第2講 概率統(tǒng)計(jì)離散型隨機(jī)變量及其分布列

第2講概率統(tǒng)計(jì)、離散型隨機(jī)變量及其分布列1.隨機(jī)事件的概率（1）隨機(jī)事件的概率范圍：0≤P(A)≤1;必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0.（2）古典概型的概率

P（A）==.A中所含的基本事件數(shù)基本事件總數(shù)12.互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率P（A+B）=P（A）

+P（B）.3.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

P（AB）=P（A）P（B）.4.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么它在

n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為Pn（k）=pk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n.25.離散型隨機(jī)變量的分布列（1）設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為x1,x2,…,xi,…,

取每一個(gè)值xi的概率為P（=xi）=pi，則稱下表：為離散型隨機(jī)變量的分布列.（2）離散型隨機(jī)變量ξ的分布列具有兩個(gè)性質(zhì)：①pi≥0,②p1+p2+…+pi+…=1(i=1,2,3,…).6.常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布（1）兩點(diǎn)分布分布列為（其中0<p<1）3(2)二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)

是一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能取的值為0，1，2，3，…，n，并且P（=k）=pkqn-k(其中k=0，1，2，…，n，q=1-p).顯然P（=k）≥0(k=0,1,2,…,n),pkqn-k=1.稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從參數(shù)n和p的二項(xiàng)分布，記為~B(n,p).47.離散型隨機(jī)變量的期望與方差若離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為則稱E=x1p1+x2p2+…+xnpn+…為的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望.

D=（x1-E）2·p1+（x2-E）2·p2+…+(xn-E)2·pn+…叫做隨機(jī)變量的方差.ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…8.統(tǒng)計(jì)（1）抽樣方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣.（2）利用樣本頻率分布估計(jì)總體分布①頻率分布表和頻率分布直方圖.②總體密度曲線.59.正態(tài)分布（1）一般地，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)a<b，隨機(jī)變量X滿足

P（a<X≤b）=dx,x∈(-∞,+∞)，則稱X的分布為正態(tài)分布.（2）正態(tài)曲線的特點(diǎn)如圖所示.①曲線位于x軸上方，與x軸不相交.②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=對(duì)稱.6③曲線在x=處達(dá)到峰值.④曲線與x軸之間的面積為1.⑤當(dāng)一定時(shí)，曲線隨著的變化而沿x軸平移.⑥當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.（3）正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率①P（

-<X≤+）=0.6826.

②P(

-2

<X≤+2

)=0.9544.

③P(

-3

<X≤+3)=0.9974.7一、頻率分布直方圖或頻率分布表例1某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與19秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，成績(jī)大于等于13秒且小于14秒；第二組，成績(jī)大于等于14秒且小于15秒；……第六組，成績(jī)大于等于18秒且小于等于19秒.下圖是按上述分組方法8得到的頻率分布直方圖.設(shè)成績(jī)小于17秒的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為x,成績(jī)大于等于15秒且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為y，則從頻率分布直方圖中可分析出x和y分別為 （）A.0.9,35 B.0.9,45C.0.1,35 D.0.1,45解析P（<17）=1-P(17≤≤19)=1-(0.06×1+0.04×1)=0.9,即x=0.9,y=(0.34+0.36)×1×50=35人.探究提高

在統(tǒng)計(jì)中，為了考查一個(gè)總體的情況，通常是從總體中抽取一個(gè)樣本，用樣本的有關(guān)情況去估計(jì)總體的相應(yīng)情況.這種估計(jì)大體分為兩類，一類A9是用樣本頻率分布估計(jì)總體分布，另一類是用樣本的某種數(shù)字特征（例如平均數(shù)、方差等）去估計(jì)總體的相應(yīng)數(shù)字特征.變式訓(xùn)練1（2009·湖南理，13）一個(gè)總體分為A，B兩層，其個(gè)體數(shù)之比為4∶1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，已知B層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個(gè)體數(shù)為

.解析設(shè)總體中個(gè)體數(shù)為x，則B層中有個(gè)個(gè)體，共需在B中抽2個(gè)個(gè)體.∴,∴x=40.4010二、古典概型例2某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表：已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到初二年級(jí)女生的概率是0.19.（1）求x的值；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問(wèn)應(yīng)在初三年級(jí)抽取多少名？11（3）已知y≥245,z≥245，求初三年級(jí)中女生比男生多的概率.思維啟迪求初三年級(jí)中女生比男生多的概率時(shí)，先找出男女生人數(shù)分布的所有可能,再找出女生比男生多的人數(shù)的所有可能.解析（1）∵=0.19∴x=380.(2)初三年級(jí)人數(shù)為y+z=2000-(373+377+380+370)=500,現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，應(yīng)在初三年級(jí)抽取的人數(shù)為：×500=12（名）12（3）設(shè)初三年級(jí)女生比男生多的事件為A，初三年級(jí)女生、男生數(shù)記為（y,z）,由（2）知y+z=500，且y,z∈N*,基本事件空間包含的基本事件有：（245，255）、（246，254）、（247，253）、…、（255，245）共11個(gè)，事件A包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、（254，246）、（255，245）共5個(gè)∴P（A）=13探究提高（1）有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù)，這常常用到排列、組合的有關(guān)知識(shí).（2）對(duì)于較復(fù)雜的題目要注意正確分類，分類時(shí)應(yīng)不重不漏.變式訓(xùn)練2（2009·江蘇，5）現(xiàn)有5根竹竿，它們的長(zhǎng)度（單位：m）分別為2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的概率為

.解析從5根竹竿中一次隨機(jī)抽取2根竹竿共有=10種抽取方法，而抽取的兩根竹竿長(zhǎng)度恰好相差0.3m的情況有2種.則P==0.2.0.214三、相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)例3甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒(méi)有影響；每人各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒(méi)有影響.（1）求甲射擊4次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率；（2）求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率；（3）假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則中止其射擊.則乙恰好射擊5次后被中止射擊的概率是多少？思維啟迪

（1）第（1）問(wèn)先求其對(duì)立事件的概率.（2）第（2）問(wèn)利用相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式.15（3）第（3）問(wèn)中，甲恰好射擊5次被中止，可分為前3次擊中后兩次未擊中和前2次有一次未擊中，第3次擊中，后兩次未擊中兩種情況.解析（1）甲至少一次未擊中目標(biāo)的概率P1是P1=P4（1）+P4（2）+P4（3）+P4（4）=1-P4（0）=1-.（2）甲射擊4次恰擊中2次的概率為P2=，乙射擊4次恰擊中3次的概率為P3=，16由乘法公式，所求概率P=P2P3=.(3)乙恰好5次停止射擊,則最后兩次未擊中,前三次或都擊中或第一與第二次恰有一次擊中,第三次必?fù)糁?故所求概率為.探究提高

（1）注意區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件，互斥事件是在同一試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生的情況，相互獨(dú)立事件是指幾個(gè)事件的發(fā)生與否互不影響，當(dāng)然可以同時(shí)發(fā)生.（2）一個(gè)事件若正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對(duì)立事件進(jìn)行求解.對(duì)于“至少”，“至多”等問(wèn)題往往用這種方法求解.17變式訓(xùn)練3在每道單項(xiàng)選擇題給出的4個(gè)備選答案中，只有一個(gè)是正確的.若對(duì)4道選擇題中的每一道都任意選定一個(gè)答案，求這4道題中：（1）恰有兩道題答對(duì)的概率；（2）至少答對(duì)一道題的概率.解析（1）視“選擇每道題的答案”為一次試驗(yàn)，則這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且每次試驗(yàn)中“選擇正確”這一事件發(fā)生的概率為.由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式得：恰有兩道題答對(duì)的概率為P4（2）=.18（2）方法一至少有一道題答對(duì)的概率為1-P4（0）=1-=1-.方法二至少有一道題答對(duì)的概率為19四、隨機(jī)變量的分布列、均值與方差

例4（2009·濰坊模擬）甲、乙兩人玩投籃游戲，規(guī)則如下：兩人輪流投籃，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投籃，結(jié)束游戲，已知甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為.求：（1）乙投籃次數(shù)不超過(guò)1次的概率；（2）記甲、乙兩人投籃次數(shù)和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.思維啟迪

（1）乙投籃次數(shù)不超過(guò)一次有三種情況.（2）正確理解并記準(zhǔn)均值與方差的計(jì)算公式.20解析記“甲投籃投中”為事件A，“乙投籃投中”為事B.方法一“乙投籃次數(shù)不超過(guò)1次”包括三種情況：一種是甲第1次投籃投中，另一種是甲第1次投籃未投中而乙第1次投籃投中，再一種是甲、乙第1次投籃均未投中而甲第2次投籃投中，所求的概率是P=P（A+·B+··A）=P（A）+P（·B）+P（··A）=P（A）+P（）·P（B）+P（）·P（）·P（A）=.答乙投籃次數(shù)不超過(guò)1次的概率為.21方法二“乙投籃次數(shù)不超過(guò)1次”的對(duì)立事件是“乙投籃2次”，所以，所求的概率是P=1-P（··）=1-P（）·P（）·P（）=1-.答乙投籃次數(shù)不超過(guò)1次的概率為.（2）甲、乙投籃總次數(shù)的取值1，2，3，4，P（=1）=P(A)=,P(

=2)=P(·B)=P（）·P（）=，P(

=3)=P(··A)=P（）·P（）·P（A）=,22P(=4)=P(··)=P（）·P（）·P（）=,甲、乙投籃次數(shù)總和的分布列為甲、乙投籃總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為E=1×+2×+3×+4×=.答甲、乙投籃次數(shù)總和ξ的數(shù)學(xué)期望為.23探究提高

有些問(wèn)題的模型顯得較為隱蔽，這時(shí)我們可以多做一點(diǎn)嘗試，弄清其模型，再設(shè)計(jì)相應(yīng)的答題策略.在解答過(guò)程中，需注意答題的規(guī)范性.變式訓(xùn)練4（2009·重慶理，17）某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹(shù)各2株.設(shè)甲、乙兩種大樹(shù)移栽的成活率分別為和，且各株大樹(shù)是否成活互不影響.求移栽的4株大樹(shù)中：（1）兩種大樹(shù)各成活1株的概率；（2）成活的株數(shù)的分布列與期望.24解析設(shè)Ak表示甲種大樹(shù)成活k株，k=0,1,2,Bl表示乙種大樹(shù)成活l株，l=0,1,2,則Ak，Bl相互獨(dú)立，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式有P（Ak）=,P(Bl)=.據(jù)此算得P（A0）=，P（A1）=，P（A2）=，P（B0）=，P（B1）=，P（B2）=.（1）所求概率為P（A1·B1）=P（A1）·P（B1）=.25(2)方法一的所有可能值為0,1,2,3,4,且P(=0)=P(A0·B0)=P（A0）·P（B0）=,P（=1）=P(A0·B1)+P（A1·B0）=,P（

=2）=P(A0·B2)+P（A1·B1）+P（A2·B0）=,.P（=3）=P(A1·B2)+P（A2·B1）=,P(=4)=P(A2·B2)=..綜上知的分布列為26從而，的期望為E=(株).方法二分布列的求法同前，令分別表示甲、乙兩種大樹(shù)成活的株數(shù)，則~B，~B,故E=2×=,E=2×=1,從而知E=E+E=（株）.27規(guī)律方法總結(jié)1.古典概型A包含的基本事件m個(gè)數(shù)總的基本事件n個(gè)數(shù)282.互斥事件與對(duì)立事件互斥事件強(qiáng)調(diào)兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即在一次試驗(yàn)中兩個(gè)互斥事件可以都不發(fā)生.兩事件是對(duì)立事件，則它們一定互斥，且在一次試驗(yàn)中兩對(duì)立事件有且只有一個(gè)發(fā)生，反過(guò)來(lái)，兩事件互斥，但不一定對(duì)立.故兩事件互斥是兩事件對(duì)立的必要不充分條件，對(duì)立事件是特殊的互斥事件.3.求離散型隨機(jī)變量的期望與方差的方法（1）理解的意義，寫出可能取的全部值.（2）求取每個(gè)值的概率.（3）寫出的分布列.（4）由期望的定義求E.

(5)由方差的定義求D.29一、選擇題1.某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則橢圓的離心率e>的概率是（ ）A. B.C. D.解析e=a>2b,符合a>2b的情況有：當(dāng)b=1時(shí)，有a=3,4,5,6四種情況；當(dāng)b=2時(shí)，有a=5,6兩種情況，總共有6種情況.所以概率為.C302.（2009·重慶理，6）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè)，花生餡湯圓5個(gè)，豆沙餡湯圓4個(gè)，這三種湯圓的外部特征完全相同.從中任意舀取4個(gè)湯圓，則每種湯圓都至少取到1個(gè)的概率為 （ ）

A. B. C. D.

解析從15個(gè)湯圓中選出4個(gè)湯圓共有種情況，每種湯圓至少有1個(gè)的情況有=720種情況，所以各種湯圓至少有1個(gè)的概率為

P=.C313.（2009·上海理，16）若事件E與F相互獨(dú)立，且P（E）=P（F）=，則P（E∩F）的值等于（）A.0 B. C. D.解析因?yàn)槭录﨓與事件F相互獨(dú)立，故P（E∩F）=P(E)P(F)=.B324.從編號(hào)為1，2，…，10的10個(gè)大小相同的球中任取4個(gè)，則所取4個(gè)球的最大號(hào)碼是6的概率為()

A. B. C. D.

解析從10個(gè)球中任選4個(gè)共有種取法，所取4個(gè)球中最大號(hào)碼是6的取法共有種，所求概率為

P=.B335.一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c（a,b,c∈(0,1)），已知他投籃一次得分的期望是2，則的最小值為 （ ）A. B. C. D.解析由已知得3a+2b+0×c=2,即3a+2b=2.其中0<a<,0<b<1.+==3+.D34二、填空題6.從某地區(qū)15000位老人中隨機(jī)抽取500人，其生活能否自理的情況如下表所示.性別人數(shù)生活能否自理男女能178278不能2321則該地區(qū)生活不能自理的老人中男性比女性約多

人.35解析由表知500人中生活不能自理的男性比女性多2人，所以該地區(qū)15000位老人生活不能自理的男性比女性多2×=60(人).答案607.某汽車站每天均有3輛開(kāi)往省城濟(jì)南的分為上、中、下等級(jí)的客車，某天袁先生準(zhǔn)備在該汽車站乘車前往濟(jì)南辦事，但他不知道客車的車況，也不知道發(fā)車順序.為了盡可能乘上上等車，他采取如下策略：先放過(guò)一輛，如果第二輛比第一輛好則上第二輛，否則上第三輛.那么他乘上上等車的概率為

.36解析共有6種發(fā)生順序：①上、中、下②上、下、中③中、上、下④中、下、上⑤下、中、上⑥下、上、中（其中畫(huà)橫線的表示袁先生所乘的車），所以他乘坐上等車的概率為.答案8.有一容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示：37若落在［10，20）中的頻數(shù)共9個(gè)，則樣本容量n=

.解析由題意，得樣本數(shù)據(jù)落在［10，20）中的頻率為（0.016+0.020）×5=0.18.又落在［10，20）中的頻數(shù)共9個(gè)，所以，解之得n=50.50三、解答題9.(2009·陜西文，18)據(jù)統(tǒng)計(jì),某食品企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴次數(shù)為0、1、2的概率分別為0.4、0.5、0.1.(1)求該企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴不超過(guò)1次的概率.38（2）假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響，求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率.解(1)設(shè)事件A表示“一個(gè)月內(nèi)被投訴的次數(shù)為0”，事件B表示“一個(gè)月內(nèi)被投訴的次數(shù)為1”，∴P（A+B）=P（A）+P（B）=0.4+0.5=0.9.（2）設(shè)事件Ai表示“第i個(gè)月被投訴的次數(shù)為0”，事件Bi表示“第i個(gè)月被投訴的次數(shù)為1”，事件Ci表示“第i個(gè)月被投訴的次數(shù)為2”，事件D表示“兩個(gè)月內(nèi)共被投訴2