湖南省永州市道縣2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

道縣2024年減負(fù)提質(zhì)示范班3月份質(zhì)量監(jiān)測八年級數(shù)學(xué)試題滿分：120分；時量：120分鐘一、選擇題（本題共10個小題，每小題只有一個正確答案，每小題3分，共30分）1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，理解定義，會用定義進行判斷是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱圖形定義“如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；”以及中心對稱圖形的定義“把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心；”逐一進行判斷即可．【詳解】解：A.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，此選項不符合題意；B.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，此選項不符合題意；C.是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，此選項不符合題意；D.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，此選項符合題意；故選：D2.一個多邊形切去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和為，原多邊形的邊數(shù)是（）．A.8或9或10 B.7或8或9 C.6或7或8 D.5或6或7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)切后的內(nèi)角和可以求出切后的多邊形邊數(shù)，然后又知一個多邊形切去一個角可得到的多邊形有三種可能，分別是比原邊數(shù)少1，相等，多1．所以可求得原多邊形邊數(shù)．【詳解】解：設(shè)切去一角后的多邊形為n邊形．根據(jù)題意得：．解得∶．因為一個多邊形切去一個角后形成多邊形邊數(shù)有三種可能：比原多邊形邊數(shù)小1、相等、大1，所以原多邊形的邊數(shù)可能為7、8或9．故選：B【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和問題，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．3.如圖，已知，用尺規(guī)進行如下操作：①以點為圓心，長為半徑畫??；②以點為圓心，長為半徑畫?。虎蹆苫≡谏戏浇挥邳c，連接．可直接判定四邊形為平行四邊形的條件是（）A.兩組對邊分別平行 B.兩組對邊分別相等C.對角線互相平分 D.一組對邊平行且相等【答案】B【解析】【分析】本題考查尺規(guī)作圖及平行四邊形的判定，涉及尺規(guī)作圖作相等線段，再由平行四邊形的判定即可得到答案，熟記尺規(guī)作圖及平行四邊形的判定是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：由作圖知，，∴四邊形為平行四邊形，綜合四個選項，判定四邊形為平行四邊形的條件是兩組對邊分別相等，故選：B．4.如圖所示，在中，，，于點，于點，，，則的長是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題主要考查直角三角形的全等判定與性質(zhì)，首先證明，又由，，得出，，進而得出答案．【詳解】解：∵，，，，∴，∴又∵，，∴，，∴．故選B5.如圖，在中，點是的中點，對角線，相交于點，連接，若的周長是10，則的周長為（）A.3 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)中點的定義和三角形中位線定理得，，，從而得出可得答案．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，點是的中點，，，的周長是10，的周長，故選：B．6.OC為∠AOB的平分線，M為OB上一點，P為OC上一點，如果OM=3，PM=2，OP=，那么點Р到射線OA的距離為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，角平分線的性質(zhì)即可解答.【詳解】解：根據(jù)題意作圖如下：△OMP中，OP2=13，OM2=9，PM2=4，∵OP2=OM2+PM2，∴PM⊥OB，由角平分線的性質(zhì)可得：點P到射線OA的距離等于點P到射線OB的距離，∴點Р到射線OA的距離為2，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，角平分線的性質(zhì)（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）；掌握其性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7.如圖，在中，，是的平分線，于點，平分，則等于（）A.22．5° B.30° C.25° D.40°【答案】B【解析】【分析】利用全等直角三角形的判定定理HL證得Rt△ACD≌Rt△AED，則對應(yīng)角∠ADC=∠ADE；然后根據(jù)已知條件“DE平分∠ADB”、平角的定義證得∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°；最后由直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)求得∠B=30°．【詳解】∵在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，DE⊥AB于E，

∴CD=ED．

在Rt△ACD和Rt△AED中，，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴∠ADC=∠ADE（全等三角形的對應(yīng)角相等）．

∵∠ADC+∠ADE+∠EDB=180°，DE平分∠ADB，

∴∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°．

∴∠B+∠EDB=90°，

∴∠B=30°．

故選：B．【點睛】此題考查角平分線的性質(zhì)．解題關(guān)鍵在于掌握角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．8.如圖，平行四邊形中，，，平分，交于E，交于點N，交于點F，作交于點M，則（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可得，，求得，再根據(jù)，得到，即可求解．【詳解】解：平行四邊形中，，∵平分∴∵∴，∴∴∵∴∴∵∴，即∴，即∴，∴∴∵∴∴，∵∴∴∴∴∵∴∴故選：D【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．9.如圖，含角的三角尺（）的長直角邊與含角的三角尺（）的斜邊恰好重合，交于點E．P，Q分別是邊，上的動點，當(dāng)四邊形為平行四邊形時，的面積3，則線段的長是（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意作出圖形，過點作于點，設(shè)，，則，根據(jù)已知條件得出，繼而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，解方程得出，進而根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，設(shè)，，則在中，依題意，，∴，∴，∵，則，又∴是等腰直角三角形，∴,又∵四邊形是平行四邊形，則，∴∴∴即∴解得：（負(fù)值舍去）∴即∴，故選：B．【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．10.如圖，在等邊中，于D，延長到E，使，F(xiàn)是的中點，連接并延長交于G，的垂直平分線分別交于點M，點N，連接，，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論序號是（）．A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)得，由，可得，可判斷①正確；設(shè)，則，表示和的長，可判斷②正確；③作輔助線，構(gòu)建三角形全等，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，由線段垂直平分線的性質(zhì)得，證明，可判斷③正確；設(shè)設(shè)則，，再表示出與即可判斷④不正確．【詳解】解：是等邊三角形，，，，是的中點，，，，，，，故①正確；設(shè)，則，，，中，，，，，故②正確；③如圖，過作于，連接，在等邊三角形中，，平分，，，，是的垂直平分線，，，在和中，，，，，，，故③正確；設(shè)在中，，，是的中點，，則，設(shè)則，，是等邊三角形，，，，，，，故④錯誤，故①②③正確．故選：A．【點睛】本題屬于三角形的綜合題，是中考選擇題的壓軸題，考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握勾股定理和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）11.在四邊形中，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①若，，則四邊形是平行四邊形；②若，，則四邊形是平行四邊形；③若，，則四邊形是平行四邊形；④若，，則四邊形是平行四邊形．其中正確的結(jié)論是____________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】②③【解析】【分析】由于符合題目的已知條件的除了平行四邊形之外，還有等腰梯形，故①錯誤；因為兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以②正確；根據(jù)，可得，又由于，可判定，再依據(jù)平行四邊形的定義可得結(jié)論；過點作于，在上截取，連接，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得出，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，可證出，，這樣的四邊形滿足題目已知條件，但不符合命題的結(jié)論，不是平行四邊形，所以④錯誤，這樣就可得解．【詳解】①因為一組對邊平行，另一組對邊相等可以是平行四邊形，也可以是等腰梯形，所以①錯誤；②因為兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以②正確；③∵∴∵∴∴∴四邊形是平行四邊形因此③正確；④作，連接，過點作于，在上截取，連接，∵，，∴，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，由作圖可知：，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，顯然，圖中的四邊形不是平行四邊形．所以④錯誤；故答案為：②③．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與作圖，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解本題的關(guān)鍵，同時要注意真命題需要證明，假命題只需舉出反例即可．12.如圖，在中，平分交于．若，點到的距離為6，則的長是_____．【答案】【解析】【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意，過點作于，如圖所示，由角平分線的性質(zhì)得到，再由，求出，進而由代值求解即可得到答案，熟記角平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點作于，如圖所示：平分交于，，點到的距離為6，，，，，故答案為：．13.如圖，在中，．按以下步驟作圖：①以點C為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點M、N；②分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點F；③作射線．若，E為邊的中點，D為射線上一動點．則的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了作圖-基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和最短線段問題．利用基本作圖得到得平分，作上截取，連接交于D，根據(jù)證明得到，接著利用兩點之間線段最短可判斷此時的值最小，最小值為的長，然后利用勾股定理計算出即可．【詳解】解：由作法得平分，作上截取，連接交于D，如圖，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴此時的值最小，最小值為的長，∵，E為邊的中點，∴，在，，∴的最小值為．故答案為：．14.如圖，一個圓柱形水杯，底面直徑為，高為，則一只小蟲從下底點處爬到上底處，則小蟲所爬的最短路徑長是（取3）_______．【答案】15【解析】【分析】本題考查了圓柱側(cè)面展開圖的運用，兩點之間線段最短的運用，勾股定理的運用．在解答時將圓柱的側(cè)面展開式關(guān)鍵．先將圓柱的側(cè)面展開為一矩形，而矩形的長就是地面周長的一半，高就是圓柱的高，再根據(jù)勾股定理就可以求出其值．【詳解】解：展開圓柱的側(cè)面如圖，根據(jù)兩點之間線段最短就可以得知最短．由題意，得，在中，由勾股定理，得．故答案為：．15.如圖，中，，為邊上的中點，為邊上一點，，連接、，延長交延長線于，若，，則________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識，證明點E是的中點是解題的關(guān)鍵.取的中點G，連接，則，可得，再利用三角形中位線定理得，利用證明得，再利用勾股定理分別求出，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答；【詳解】解：取中點G，連接，則，為邊上的中點，G為的中點，是的中位線，在和中,在中，為邊上的中點，中，在中，,故答案為：16.如圖，在?ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，點E、F分別是邊AB、CD上的動點，將該四邊形沿折痕EF翻折，使點A落在邊BC的三等分點處，則AE的長為．【答案】或【解析】【分析】設(shè)點A落在BC邊上的A′點，分兩種情況：①當(dāng)A′C=BC=2時；②如圖2，當(dāng)A′B=BC=2時，過A′點作AB延長線的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可．【詳解】設(shè)點A落在BC邊上的A′點．①如圖1，當(dāng)A′C=BC=2時，A′B=4，設(shè)AE=x，則A′E=x，BE=8-x．過A′點作A′M垂直于AB，交AB延長線于M點，在Rt△A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，A′M=2．在Rt△A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=．即AE=；②如圖2，當(dāng)A′B=BC=2時，設(shè)AE=x，則A′E=x，BE=8-x．過A′點作A′N垂直于AB，交AB延長線于N點，在Rt△A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，A′N=．在Rt△A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=．即AE=；所以AE的長為5.6或．故答案為5.6或．【點睛】本題主要考查翻折性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，同時考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．三、解答題（本大題共9個小題，共72分，解答題要求寫出證明步驟或解答過程）17.“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙再”．又到了放風(fēng)箏的最佳時節(jié)．某校八年級（1）班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度，他們進行了如下操作：①測得水平距離的長為米；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線的長為米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為米．（1）求風(fēng)箏的垂直高度；（2）如果小明想風(fēng)箏沿方向下降米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【答案】（1）米（2）8米【解析】【分析】本題考查了勾股定理解決實際問題，（1）利用勾股定理求出的長，再加上的長度，即可求出的高度；（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【小問1詳解】解：在中，由勾股定理得，，∴（負(fù)值舍去），∴（米），風(fēng)箏的高度為米；【小問2詳解】解：由題意得，米，∴米，∴（米），∴（米），∴他應(yīng)該往回收線8米．18.如圖，等腰直角三角形的直角邊長都是，以等腰直角三角形的兩直角邊為直徑分別畫兩個半圓，則陰影部分的面積是多少（取）？【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得陰影部分的面積等于圓的面積減去，即可求解．【詳解】解：如圖：∵以等腰直角三角形的兩直角邊為直徑分別畫兩個半圓，∴，∴陰影部分①②③④的面積相等，∴陰影部分的面積；答：陰影部分的面積共有．【點睛】本題主要考查了求陰影部分面積，根據(jù)題意得到陰影部分的面積等于圓的面積減去是解題的關(guān)鍵．19.已知：如圖，四邊形為平行四邊形，點E，A，C，F(xiàn)在同一直線上，．（1）求證：；（2）連接、，求證：四邊形為平行四邊形．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定方法．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可以得到，，然后即可得到，再根據(jù)即可證明；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和全等三角形的性質(zhì)，可以得到，從而可以得到，從而可得結(jié)論．【小問1詳解】證明：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，∵，，∴，在和中，，∴；【小問2詳解】解：如圖，連接、，∵，，∴四邊形是平行四邊形．20.閱讀與思考閱讀下列材料，完成后面的任務(wù)：趙爽“弦”與完全平方公式三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)建了一幅“弦圖”，如圖所示該“弦圖”由四個完全相同的直角三角形拼在一起得到一個大正方形和一個小正方形．已知直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b（），由圖可知小正方形的邊長為．任務(wù)：（1）請你直接寫出大正方形的面積（用含a，b的代數(shù)式表示）（2）若，大正方形的面積為17，求小正方形的面積．【答案】（1）（2）小正方形面積為8【解析】【分析】（1）由圖形可知，大正方形的面積為直角三角形斜邊的平方，據(jù)此即可求解；（2）小正方形的面積=大正方形的面積-4個直角三角形的面積，利用已知條件，大正方形的面積為17，可得出直角三角形的面積和，進而得到小正方形的面積為8，即可求出答案．【小問1詳解】解：由圖形可知，大正方形面積為．故答案為：；【小問2詳解】解：∵，∴，∵大正方形的面積為17，即，∴，∴，∴四個全等的直角三角形的面積的和為，∴小正方形的面積為．【點睛】本題主要考查了勾股定理的證明、完全平方式的應(yīng)用等知識，解題關(guān)鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方式解決問題．21.如圖，在中，點在上，點在上，且．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若為的角平分線，且，，求的周長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得，，結(jié)合題意可得，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)平行四邊形的對邊平行可得，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，推得，根據(jù)等角對等邊可得，求得，即可求解．【小問1詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，且，∴四邊形是平行四邊形．【小問2詳解】解：∵為的角平分線，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴的周長．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對等邊，平行四邊形的周長，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.如圖，等腰直角中，，點在上，將繞頂點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到．（1）求的度數(shù)；（2）當(dāng)點在線段上運動時（不與、重合），請寫出一個反映、、之間關(guān)系的等式，并加以證明．【答案】（1）（2），證明見解析【解析】【分析】（1）先由旋轉(zhuǎn)得出，即：，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出是等腰直角三角形，是直角三角形，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：是等腰直角三角形，，繞頂點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到．，，；【小問2詳解】；證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，是等腰直角三角形，，由（1）可知：，，．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，判斷出是直角三角形是解本題的關(guān)鍵．23.（1）回歸課本請用文字語言表述三角形的中位線定理：________________．（2）回顧證法證明三角形中位線定理的方法很多，但多數(shù)都要通過添加輔助線構(gòu)圖完成．下面是其中一種輔助線的添加方法．請結(jié)合圖2，補全求證及證明過程．已知：在中，點分別是的中點．求證：________________．證明：過點作，與的延長線交于點．（3）實踐應(yīng)用如圖3，點和點被池塘隔開，在外選一點，連接，分別取的中點，測得的長度為9米，則兩點間的距離為________________．【答案】（1）三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半；（2），；詳見解析；（3）18米【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理直接闡述即可；（2）過點作，與的延長線交于點，證明，再證四邊形是平行四邊形，即可證明結(jié)論；（3）直接利用三角形中位線定理求解即可．【詳解】解：（1）三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．故答案為：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半；（2）求證：，．證明：∵點分別是的中點，∴，，過點作，與的延長線交于點．∴，在和中，．，．，．四邊形是平行四邊形，，，又，，．故答案為：，；（3）∵點分別是的中點，米，∴，即：米故答案為：18米．【點睛】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題．24.定義：若某三角形的三邊長a，b，c滿足，則稱該三角形為“類勾股三角形”．請根據(jù)以上定義解決下列問題：（1）判斷等邊三角形是否為“類勾股三角形”，并說明理由；（2）若等腰三角形是“類勾股三角形”，其中，，求的度數(shù)；（3）如圖，在中，，且．證明：為“類勾股三角形”．【答案】（1）不是，理由見解析（2）（3）見解析【解析】【分析】（1）先設(shè)等邊三角形的三邊長分別為，，，則，然后進行計算可得：，即可解答；（2）根據(jù)已知和“類勾股三角形”的定義可得，從而可得，進而可得是直角三角形，且，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)，即可解答；（3）過點作，垂足為，在