經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)2.1-導(dǎo)數(shù)概念

22五月20241高等數(shù)學(xué)多媒體課件牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibniz）22五月20242第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念

第二章三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、導(dǎo)數(shù)的定義一、引例四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、小結(jié)與思考題（TheConceptofDerivative）22五月202431、導(dǎo)數(shù)的定義？2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義？3、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？22五月20244一、引例（Introduction）1.變速直線運(yùn)動的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為自由落體運(yùn)動22五月20245曲線在M

點(diǎn)處的切線割線MN

的極限位置MT(當(dāng)時(shí))2.曲線的切線斜率割線MN

的斜率切線MT的斜率22五月20246瞬時(shí)速度切線斜率兩個(gè)問題的共性:所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問題22五月20247二、導(dǎo)數(shù)的定義（DefinitionofDerivatives）1.

函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù).

定義1

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).即22五月20248若上述極限不存在,在點(diǎn)不可導(dǎo).若也稱在若函數(shù)在開區(qū)間

I

內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就說函數(shù)就稱函數(shù)在I內(nèi)可導(dǎo).的導(dǎo)數(shù)為無窮大

.22五月20249由此可見，運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度曲線在M

點(diǎn)處的切線斜率22五月202410(C

為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:即例2

求函數(shù)解:例1

求函數(shù)2.

求導(dǎo)數(shù)舉例.

22五月202411對一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，說明：22五月202412類似可證得:例3解:即22五月202413例4解:即第1章第9節(jié)例6特別的，22五月202414例5解：即22五月202415在點(diǎn)的某個(gè)右

鄰域內(nèi)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作(左)(左)定義2

設(shè)函數(shù)有定義,存在,3.

單側(cè)導(dǎo)數(shù).

在點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件注1：

函數(shù)且是注2：若函數(shù)與在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo),且都存在,則稱在閉區(qū)間上可導(dǎo).22五月202416在x=0不可導(dǎo).例6

證明函數(shù)證:因此，函數(shù)在x=0不可導(dǎo).22五月202417三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義（GeometricInterpretation）曲線在點(diǎn)的切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與x軸平行,稱為駐點(diǎn);若切線與

x軸垂直.曲線在點(diǎn)處的切線方程:法線方程:22五月202418哪一點(diǎn)有垂直切線?哪一點(diǎn)處的切線與直線平行?寫出其切線方程.（由本本例8改編）解:故在原點(diǎn)(0,0)有垂直切線例7

問曲線令得對應(yīng)則在點(diǎn)(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即22五月202419四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理證:設(shè)在點(diǎn)x

處可導(dǎo),存在,故即所以函數(shù)在點(diǎn)x

連續(xù).注意:

函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在

x=0處連續(xù),

但不可導(dǎo).22五月202420例8解：在處的討論函數(shù)是有界函數(shù),在處連續(xù)性.但在處有當(dāng)時(shí)，在－1和1之間振蕩而極限不存在.在

處不可導(dǎo).連續(xù)性與可導(dǎo)性.22五月202421內(nèi)容小結(jié)1.本節(jié)通過兩個(gè)引例抽象出導(dǎo)數(shù)的定義：22五月2024222.利用導(dǎo)數(shù)的定義得出以下導(dǎo)數(shù)公式：3.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率;5.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系：可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo)。22五月202423思考與練習(xí)1.

函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有什么區(qū)別與聯(lián)系?與導(dǎo)函數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:？22五月2024243.

已知則存在,則2.

設(shè)4.

設(shè)存在,求極限解:

原式22五月202425,問a

取何值時(shí),在都存在,并求出解:故時(shí)此時(shí)在都存在,顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).5.

設(shè)22五