2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(天津卷)含解析_第1頁
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2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(天津卷)一.選擇題:在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.設集合,,,則A. B.C. D.2.【2018年天津卷文】設變量x,y滿足約束條件則目標函數(shù)的最大值為A.6 B.19 C.21 D.453.設,則“”是“”A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應的程序,若輸入的值為20,則輸出的值為A.1 B.2 C.3 D.45.已知,則的大小關系為A. B. C. D.6.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)A.區(qū)間上單調(diào)遞增 B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減7.已知雙曲線離心率為2,過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點.設到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和,且則雙曲線的方程為A. B.C. D.8.在如圖的平面圖形中,已知,則的值為A. B.C. D.0第Ⅱ卷注意事項:1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2.本卷共12小題,共110分。二.填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.9.i是虛數(shù)單位,復數(shù)___________.10.已知函數(shù)f(x)=exlnx,為f(x)的導函數(shù),則的值為__________.11.如圖,已知正方體ABCD–A1B1C1D1的棱長為1,則四棱錐A1–BB1D1D的體積為__________.12.在平面直角坐標系中,經(jīng)過三點(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為__________.13.已知,且,則的最小值為_____________.14.已知,函數(shù)若對任意x∈[–3,+),f(x)≤恒成立,則a的取值范圍是__________.三.解答題:本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參加獻愛心活動.(Ⅰ)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人?(Ⅱ)設抽出的7名同學分別用A,B,C,D,E,F(xiàn),G表示,現(xiàn)從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作.(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;(ii)設M為事件“抽取的2名同學來自同一年級”,求事件M發(fā)生的概率.16.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知.(1)求角B的大小;(2)設a=2,c=3,求b和的值.17.如圖,在四面體ABCD中,△ABC是等邊三角形,平面ABC⊥平面ABD,點M為棱AB的中點,AB=2,AD=,∠BAD=90°.(Ⅰ)求證:AD⊥BC;(Ⅱ)求異面直線BC與MD所成角的余弦值;(Ⅲ)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.18.設{an}是等差數(shù)列,其前n項和為Sn(n∈N*);{bn}是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項和為Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(Ⅰ)求Sn和Tn;(Ⅱ)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整數(shù)n的值.19.設橢圓的右頂點為A,上頂點為B.已知橢圓的離心率為,.(1)求橢圓的方程;(2)設直線與橢圓交于,兩點,與直線交于點M,且點P,M均在第四象限.若的面積是面積的2倍,求的值.20.設函數(shù),其中,且是公差為的等差數(shù)列.(I)若求曲線在點處的切線方程;(II)若,求的極值;(III)若曲線與直線有三個互異公共點,求d的取值范圍.絕密★啟用前2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學(文史類)本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共150分,考試用時120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁,第Ⅱ卷3至5頁。答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題考上,并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時,考生務必將答案涂寫在答題卡上,答在試卷上的無效。考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利!第Ⅰ卷注意事項:1.每小題選出答案后,用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。2.本卷共8小題,每小題5分,共40分。參考公式:·如果事件A,B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).·棱柱的體積公式V=Sh.其中S表示棱柱的底面面積,h表示棱柱的高.·棱錐的體積公式,其中表示棱錐的底面積,h表示棱錐的高.一.選擇題:在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.設集合,,,則A. B.C. D.【答案】C【解析】分析:由題意首先進行并集運算,然后進行交集運算即可求得最終結果.詳解:由并集的定義可得:,結合交集的定義可知:.本題選擇C選項.點睛:本題主要考查并集運算、交集運算等知識,意在考查學生的計算求解能力.2.【2018年天津卷文】設變量x,y滿足約束條件則目標函數(shù)的最大值為A.6 B.19 C.21 D.45【答案】C【解析】分析:首先畫出可行域,然后結合目標目標函數(shù)的幾何意義確定函數(shù)取得最大值的點,最后求解最大值即可.詳解:繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,結合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最大值,聯(lián)立直線方程:,可得點A的坐標為:,據(jù)此可知目標函數(shù)的最大值為:.本題選擇C選項.點睛:求線性目標函數(shù)z=ax+by(ab≠0)的最值,當b>0時,直線過可行域且在y軸上截距最大時,z值最大,在y軸截距最小時,z值最?。划攂<0時,直線過可行域且在y軸上截距最大時,z值最小,在y軸上截距最小時,z值最大.3.設,則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】分析:求解三次不等式和絕對值不等式,據(jù)此即可確定兩條件的充分性和必要性是否成立即可.詳解:求解不等式可得,求解絕對值不等式可得或,據(jù)此可知:“”是“”的充分而不必要條件.本題選擇A選項.點睛:本題主要考查絕對值不等式的解法,充分不必要條件的判斷等知識,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.4.閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應的程序,若輸入的值為20,則輸出的值為A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】分析:由題意結合流程圖運行程序即可求得輸出的數(shù)值.詳解:結合流程圖運行程序如下:首先初始化數(shù)據(jù):,,結果整數(shù),執(zhí)行,,此時不滿足;,結果不為整數(shù),執(zhí)行,此時不滿足;,結果為整數(shù),執(zhí)行,,此時滿足;跳出循環(huán),輸出.本題選擇B選項.點睛:識別、運行程序框圖和完善程序框圖的思路:(1)要明確程序框圖的順序結構、條件結構和循環(huán)結構.(2)要識別、運行程序框圖,理解框圖所解決的實際問題.(3)按照題目的要求完成解答并驗證.5.已知,則的大小關系為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析:由題意結合對數(shù)的性質(zhì),對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計算即可確定a,b,c的大小關系.詳解:由題意可知:,即,,即,,即,綜上可得:.本題選擇D選項.點睛:對于指數(shù)冪的大小的比較,我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,但很多時候,因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同,不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較.這就必須掌握一些特殊方法.在進行指數(shù)冪的大小比較時,若底數(shù)不同,則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù),然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷.對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較,利用圖象法求解,既快捷,又準確.6.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)A.在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】A【解析】分析:首先確定平移之后的對應函數(shù)的解析式,然后逐一考查所給的選項是否符合題意即可.詳解:由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知:將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為:.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足:,即,令可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為,選項A正確,B錯誤;函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足:,即,令可得函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為,選項C,D錯誤;本題選擇A選項.點睛:本題主要考查三角函數(shù)的平移變換,三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等知識,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.7.已知雙曲線的離心率為2,過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點.設到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和,且則雙曲線的方程為A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析:由題意首先求得A,B的坐標,然后利用點到直線距離公式求得b的值,之后利用離心率求解a的值即可確定雙曲線方程.詳解:設雙曲線的右焦點坐標為(c>0),則,由可得:,不妨設:,雙曲線的一條漸近線方程為,據(jù)此可得:,,則,則,雙曲線的離心率:,據(jù)此可得:,則雙曲線的方程為.本題選擇A選項.點睛:求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過程是先定形,再定量,即先確定雙曲線標準方程的形式,然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關系,求出a,b的值.如果已知雙曲線的漸近線方程,求雙曲線的標準方程,可利用有公共漸近線的雙曲線方程為,再由條件求出λ的值即可.8.在如圖的平面圖形中,已知,則的值為A. B.C. D.0【答案】C【解析】分析:連結MN,結合幾何性質(zhì)和平面向量的運算法則整理計算即可求得最終結果.詳解:如圖所示,連結MN,由可知點分別為線段上靠近點的三等分點,則,由題意可知:,,結合數(shù)量積的運算法則可得:.本題選擇C選項.點睛:求兩個向量的數(shù)量積有三種方法:利用定義;利用向量的坐標運算;利用數(shù)量積的幾何意義.具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇,同時要注意數(shù)量積運算律的應用.第Ⅱ卷注意事項:1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2.本卷共12小題,共110分。二.填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.9.i是虛數(shù)單位,復數(shù)___________.【答案】4–i【解析】分析:由題意結合復數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結果.詳解:由復數(shù)的運算法則得:.點睛:本題主要考查復數(shù)的運算法則及其應用,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.10.已知函數(shù)f(x)=exlnx,為f(x)的導函數(shù),則的值為__________.【答案】e【解析】【分析】首先求導函數(shù),然后結合導函數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結果.【詳解】由函數(shù)的解析式可得:,則,即的值為e,故答案為.點睛:本題主要考查導數(shù)的運算法則,基本初等函數(shù)的導數(shù)公式等知識,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.11.如圖,已知正方體ABCD–A1B1C1D1的棱長為1,則四棱錐A1–BB1D1D的體積為__________.【答案】【解析】【分析】由題意分別求得底面積和高,然后求解其體積即可【詳解】如圖所示,連結,交于點,很明顯平面,則是四棱錐的高,且,,結合四棱錐體積公式可得其體積為,故答案為.點睛:本題主要考查棱錐體積的計算,空間想象能力等知識,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.12.在平面直角坐標系中,經(jīng)過三點(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為__________.【答案】【解析】分析:由題意利用待定系數(shù)法求解圓的方程即可.詳解:設圓的方程為,圓經(jīng)過三點(0,0),(1,1),(2,0),則:,解得:,則圓的方程為.點睛:求圓的方程,主要有兩種方法:(1)幾何法:具體過程中要用到初中有關圓的一些常用性質(zhì)和定理.如:①圓心在過切點且與切線垂直的直線上;②圓心在任意弦的中垂線上;③兩圓相切時,切點與兩圓心三點共線.(2)待定系數(shù)法:根據(jù)條件設出圓的方程,再由題目給出的條件,列出等式,求出相關量.一般地,與圓心和半徑有關,選擇標準式,否則,選擇一般式.不論是哪種形式,都要確定三個獨立參數(shù),所以應該有三個獨立等式.13.已知,且,則的最小值為_____________.【答案】【解析】【分析】由題意首先求得的值,然后結合均值不等式的結論整理計算即可求得最終結果,注意等號成立的條件.【詳解】由可知,且:,因為對于任意,恒成立,結合均值不等式的結論可得:.當且僅當,即時等號成立.綜上可得的最小值為.【點睛】在應用基本不等式求最值時,要把握不等式成立的三個條件,就是“一正——各項均為正;二定——積或和為定值;三相等——等號能否取得”,若忽略了某個條件,就會出現(xiàn)錯誤.14.已知,函數(shù)若對任意x∈[–3,+),f(x)≤恒成立,則a的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由題意分類討論和兩種情況,結合恒成立的條件整理計算即可求得最終結果.【詳解】分類討論:①當時,即:,整理可得:,由恒成立的條件可知:,結合二次函數(shù)性質(zhì)可知:當時,,則;②當時,即:,整理可得:,由恒成立的條件可知:,結合二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當或時,,則;綜合①②可得的取值范圍是,故答案為.點睛:對于恒成立問題,常用到以下兩個結論:(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max;(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.有關二次函數(shù)的問題,數(shù)形結合,密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法.一般從:①開口方向;②對稱軸位置;③判別式;④端點函數(shù)值符號四個方面分析.三.解答題:本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參加獻愛心活動.(Ⅰ)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人?(Ⅱ)設抽出的7名同學分別用A,B,C,D,E,F(xiàn),G表示,現(xiàn)從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作.(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;(ii)設M為事件“抽取的2名同學來自同一年級”,求事件M發(fā)生的概率.【答案】(1)3,2,2(2)(i)見解析(ii)【解析】【詳解】分析:(Ⅰ)結合人數(shù)的比值可知應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取3人,2人,2人.(Ⅱ)(i)由題意列出所有可能的結果即可,共有21種.(ii)由題意結合(i)中的結果和古典概型計算公式可得事件M發(fā)生的概率為P(M)=.詳解:(Ⅰ)由已知,甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學,因此應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取3人,2人,2人.(Ⅱ)(i)從抽出的7名同學中隨機抽取2名同學的所有可能結果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F(xiàn)},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F(xiàn)},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F(xiàn)},{C,G},{D,E},{D,F(xiàn)},{D,G},{E,F(xiàn)},{E,G},{F,G},共21種.(ii)由(Ⅰ),不妨設抽出的7名同學中,來自甲年級的是A,B,C,來自乙年級的是D,E,來自丙年級的是F,G,則從抽出的7名同學中隨機抽取的2名同學來自同一年級的所有可能結果為{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5種.所以,事件M發(fā)生的概率為P(M)=.點睛:本小題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計算公式等基本知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.16.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知.(1)求角B的大小;(2)設a=2,c=3,求b和的值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ),.【解析】分析:(Ⅰ)由題意結合正弦定理邊化角結合同角三角函數(shù)基本關系可得,則B=.(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理可得b=.結合二倍角公式和兩角差的正弦公式可得詳解:(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理,可得,又由,得,即,可得.又因為,可得B=.(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有,故b=.由,可得.因為a<c,故.因此,所以,點睛:在處理三角形中的邊角關系時,一般全部化為角的關系,或全部化為邊的關系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理,出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理.應用正、余弦定理時,注意公式變式的應用.解決三角形問題時,注意角的限制范圍.17.如圖,在四面體ABCD中,△ABC是等邊三角形,平面ABC⊥平面ABD,點M為棱AB的中點,AB=2,AD=,∠BAD=90°.(Ⅰ)求證:AD⊥BC;(Ⅱ)求異面直線BC與MD所成角的余弦值;(Ⅲ)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】分析:(Ⅰ)由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面ABC,則AD⊥BC.(Ⅱ)取棱AC的中點N,連接MN,ND.由幾何關系可知∠DMN(或其補角)為異面直線BC與MD所成的角.計算可得.則異面直線BC與MD所成角的余弦值為.(Ⅲ)連接CM.由題意可知CM⊥平面ABD.則∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角.計算可得.即直線CD與平面ABD所成角的正弦值為.詳解:(Ⅰ)證明:由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.(Ⅱ)取棱AC的中點N,連接MN,ND.又因為M為棱AB的中點,故MN∥BC.所以∠DMN(或其補角)為異面直線BC與MD所成的角.在Rt△DAM中,AM=1,故DM=.因為AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.在Rt△DAN中,AN=1,故DN=.在等腰三角形DMN中,MN=1,可得.所以,異面直線BC與MD所成角的余弦值為.(Ⅲ)連接CM.因為△ABC為等邊三角形,M為邊AB的中點,故CM⊥AB,CM=.又因為平面ABC⊥平面ABD,而CM平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角.在Rt△CAD中,CD==4.在Rt△CMD中,.所以,直線CD與平面ABD所成角的正弦值為.點睛:本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面垂直等基礎知識.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.18.設{an}等差數(shù)列,其前n項和為Sn(n∈N*);{bn}是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項和為Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(Ⅰ)求Sn和Tn;(Ⅱ)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整數(shù)n的值.【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)4.【解析】【分析】(I)由題意得到關于q的方程,解方程可得,則.結合題意可得等差數(shù)列的首項和公差為,則其前n項和.(II)由(I),知據(jù)此可得解得(舍),或.則n的值為4.【詳解】(I)設等比數(shù)列的公比為q,由b1=1,b3=b2+2,可得.因為,可得,故.所以,.設等差數(shù)列的公差為.由,可得.由,可得從而,故,所以,.(II)由(I),有由,可得,整理得解得(舍),或.所以n的值為4.點睛:本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式等基礎知識.考查數(shù)列求和的基本方法和運算求解能力.19.設橢圓的右頂點為A,上頂點為B.已知橢圓的離心率為,.(1)求橢圓的方程;(2)設直線與橢圓交于,兩點,與直線交于點M,且點P,M均在第四象限.若的面積是面積的2倍,求的值.【答案】(1);(2).【解析】分析:(I)由題意結合幾何關系可求得.則橢圓的方程為.(II)設點P的坐標為,點M的坐標為,由題意可得.易知直線的方程為,由方程組可得.由方程組可得.結合,可得,或.經(jīng)檢驗的值為.詳解:(I)設橢圓的焦距為2c,由已知得,又由,可得.由,從而.所以,橢圓的方程為.(II)設點P的坐標為,點M的坐標為,由題意,,點的坐標為.由的面積是面積的2倍,可得,從而,即.易知直線的方程為,由方程組消去y,可得.由方程組消去,可得.由,可得,兩邊平方,整理得,解得,或.當時,,不合題意,舍去;當時,,,符合題意.所以,的值為.點睛:解決直線與橢圓的綜合問題時,要注意:(1)注意觀察應用題設中的每一個條件,明確確定直線、橢圓的條件;(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力,重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.20.設函數(shù),其中,且是公差為的等差數(shù)列.(I)若求曲線在點處的切線方程;(II)若,求的極值;(III)若曲線與直線有三個互異的公共點,求d的取值范圍.【答案】(Ⅰ)x+y=0;(Ⅱ)的極大值為6,極小值為?6;(Ⅲ)【解析】【分析】(Ⅰ)由題意可得f(x)=x3?x,=3x2?1,結合f(0)=0,=?1,可得切線方程為x+y=0;(Ⅱ)由已知可得:f(x)=x3?3t2x2+(3t22?9)x?t23+9t2.則=3x2?6t2x+3t22?9.令=0,解得x=t2?,或x=t2+.據(jù)此可得函數(shù)f(x)的極大值為f(t2?)=6;函數(shù)極小值為f(t2+)=?6;(III)原問題等價于關于x的方程(x?t2+d)(x?t2)(x?t2?d)+(x?t2)+6=0有三個互異的實數(shù)解,令u=x?t2,可得u3+(1?d2)u+6=0.設函數(shù)g(x)=x3+(1?d2)x+6,則y=g(x)有三個零點.利用導函數(shù)研究g(x)的性質(zhì)可得的取值范圍是【詳解】(Ⅰ)由已知,可得f

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