2023屆高考一輪復(fù)習(xí) 解析幾何綜合練習(xí)（含解析）

2023屆高考一輪復(fù)習(xí)解析幾何綜合練習(xí)15

一、選擇題（共8小題）

1.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（0,JB.（0,1）C.（1,0）

2.雙曲線?-y2=i的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）

A.2B.>/2C.1D.3

3.已知雙曲線C：9一《=1（b>0）的兩條漸近線互相垂直，則C的離心率e等于（）

A.1B.V2C.V3D.2

4.已知橢圓1+（=1的兩焦點(diǎn)分別為F],F2,以橢圓短軸的兩頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，線段F]F2為虛軸的

64

雙曲線方程為（）

A.X2—y2=2B.y2—x2=2C.x2—y2=V2D.y2—x2=V2

5.點(diǎn)P是圓（%+l）2+（y-2）2=2上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線無一y-1=0距離的最大值為

（）

A.V2B.2V2C.3V2D.2+2企

6.已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為廣，準(zhǔn)線為，，P是/上一點(diǎn)，直線PF與拋物線交于M,N兩點(diǎn)，

若而=3MF,則\MN\等于（）

A.竺B,2C.2D.晅

333

7.己知過拋物線產(chǎn)=4魚x焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于4,B兩點(diǎn)，且赤=3而,拋物線的準(zhǔn)線

，與x軸交于點(diǎn)C,AM_L，于點(diǎn)M,則四邊形4MCF的面積為（）

A.12V3B.12C.8V3D.673

8.己知雙曲線C：5一5=1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi（-c,0）,尸2（（7,0）,點(diǎn)N的坐

標(biāo)為（一6安）.若雙曲線C左支上的任意一點(diǎn)M均滿足|MF2l+IMN|>4b,則雙曲線C的離

心率的取值范圍為（）

A.（苧，伺B.（V5,V13）

C.（1呼）U（V5,+8）D.（1,V5）U（V13,+8）

二、選擇題（共4小題）

9.已知圓。1的方程為/+y2=i,圓。2的方程為（x+a）2+y2=4,如果這兩個(gè)圓有且只有一

個(gè)公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的值可以為（）

A.1B.-1C.3D.5

10.己知雙曲線捻-苴=1(￡1>0為>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2,在雙曲線上存在點(diǎn)P滿足

2|西+A瓦IW|瓦可則此雙曲線的離心率e可以是()

A.V2B.V3C.2D.3

11.已知點(diǎn)4是直線，:x+y-10=0上一定點(diǎn)，點(diǎn)P,Q是圓C:(x-4尸+(y-2尸=4上的動(dòng)點(diǎn),

若4PAQ的最大值為60。，則點(diǎn)4的坐標(biāo)可以是()

A.(4,6)B.(2,8)C.(6,4)D.(8,2)

12.己知橢圓G：^+3=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為B，尸2，離心率為ei，橢圓口的上頂

點(diǎn)為M,且麗?麗=0.雙曲線C2和橢圓G有相同焦點(diǎn)，且雙曲線C2的離心率為02，P

為橢圓G與雙曲線C2的一個(gè)公共點(diǎn)，若NFIPF2=T，則正確的是()

==

A.￡=2B.et-e2YC.ef+|D.登—e：=1

三、填空題(共4小題)

13.已知橢圓m+3=l(a>b>0)的短軸長為2,上頂點(diǎn)為A,左頂點(diǎn)為B,左、右焦點(diǎn)分

a2b2

別是Fl,尸2,且△F1AB的面積為T，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則看+焉的取

值范圍是.

14.已知直線(fc-3)x+(4-k)y+1=0與/2:2(fc-3)x-2y+3=0平行，則k的值

是.

15.已知圓C:x2+y2=4與圓D：/+丁2—4x+2y+4=0交于A,B兩點(diǎn)，則兩圓連心線CD的

方程為,兩圓公共弦4B的長為.

16.在AZBC中，|4B|=|8C|,cosB=-5，若以A,B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C,則該橢圓的離心

18

率e=.

四、解答題(共6小題)

17.己知圓C：(x-1尸+(y-27=25,直線八(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0.

(1)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)m,直線，恒過定點(diǎn)且與圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)；

(2)求直線I被圓C截得的弦長最小時(shí)的方程.

18.如圖，己知48是圓/+)/2=4與x軸的交點(diǎn)，P為直線，:x=4上的動(dòng)點(diǎn)，P4,PB與圓

的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N.

(1)若P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,6),求直線MN的方程；

(2)求證：直線MN過定點(diǎn).

19.已知橢圓>捺+\=1(。>6>0)的離心率為苧，短軸長為2.

(1)求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)Q(0,2)的直線I與橢圓L交于4,B兩點(diǎn)，若以48為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)，求

直線1的方程及IABI的大小.

20.已知拋物線C:/=2py(p>0),其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,直線(與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),

過4B分別作拋物線C的切線。與，2交于點(diǎn)時(shí).

(1)求P的值；

(2)若匕1求△MAB面積的最小值.

21.己知橢圓￡:5+祭=1((1>/7>0)的離心率為￥，且過點(diǎn)C(l,0).

(1)求橢圓E的方程.

(2)若過點(diǎn)(-M。)的任意直線與橢圓E相交于4B兩點(diǎn)，線段4B的中點(diǎn)為M,求證：對(duì)

任意直線，MB|=2ICM|.

22.順次連接橢圓C:[=l(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)，怡好構(gòu)成了一個(gè)邊長為V3且面積為2企

a2b2

的菱形.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)M(—3,0),過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線I交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若對(duì)滿足條件的任意

直線1,不等式?麗W/lQeR)恒成立，求4的最小值.

答案

1.c

【解析】拋物線y2=2PMp>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為信0）,

則在拋物線y2=4%中，2p=4,解得p=2,

則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）.

2.C

【解析】在雙曲線9-y2=i中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±的,0）,漸近線方程為y=±：x,

所以雙曲線1-y2=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離d=盥=1.

4JV1+4

3.B

【解析】由題意得一2/二一1,可得Q=力，

aa

rji.i2c?a2+b2

則e=/=-Q2，

所以e=V2.

4.B

【解析】由橢圓方程可得雙曲線的兩焦點(diǎn)為（0,2）,（0,-2）,虛軸長為|&尸2|=2或，

所以雙曲線的虛半軸長為VL長半軸長為122-（迎）2=企,

所以雙曲線方程為《一?=1,

即y2—x2=2.

5.C

【解析】圓（％++（y—2/=2的圓心為（一1,2）,半徑丁=魚,

因?yàn)閳A心（一1,2）到直線x-y-l=0距離d==2Vz點(diǎn)P是圓（%+I）2+（y-2）2=2±

任一點(diǎn)，

所以點(diǎn)P到直線x-y-l=0的距離的最大值為：d+r=2V2+V2=3&.

6.B

【解析】拋物線C：丫2=2工的焦點(diǎn)為尸仔,0）,準(zhǔn)線為入=一|,

設(shè)N（%2，y2），M,N到準(zhǔn)線的距離分別為c?M，dNf

如圖，過M向［作垂線，垂足為Q,則CZM=|MQ|.

由拋物線的定義可知\MF\=dM=X1|/VF|=dN=x2+^,

于是\MN\=\MF\+\NF\=xx+x2+1.

因?yàn)閮?3而三則PM=2QM,

易知直線MN的斜率為±百，

因?yàn)槭?，。)，所以直線PF的方程為y=±g(x-J，

將、=±V5(x代入方程y2=2%,得3(%—=2x,

化簡(jiǎn)得12/-20x4-3=0,所以+犯=|，

于是\MN\=%1+二2+1=§+1=3

7.A

【解析】過8作BN11于N,過B作BK14M于K,

設(shè)18尸|=加，|AF|=3m,貝iJ|4B|=4m,IAK|=2m,

所以484M=60°,

所以ICF|=p=|m=2>/2,

所以m=乎，

所以|AM|=3m=4V2,IMC|=|AF\sin60°=3mxy=2屜,

所以S四邊形AMCF=*ICF?+1A"D-lWC|=1x(2V2+4V2)x2V6=12V3.

8.C

【解析】由已知可得IMF2I-I|=2a,

若IMF2I+|MN|>4b,

即IM&I+|M/VI+2a>46,

由題意知，左支上的點(diǎn)M均滿足|MF2I+|MN\>4b,

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)M位于H點(diǎn)時(shí)，II+|MNI最小，

故---1-2a>4b,即3b2+4a2>8ab,

2a

所以3b2—8ab+4a2>0,

所以(2a—b)(2a—3b)>0,

所以2a>3b或2Q<b,

所以4Q2>9b2或4a2<b2,

所以9c2<13a2或02>5a2,

所以1v￡v或￡>Vs,

a3a

所以雙曲線C的離心率的取值范圍為(1,嚀)U(75,4-00).

9.A,B,C

【解析】由題意得兩圓心之間的距離d=|a|=2+l=3或d=|a|=2-1=1,

所以a=-3.故選ABC.

10.C,D

【解析】由0P為AF1PF2的中線，可得麗+恒=2萬，

由2|南+朋|W|瓦耳，可得4|而|二|及引，

由|討|2a,|瓦引=2c,可得4aW2c,可得e=：N2.

11.A,D

【解析】點(diǎn)4是直線Lx+y-10=0上一定點(diǎn)，點(diǎn)P,Q是圓C:（久一4尸+（y-2）24上的動(dòng)點(diǎn),

如圖，圓C的半徑為2,

所以直線上的A到圓心的距離為4,

結(jié)合圖形，可知2的坐標(biāo)為（4,6）或（8,2）,滿足題意.

12.B,D

"2”2

【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為考-訝=>0,瓦>0）,半焦距為c.

因?yàn)闄E圓G的上頂點(diǎn)為M,

且麗.元=0.

所以NF1MF2=今

所以b=c,所以。2=2c2.

所以ei=￡=與

1a2

n

不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，設(shè)|P&l=zn,IPF21=-

所以？n+n=2a,m—n=2ar.

所以7nzi=如坦上空包=一優(yōu).

在△PKF2中，由余弦定理可得，

4c2=m2+n2-2mncos=(m+ri)2—3mn=4a2—3(a2一

所以4c2=a2+3ai.

V3

兩邊同除以c2,得4=專+親解得02=-

V2

V3-

所以含=飄近=倔&&=今湖2

+ei=|+|=2,e^-ef=|-1=1.

故選BD.

13.[1,4]

【解析】由己知得2b=2,

所以b=1,

SARAB=：(a-c)b=,

所以Q—c=2—V3,

又a2—c2=(a+c)(a—c)=b2=1,可得Q+c=2+,

解得Q=2,c=V3,

所以「&|+『尸21=2。=4,

設(shè)|PFJ=x,貝1J|PF2|=4-x,且2-V3<x<2+V3,

2

所以^77+7^77=-+=-2f—，—x+4x=—(%—27+4E[1,4]，

IPFil\PF2\x4-x-X+4X\'L，J

所以i^+iAie[1<4]-

14.3或5

【解析】由兩直線平行得，當(dāng)k-3=0時(shí)，兩直線的方程分別為y=-l與y=|,顯然兩直線平行:

當(dāng)k一340時(shí)，由離可得k=5,綜上所述，k的值是3或5.

Z\K—3)—Z3

15.x+2y=0,華

【解析】由題意知，圓C的圓心坐標(biāo)為(0,0),圓。的圓心坐標(biāo)為(2,—1),

可得兩圓連心線CD的方程為x+2y=0,

X2+y2=4,

聯(lián)立兩圓方程

“2+y2-4%+2y+4=0,

易知兩圓公共弦AB所在直線的方程為2x-y-4=0,

圓C的圓心到直線AB的距離d=言』=%

V22+l2V5

根據(jù)勾股定理，可知弦長為2=竿.

⑹I

【解析】設(shè)148|=|BC\=1,結(jié)合余弦定理求IACI,即cosB=7

18,

解得IACl=|，

然后結(jié)合桶圓的定義知，IC4|+|CB|=2a=|,

又焦距2c=1,故離心率e=：=；.

a8

17.(1)直線I：(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0可化為m(2x+y—7)+(%+y—4)=0,

由解得｛::

所以直線I恒過點(diǎn)P(3,l),而點(diǎn)P(3,l)在圓C內(nèi)，

所以對(duì)任意實(shí)數(shù)m,直線1恒過點(diǎn)P(3,l)且與圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn).

(2)由(1)得，直線］恒過圓C內(nèi)的定點(diǎn)P(3,l),

設(shè)過點(diǎn)P的弦長為a,過圓心C向直線/作垂線，垂足為弦的中點(diǎn)H,

則(f)2+|CH|2=25,弦長a最短，

則CH最大,而|CH|<|CP|,

當(dāng)且僅當(dāng)H與P重合時(shí)取等號(hào)，

此時(shí)弦所在的直線與CP垂直，即弦所在直線的斜率為-白=-三=2,

KcP1-2

又直線過點(diǎn)P(3,l),

所以，當(dāng)直線/被圓C截得的弦長最小時(shí)，弦所在的直線方程為2x-y-5=0.

18.(1)直線PA的方程為y=x+2,

由心力：4,解得“92)；

直線PB的方程為y=3x-6,

由區(qū)3Ks4,解得嗚甘).

所以直線MN的方程為2尤+y-2=0.

(2)設(shè)P(4,t),則直線P4的方程為y=：(x+2),

直線PB的方程為y=1(x-2),

?(x2+,2=4,/72-2C224t\

由［y='(x+2),1(36+〃，36+tz)'

同理得N隹？，磊)，

24t—8t

直線MN的斜率卜=毋禹=信，

直線MN的方程為y=-黑)一盤，

化簡(jiǎn)得y=&x-段，所以直線MN過定點(diǎn)(1,0).

19.(1)由M=三="?=1一勺=。,得。2=4/72,

又短軸長為2,可得b=l,a2=4,

-.2

所以橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程為?+y2=1.

(2)易知直線［的斜率存在且不為零，

設(shè)直線，的斜率為k(k力0),

則直線I的方程為y=kx+2,

y=kx+2,

則聯(lián)立%2+4y2_4=o.

消元得(4k2+l)x24-16元+12=0,

J=16x16k2-48(4/c2+1)=16(4/c2-3)>0,即k2>}

設(shè)4(xi，%),B(x2,y2)>

所以X1+“2二短％=聲，

由題意可知力fl打，即刃?麗=0,

所以％1?%2+丫1,=(1+A2)%1.x24-2Mxi+%2)+4=0,

所以學(xué)著一韜+4=0,解得1=4>：,

l+4k2l+4/c24

所以

2

IAB|=V14-/c|%i—x2\

=V1+fc2?J(%]+%2)2—4久1%2

=

l+4k2

4瘀

-17'

綜上，直線，的方程為2x—y+2=0或2x+y-2=0,|ZB|=萼.

20.(1)由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為(0,9,準(zhǔn)線方程為y=-§,

焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,即p=2.

(2)拋物線的方程為X?=4y,即丫=：/,所以

設(shè)B(x2,y2)>

ir-y-^=^(x-x1),i2-y-^=^(x-x2).

由于，1，%，所以=即X/2=-4.

由題意知直線1的斜率存在，

設(shè)直線[的方程為y=kx+M,與拋物線方程聯(lián)立，

得E+m，所以x2-4kx-4m=0,

Uz=4y,

4=16k2+16m>0,+x2=4k,xrx2=-4m=—4,

所以m=l,即Z:y=kx+1.

y=-x——,(—2k

聯(lián)立方程42￡得產(chǎn)x一絲即M(2k,—1),

v=ilx-紅⑶=一1，

M點(diǎn)到直線/的距離d=胃管1=半整，

Vl+/c2vl+k2

\AB\=J(1+憶2)[(%1+/2)2—4%1%21=4(1+fc2),

所以SWB=~x4(1+k'2)x^==i=4(1+/c2)|>4,

當(dāng)k=0時(shí)，AMAB的面積取得最小值4.

21.(1)由題意知b=l,-=—,

a2

又因?yàn)椤?=爐+?2,解得&=夜，

所以橢圓E的方程為?+/=1.

(2)當(dāng)過點(diǎn)(-%0)的直線斜率