山西省陽(yáng)泉市程家中學(xué)高一數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

山西省陽(yáng)泉市程家中學(xué)高一數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（）A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，可得C，D是偶函數(shù)，其中C在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，D在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，可得結(jié)論．【解答】解：根據(jù)偶函數(shù)的定義，可得C，D是偶函數(shù)，其中C在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，D在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，故選：C．2.若弧長(zhǎng)為4的弧所對(duì)的圓心角是2，則這條弧所在的圓的半徑等于（

）

A．8

B．4

C．2

D．1參考答案：C略3.定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足：的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，并且對(duì)任意的有，則當(dāng)時(shí)，有(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A略4.函數(shù)f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx（﹣2≤x≤4）的所有零點(diǎn)之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：C【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；函數(shù)的圖象．【分析】函數(shù)f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx的零點(diǎn)，即為函數(shù)f（x）=2cosπx與函數(shù)g（x）=ln|x﹣1|的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象變化的法則和余弦函數(shù)的特點(diǎn)作出函數(shù)的圖象，由對(duì)稱(chēng)性可得答案．【解答】解：f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx的零點(diǎn)，即為函數(shù)f（x）=﹣2cosπx與函數(shù)g（x）=ln|x﹣1|的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象變化的法則可知：y=ln|x﹣1|的圖象作關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)后和原來(lái)的一起構(gòu)成y=ln|x|的圖象，在向右平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=ln|x﹣1|的圖象又f（x）=﹣2cosπx的周期為2，如圖所示：兩圖象都關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，且共有A，B，C，D，E，F(xiàn)，6個(gè)交點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：xA+xF=2，xB+xE=2，xC+xD=2，故所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為6，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)圖象的作法，熟練作出函數(shù)的圖象是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．5.已知，，，且與垂直，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A． B． C． D．1參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【專(zhuān)題】計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．【分析】由，所以，然后根據(jù)與垂直，展開(kāi)后由其數(shù)量積等于0可求解λ的值．【解答】解：因?yàn)椋?，又，，且與垂直，所以==12λ﹣18=0，所以．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，考查了計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．6.（4分）若f（x）滿(mǎn)足f（﹣x）=f（x），且在（﹣∞，﹣1]上是增函數(shù)，則（） A． B． C． D． 參考答案：D考點(diǎn)： 奇偶性與單調(diào)性的綜合．專(zhuān)題： 計(jì)算題．分析： 觀察四個(gè)選項(xiàng)，是三個(gè)同樣的函數(shù)值比較大小，又知f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函數(shù)，由f（﹣x）=f（x），把2轉(zhuǎn)到區(qū)間（﹣∞，﹣1]上，f（2）=f（﹣2），比較三個(gè)自變量的大小，可得函數(shù)值的大?。獯穑?∵f（﹣x）=f（x），∴f（2）=f（﹣2），∵﹣2＜﹣＜﹣1，又∵f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函數(shù)，∴f（﹣2）＜f（﹣）＜f（﹣1）．故選D．點(diǎn)評(píng)： 此題考查利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)比較函數(shù)值的大小，注意利用奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上．7.某時(shí)段內(nèi)共有100輛汽車(chē)經(jīng)過(guò)某一雷達(dá)地區(qū)，時(shí)速頻率分布直方圖如圖2所示，則時(shí)速超過(guò)60km/h的汽車(chē)數(shù)量為（）A．38輛

B．28輛

C．10輛

D．5輛參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】樣本的頻率估計(jì)總體分布.A解：根據(jù)頻率分步直方圖可知時(shí)速超過(guò)60km/h的概率是10×（0.01+0.028）=0.38，

∵共有100輛車(chē)∴時(shí)速超過(guò)60km/h的汽車(chē)數(shù)量為0.38×100=38（輛）

故選A．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)頻率分步直方圖看出時(shí)速超過(guò)60km/h的汽車(chē)的頻率比組距的值，用這個(gè)值乘以組距，得到這個(gè)范圍中的頻率，用頻率當(dāng)概率，乘以100，得到時(shí)速超過(guò)60km/h的汽車(chē)數(shù)量．8.已知a>0且a≠1，函數(shù)，，在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）

A

B

C

D參考答案：C略9.（4分）函數(shù)在區(qū)間[5，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（） A． [6，+∞） B． （6，+∞） C． （﹣∞，6] D． （﹣∞，6）參考答案：C考點(diǎn)： 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．專(zhuān)題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 令t=x2﹣2（a﹣1）x+1，則二次函數(shù)t的對(duì)稱(chēng)軸為x=a﹣1，且f（x）=g（t）=2t，故函數(shù)t在區(qū)間[5，+∞）上是增函數(shù)，故有a﹣1≤5，由此求得a的范圍．解答： 令t=x2﹣2（a﹣1）x+1，則二次函數(shù)t的對(duì)稱(chēng)軸為x=a﹣1，且f（x）=g（t）=2t，根據(jù)f（x）在區(qū)間[5，+∞）上是增函數(shù)，故二次函數(shù)t在區(qū)間[5，+∞）上是增函數(shù)，故有a﹣1≤5，解得a≤6，故選：C．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．10.三角函數(shù)值，，的大小順序是（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】先估計(jì)弧度角的大小，再借助誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化到上的正弦值，借助正弦函數(shù)在的單調(diào)性比較大?。驹斀狻拷猓骸?弧度≈57°，2弧度≈114°，3弧度≈171°．∴sin1≈sin57°，sin2≈sin114°＝sin66°．sin3≈171°＝sin9°∵y＝sinx在上是增函數(shù)，∴sin9°＜sin57°＜sin66°，即sin2＞sin1＞sin3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性及弧度角的大小估值，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列各數(shù)、

、、中最小的數(shù)是____________。參考答案：把各數(shù)都化為10進(jìn)制數(shù)后比較。，，，，故最小的數(shù)為。答案：。12.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(2，4)，則k+a=_________．參考答案：3略13.在△ABC中，已知a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊，且a=4，b=4，∠A=30°，則∠B等于

．參考答案：，或【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinB的值，結(jié)合B為三角形內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得解．【解答】解：∵a=4，b=4，∠A=30°，∴由正弦定理可得：sinB===，又∵B為三角形內(nèi)角，∴B=，或．故答案為：，或．14.已知點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最小值是

.參考答案：20略15.已知三個(gè)事件A，B，C兩兩互斥且，則P(A∪B∪C)=__________.參考答案：0.9【分析】先計(jì)算，再計(jì)算【詳解】故答案為0.9【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型.16.函數(shù)y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在區(qū)間內(nèi)的圖象是________．（只填相應(yīng)序號(hào)）參考答案：④

略17.函數(shù)f（x）=+的定義域?yàn)?/p>

．參考答案：（0，1）∪（1，2]

【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，分式的分母不為0，對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0聯(lián)立不等式組求解．【解答】解：由，解得0＜x≤2且x≠1．∴函數(shù)f（x）=+的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，2]，故答案為：（0，1）∪（1，2]．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求A∪B，A∩B，（?RA）∩B． 參考答案：【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算． 【專(zhuān)題】計(jì)算題；集合思想；定義法；集合． 【分析】找出兩集合中解集的公共部分，求出兩集合的交集；找出既屬于A又屬于B的部分，求出兩集合的并集；找出全集中不屬于A的部分，求出A的補(bǔ)集，找出B與A補(bǔ)集的公共部分，即可確定出所求的集合 【解答】解：A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}， ∴A∪B={x|2＜x＜10}， A∩B═{x|3≤x＜7}， ?RA={x|x＜3，或x≥7}， ∴（?RA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握交、并、補(bǔ)集的定義是解本題的關(guān)鍵． 19.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在三棱錐P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分別是AB，PB的中點(diǎn)．(1)求證：DE∥平面PAC；(2)求證：AB⊥PB；

參考答案：(1)證明：因?yàn)镈，E分別是AB，PB的中點(diǎn)，所以DE∥PA．因?yàn)镻A平面PAC，且DE平面PAC，所以DE∥平面PAC．…………6分(2)因?yàn)镻C⊥平面ABC，且AB平面ABC，所以AB⊥PC．又因?yàn)锳B⊥BC，且PC∩BC＝C．所以AB⊥平面PBC．又因?yàn)镻B平面PBC，所以AB⊥PB．…………12分20.已知，且f（1）=3．（1）試求a的值，并用定義證明f（x）在[，+∞）上單調(diào)遞增；（2）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=x+b的兩根為x1，x2，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2+m+1≥|x1﹣x2|對(duì)任意的恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出a的值，根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）由韋達(dá)定理求出x1+x2=bx1x2=1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需m2+m+1≥（|x1﹣x2|）max=3，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍即可．【解答】解：（1）∵f（1）=3，∴a=1，∴，設(shè)x1，x2是[，+∞）上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)且x1＜x2，則，∵，又x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴函數(shù)f（x）在[，+∞）上單調(diào)遞增；（2）∵f（x）=x+b∴x2﹣bx+1=0由韋達(dá)定理：x1+x2=bx1x2=1，∴，又，假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2+m+1≥|x1﹣x2|對(duì)任意的恒成立，則只需m2+m+1≥（|x1﹣x2|）max=3，∴m2+m+1≥3，m2+m﹣2≥0，而m2+m﹣2=0的兩根為m=﹣2或m=1，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)有：m≤﹣2或m≥1，故存在滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)m，且m的取值范圍為：m≤﹣2或m≥1．21.已知函數(shù)的定義域?yàn)?且滿(mǎn)足條件:①；②；③當(dāng)時(shí),.（1）求證:為偶函數(shù)；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）求不等式的解集.參考答案：（1）證明：令x=y=1

有f(1)=f(1)+f(1)

∴f(1)=0令x=y=-1

有f(1)=f(-1)+f(-1)

∴f(-1)=0令y=-1

有f(-x)=f(x)+f(-1)

∴f(x)=f(-x)且定義域關(guān)于原式對(duì)稱(chēng)∴f(x)是偶函數(shù)法二：f(x2)=f(x)+f(x)=f(-x)+f(-x)∴f(x)=f(-x)法三：令y=-1

f(-x)=f(x)+f(-1)

①x=-x

y=-1f(x)=f(-x)+f(-1)②①-②∴f(x)=f(-x)（2）任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,則（3）∵f(x)是偶函數(shù)∴f(|x(x-3)|)≤f(4)∴解集為[-1，0）∪（0，3）∪（3，4]22.某校高一舉行了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿(mǎn)分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數(shù)據(jù)）．（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y的值；（2）估計(jì)本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)和平均分；（3）在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的頻率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；整體思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）由樣本容量和頻數(shù)頻率的關(guān)系易得答案；（2）根據(jù)平均數(shù)的定義和中位數(shù)的定義即可求出．（3）由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有5人，記這5人分別為a1，a2，a3，a4，a5，分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，記這2人分別為b1，b2，列舉法易得【解答】解：（1）由題意可知，樣本容量n==50，y==0.004，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；（2）設(shè)本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為m，平均分為，則[0.016+0.03+（m﹣70）×0.040]×10=0.5，解得m=71，=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6，（3）由題意可知，分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有5人，記這5人分別為a1，a2，a3，a4，a5，分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，記這2人分別為b1，b2．抽取的2名學(xué)生的所有情況有21種，分別為：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a