2018-2019學(xué)年廣東省深圳市福田區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷(一)

2018-2019學(xué)年廣東省深圳市福田區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分，每小題給出4個選項，其中只有一

個是正確的）

1.（3分）如圖，墨水瓶的瓶蓋和瓶身都是圓柱形，則它的俯視圖是（）

3.（3分）某時刻，測得身高1.8米的人在陽光下的影長是1.5米，同一時刻，測得某旗桿

的影長為12米，則該旗桿的高度是（）

A.10米B.12米C.14.4米D.15米

4.（3分）已知尤=1是一元二次方程，+加?2=0的一個解，則機的值是（）

A.1B.-1C.2D.-2

5.（3分）如果兩個相似三角形的對應(yīng)邊上的高之比為1：3,則兩三角形的面積比為（）

A.2：3B.1：3C.1：9D.1：舊

6.（3分）甲袋里有紅、白兩球，乙袋里有紅、紅、白三球，兩袋的球除顏色不同外都相同，

分別往兩袋里任摸一球，則同時摸到紅球的概率是（）

A.1B.1C.1D.工

3456

7.（3分）如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A,B,C均在格點

8.(3分)如圖，lA//h//lv直線a，6與11、b、七分別相交于A、B、C和點。、E、F,

A.9B.10C.2D.15

9.(3分)已知關(guān)于x的方程a?+2x-2=0有實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.--B.-—C.a2-上且a#0D.a>-1且aWO

2222

10.(3分)某商品原價為100元，第一次漲價40%,第二次在第一次的基礎(chǔ)上又漲價10%,

設(shè)平均每次增長的百分數(shù)為x,那么尤應(yīng)滿足的方程是()

Av-40%+10%

2

B.100(1+40%)(1+10%)=(1+x)2

C.(1+40%)(1+10%)=(l+.r)2

D.(100+40%)(100+10%)=100(1+x)2

11.(3分)如圖是二次函數(shù)y="2+bx+c(aWO)的圖象，根據(jù)圖象信息，下列結(jié)論錯誤的

是()

A.abc<0B.2?+/?=0C.4a-2b+c>0D.9G+3Z?+C=0

k

12.(3分)如圖，A、C是反比例函數(shù)y=--(x>0)圖象上的兩點，B、。是反比例函數(shù)

x

kn

(x>0)圖象上的兩點，已知A8〃C0〃y軸，直線A3、分別交了軸于E、F,

x

根據(jù)圖中信息，下列結(jié)論正確的有()

①。尸=&②%-=-—；③型J-；④四q

3k24AB3EBDF

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（本題共4小題，每小題3分，共12分）

13.（3分）二次函數(shù)y=/-4x+4的頂點坐標(biāo)是.

14.（3分）如圖，O是坐標(biāo)原點，菱形0ABe的頂點A的坐標(biāo)為（3,4）,頂點C在x軸

的正半軸上，則NA0C的角平分線所在直線的函數(shù)關(guān)系式為.

15.（3分）如圖，大樓底右側(cè)有一障礙物，在障礙物的旁邊有一棟小樓。E,在小樓的頂端

D處測得障礙物邊緣點C的俯角為30°,測得大樓頂端A的仰角為45°（點B,C,E

在同一水平直線上）.已知A8=40m,DE=10m,則障礙物B,C兩點間的距離為

m.（結(jié)果保留根號）

□

□

□

□

□

□

□

□

16.（3分）如圖，點E是矩形A8CQ的一邊的中點，BfUCE于F,連接AF；若A8

=4,AD=6,則sin/A戶E=

AB

三、解答題（本題共7小題，其中第17題5分，第18題6分，第19題7分，第20題8

分，第21題8分，第22題9分，第23題9分，共52分）

17.（5分）計算：tan45°-tan%。。+sin30°-J5cos30°.

18.（6分）解方程：2（x-3）2=尤-3.

19.（7分）如圖，四張正面分別寫有1、2、3、4的不透明卡片，它們的背面完全相同，現(xiàn)

把它們洗勻，背面朝上放置后，開始游戲.游戲規(guī)則如下：

連摸三次，每次隨機摸出一張卡片，并翻開記下卡片上的數(shù)字，每次摸出后不放回，如

果第三次摸出的卡片上的數(shù)字，正好介于第一、二次摸出的卡片上的數(shù)字之間，則游戲

勝出，否則，游戲失敗.問：

（1）若已知小明第一次摸出的數(shù)字是4,第二次摸出的數(shù)字是2,在這種情況下，小明

繼續(xù)游戲，可以獲勝的概率為.

（2）若已知小明第一次摸出的數(shù)字是3,求在這種情況下，小明繼續(xù)游戲，可以獲勝的

概□率（要求列表□或用樹狀圖□求）□

20.（8分）如圖，E、歹是正方形ABC。對角線AC上的兩點，且連接8￡、

DE、BF、DF.

（1）求證：四邊形8瓦不是菱形:

（2）求tan/AFZ）的值.

21.（8分）某商場購進一種每件價格為90元的新商品，在商場試銷時發(fā)現(xiàn)：銷售單價元

/件）與每天銷售量y（件）之間滿足如圖所示的關(guān)系.

（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出售價定為多少時，每

天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

22.（9分）如圖，點尸是反比例函數(shù)y=-生（尤＜0）圖象上的一動點，出，無軸于點A,

在直線上截取。2=?。c2在第一象限），點C的坐標(biāo)為（-2,2?）,連接

AC、BC、OC.

（1）填空：0C=，/BOC=；

（2）求證：△AOCs/iCOB；

（3）隨著點P的運動，/ACB的大小是否會發(fā)生變化？若變化，請說明理由，若不變,

則求出它的大小.

23.（9分）如圖，拋物線交無軸于A、8兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C,直線

y=-當(dāng)+3經(jīng)過點C與x軸交于點。，拋物線的頂點坐標(biāo)為（2,4）.

.4

（1）請你直接寫出CD的長及拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求點8到直線CD的距離；

（3）若點尸是拋物線位于第一象限部分上的一個動點，則當(dāng)點P運動至何處時，恰好使

ZPDC=45°?請你求出此時的P點坐標(biāo).

2018-2019學(xué)年廣東省深圳市福田區(qū)九年級（上）期末數(shù)

學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分，每小題給出4個選項，其中只有一

個是正確的）

1.【考點】U2：簡單組合體的三視圖.

【專題】55F：投影與視圖.

【分析】直接利用俯視圖即從物體的上面往下看，進而得出視圖.

◎

【解答】解：墨水瓶的瓶蓋和瓶身都是圓柱形，則它的俯視圖是：.

故選：A.

【點評】此題主要考查了簡單組合體的三視圖，注意觀察角度是解題關(guān)鍵.

2.【考點】G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【專題】534：反比例函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征進行判斷.

【解答】解：V-2X4=-8,-4X2=-8,3X5=15,-IX（-8）=8,

...點（-1,-8）在反比例函數(shù)y=&的圖象經(jīng)上.

X

故選：B.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=k（k為常數(shù),k

x

#0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x,y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值比即孫=人.

3.【考點】SA：相似三角形的應(yīng)用；U5：平行投影.

【專題】55D：圖形的相似.

【分析】在同一時刻，物體的實際高度和影長成比例，據(jù)此列方程即可解答.

【解答】解：???同一時刻物高與影長成正比例.

1.8：1.5=旗桿的高度：12

旗桿的高度為14.4米

故選：C.

【點評】本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出

方程，通過解方程求出旗桿的高度，體現(xiàn)了方程的思想.

4.【考點】A3：一元二次方程的解.

【專題】523：一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】把x=l代入方程/+〃優(yōu)-2=0得到關(guān)于m的一元一次方程，解之即可.

【解答】解：把x=l代入方程，+〃1r-2=0得：

1+m-2=0,

解得：機=1,

故選：A.

【點評】本題考查了一元二次方程的解，正確掌握代入法是解題的關(guān)鍵.

5.【考點】S7：相似三角形的性質(zhì).

【專題】55D：圖形的相似.

【分析】根據(jù)對應(yīng)高的比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方解答.

【解答】解：???相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，

兩三角形的相似比為1：3,

兩三角形的面積比為1：9.

故選：C.

【點評】本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解，相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.

6.【考點】X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應(yīng)用.

【分析】先求出任摸一球的組合情況總數(shù)，再求出同時摸到紅球的數(shù)目，利用概率公式

計算即可.

【解答】解：分別往兩袋里任摸一球的組合有6種：紅紅，紅紅，紅白，白紅，白紅，

白白；其中紅紅的有2種，

所以同時摸到紅球的概率是2=2.

63

故選：A.

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所

有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用

到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

7.【考點】T1：銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】在直角三角形AC。中，根據(jù)正切的意義可求解.

CD-3

故選:B.

【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義.將角轉(zhuǎn)化到直角三角形中是解答的關(guān)鍵.

8.【考點】S4：平行線分線段成比例.

【專題】55D：圖形的相似.

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得膽=些，代入計算即可解答.

ACDF

【解答】解:-：li//l2//l3>

-AB_DE即2=6

,?而—F~5~W

解得：DF=15,

：.EF=15-6=9.

故選：A.

【點評】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對應(yīng)成比例是

解題的關(guān)鍵.

9.【考點】AA：根的判別式.

【專題】523：一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】當(dāng)時，是一元二次方程，根據(jù)根的判別式的意義得△=22-4〃X(-2)

=4(1+2。)20,然后解不等式；當(dāng)。=0時，是一元一次方程有實數(shù)根，由此得出答案

即可.

【解答】解：當(dāng)aWO時，是一元二次方程，

?.?原方程有實數(shù)根，

.?.△=22-4AX(-2)=4(l+2a)

當(dāng)。=0時，2x-2=0是一元一次方程，有實數(shù)根.

故選：A.

【點評】本題考查了一元二次方程"2+a+c=0(aWO,a,6,c為常數(shù))的根的判別式

△=&2-4ac.當(dāng)△>(),方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=(),方程有兩個相等的實數(shù)

根；當(dāng)△<(),方程沒有實數(shù)根.也考查了一元二次方程的定義.進行分類討論是解題的

關(guān)鍵.

10.【考點】1G：有理數(shù)的混合運算；AC：由實際問題抽象出一元二次方程.

【專題】523：一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】設(shè)平均每次增長的百分數(shù)為無，根據(jù)“某商品原價為100元，第一次漲價40%,

第二次在第一次的基礎(chǔ)上又漲價10%”，得到商品現(xiàn)在的價格，根據(jù)“某商品原價為100

元，經(jīng)過兩次漲價，平均每次增長的百分數(shù)為x”，得到商品現(xiàn)在關(guān)于x的價格，整理后

即可得到答案.

【解答】解：設(shè)平均每次增長的百分數(shù)為尤，

:某商品原價為100元，第一次漲價40%,第二次在第一次的基礎(chǔ)上又漲價10%,

，商品現(xiàn)在的價格為：100(1+40%)(1+10%),

:某商品原價為100元，經(jīng)過兩次漲價，平均每次增長的百分數(shù)為尤，

商品現(xiàn)在的價格為：100(1+x)2,

：.100(1+40%)(1+10%)=100(1+無)2,

整理得：(1+40%)(1+10%)=(1+x)2,

故選：C.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程和有理數(shù)的混合運算，正確找出等

量關(guān)系，列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

11.【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：(A)由圖象可知：a<0,c>0,

：.b>0,

Aabc<0,故A正確；

(B)由對稱軸可知：—L=l,

2a

2a+b=0,故正確；

(C)當(dāng)x=-2時，y<0,

：.4a-2b+c<0,故C錯誤；

CD)(-1,0)與(3,0)關(guān)于直線x=l對稱，

：.9a+3b+c=0,故。正確；

故選：C.

【點評】本題考查二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵熟練運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題屬于中

等題型.

12.【考點】G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【專題】532：函數(shù)及其圖像.

【分析】設(shè)E(a,0),F(b,0),由A、B、C縱橫坐標(biāo)積等于左可確定a,b的數(shù)量關(guān)

系，從而說明各個結(jié)論的正誤.

【解答】解：設(shè)E(a,0),F(b,0),則3a=6=所，-4a=-近，

,故①②正確;

1+1

.?.-C-D--C-F-+-D-F--_-/-_-3-_--1，

AB-7-73

???③正確；

..AE^3_CF_1?3

,而RDF

④正確，

故選：D.

【點評】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，理解運用上的幾何意義是解答此題的關(guān)鍵.

二、填空題(本題共4小題，每小題3分，共12分)

13.【考點】H3：二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】先把一般式配成頂點式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

【解答】解：''y=x-4x+4=（尤-2）2,

，拋物線的頂點坐標(biāo)為（2,0）.

故答案為（2,0）.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：熟練掌握二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)公式，對稱軸方程

和二次函數(shù)的增減性.

14.【考點】FA：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；L8：菱形的性質(zhì).

【專題】556：矩形菱形正方形.

【分析】延長區(qū)4交y軸于則軸，依據(jù)點A的坐標(biāo)為（3,4）,即可得出B（8,

4）,再根據(jù)NAOC的角平分線所在直線經(jīng)過點3,即可得到函數(shù)關(guān)系式.

【解答】解：如圖所示，延長8A交y軸于。，則軸，

:點A的坐標(biāo)為（3,4）,

：.AD=3,OD=4,

.?.AO=AB=5,

???5。=3+5=8,

：.B（8,4）,

設(shè)/AOC的角平分線所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx,

?菱形。42c中，/AOC的角平分線所在直線經(jīng)過點2,

；.4=8左，即％=工，

2

???ZAOC的角平分線所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=L,

【點評】此題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及菱形的性質(zhì)的運用，正確得

出B點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

15.【考點】TA：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】過點。作DF±AB于點F,過點C作CH1DF于點H,則DE=BF=CH=10m,

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出DF的長，在RtZXCDE中，利用銳角三角函數(shù)的定義得出CE

的長，根據(jù)BC=BE-CE即可得出結(jié)論.

【解答】解：過點D作DF±AB于點F,過點C作CHLDF于點H.

口

口

口

口

口

口

口

口

則DE=BF=CH=10m,

在RtZvlOF中，AF=AB-BF=30m,NA。尸=45°,

：.DF^AF^30m.

在RtZ^CDE中，DE=10m,NDCE=30°,

/.CE=—四『=袈=1073(m),

tan30°返

3

：.BC=BE-CE=(30-lo/3)m.

答：障礙物8,C兩點間的距離為(3O-1W5)m.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)

造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

16.【考點】LB：矩形的性質(zhì)；T7：解直角三角形.

【專題】553：圖形的全等；554：等腰三角形與直角三角形；556：矩形菱形正方形；

55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】延長CE交的延長線于點G,由題意可證AAGE絲△￡)”,可得AG=CD=

4,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得由勾股定理可求CG=10,即可求sin/

APE的值.

【解答】解：延長CE交區(qū)4的延長線于點G,

???四邊形ABC。是矩形，

J.AB//CD,AB=CD=4,AD=BC=6,

:?NG=NGCD,且AE=DEA,NAEG=/DEC

：.AAGE^ADCE(A4S)

：.AG=CD=4,

：.AG=AB,_&BFLGF,

：.AF=AG=AB=4

：.ZAFE=ZAGF,

???3G=AG+A8=8,BC=6

,'-GC=VBG2+BC2=1°

...sinZAFE=sinZAGF=^-=^~

GC5

故答案為：2

5

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角

三角函數(shù)等知識，靈活運用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運用知識是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本題共7小題，其中第17題5分，第18題6分，第19題7分，第20題8

分，第21題8分，第22題9分，第23題9分，共52分)

17.【考點】2C：實數(shù)的運算；T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】11：計算題.

【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值求解即可

【解答】解：原式=1-?亨

=1-3+---

22

=-3

【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵.

18.【考點】A8：解一元二次方程-因式分解法.

【專題】11：計算題.

【分析】方程移項后，利用因式分解法求出解即可.

【解答】解:方程移項得：2（尤-3）2-（x-3）=0,

分解因式得：（x-3）（2x-7）=0,

可得尤-3=0或2x-7=0,

解得：xi—3,X2—3.5.

【點評】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題

的關(guān)鍵.

19.【考點】X3：概率的意義；X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應(yīng)用.

【分析】（1）依據(jù)第三次摸出的卡片上的數(shù)字可能是1或3,其中摸到3能獲勝，即可得

到小明繼續(xù)游戲可以獲勝的概率；

（2）依據(jù)小明第一次摸出的數(shù)字是3,畫出樹狀圖，即可得到6種等可能的情況，其中

第三次摸到的數(shù)介于前兩個數(shù)之間的只有一種情況，進而得出小明獲勝的概率.

【解答】解：（1）小明第一次摸出的數(shù)字是4,第二次摸出的數(shù)字是2,在這種情況下，

小明繼續(xù)游戲，第三次摸出的卡片上的數(shù)字可能是1或3,其中摸到3能獲勝，

可以獲勝的概率為上，

2

故答案為：—；

2

（2）畫樹狀圖如下：

第二次第三次所有可能出現(xiàn)的結(jié)果

(3,1,2)

(3,1,4)

(3,2,1)

(3,2,4)

(3,4,1)

(3,4,2)

共有6種等可能的情況，其中第三次摸到的數(shù)介于前兩個數(shù)之間的只有一種情況：（3,1,

2),

則P（小明能獲勝）=2.

6

【點評】此題主要考查了概率的意義以及樹狀圖法與列表法的運用，當(dāng)有兩個元素時，

可用樹形圖列舉，也可以列表列舉.利用樹狀圖或者列表法列舉出所有可能是解題關(guān)鍵.

20.【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LA：菱形的判定與性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì)；

T7：解直角三角形.

【專題】556：矩形菱形正方形；55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】（1）連接8。交AC于點。，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OA=OC,OB=OD,AC

±BD,證明OE=OF,得到四邊形B瓦不是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理證明；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OD=3OF,根據(jù)正切的定義計算，得到答案.

【解答】（1）證明：連接8。交AC于點。

?..四邊形ABC。是正方形，

J.OA^OC,OB=OD,S.AC±BD,

'：AE^CF,

：.OA-AE=OC-CF,即OE=OF,

又：08=0。，

四邊形8EQE是平行四邊形，

又；ACLBD,

,平行四邊形8瓦加是菱形；

（2）解：'：EF=2OF,EF=CF,

CF=2OF,

；.OC=3OR又。。=OC,

：.OD=3OF,

在正方形ABCD中，AC±BD,

：.ZDOF=90°,

在RtZk。。/中，tan/AFD=亞=3.

OF

【點評】本題考查的是正方形的性質(zhì)、菱形的判定、正切的定義，掌握正方形的四條邊

相等、四個角相等是解題的關(guān)鍵.

21.【考點】HE：二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】536：二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】(1)先利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；

(2)用每件的利潤乘以銷售量得到每天的利潤W,即W=(x-90)(-尤+170),然后根

據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

【解答】解：(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為>=丘+6,

根據(jù)題意得(12°k+b=50,解得(k=-l,

ll40k+b=30lb=170

與尤之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+170；

(2)W=(x-90)(-x+170)

=-X2+260X-1530,

：W=-?+260x-1530=-(x-130)2+1600,

而a--l<0,

，當(dāng)x=130時,W有最大值1600.

答：售價定為130元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是1600元.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：利用二次函數(shù)解決利潤問題，先利用利潤=沒件

的利潤乘以銷售量構(gòu)建二次函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求二次函數(shù)的最值，

一定要注意自變量x的取值范圍.

22.【考點】GB：反比例函數(shù)綜合題.

【專題】537：函數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】(1)過點C作軸于點E,過點B作無軸于點R由點C的坐標(biāo)可得

出OE,CE的長度，進而可求出0C的長度及NAOC的度數(shù)，由直線0B的解析式可得

出/的度數(shù)，再利用/8OC=180°-/AOC-尸即可求出/BOC的度數(shù)；

(2)由(1)可知/A0C=N80C,由點尸是反比例函數(shù)y=-邁(x<0)圖象上的一

x

動點，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出出?。4=16,結(jié)合。及0C=4,

可得出空.=匹，結(jié)合NA0C=/80C即可證出△AOCS/\COB；

OCOB

(3)由△AOCs/iCOB利用相似三角形的性質(zhì)可得出/CAO=/BC。，在△AOC中，

利用三角形內(nèi)角和定理可求出NC4O+/OCA=120°,進而可得出N2C0+/0CA=

120°,即NAC2=120°.

【解答】(1)解：過點C作CE_Lx軸于點E,過點8作8尸1^軸于點孔如圖所示.

:點C的坐標(biāo)為(-2,2近)，

：.OE=2,CE=2近，

AOC=VOE2+CE2=4-

tanZAOC—^-—,J3,

0E

ZAOC=60°.

?..直線OB的解析式為y=技，

/.ZBOF=60°,

.*.ZBOC=180°-ZAOC-ZBOF=60°.

故答案為：4；60°.

(2)證明：VZAOC=60°,ZBOC=60°,

/AOC=ZBOC.

.點尸是反比例函數(shù)y=-坦(x<0)圖象上的一動點，

：.PA'OA=16.

"：PA=OB,

：.OB-OA=16=0(^,

即處=匹，

0COB

...AAOC^ACOB.

(3)解：NACB的大小不會發(fā)生變化，理由如下：

△AOCsMOB,

J.ZCAO^ZBCO.

在△AOC中，ZAOC=6Q°,

：.ZCAO+ZOCA^12Q°,

：.ZBCO+ZOCA^12Q°,

BPZACB=120°.

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、

相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是：(1)利用勾股定理及

角的計算，找出0C的長及N80C的度數(shù)；(2)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、

OC=4及OB=PA,找出毀=匹；(3)利用相似三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，

OC0B

找出/8CO+/OC4=120°.

23.【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】16：壓軸題.

【分析】(1)求出點C,。的坐標(biāo)，再用勾股定理求得的長；設(shè)拋物線為y=a(x-

2)2+4,將點C坐標(biāo)代入求得a,即可得出拋物線的函數(shù)表達式；

(2)過點B直線的垂線，垂足為X,在中，利用銳角三角函數(shù)即可求得

點B到直線CD的距離；

(3)把點C(0,3)向上平移4個單位，向右平移3個單位得到點E(3,7),可得△

OCDqAFEC,則為等腰直角三角形，且NEDC—45°,所以直線與拋物線

的交點即為所求的點P.

【解答】解：(1)?.?尸_^x+3，

：.C(0,3),D(4,0),

VZCOD=90°,

CD=-^32+42=5?

設(shè)拋物線為y=a(x-2)2+4,將點C(0,3)代入拋物線，

得3=4a+4,

.1

y

...拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=.(x-2)2+4；

(2)解：過點2作于

由-^-(x-2)2+4=0，

可得尤1=-2,X2=6,

...點8的坐標(biāo)為(6,0),

：OC=3,OD=4,CO=5,

：.OB=6,從而BD=2,

在RtADHB中，

,:BH=BD,sinZBDH=孫sin/CZ)O=2義色上

55

.?.點8到直線。的距離為g.

5

(3)把點C(0,3)向上平移4個單位，向右平移3個單位得到點E,7),

；CF=OD=4,EF=OC=3,/CFE=/DOC=9U°,

:AOCD%AFEC,

：.ZFCE^ZODC,EC=DC,

.?.ZEC￡>=180°-CZFCE+ZOCD)=180°-CZODC+ZOCD)180°-90°=

90°,

...△￡＞￡(?為等腰直角三角形，且/即C—45

因而，與拋物線的交點即為所求的點尸.

由E(3,7),D(4,0),可得直線E￡＞的解析式為：y=-7尤+28,

y=-7x+28

由＜19

廠方(x-2)氣4

/x=16-2V39

(另一組解不合題意，已舍去.)

.尸14爽^-84

所以，此時P點坐標(biāo)為(16-2/南，14V39-84).

【點評】本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力

考點卡片

1.有理數(shù)的混合運算

（1）有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右

的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算.

（2）進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化.

【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運算的四種運算技巧

1.轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運算中，通

常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)進行約分計算.

2.湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的

兩個數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個數(shù)分別結(jié)合為一組求解.

3.分拆法：先將帶分數(shù)分拆成一個整數(shù)與一個真分數(shù)的和的形式，然后進行計算.

4.巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便.

2.實數(shù)的運算

（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、幕的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準(zhǔn)確度.

3.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知

數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解.這X1，X2是一元二次方程ax+bx+c

=0QW0)的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

22

axi+bxi+c=0(aWO),ax2~+bx2^~c=0(aWO).

4.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形

式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因

式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程

的解.

5.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△="-4℃)判斷方程的根的情況.

一元二次方程4X2+6X+C=0(aWO)的根與-4ac有如下關(guān)系：

①當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當(dāng)△<()時，方程無實數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

6.由實際問題抽象出一元二次方程

在解決實際問題時，要全面、系統(tǒng)地申清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找

出并全面表示問題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，

即列出一元二次方程.

7.待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟是：

(1)先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時，先設(shè)y=fcv+6；

(2)將自變量尤的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的

方程或方程組；

（3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進而寫出函數(shù)解析式.

注意：求正比例函數(shù)，只要一對x,y的值就可以，因為它只有一個待定系數(shù)；而求一次函

數(shù)>=區(qū)+"則需要兩組無，y的值.

8.反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

反比例函數(shù)無（左為常數(shù)，左W0）的圖象是雙曲線，

①圖象上的點（x,y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值%,即孫=%；

②雙曲線是關(guān)于原點對稱的，兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱；

③在尤圖象中任取■點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形

的面積是定值因.

9.反比例函數(shù)綜合題

（1）應(yīng)用類綜合題

能夠從實際的問題中抽象出反比例函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型，是解決實際問題的關(guān)鍵一步，培養(yǎng)了

學(xué)生的建模能力和從實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的能力.在解決這些問題的時候我們還用到了

反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法和其他學(xué)科中的知識.

（2）數(shù)形結(jié)合類綜合題

利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在.已知點在圖象上，那么點

一定滿足這個函數(shù)解析式，反過來如果這點滿足函數(shù)的解析式，那么這個點也一定在函數(shù)圖

象上.還能利用圖象直接比較函數(shù)值或是自變量的大小.將數(shù)形結(jié)合在一起，是分析解決問

題的一種好方法.

10.二次函數(shù)的性質(zhì)

二次函數(shù)（〃70）的頂點坐標(biāo)是（--卜-，）,對稱軸直線兀=-上

2a4a2a

二次函數(shù)（〃#0）的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)〃>0時，拋物線y=Q，+bx+c（〃wo）的開口向上，上L時，y隨％的增大而減小;

2a

2

尤〉--L時，y隨X的增大而增大；x=-旦時，y取得最小值4或zb一,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最低點.

②當(dāng)a<0時，拋物線y=ax2+bx+cQW0）的開口向下，x<-'時，y隨x的增大而增大;

2a

2

尤>-互時，y隨X的增大而減?。粁=-'時，y取得最大值細￡二k_,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最I(lǐng)WJ點.

③拋物線y=ax+bx+c（a#0）的圖象可由拋物線y=ax的圖象向右或向左平移|-二|個單

'2a

位，再向上或向下平移伊③?-b2?個單位得到的.

4a

11.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

二次函數(shù)>=依2+笈+。（aWO）

①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.

當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口；間還可以決定開口大小，\a\

越大開口就越小.

②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)。共同決定對稱軸的位置.

當(dāng)a與6同號時（即a6>0）,對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即a6<0）,對稱軸在y

軸右.（簡稱：左同右異）

③.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交于（0,c）.

④拋物線與x軸交點個數(shù).

△=/-4℃>0時，拋物線與x軸有2個交點；△=濟-4改=0時，拋物線與尤軸有1個交

點；△=廿-4改<0時，拋物線與無軸沒有交點.

12.二次函數(shù)的應(yīng)用

（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題

在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題.解此類題的關(guān)鍵是通過題意，

確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量尤的取值要使實際問題有

意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍.

（2）幾何圖形中的最值問題

幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾

何中的最值的討論.

（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題

利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實際問題中

的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決

一些測量問題或其他問題.

13.二次函數(shù)綜合題

（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題

解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系

式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即

為正確選項.

（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用

將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關(guān)鍵

是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

（3）二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用題

從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立

直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的

取值范圍要使實際問題有意義.

14.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔

助線構(gòu)造三角形.

15.菱形的性質(zhì)

（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

（2）菱形的性質(zhì)

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；

④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.

（3）菱形的面積計算

①利用平行四邊形的面積公式.

②菱形面積=Lb.（。、6是兩條對角線的長度）

2

16.菱形的判定與性質(zhì)

（1）依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形.不管原四邊形的形狀怎樣改

變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形.

（2）菱形的中點四邊形是矩形（對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形定為矩形，對角線

相等的四邊形的中點四邊形定為菱形.）―（3）菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首

先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就

增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法.

（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不

只是正方形.

17.矩形的性質(zhì)

（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

（2）矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對角線：矩形的對角線相等；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所

在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點.

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半.

18.正方形的性質(zhì)

（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

（2）正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，

有四條對稱軸.

19.平行線分線段成比例

（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.

（2）定理2：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，

那么這條直線平行于三角形的第三邊.

（3）定理3：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所

截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.

20.相似三角形的性質(zhì)

相似三角形的定義：如果兩個三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相

似.

（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.

（2）相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；

相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比.

（3）相似三角形的面積的比等于相似比的平方.

由三角形的面積公式和相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比

等于相似比的平方.

21.相似三角形的應(yīng)用

（1）利用影長測量物體的高度.①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用

相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的

原理解決.②測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測

量物的長度.

（2）利用相似測量河的寬度（測量距離）.①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距

離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點應(yīng)在一條直線上.必須保證在一