績相互獨立．(1)為了激勵學(xué)生學(xué)習(xí)黨史的熱情，決定對競賽成績優(yōu)異的學(xué)生進行表彰，如果獲得表彰的學(xué)生占樣本總?cè)藬?shù)的SKIPIF1<0，試估計獲獎分數(shù)線；(2)該市決定從全市成績不低于SKIPIF1<0分的學(xué)生中隨機抽取SKIPIF1<0人參加省級黨史知識競賽，成績在SKIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0【詳解】（1）解：由表格知，成績在SKIPIF1<0的頻率為SKIPIF1<0，成績在SKIPIF1<0的頻率為SKIPIF1<0，成績在SKIPIF1<0的頻率為SKIPIF1<0，設(shè)獲獎分數(shù)線為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．（2）解：從全市成績不低于SKIPIF1<0分的學(xué)生中隨機抽取一人參加省級黨史知識競賽，成績在SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0，由題意知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．【變式1】（2024上·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某大型企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品細分為10個等級，為了解這批產(chǎn)品的等級分布情況，從流水線上隨機抽取了1000件進行檢測、分類和統(tǒng)計，并依據(jù)以下規(guī)則對產(chǎn)品進行評分：檢測到1級到3級的評為優(yōu)秀，檢測到4級到6級的評為良好，檢測到7級到9級的評為合格，檢測到10級的評為不合格.以下把頻率視為概率，現(xiàn)有如下檢測統(tǒng)計表：等級12345678910頻數(shù)10901001501502001001005050(1)從這1000件產(chǎn)品中隨機抽取1件，請估計這件產(chǎn)品評分為良好或優(yōu)秀的概率；(2)從該企業(yè)的流水線上隨機抽取4件產(chǎn)品，設(shè)這一件產(chǎn)品中評分為優(yōu)秀的產(chǎn)品個數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列、期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，期望SKIPIF1<0.【詳解】（1）記事件A：產(chǎn)品的評分為優(yōu)秀，事件B：產(chǎn)品的評分為良好根據(jù)統(tǒng)計學(xué)原理，可以用樣本來估計總體，由統(tǒng)計表得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為A，B互斥，所以可以估計這件產(chǎn)品評分為良好或優(yōu)秀的概率為SKIPIF1<0.（2）由（1）知，評分為優(yōu)秀的概率為SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的可能值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的分布列為X01234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【變式2】（2024·河南鄭州·統(tǒng)考一模）某自行車廠為了解決復(fù)合材料制成的自行車車架應(yīng)力不斷變化問題，在不同條件下研究結(jié)構(gòu)纖維按不同方向及角度黏合強度，在兩條生產(chǎn)線上同時進行工藝比較實驗，為了比較某項指標(biāo)SKIPIF1<0的對比情況，隨機地抽取了部分甲生產(chǎn)線上產(chǎn)品該項指標(biāo)的SKIPIF1<0值，并計算得到其平均數(shù)SKIPIF1<0，中位數(shù)SKIPIF1<0，隨機地抽得乙生產(chǎn)線上100件產(chǎn)品該項指標(biāo)的SKIPIF1<0值，并繪制成如下的頻率分布直方圖．(1)求乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)SKIPIF1<0值的平均數(shù)SKIPIF1<0與中位數(shù)SKIPIF1<0（每組值用中間值代替，結(jié)果精確到0.01），并判斷乙生產(chǎn)線較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)SKIPIF1<0值是否更好（如果SKIPIF1<0，則認為乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)SKIPIF1<0值較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)SKIPIF1<0值更好，否則不認為更好）．(2)用頻率估計概率，現(xiàn)從乙生產(chǎn)線上隨機抽取5件產(chǎn)品，抽出指標(biāo)SKIPIF1<0值不小于70的產(chǎn)品個數(shù)用SKIPIF1<0表示，求SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望與方差．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，乙生產(chǎn)線較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)SKIPIF1<0值更好(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以中位數(shù)在區(qū)間SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即中位數(shù)SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以乙生產(chǎn)線較甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品指標(biāo)SKIPIF1<0值更好；（2）指標(biāo)SKIPIF1<0值不小于70的概率為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式3】6（2024·全國·高二假期作業(yè)）為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機抽取了部分產(chǎn)品進行檢測，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示.

(1)求SKIPIF1<0的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率：（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；(2)若按照分層的方法從質(zhì)量指標(biāo)值在SKIPIF1<0的產(chǎn)品中隨機抽取SKIPIF1<0件，再從這SKIPIF1<0件中隨機抽取SKIPIF1<0件，求至少有一件的指標(biāo)值在SKIPIF1<0的概率；(3)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機抽出SKIPIF1<0件，記這SKIPIF1<0件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)SKIPIF1<0，優(yōu)質(zhì)率為25%(2)SKIPIF1<0(3)分布列見解析，SKIPIF1<0【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)超過130的頻率為SKIPIF1<0，所以這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率為25%.（2）因為質(zhì)量指標(biāo)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的頻率分別為0.4和0.3.所以質(zhì)量指標(biāo)在SKIPIF1<0產(chǎn)品中抽取7件，則質(zhì)量指標(biāo)在SKIPIF1<0有SKIPIF1<0件，質(zhì)量指標(biāo)在SKIPIF1<0有SKIPIF1<0件.所以從這7件中任取2件，至少有一件質(zhì)量指標(biāo)在SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0.（3）因為抽到產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的頻率為0.25，以頻率作為概率，所以每件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為SKIPIF1<0.所以4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<001234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.題型05服從二項分布的概率最值問題【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量SKIPIF1<0，若對SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【典例2】（2024上·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一種趣味答題比賽，其比賽規(guī)則如下：①每位參賽者最多參加5輪比賽；②每一輪比賽中，參賽選手從10道題中隨機抽取4道回答，每答對一道題積2分，答錯或放棄均積0分；③每一輪比賽中，獲得積分至少6分的選手將獲得“挑戰(zhàn)達人”勛章一枚；④結(jié)束所有輪比賽后，參賽選手還可以憑總積分獲得相對應(yīng)的禮品．據(jù)主辦方透露：這10道題中有7道題是大家都會做的，有3道題是大家都不會做的．(1)求某參賽選手在一輪比賽中所獲得積分X的分布列和期望；(2)若參賽選手每輪獲得勛章的概率穩(wěn)定且每輪是否獲得勛章相互獨立．問：某參賽選手在5輪參賽中，獲得多少枚“挑戰(zhàn)達人”勛章的概率最大？【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0(2)獲得3枚或4枚“挑戰(zhàn)達人”勛章的概率最大.【詳解】（1）由題知：SKIPIF1<0可取2，4，6，8，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<02468SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的期望SKIPIF1<0.（2）解法一：由（1）知參賽選手在一輪比賽中獲得“挑戰(zhàn)達人”勛章的概率為SKIPIF1<0，則某參賽選手在5輪挑戰(zhàn)比賽中，記獲得“挑戰(zhàn)達人”勛章的枚數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0假設(shè)當(dāng)SKIPIF1<0時，概率最大，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0.故某參賽選手在5輪挑戰(zhàn)比賽中，獲得3枚或4枚“挑戰(zhàn)達人”勛章的概率最大．解法二：由（1）知參賽選手在一輪獲得“挑戰(zhàn)達人”勛章的概率為SKIPIF1<0，則某參賽選手在5輪挑戰(zhàn)比賽中，獲得“挑戰(zhàn)達人”勛章的枚數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以Y的分布列為：SKIPIF1<0012345SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0從分布列中可以看出，概率最大為SKIPIF1<0，所以參賽選手在5輪挑戰(zhàn)比賽中，獲得3枚或4枚“挑戰(zhàn)達人”勛章的概率最大．【典例3】（2024·全國·高二假期作業(yè)）某學(xué)校為了提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉行了“趣味數(shù)學(xué)”闖關(guān)比賽，每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答，每答對一道題積1分.已知小明同學(xué)能答對10道題中的6道題.(1)求小明同學(xué)在一輪比賽中所得積分SKIPIF1<0的分布列和期望；(2)規(guī)定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，若參賽者每輪闖關(guān)成功的概率穩(wěn)定且每輪是否闖關(guān)成功相互獨立，問：小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，需幾次闖關(guān)成功才能使得對應(yīng)概率取值最大？【答案】(1)分布列見解析，SKIPIF1<0(2)3次或4次【詳解】（1）由題知：SKIPIF1<0可取0，1，2，3，則:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的期望為：SKIPIF1<0.（2）方法1、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，記概率為SKIPIF1<0若小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，記闖關(guān)成功的次數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0012345SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，需3次或4次闖關(guān)成功才能使得對應(yīng)概率取值最大.方法2、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關(guān)成功，記概率為SKIPIF1<0若小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，記闖關(guān)成功的次數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0故SKIPIF1<0∴假設(shè)當(dāng)SKIPIF1<0時，對應(yīng)概率取值最大，則SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0故小明同學(xué)在5輪闖關(guān)比賽中，需3次或4次闖關(guān)成功才能使得對應(yīng)概率取值最大.【變式1】（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）聊天機器人（chatterbot）是一個經(jīng)由對話或文字進行交談的計算機程序.當(dāng)一個問題輸入給聊天機器人時，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進行應(yīng)答.在對某款聊天機器人進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則應(yīng)答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語法錯誤，則應(yīng)答被采納的概率為30%.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%.(1)求一個問題的應(yīng)答被采納的概率；(2)在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應(yīng)答是否被采納相互獨立，記這些應(yīng)答被采納的個數(shù)為SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的概率為SKIPIF1<0，求當(dāng)SKIPIF1<0最大時SKIPIF1<0的值.【答案】(1)0.75(2)6【詳解】（1）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件SKIPIF1<0，“一次應(yīng)答被采納”為事件SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）依題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0最大時，有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0最大時，SKIPIF1<0.【變式2】（2024上·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）某區(qū)域中的物種C有A種和B種兩個亞種．為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個亞種的數(shù)目比例（A種數(shù)目比B種數(shù)目少），某生物研究小組設(shè)計了如下實驗方案：①在該區(qū)域中有放回的捕捉50個物種C，統(tǒng)計其中A種數(shù)目，以此作為一次試驗的結(jié)果；②重復(fù)進行這個試驗n次（其中SKIPIF1<0），記第i次試驗中的A種數(shù)目為隨機變量SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）；③記隨機變量SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0的期望SKIPIF1<0和方差SKIPIF1<0進行估算．設(shè)該區(qū)域中A種數(shù)目為M，B種數(shù)目為N，每一次試驗都相互獨立．(1)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)該小組完成所有試驗后，得到SKIPIF1<0的實際取值分別為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），并計算了數(shù)據(jù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的平均值SKIPIF1<0和方差SKIPIF1<0，然后部分數(shù)據(jù)丟失，僅剩方差的數(shù)據(jù)SKIPIF1<0．（?。┱堄肧KIPIF1<0和SKIPIF1<0分別代替SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，估算SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（ⅱ）在（?。┑臈l件下，求SKIPIF1<0的分布列中概率值最大的隨機事件SKIPIF1<0對應(yīng)的隨機變量的取值．【答案】(1)證明見解析(2)（ⅰ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（ⅱ）15【詳解】（1）由題可知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，…，n）均近似服從完全相同的二項分布，