《數學模型》試題及參考答案

A卷

2009-2010學年第2學期

《數學建模》試卷

專業(yè)班級____________________________________

姓名、_______________________________________

分組號與學號________________________________

開課系室數學與計算科學學院

考試日期2010年7月

題號一二三四五六七八總分

得分

閱卷人

數學建模試卷(1007A)

一(10)(1)簡述數學模型的概念，分析數學模型與數學建模的關系。

(2)建立數學模型的一般方法是什么？在建模中如何應用這些方法，結合實例加以說明。

二(10分)、(1).簡述數學建模的一般步驟，分析每個步驟的主要內容和注意事項。

(2)簡述數學模型的表現形態(tài)，并舉例說明。

第一頁

三（10分）、（1）簡述合理分配席位的Q-值方法，包括方法的具體實施過程，簡

述分配席位的理想化原則。（2）建立錄像機記數器讀數與錄像帶轉過時間之間的關系模型,

包括模型假設與模型建立全過程。

四（15分）（1）建立不允許缺貨情況下的存儲模型，確定訂貨周期和訂貨量（包括問題敘述,

模型假設和求解過程）.（2）建立不允許缺貨的生產銷售存貯模型.設

生產速率為常數k,銷售速率為常數r,k%r.在每個生產周期T內，開始的一

段時間（0演秘T。）一邊生產一邊銷售，后來的一段時間⑴嗒t蜀）只銷售不生

產.設每次生產開工費為5,單位時間每件產品貯存費為（a）求出存儲量q（t）

的表示式并畫出示意圖。（2）以總費用最小為準則確定最優(yōu)周期T,討論kr的情況.

第二頁

五（15分）、（1）建立傳染病傳播的SIS模型并求解（簡述假設條件和求解過程），（2）建立

SIR模型，并用相平面方法求解，在相平面上畫出相軌線并進行分析。

六（15分）（1）建立一般的戰(zhàn)爭模型，分析各項所表示的含義。（2）在假設

xo=y。,b=9a條件下對正規(guī)戰(zhàn)爭模型（忽略增援和非戰(zhàn)斗減員）進行建模求解，

確定戰(zhàn)爭結局和結束時間。

第三頁

七（15分）設漁場魚量的自然增長服從模型xWjxlnks又單位時間捕撈量為

X

h"EI.討論漁場魚量的平衡點及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產量h“及獲得最大產量的捕撈強度以

和漁場魚量水平Xo.

八（10分）假設商品價格外和供應量Xk滿足差分方程

。），曲泮

FkH-yo1r。■-刀-x0

Xo4r）舸，

求差分方程的平衡點，推導穩(wěn)定條件

第四頁

A卷

2009-2010學年第2學期

《數學模型》試題

參考答案與評分標準

專業(yè)班級

開課系室數學與計算科學學院

考試日期2010年7月

數學建模試卷（1007A）參考答案與評分標準

一（10）（1）簡述數學模型的概念，分析數學模型與數學建模的關系。

（2）建立數學模型的一般方法是什么？在建模中如何應用這些方法，結合實例加以說明。

解：（1）數學模型可表述為：對于現實世界的一個特定對象，為了特定的目的，根據特有的規(guī)律，

作出必要的簡化假設，應用適當的數學工具，得到的一個數學結構式.數學模型與數學建模的

關系：數學模型是應用數學建模的方法對實際問題進行建模得到的最后的數學結構式，是數

學建模的結果，是名詞。而數學建模是解決問題的全過程，是動名詞。（2）一般方法包括:①

機理分析方法,根據客觀對象的本質特征和規(guī)律,分析事物發(fā)展的數量關系;②測試分析方

法，把客觀對象作為黑箱子進行測試實驗,根據實驗數據,應用擬合方法尋找擬合實驗數據的最

佳模型.一般這兩種方法相結合,機理分析確定模型的結構,其中包含未知的參數,應用測

試分析方法確定參數.能講機理時用機理,不能講機理時用數據.如應用微分分析法得到的人

口增長模型，如指數模型，阻滯增長模型，都屬于機理分析方法，而其中的參數必須用實際

的數據應用測試分析方法確定。

二（10分）、（1）.簡述數學建模的一般步驟，分析每個步驟

的主要內容和注意事項。（2）

簡述數學模型的表現形態(tài)，并舉例說明。

解：（1）數學建模的一般步驟包括:模型準備-了解實際背景，搜索相關信息，分析影響因素，

形成一個清晰的問

題。模型假設-分析各種影響因素的關系，確定主要因素和次要因素，對主

要因素作出必要的簡化假設，引入變量。模型構成-根據特有的規(guī)律和所做的假設應用適當

的數學工具對實際問題進行建模，得到數學模型。模型求

解-應用數學方法和數學軟件對模

型進行求解。模型分

析-對模型誤差分析，收斂性分析，穩(wěn)定性分析和穩(wěn)健性，局限性分析.模

（有效數學模型的表現形態(tài)包括線性與非線

型檢驗-檢驗模型的適應性與應用性性）.（2）性，

確定性與隨機性，離散性與連續(xù),靜態(tài)與動態(tài)等.人口模型中，指數模型為線性的，阻滯增長

模型為非線性的，不考慮隨機因素的模型為確定性模型，如常見的人口模型。如考慮隨機因

素，則得到隨機人口模型。微分方程屬于連續(xù)模型，差分方程屬于離散模型。隨時間變化

的

微分方程和差分方程都是動態(tài)的，如連續(xù)優(yōu)化模型和單階段離散優(yōu)化模型與時間無關屬于

靜

態(tài)模型，

三（10分）、（1）簡述合理分配席位

的Q-值方法,包括方法的具體實施過程，簡述分配席位

的理想化原則。（2）建立錄像機記數器讀數與錄像帶轉過時間之間的關系模

型，-w---------包括模型假

設與模型建立全過貨

程。

解：（1）合理分配席位的方法Q-值方法，是實施過程為：（a）按照比例取整方法進行初次分

配，（b）對剩余的席位采用動態(tài)分配，計算各方Pi2

的Q值，即。，將剩余的該

Hi（ni1）

較大的一方，（c）依序分配完剩余的席

席位分配給。位。

沏枷抑釉4"

第一頁

模型假設：設空盤半徑

⑵為r,磁帶厚度為w,轉數設為n,時間為t,速度為v,則考

慮轉過的磁帶的長度，則有

vt2[(rw)(r2w)....(rnw)]2[nr(nl)nw]

2

故關系模型為V占.冊，1)。

，確定訂貨周期和訂貨量(包括問題敘

四(15分)(1)建立不允許缺貨情況下的存儲模型述

模型假設和求解過程).(2)建立不允許缺貨的生產銷售存貯模型.設生產速率為常數k,

■W'.在每個生產周雪

銷售速率為常數r,k期T內，開始的一段時間(OtTO)一邊生產

一邊銷售，后來的一段時間(Tt於砥銷售不生產.設每次生產開工費為c,單位時間

01

每件產品貯存費翳?.

為C”(a)果出存儲量q(t)的表示式并畫出示意圖。(2)以總費用最小為準

則確定最優(yōu)周期T,討論kr的情況.

解：(1)定義變量及其參數，定貨費,單位時間單位貨物的儲存費，一周期的總費用，以平均每天

的費用為目標，應用微積分得到表示式.

吸r——￥安一次l.

訂貨量為Q*

?志

⑵在(OtT)時間段垢一_一為斜率為的直線，在(TtT)時間

0q(t)(kr)t(kr)0

段，只銷售不生富,工

產，q(t)ri無沌1:5~r(tlo)kTort

單位時，總費用而)隙C

C2r(kfr)T,使C(T)取最小值的最佳周期

、一T可一

T*2Cik。當kr時,T*須，相當于瞬時生產的情況。

C2r(kC2r

五(15分)、

的SIS模型并求解(簡述假設條件和求解過程)，(2)建

立SIR模型，并用相平面方法求解，在相平面上畫出相軌線并進行分析。

解：SIS模型。設治愈率為，則方程為

dii[(1i)]i[i('1)1,

dt

,1:dt

[Si，相平面方程為瓜

2)SIR模型的方程為，在相平面上畫出相

jdt=vi=?

'sSolo

'i(0)i0,s(0)so

軌線，分析變化規(guī)律。

六(15分)(1)建立一般的戰(zhàn)爭模分析各項所表示的含義。(2)在假xyO,9a條

型，設。b

件下對正規(guī)戰(zhàn)爭模型慮略增援和非戰(zhàn)汩虢)趣進行建?；蚪?，確定戰(zhàn)簞翩口結束時間。

解：一般戰(zhàn)爭模型

為dxf(x,y)xu,d,g(x,y)yv

dtdt

第一項為戰(zhàn)斗減員，其表示式依賴王鉞魚類型，第二財?非戰(zhàn)斗減員，第三項為增

援。■"■

正規(guī)戰(zhàn)爭模型dx叱「軌線方程為

—1—=*

*dt

dybx228

x

dx_ay唁駕bx0ay08ax0y即x-90，因此乙方(Y)敗。要求結

篇彘密程居化為二階微分方程

3a3a

d2ydxT2——tt

baby9ay,通解為y(t)sec2e

dt2dt_

列始條件為y(o)In滑一&~、

6a

11

3a3a9ay040t*ln2

6a

e3ate3at

七(15分)設漁場魚量的自然增長服從模

型xrxlnN又單位時間捕撈量為hEx.討

早=1------S-1三"一'

論漁場魚量的平衡點及其穩(wěn)定

性，求最大持續(xù)產量必及獲得最大產量的捕撈強度以和漁場

魚量水平Xo.

解：模型為N有二個穩(wěn)定點:E/r

XF(x)rxlnEx,x0和XoNeo

X

F(x)=rim----i(r+E),F(0))T8,F(x0)a-r<0,即x=0不穩(wěn)定，x0穩(wěn)定(與

x

E/

E,r的大小無關)。持續(xù)產量為h(E)aENe^/r,=Ne^l_工0N_>E*=r,最

dEr

大持續(xù)產量為hm.」N,XO*.L

ee

八(10分)假設商品價格yk和供應量Xk滿足差分方程

j—y()=-a(%1十+―一x0),a>0

9

[+-=p-2p>

x

klx0(ykyo)0

求差分方程的平衡點，推導穩(wěn)定條

件

T℃

解：令k,設極限存在為(x*,y*),則得到

-=—ex——

■y*一y°.=B(x*一xo)****

(xXo)(xXo),xXo,yy°,即(x0,yO)為平衡

x*(y*y。)

」十一=Y二一a>

點。?kl+-y產Brkl-xkXo),P>0

由2

*的一巖O(y+-y。)=一弁(計乎一)

xk2篇+aB(yj+aPZ+aP

卜+礁」+喊1Xk2x0，=

2

1xk2吧v班小其中播懦為2<X2>P>0,利

整理得到：2xk2此

思篋型可知，其根均小于1的條件為111和1c因0,0,故條件為

22

2

B卷

2009—2010學年第2學期

《數學建?！吩嚲?/p>

專業(yè)班級________________________________

姓名_________________________________

組號與學號________________________________

開課系室數學與計算科學學院_____________

考試日期2010年7月_______________

題號一二三四五六七八總分

得分

閱卷人

數學模型試卷（1007B）

一（15分）、（1）簡述模型概念及其模型的分類；（2）簡述數學模型的概念；（3）簡述數學模

型的特點，包括各項的含義.

二（10）（1）簡述建立數學模型的一般方法，分析這些方法在建模中的應用

（2）闡述建立數學模型全過程，就數學模型與數學建模過程給出你的理解與認識

第一頁

三（10分）、（1）簡述建立汽車剎車距離模型的全過程.（2）建立雙層玻璃窗的模型，包括

模型假設和建模過程,確定雙層玻璃間的空隙距離.

四（10分）建立森林救火模型,包括問題敘述,模型假設和求解過程.

第二頁

五（15分）、（1）建立人口增長的指數模型和阻滯增長模型，并求解.（2）建立傳染病傳播的

SIR模型，并用相平面方法求解，在相平面上畫出相軌線并進行分析。

六（15分）（1）建立捕撈情況下的漁場魚量滿足的方程，分析平衡點，在平衡條件下確定捕撈

強度以獲得最大的持續(xù)產量；（2）在⑴的基礎上，建立效益模型，確定捕撈強度。

第三頁

七（15分）（1）建立確定最優(yōu)價格的數學模型；（2）假設成本隨著產量的增加而降低,建立模型并

求解.

八（1。分）在考慮最優(yōu)價格問題時設銷售期為T,由于商品的損耗，成本q隨時

間增長，設qmqO?節(jié)序t,富為增長率.又設單位時間的銷售量為Xwa.「bp（p為

價格）。今將銷售期分為。宮t警??T/2和T/2看；t.T兩段，每段的價格固定，記作

P“P2,求P“P2的最優(yōu)值使銷售期內的總利潤最大.如果要求銷售期Q內的總售

量為Q。，再求Pi,Pz的最優(yōu)值.

第四頁

B卷

2008—2009學年第1學期

《數學模型》試卷

參考答案與評分標準

專業(yè)班級石油工程07級1-14班

開課系室應用數學系

考試日期2008年12月

數學模型試卷(0812B)參考答案與評分標準

一(15分)、(1)簡述模型概念及其模型的分類；(2)簡述數學模型的概念；(3)簡述數學模

型的特點，包括各項的含義.

解：(1)模型是原型的替代物，根據特有的目的，反應原型的某一層次某一方面的特征.模型可分

為物質模型與抽象模型,物質模型可分為直觀模型與物理模型.抽象模型可分為思維思維模型,符

號模型與數學模型.

(2)數學模型可表述為:對于現實世界的一個特定對象,為了特定的目的,根據特

有的規(guī)律，作出必要的簡化假設,應用適當的數學工具，得到的一個數學結構式.

(3)數學模型的特點:模型的逼真性與可行性,模型的漸進性,模型的條理性,模型的技藝性,模型

的穩(wěn)健性等.

二(10)(1)簡述建立數學模型的一般方法，分析這些方法在建模中的應用；

(2)闡述建立數學模型全過程，就數學模型與數學建模過程給出你的理解與認識.

解：

解：⑴一般方法包括:①機理分析方法，根據客觀對象的本質特征和規(guī)律，分析事物發(fā)展的數量

關系;②測試分析方法，把客觀對象作為黑箱子進行測試實驗,根據實驗數據,應用擬合方法尋找

擬合實驗數據的最佳模型.一般這兩種方法相結合,機理分析確定模型的結構,其中包含未知的參

數,應用測試分析方法確定參

數.能講機理時用機理,不能講機理時用數據.

(2)畫出數學建模全過程的流程圖,解釋四個環(huán)節(jié):從現實世界到數學世界的翻譯,即將現實世界

的問題表示成數學問題，問題求解:應用數學方法對數學模型進行

求解.解釋:將得到的數學答案解釋現實問題，實現從數學世界到現實世界的翻譯

驗證:根據對現實世界的解釋和實際數據的對比驗證模型的正確性與有效性.

三（10分）、（1）簡述建立汽車剎車距離模型的全過程.（2）建立雙層玻璃窗的模型，包括

模型假設和建模過程,確定雙層玻璃間的空隙距離.

解：（1）分為反應距離與制動距離,分別建立模型.

⑵模型示意圖：

熱傳導方向

陽2-1雙層K般府》里我版璃U

Qi.kjTHa-k?—―?kJ，Qioh",h?一二二

d1dd(s*2)k2d

Qz=rr-i-5-Qi-=--1--,h=-3-.

2dQ,8h+1d

四（10分）建立森林救火模型,包括問題敘述,模型假設和求解過程.解:分析問

題,定義變量,考慮救援費和損失費.

C酉+5B+CzBtiX+

C(x)一k-P+k-P+c3x

22(x)x

PRI~~~

由dG-=0得至！Jx=—+01TTtf~~?5L

hVA

dx2C32

五（15分）、（1）建立人口增長的指數模型和阻滯增長模型，并求解.（2）建立傳染病傳播的

SIR模型，并用相平面方法求解，在相平面上畫出相軌線并進行分析。

rt

解:指數模型rxx(t)xoe

It**->-

阻滯增長模型："rx(lX)x(t)xm

?"OS41—?N，]■

dtXm+呢k一汽

1(l)e

Xo

六(15分)(1)簡述最優(yōu)化模型的一般形式;(2)寫出線性規(guī)劃的一般形式

(3)給出一個優(yōu)化問題的例子，闡述建立模型與求解的全過程..

解：最優(yōu)化模型的一般形式

Max(min)毒(x)

s.t.gi(x)0

，其一般形式為

aijXjbi,Xi0

jl

七(10分)(1)建立痛是最優(yōu)價格的數學模型；(2)假設成本隨著產量的增加而降低，建立模型并

求解.

解：不妨設q(x)q(>kx,k是產量增加“V正位成本的降低。代入4.4節(jié)(7)

*q0kaa

式，可求出最優(yōu)價格為：P

.A,飾此2(1kb)2b

.=*廨中-

八(10分)在考慮最優(yōu)他螯「鬻時設銷售期&T場由于商品的損耗，成本q隨時

間增長，設qq。t,為增長率.又設單位時間的銷售量為Xabp(p為

價格）。今將銷售期分為0tT/2和T/2tT兩段，每段的價格固定，記作

Pi,P2,求Pi,P2的最優(yōu)值使銷售期內的總利潤最大.如果要求銷售期Q內的總售

量為Qo,再求Pl,P2的最優(yōu)值.

解：解：總利潤為

T

U(P1,p2)鐺#[p(t)Lq(t)][a-bp(t)]dt

q(t)](aibpDdt[p2q(t)](abp2)dt

T

b[pi(q0)](abp2)b[p2(q0

44

,----

由ao,30,可得最優(yōu)價格為

PlP2

Pl(q03T)a

2b2b4

F4一AaTf的"*pj

設總銷售量為Q。，11(abpOdt(a1.bp2)dt

T/2T7

02