《過(guò)程控制系統(tǒng)及工程》課件第3章

第3章先進(jìn)控制系統(tǒng)3.1狀態(tài)反饋控制3.2內(nèi)?？刂?.3簡(jiǎn)化模型預(yù)測(cè)控制3.4預(yù)測(cè)控制3.5多變量解耦控制思考題與習(xí)題

3.1狀態(tài)反饋控制

3.1.1狀態(tài)反饋和極點(diǎn)配置原理

1.狀態(tài)反饋

線性定常控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

(3.1-1)式中,u是r維控制向量(輸入),y是m維輸出向量,x是n維狀態(tài)向量,A、B、C是相應(yīng)的系統(tǒng)矩陣、控制矩陣和輸出矩陣。

如果系統(tǒng)狀態(tài)是完全可控的,即它的可控性矩陣Pc=［B

AB…An-1B］是滿(mǎn)秩的,也就是

rank［B

AB…An-1B］=n

則存在一個(gè)控制

u=-Kx+v

(3.1-2)

式中,K是一個(gè)常數(shù)矩陣,稱(chēng)為反饋矩陣。v為參考輸入(對(duì)定值控制而言,這個(gè)v可以為0)?！瓲顟B(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)

(3.1-3)

的極點(diǎn),即閉環(huán)特征方程

|λI-(A-BK)|=0

(3.1-4)

的根λ1、λ2、…、λn,在s平面上可以任意配置。對(duì)單輸入-單輸出系統(tǒng)

(3.1-5)

而言,可控性矩陣

Pc=［b

Ab…An-1b］

是n×n矩陣,反饋矩陣K為一行向量,即

K=［k1

k2

…

kn］(3.1-6)………

2.極點(diǎn)配置

閉環(huán)極點(diǎn)的分布決定了閉環(huán)過(guò)渡過(guò)程的主要品質(zhì),因此閉環(huán)極點(diǎn)位置的指定應(yīng)由閉環(huán)系統(tǒng)的品質(zhì)指標(biāo)如穩(wěn)定裕度、超調(diào)量和回復(fù)時(shí)間表示,而它們又與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān),因此我們

可以在復(fù)平面s上畫(huà)出一個(gè)由等衰減比線(等ζ線)、等回復(fù)時(shí)間線(等σ線)、等工作頻率線(等ω線)所界定的一個(gè)區(qū)域(圖3.1-1中所示的網(wǎng)格區(qū)域),它們是閉環(huán)極點(diǎn)可配置的合適

區(qū)域。圖3.1-1閉環(huán)極點(diǎn)位置的合適區(qū)域

3.狀態(tài)反饋矩陣K的計(jì)算

K矩陣可以事先計(jì)算出來(lái),對(duì)單輸入-單輸出系統(tǒng),通常有幾種計(jì)算K矩陣的方法,我們通過(guò)下面一個(gè)例子說(shuō)明。

【例3.1-1】一個(gè)三容水槽對(duì)象如圖3.1-2所示,H1、H2、H3為三個(gè)水槽液位,將H1作為被控變量y,將輸入流量q作為控制變量u。

原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為圖3.1-2液位系統(tǒng)圖它們由環(huán)節(jié)1/s、1/(s+1)、1/(s+2)及10串聯(lián)而成(如圖3.1-3(a)所示),選狀態(tài)變量x1、x2、x3,它們與各水位成比例,可得到狀態(tài)圖(如圖3.1-3(b)所示)。顯然原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,現(xiàn)要求通過(guò)狀態(tài)反饋u=-Kx+v(v為參考輸入),將閉環(huán)極點(diǎn)配置在-2、-1±j上。圖3.1-3液位系統(tǒng)方框圖及狀態(tài)圖

【解法一】利用閉環(huán)特征方程式(3.1-4)求K矩陣。

由于原系統(tǒng)傳遞函數(shù)不發(fā)生零點(diǎn)、極點(diǎn)相消,系統(tǒng)是可控可觀的,故可通過(guò)狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)。

系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為引入狀態(tài)反饋矩陣

K=［k0

k1

k2］

進(jìn)行狀態(tài)反饋,閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為

f(λ)=|λI-(A-bK)|=λ3+(3+k2)λ2+(2+k1+k2)λ+k0而期望的特征多項(xiàng)式為

f*(λ)=(λ+2)(λ+1-j)(λ+1+j)=λ3+4λ2+6λ+4

將f(λ)與f*(λ)的系數(shù)進(jìn)行比較,得k0=4,k1=3,k2=1,即

K=［4

3

1］

這種方法在求K時(shí)要計(jì)算閉環(huán)特征多項(xiàng)式f(λ),當(dāng)n很大時(shí)是不方便的,此時(shí)可以利用下面將講到的公式直接計(jì)算K。

【解法二】用Ackermann公式計(jì)算K矩陣。

Ackermann公式為

K=［0

0

…

1］P-1cq(A)

(3.1-7)

這里,Pc是原系統(tǒng)的可控性矩陣,Pc=［b

Ab

…

An-1b］,而q(A)是根據(jù)A及期望閉環(huán)特征多項(xiàng)式f*(λ)=λn+βn-1λn-1

+…+β1λ+β0構(gòu)造的矩陣,即

q(A)=An+βn-1An-1+…+β1A+β０Ｉ

(3.1-8)在本例中，所以

MATLAB提供了用acker函數(shù)計(jì)算K的程序,具體如下:

a=［0

1

0;0

-1

1;0

0

-2］;

b=［0;0;1］;

p=［-2,-1+j,-1-j］;

K=acker(a,b,p);

通過(guò)以上程序即可直接得到K=［4,3,1］。

【解法三】利用可控標(biāo)準(zhǔn)形式求K矩陣。

我們知道系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

(3.1-9)如不發(fā)生零極點(diǎn)相消,則其可用可控標(biāo)準(zhǔn)形的狀態(tài)空間

表示:(3.1-10)加入反饋矩陣,閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為

(3.1-11)其閉環(huán)特征多項(xiàng)式為

將其與期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式

比較得可以看出,用這種方法計(jì)算陣顯得很方便。但

是在可控標(biāo)準(zhǔn)型中的狀態(tài)反饋陣,返回至原系統(tǒng)(A,b,c)的變換陣(3.1-12)而

回到本例中,可控標(biāo)準(zhǔn)形為

得(3.1-13),,即,但在可控標(biāo)準(zhǔn)形中,狀態(tài)變量

是不可檢測(cè)的,必須轉(zhuǎn)為原系統(tǒng)(A,b,c)狀態(tài),如圖3.1-3(b)所示。由(A,b,c)轉(zhuǎn)化到的變換陣為從轉(zhuǎn)回到(A,b,c)的變換陣為

故，和前面計(jì)算結(jié)果相同。對(duì)多輸入-多輸出系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問(wèn)題,確定的K陣不是唯一的。這是因?yàn)閷?duì)多輸入-多輸出系統(tǒng),可以導(dǎo)出多種能控標(biāo)準(zhǔn)形,增加了設(shè)計(jì)自由度。至于確定哪一個(gè)解比較好,是一件比較麻煩的事,可參閱有關(guān)書(shū)籍。3.1.2狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和應(yīng)用中的問(wèn)題

1.狀態(tài)變量的選擇

狀態(tài)空間的表達(dá)式不是唯一的,它依賴(lài)于狀態(tài)變量的選擇。雖然從數(shù)學(xué)角度看,狀態(tài)變量的選擇有較大的任意性,甚至有的選擇會(huì)給計(jì)算帶來(lái)很大的方便,如例3.1-1中系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn),在計(jì)算上顯得十分簡(jiǎn)捷,但這些狀態(tài)變量卻是不可測(cè)量的,這樣必須選擇那些能夠檢測(cè)的變量作為新的狀態(tài)變量,新舊狀態(tài)變量間可尋求某種變換關(guān)系,就像該例子所說(shuō)的那樣。有時(shí)可檢測(cè)變量數(shù)可能小于獨(dú)立變量的維數(shù)n,這時(shí)就要利用估計(jì)器進(jìn)行狀態(tài)反饋。對(duì)于確定性系統(tǒng),它們是龍伯格(Luenberge)漸近觀測(cè)器;對(duì)于帶有噪聲的隨機(jī)系統(tǒng)，它們是卡爾曼(Kalman)濾波器。按照分離原理,狀態(tài)反饋控制器和估計(jì)器可以彼此獨(dú)立地設(shè)計(jì),在此不再贅述。

2.閉環(huán)系統(tǒng)的期望特性

在控制理論中,閉環(huán)系統(tǒng)的期望特性通常有兩種求解方法:一是將閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為應(yīng)滿(mǎn)足要求的閉環(huán)極點(diǎn)(特別是主導(dǎo)極點(diǎn))位置,這就是極點(diǎn)配置的問(wèn)題;另一種是不規(guī)定極點(diǎn)的具體位置,而是對(duì)過(guò)程響應(yīng)中的一些積分指標(biāo),如誤差平方積分(ISE)指標(biāo)、二次型積分指標(biāo)等求極值,這就是各種最優(yōu)控制問(wèn)題,它們往往也是狀態(tài)反饋控制器問(wèn)題。

3.閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤與抗干擾問(wèn)題

有擾動(dòng)變量的單輸入-單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

(3.1-14)

式中,d是擾動(dòng)變量,f是擾動(dòng)矩陣(行向量)。如果施行了狀態(tài)反饋

u=-Kx+v其中,v是參考輸入,則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉氏變換,可得

故

(3.1-15)

由于閉環(huán)極點(diǎn)都配置在左半s平面,因此穩(wěn)態(tài)值可用終值定理求得。

1)穩(wěn)態(tài)跟蹤性能

當(dāng)v為單位階躍輸入,即v(s)=1/s,而d=0時(shí),

穩(wěn)態(tài)誤差為

2)穩(wěn)態(tài)抗干擾性能

由于v=0,而d為單位階躍干擾,d(s)=1/s,因此一般的狀態(tài)反饋,其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能往往達(dá)不到要求。如果要求系統(tǒng)對(duì)輸入和擾動(dòng)都是無(wú)差的,那么在控制作用中除了狀態(tài)反饋信息外,還應(yīng)包含輸出誤差的積分,我們可以把誤差的積分當(dāng)做一個(gè)新的狀態(tài)變量,令

(3.1-16)

則有將它與原系統(tǒng)

組成一個(gè)n+1維的增廣系統(tǒng),即

(3.1-17)該增廣系統(tǒng)的可控性矩陣為

(3.1-18)這里,Pc是原系統(tǒng)的可控性矩陣。如果原系統(tǒng)可控,即rankPc=n,則只要矩陣的秩為n+1,即rankPc′=n+1,增廣系統(tǒng)就可實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋,即

(3.1-19)由于q配置在有限值,這就要求,即無(wú)余差。該狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3.1-4所示。

對(duì)于圖3.1-4所示的系統(tǒng),一方面,可借助極點(diǎn)配置決定它的動(dòng)態(tài)性能,另一方面,對(duì)階躍性的輸入與擾動(dòng)可達(dá)到穩(wěn)態(tài)無(wú)差。從圖中可看出,這種校正裝置除包含狀態(tài)變量反饋外,還包含了參考階躍輸入的內(nèi)模,即一個(gè)積分器。

以上結(jié)構(gòu)對(duì)于多輸入-多輸出系統(tǒng)也適用。圖3.1-4改進(jìn)后的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

4.狀態(tài)反饋在過(guò)程工業(yè)中的應(yīng)用實(shí)例

某工廠采用乳液法生產(chǎn)聚氯乙烯樹(shù)脂,干燥塔的工藝流程如圖3.1-5所示。乳狀的聚合液從干燥塔上部噴霧流入,熱空氣從塔頂進(jìn)入,與從高位槽來(lái)的霧狀乳料液接觸,使乳料液干燥。該生產(chǎn)過(guò)程擾動(dòng)因素較多,純滯后時(shí)間長(zhǎng),常規(guī)控制方法難以達(dá)到較高的控制指標(biāo),為此在塔的上部和下部各有一個(gè)溫度檢測(cè)。自控人員可將上部溫度T1和下部溫度T2作為狀態(tài)變量,將進(jìn)料量作為控制變量來(lái)設(shè)計(jì)一套狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)。圖3.1-5干燥塔工藝流程圖經(jīng)實(shí)際測(cè)試,對(duì)象和控制系統(tǒng)的方框圖如圖3.1-6所示。在狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中,閉環(huán)極點(diǎn)為-0.84+j0.63及-0.84-j0.63,期望特征方程式為

f*(λ)=(λ+0.84-j0.63)(λ+0.84+j0.63)=λ2+1.68λ+1.1

選定了狀態(tài)變量T1、T2以后,系統(tǒng)的狀態(tài)方程為計(jì)算得狀態(tài)反饋矩陣為

K=［7.71

8.08］

該狀態(tài)反饋控制實(shí)施方便,效果顯著,干燥塔的出口溫度很穩(wěn)定,產(chǎn)品的濕含量實(shí)現(xiàn)了卡邊生產(chǎn),不僅提高了產(chǎn)品質(zhì)量,而且降低了能耗。圖3.1-6對(duì)象和控制系統(tǒng)方框圖本例在工藝上采用高位槽進(jìn)料,因此進(jìn)料量穩(wěn)定。在進(jìn)料量和熱風(fēng)量有階躍性擾動(dòng)的情況下,為保證T2溫度穩(wěn)態(tài)無(wú)差,也可采用帶偏差積分的狀態(tài)反饋,這是因?yàn)?/p>

是滿(mǎn)秩的。采用的控制律u=-(k0T1+k1T2+k2

T2dt)實(shí)施起來(lái)也不復(fù)雜。

3.2內(nèi)?？刂?/p>

內(nèi)模控制(InternalModelControl)是由Caricia和Morari于1982年提出的一種基于對(duì)象數(shù)學(xué)模型的新型控制策略。由于它設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單,跟蹤和控制性能好,魯棒性強(qiáng),能消除不可測(cè)干擾的影響,因此已被廣泛應(yīng)用在工業(yè)上。同時(shí)由于它結(jié)構(gòu)清晰,易于進(jìn)行系統(tǒng)分析,因此也是一種剖析較為復(fù)雜的系統(tǒng)(如預(yù)測(cè)控制等)的機(jī)理的有力工具。3.2.1內(nèi)模控制的基本原理

內(nèi)?？刂埔柚?jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn),本節(jié)采用脈沖傳遞函數(shù)模型。

1.內(nèi)?？刂频慕Y(jié)構(gòu)

圖3.2-1所示為最常見(jiàn)的反饋系統(tǒng),其中,y(z)、ysp(z)和d(z)分別是系統(tǒng)的輸出、設(shè)定值和不可測(cè)干擾,u(z)是對(duì)象的控制輸入。G(z)和C(z)分別是對(duì)象控制通道和控制器的脈沖傳遞函數(shù)。圖3.2-1簡(jiǎn)單采樣控制系統(tǒng)簡(jiǎn)單控制系統(tǒng)的反饋信號(hào)是對(duì)象的輸出y(z),這就使得不可測(cè)擾動(dòng)d(z)的影響會(huì)和控制作用u(z)的影響混雜在一起,因而y(z)不能完全反映d(z),也就得不到及時(shí)的補(bǔ)償。

圖3.2-2所示的內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)引入了數(shù)學(xué)模型,反饋量也由y(z)變?yōu)閿_動(dòng)的估計(jì)量,如果模型正確,即

,則,因此反饋信息中只含有不可測(cè)擾動(dòng)d(z)的信息。圖3.2-2內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)將內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)稍做變化,圖3.2-2中虛線方框包含的部分即是簡(jiǎn)單反饋中的控制器C(z)的等價(jià)結(jié)構(gòu),因而

(3.2-1)式(3.2-1)分母中的負(fù)號(hào)表示C(z)內(nèi)部的u(z)的反饋是正反饋。由簡(jiǎn)單控制系統(tǒng)可知:

(3.2-2)

(3.2-3)將式(3.2-1)代入式(3.2-2)、式(3.2-3),整理后可得閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

(3.2-4)

(3.2-5)因此,內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)為

(3.2-6)而反饋信號(hào)

(3.2-7)

式(3.2-7)清楚地告訴我們,如果沒(méi)有外界擾動(dòng),即d(z)=0,且內(nèi)部模型準(zhǔn)確,

,那么。這時(shí),內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)是一個(gè)開(kāi)環(huán)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)。如果內(nèi)部模型準(zhǔn)確,而d(z)≠0,那么它是擾動(dòng)反饋的系統(tǒng)。如果沒(méi)有擾動(dòng)d(z)=0,那么反映的是對(duì)象模型的誤差信息,因此在IMC結(jié)構(gòu)中,

反映的是對(duì)象不確定性和擾動(dòng)的共同影響。明確這一點(diǎn),對(duì)的建模也是很有好處的。

2.內(nèi)?？刂频闹饕再|(zhì)

1)對(duì)偶穩(wěn)定性

由式(3.2-4)和(3.2-5)知,內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

(3.2-8)

即當(dāng)模型準(zhǔn)確時(shí),

,閉環(huán)特征方程可簡(jiǎn)化成

(3.2-9)

因此,內(nèi)模控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是GIMC(z)和G(z)的所有極點(diǎn)都在單位圓內(nèi),即要求GIMC(z)和G(z)都是穩(wěn)定的。IMC的這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為對(duì)偶穩(wěn)定性。從該性質(zhì)可知,若對(duì)象是開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的(即G(z)的特征根均在單位圓內(nèi)),那么只要設(shè)計(jì)的內(nèi)?？刂破鱃IMC(z)是穩(wěn)定的,則整個(gè)IMC閉環(huán)控制系統(tǒng)必然是穩(wěn)定的。而對(duì)于簡(jiǎn)單控制系統(tǒng),即使G(z)是穩(wěn)定的,C(z)也是穩(wěn)定的,它們構(gòu)成的簡(jiǎn)單控制系統(tǒng)也未必是穩(wěn)定的,還需要通過(guò)各種穩(wěn)定性分析方法和判據(jù)來(lái)判定。相比較而言,IMC的穩(wěn)定性分析和設(shè)計(jì)顯得簡(jiǎn)單、清晰。

對(duì)于開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定對(duì)象,在使用IMC之前,可以先用簡(jiǎn)單反饋控制使之穩(wěn)定,再結(jié)合IMC進(jìn)行控制。

2)理想控制器特性

如果對(duì)象G(z)是穩(wěn)定的,且模型匹配,即,另外設(shè)計(jì)的控制器滿(mǎn)足

(3.2-10)

且模型逆能實(shí)現(xiàn),則由式(3.2-6)可知：這樣的控制器我們稱(chēng)之為理想控制器。但是嚴(yán)格的理想控制器往往是不存在的,例如對(duì)象含有純滯后,則模型逆出現(xiàn)純超前環(huán)節(jié);對(duì)象含有慣性環(huán)節(jié),則模型逆中有純微分環(huán)節(jié)。此外如對(duì)象有反向特性,即包含有不穩(wěn)定的零點(diǎn),則模型逆就有不穩(wěn)定的極點(diǎn),因而內(nèi)模控制器GIMC(z)就會(huì)不穩(wěn)定。因此理想控制器是難以實(shí)現(xiàn)的。后面就會(huì)講到實(shí)際的內(nèi)?？刂破鱃IMC(z)的設(shè)計(jì)方法。

3)無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差

如果內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)是穩(wěn)定的,則對(duì)象的模型失配,即

。由式(3.2-6)可得誤差e(z)為

(3.2-11)終值定理表明,對(duì)設(shè)定值的階躍變化,穩(wěn)態(tài)誤差為對(duì)擾動(dòng)d的階躍變化d(z)=D/(1-z-1),穩(wěn)態(tài)誤差為

因此只要使內(nèi)模控制器的增益等于模型穩(wěn)態(tài)增益的倒數(shù),即

(3.2-12)就有

e(∞)=0

這表明,即使在模型失配的情況下,只要式(3.2-12)滿(mǎn)足,內(nèi)?？刂迫阅軐?duì)階躍設(shè)定值輸入信號(hào)跟蹤,且有消除階躍干擾的能力。這似乎說(shuō)明IMC系統(tǒng)本身具有對(duì)偏差進(jìn)行積分的作用,在IMC設(shè)計(jì)中無(wú)需再單獨(dú)引入積分環(huán)節(jié)。

3.內(nèi)?？刂破髟O(shè)計(jì)

前面已說(shuō)過(guò),理想控制器要求。不過(guò)，理想控制器是難以實(shí)現(xiàn)的，主要原因有以下幾方面：

①若對(duì)象模型含有純滯后特性,則GIMC(z)具有超前預(yù)測(cè)項(xiàng),這在物理上是不能實(shí)現(xiàn)的,因?yàn)樗环弦蚬伞?/p>

②若對(duì)象模型含有不穩(wěn)定的零點(diǎn)(即在單位圓外的零點(diǎn)),則GIMC(z)就有不穩(wěn)定的極點(diǎn),導(dǎo)致控制器不穩(wěn)定。③若對(duì)象模型G(z)是嚴(yán)格有理的,分母的多項(xiàng)式次數(shù)比分子的多項(xiàng)式次數(shù)高N次,則GIMC(z)中將出現(xiàn)N階微分器,這樣的控制器對(duì)高頻噪聲極為敏感,無(wú)法采用。

④當(dāng)模型有誤差時(shí),

,理想控制器

對(duì)模型誤差極為敏感,系統(tǒng)的魯棒性差,甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。

針對(duì)上面的問(wèn)題,我們?cè)谠O(shè)計(jì)內(nèi)?？刂破鲿r(shí)是分兩步進(jìn)行的:第一步,先設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定的控制器,以解決上述的問(wèn)題①、②、③;第二步,在反饋和輸入回路插入反饋濾波器Gf(z)和輸入濾波器Gr(z),并通過(guò)調(diào)整Gf(z)和Gr(z)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)來(lái)穩(wěn)定系統(tǒng),使系統(tǒng)獲得期望的動(dòng)態(tài)品質(zhì),使問(wèn)題④得到解決。下面對(duì)這兩步設(shè)計(jì)進(jìn)行詳細(xì)介紹。

1)穩(wěn)定控制器設(shè)計(jì)

先不考慮模型誤差、約束條件等,設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定的控制器。若模型為非最小相位系統(tǒng),先將模型分解為兩部分,即

(3.2-13)

其中:是包含時(shí)滯和位于z平面單位圓外零點(diǎn)的部分;

是模型中最小相位部分。為保證GIMC(z)可實(shí)現(xiàn)，取

（3.2-14）

f(z)是保證GIMC(z)可實(shí)現(xiàn)的因子。為實(shí)現(xiàn)零穩(wěn)態(tài)偏差，根據(jù)條件式(3.2-12)可知,f(z)必須滿(mǎn)足

（3.2-15）

或可實(shí)現(xiàn)因子f(z)一般可取為

(β<1)

(3.2-16)

這里是模型非最小相位部分的穩(wěn)態(tài)增益。當(dāng)時(shí),式(3.2-16)可化簡(jiǎn)為

(β<1)(3.2-17)

是一階濾波形式,當(dāng)然f(z)也可取其它高階濾波形式。將式(3.2-13)及式(3.2-14)代入式(3.2-6)中,得

(3.2-18)上式還可進(jìn)一步變換成

(3.2-19)從式(3.2-19)可知,因?yàn)?所以對(duì)階躍形式的給定值輸入ysp或擾動(dòng)d,總有

y(∞)=ysp(∞)

實(shí)現(xiàn)靜態(tài)無(wú)差。

2)反饋通道和前置通道濾波器設(shè)計(jì)

在模型匹配時(shí),

,由式(3.2-18),有

(3.2-20)

上式表明輸出響應(yīng)可通過(guò)調(diào)整f(z)的參數(shù)(如β值)來(lái)改變。

但是由上一步設(shè)計(jì)出來(lái)的穩(wěn)定控制器,在對(duì)象模型失配或有干擾存在的情況下,有時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)并不能獲得期望的動(dòng)態(tài)特性,甚至?xí)霈F(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況,比如下面講到的這個(gè)例子就涉及這個(gè)問(wèn)題。

【例3.2-1】設(shè)對(duì)象和模型的脈沖傳遞函數(shù)分別為

式中,g(z)是最小相位部分的脈沖傳遞函數(shù)。若取穩(wěn)定控制器GIMC(z)=g-1(z),則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

有兩個(gè)根落在單位圓上,因而閉環(huán)內(nèi)模控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。

解決模型失配引起閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定的方法是在反饋通道中加入一個(gè)反饋濾波器Gf(z),如圖3.2-3所示。圖3.2-3帶反饋濾波器的內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)

Gf(z)的第一個(gè)作用是使不穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)得到穩(wěn)定,增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。

插入反饋濾波器后,閉環(huán)的控制u、輸出y和偏差e的方程式應(yīng)改為(為簡(jiǎn)單起見(jiàn),省略了傳遞函數(shù)中的算子z)

(3.2-21)

(3.2-22)和

即(3.2-23)如取Gf(z)為簡(jiǎn)單的一階濾波形式:

(3.2-24)

式中,αf是可以按實(shí)際情況調(diào)整的參數(shù)?；剡^(guò)頭來(lái)再看例3.2-1,由式(3.2-22)可知,加入Gf(z)后閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式

為

(3.2-25)代入原關(guān)系式,即得

原來(lái)使系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩的根變?yōu)?/p>

因?yàn)?<αf<1,所以它們均在單位圓內(nèi),系統(tǒng)得到了穩(wěn)定,而且通過(guò)αf的選擇可以把特征根配置在合適的位置,因此Gf(z)的適當(dāng)利用,可增加內(nèi)模控制系統(tǒng)的魯棒性。

Gf(z)的第二個(gè)作用是可以抑制進(jìn)入系統(tǒng)的干擾,例如當(dāng)模型匹配時(shí),

,由干擾引起的輸出變化為

(3.2-26)

對(duì)于某些類(lèi)型的干擾,可適當(dāng)選取反饋濾波器,對(duì)干擾進(jìn)行補(bǔ)償和抑制。例如,當(dāng)時(shí),由式(3.2-26)有

如果取(0<αf<1),那么對(duì)單位階躍干擾,輸出的z變換為即輸出序列y(k)按1,αf,α2f,…呈指數(shù)衰減至零,而且如果沒(méi)有反饋,Gf(z)=0,則y(k)是常值1。如果Gf(z)=1,則y(k)是δ函數(shù),對(duì)系統(tǒng)沖擊很大。

另外,內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)如有突加設(shè)定值的沖擊,為了柔化控制動(dòng)作,通常將設(shè)定值ysp(k)經(jīng)過(guò)一個(gè)輸入濾波器Gr(z)后,再送至控制器GIMC(z)。經(jīng)柔化后的輸入?yún)⒖架壽Eyr(k)滿(mǎn)足方程

(3.2-27)式中:ysp(k)為輸入設(shè)定值;yr(k)為參考軌跡,也就是輸入濾波器的輸出;αr=exp(-T/τ),T為采樣周期,τ為參考軌跡時(shí)間常數(shù),柔性因子αr愈大(即τ愈大),表明到達(dá)ysp的時(shí)間就愈長(zhǎng),柔性愈大。

加入輸入濾波器后,參考輸入信號(hào)方程為

(3.2-28)取i=1,即把ysp(k)作為輸入,把yr(k+1)作為輸出時(shí),輸入濾波器的形式為

(3.2-29)

也是一階的。從式(3.2-24)和式(3.2-29)可知,當(dāng)反饋濾波器Gf(z)和輸入濾波器Gr(z)的可調(diào)因子選取同一值時(shí),在結(jié)構(gòu)上它們可以合二為一,這等同于在前向通道的控制器GIMC(z)前插入一個(gè)前置濾波器Gβ(z)(如圖3.2-4所示)，其中,

(3.2-30)如果設(shè)計(jì)出的內(nèi)模控制器中包含有可實(shí)現(xiàn)因子f(z),并取f(z)為式(3.2-17)那樣的一階濾波器形式,則可將f(z)從GIMC(z)中分離出來(lái)而與前置濾波Gβ(z)合并,此時(shí)前置濾波Gβ(z)兼有控制器可實(shí)現(xiàn)因子、反饋濾波和輸入濾波三重作用。適當(dāng)選取前置濾波參數(shù)β,可增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。通常增大β值(0<β<1),系統(tǒng)克服模型失配和參數(shù)波動(dòng)能力將增強(qiáng),但輸出響應(yīng)變慢,因此β值應(yīng)在魯棒性和快速性之間折中選擇,進(jìn)行閉環(huán)整定。圖3.2-4加前置濾波器的內(nèi)模控制系統(tǒng)單輸入-單輸出系統(tǒng)的內(nèi)?？刂评碚摵驮O(shè)計(jì)方法,原則上也能應(yīng)用于多輸入-多輸出系統(tǒng),只是相應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)應(yīng)當(dāng)代之以脈沖傳遞矩陣,可參閱有關(guān)書(shū)籍和論文。

4.內(nèi)模控制應(yīng)用實(shí)例

【例3.2-2】圖3.2-5所示是一個(gè)蒸汽加熱器實(shí)驗(yàn)裝置,加熱介質(zhì)為蒸汽,冷流體為水,控制目標(biāo)是通過(guò)調(diào)節(jié)加熱蒸汽流量來(lái)保證熱交換器出口熱水溫度穩(wěn)定。圖中溫度控制器采用微機(jī)實(shí)現(xiàn)。

熱交換器是典型的分布參數(shù)系統(tǒng),表現(xiàn)出化工過(guò)程中常見(jiàn)的時(shí)滯和非線性特性。隨著水流量的變化,對(duì)象增益和時(shí)滯等參數(shù)都會(huì)發(fā)生變化,這時(shí)利用內(nèi)模控制實(shí)現(xiàn)對(duì)出水溫度的控制,以使系統(tǒng)達(dá)到好的性能和魯棒性要求。圖3.2-5熱交換器的IMC控制熱交換出水溫度y對(duì)蒸汽量u的關(guān)系由開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)獲得,對(duì)象模型的脈沖傳遞函數(shù)為

(3.2-31)包括零階保持器以后,對(duì)象模型的脈沖傳遞函數(shù)為

(3.2-32)

其中,常數(shù)為純滯后時(shí)間對(duì)采樣時(shí)間的倍數(shù)。取采樣時(shí)間Ts=0.3s,則α=0.970,N=10。為了使內(nèi)?？刂破骺蓪?shí)現(xiàn),取為一階濾波器形式,故

(3.2-33)

式中,

(Tf為濾波器常數(shù)),是一個(gè)可調(diào)整參數(shù),0<αf<1。根據(jù)內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)的信號(hào)關(guān)系(如圖3.2-4所示)及式(3.2-32)、(3.2-33)可知,控制算法包括下面三個(gè)方程:根據(jù)內(nèi)模控制原理,在模型匹配時(shí),濾波器時(shí)間常數(shù)Tf(即αf值)決定了閉環(huán)響應(yīng)。圖3.2-6給出了濾波器時(shí)間Tf的變化對(duì)設(shè)定值的影響。隨著Tf的增大(αf也增大),響應(yīng)的超調(diào)量減小,振蕩減弱,而響應(yīng)變慢。由此可見(jiàn),響應(yīng)速度與穩(wěn)定性之間的權(quán)衡關(guān)系是很清晰的,由于IMC只有一個(gè)整定參數(shù)Tf,且Tf與滿(mǎn)意的過(guò)程響應(yīng)之間關(guān)系明確,因而IMC優(yōu)于常規(guī)PID。

當(dāng)模型失配時(shí),通過(guò)Tf的整定,內(nèi)模控制系統(tǒng)也有較好的克服模型偏離的能力。圖3.2-6濾波器時(shí)間常數(shù)Tf變化時(shí)出口溫度對(duì)設(shè)定值階躍變化的響應(yīng)(采樣周期Ts=0.3s)(a)設(shè)定值正階躍;(b)設(shè)定值負(fù)階躍3.2.2內(nèi)?？刂圃赑ID控制參數(shù)整定中的應(yīng)用

PID控制是一種應(yīng)用面廣,工程人員熟悉的控制算法。由于它模仿了有效的人工控制方式,故能滿(mǎn)足一般工業(yè)過(guò)程平穩(wěn)操作和安全運(yùn)行的要求,在過(guò)程工業(yè)中,PID控制約占生

產(chǎn)裝置控制回路的80%~90%。

PID控制回路的控制質(zhì)量與控制器參數(shù)kc、τi、τd的設(shè)置有很大的關(guān)系。長(zhǎng)期以來(lái),工程人員以4∶1的衰減為準(zhǔn)則總結(jié)出了諸如臨界比例度法、反應(yīng)曲線法等經(jīng)驗(yàn)方法,但缺少理論的指導(dǎo)。近二十年來(lái),一些創(chuàng)新的PID控制思想已得到應(yīng)用。Rivera及Morari等人將基于對(duì)象模型的內(nèi)?？刂扑枷胍氲絇ID參數(shù)整定中來(lái),建立了對(duì)象過(guò)程參數(shù)、濾波器參數(shù)與PID參數(shù)(kc、τi、τd)之間明確的關(guān)系。由于整定參數(shù)只有一個(gè),而且該參數(shù)與系統(tǒng)的控制質(zhì)量及魯棒性密切相關(guān),因而得到應(yīng)用。這種方法稱(chēng)為基于內(nèi)模控制的PID方法(IMC-PID)。

為了建立內(nèi)?？刂婆c連續(xù)PID控制器的聯(lián)系,下面我們簡(jiǎn)略介紹連續(xù)系統(tǒng)的內(nèi)?？刂频闹饕晒?/p>

1.連續(xù)系統(tǒng)的內(nèi)?？刂?/p>

圖3.2-7是簡(jiǎn)單反饋控制回路(見(jiàn)圖3.2-7(a))和它等效的內(nèi)模控制結(jié)構(gòu)(見(jiàn)圖3.2-7(b))。圖3.2-7簡(jiǎn)單連續(xù)反饋控制系統(tǒng)及其等效內(nèi)模控制系統(tǒng)由圖可知,GIMC(s)與C(s)之間的關(guān)系為

(3.2-34)

即

(3.2-35)系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)為(3.2-36)

1)內(nèi)?？刂频男再|(zhì)

內(nèi)?？刂朴幸韵聨追矫娴男再|(zhì)：

(1)對(duì)偶穩(wěn)定性。如對(duì)象模型匹配,,則IMC系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是對(duì)象G(s)和控制器GIMC(s)都穩(wěn)定。

(2)理想控制器特性。當(dāng)對(duì)象G(s)穩(wěn)定,且模型匹配,即

時(shí),若設(shè)計(jì)控制器

則

(3)零穩(wěn)態(tài)誤差。如閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,即使模型失配,

,只要控制器滿(mǎn)足

則此系統(tǒng)的誤差e(s)=ysp(s)-y(s)對(duì)于階躍設(shè)定值輸入和常值干擾都是穩(wěn)態(tài)無(wú)差的,即e(∞)=0。

2)內(nèi)?？刂破鱃IMC(s)的設(shè)計(jì)步驟

(1)先將對(duì)象模型分解為

(3.2-37)

其中,

(3.2-38)

為的非最小相位部分,包含所有右半平面的零點(diǎn)和純時(shí)滯。為的最小相位部分。

(2)取內(nèi)?？刂破鳛?/p>

(3.2-39)

f(s)為濾波器,是為了保證GIMC(s)變?yōu)橛欣淼目蓪?shí)現(xiàn)因子,且有

(ε>0)

(3.2-40)加入了濾波器的內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性,即使對(duì)象模型不匹配,通過(guò)ε的調(diào)整,也可以使系統(tǒng)在快速性和魯棒性之間達(dá)到協(xié)調(diào)。

2.IMC-PI(D)的參數(shù)整定

由式(3.2-35)及式(3.2-39)可得等效控制器的傳遞函數(shù)為

(3.2-41)

式中,是對(duì)象模型的非最小相位部分。若無(wú)余差要求,則有。

PID控制器的傳遞函數(shù)為

(3.2-42)

式中,kc、τi、τd分別為控制器增益、積分時(shí)間和微分時(shí)間,1/(τfs+1)是實(shí)際工業(yè)PID控制器實(shí)現(xiàn)時(shí)引入的(τf是一個(gè)很小的量,通常在0.05τd~0.1τd之間),τf=0時(shí)為理想PID控制器。對(duì)比式(3.2-41)和式(3.2-42)就能得到控制器kc、τi、τd、τf整定參數(shù)和對(duì)象模型參數(shù)以及濾波器可調(diào)參數(shù)ε之間的關(guān)系。

1)無(wú)滯后對(duì)象的IMC-PI(D)反饋控制設(shè)計(jì)

【例3.2-3】一階對(duì)象的IMC-PID反饋控制器設(shè)計(jì)。

(3.2-43)

其中,k為對(duì)象開(kāi)環(huán)增益,τ為時(shí)間常數(shù)。,

(1)尋找IMC控制器的傳遞函數(shù)GIMC(s),其中包含一個(gè)濾波器f(s),使GIMC(s)物理上可實(shí)現(xiàn),即

(3.2-44)

(2)利用式(3.2-41)求等效的IMC-PID控制器(r=1)。

(3)對(duì)照式(3.2-42)可得(3.2-45)

【例3.2-4】二階對(duì)象的IMC-PID反饋控制器設(shè)計(jì)。

(3.2-46)

(1)求,取f(s)=1/(εs+1),則

(3.2-47)

這里取f(s)=1/(εs+1),使及C(s)分子多于分母最多一次,對(duì)應(yīng)于理想PID控制器。

(2)利用式(3.2-41)可得等效的IMC-PID控制器

(3.2-48)

(3)對(duì)照式(3.2-42)可得

2)帶有純滯后對(duì)象的IMC-PID反饋控制器設(shè)計(jì)

有純滯后對(duì)象是非最小相位對(duì)象,為了得到IMC-PID形式的控制器,需將純滯后項(xiàng)用Pade一階或零階近似。

【例3.2-5】對(duì)于一階加純滯后對(duì)象的IMC-PID控制器設(shè)計(jì)。

(1)對(duì)純滯后項(xiàng)用一階Pade近似,即

(3.2-50)所以取

(3.2-51)

分解成

(2)求GIMC(s)。

(3.2-52)

(3)對(duì)應(yīng)的有

(3.2-53)

(4)對(duì)照式(3.2-42),得

由于使用Pade近似增加了模型的不確定性,故濾波常數(shù)ε不能取得太小,推薦ε>0.8θ。

【例3.2-6】對(duì)一階加純滯后對(duì)象的IMC-PI控制器設(shè)計(jì)。

(1)對(duì)e-θs用零階Pade近似,即e-θs≈1。取

(3.2-54)

(2)其結(jié)果和例3.2-3一樣,即

(3.2-55)

由于沒(méi)有考慮純滯后,模型誤差較大,Morari等人(1989年)建議加大ε,取ε>1.7θ。若在忽略純滯后的同時(shí)增大對(duì)象的時(shí)間常數(shù),即取

(3.2-56)

則得

(3.2-57)這種控制器稱(chēng)為改進(jìn)型IMC-PI控制器。由于純滯后被近似,存在模型誤差,Morari等人(1989年)建議ε>1.7θ,改進(jìn)型的PI控制器比PI控制器魯棒性更好。

以對(duì)象

(3.2-58)為例,在時(shí)間滯后作分解后,得內(nèi)?？刂破?/p>

(3.2-59)

按求得各種IMC-PI(D)控制器的參數(shù)如表3.2-1所示。表3.2-1各種IMC-PI(D)控制器的參數(shù)

PID+濾波器的控制器是實(shí)際PID控制器(其傳遞函數(shù)為式(3.2-42)),對(duì),通過(guò)計(jì)算,有。

其它參數(shù)都由前述算式得到。圖3.2-8(a)、(b)分別是ε=5和ε=10時(shí),式(3.2-59)的內(nèi)?？刂破鱃IMC(s)與各種基于IMC的PI(D)控制器的控制效果圖。

從中可看出,當(dāng)ε=5時(shí),IMC和PID+濾波器控制性能幾乎一樣,且它們的性能明顯優(yōu)于其它控制器。

ε=10時(shí),各類(lèi)控制器響應(yīng)的穩(wěn)定性顯著提高,性能差別也減小,說(shuō)明系統(tǒng)的魯棒性能有所改善。但響應(yīng)速度減緩。圖3.2-8各類(lèi)控制器對(duì)階躍設(shè)定值擾動(dòng)的響應(yīng)曲線

3)具有不穩(wěn)定零點(diǎn)對(duì)象的IMC-PID反饋控制器設(shè)計(jì)

對(duì)具有不穩(wěn)定零點(diǎn)的對(duì)象,在設(shè)計(jì)控制器時(shí),應(yīng)先將對(duì)象模型分解(這種分解不是唯一的),得到的控制器也有所差別。

【例3.2-7】設(shè)計(jì)具有不穩(wěn)定零點(diǎn)的二階系統(tǒng)

(β,τ1,τ2>0)(3.2-60)設(shè)計(jì)步驟如下:

(1)將對(duì)象模型分解為

(對(duì)應(yīng)于階躍響應(yīng)的IAE指標(biāo)最優(yōu))

(3.2-61)

(2)使用一階濾波器,得

(3.2-62)

(3)利用式(3.2-41)的轉(zhuǎn)換關(guān)系,得

(3.2-63)——理想PID控制器其中,(3.2-64)此例還有另一種分解法,步驟如下：

(1)將對(duì)象模型分解為

(對(duì)應(yīng)于階躍響應(yīng)的ISE指標(biāo)最優(yōu))

(3.2-65)

(2)使用一階濾波器,得

(3.2-66)

(3)通過(guò)式(3.2-41)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，得

——實(shí)際PID控制器

(3.2-67)其中(3.2-68)兩種分解法的PID整定參數(shù)中,增益kc不完全相同,且后者多了一個(gè)濾波器1/(τfs+1)。IMC-PID還可以用于不穩(wěn)定對(duì)象,這時(shí)濾波器應(yīng)選得復(fù)雜一些,讀者如想進(jìn)一步了解,可參閱其它書(shū)籍和論文。和PID控制器傳統(tǒng)的整定方法相比較,IMC-PI(D)方法具有明顯的優(yōu)點(diǎn):一是只有一個(gè)整定參數(shù)ε,而且按內(nèi)模控制原理,ε與系統(tǒng)響應(yīng)的性能,如穩(wěn)定性、快速性、魯棒性等之間的關(guān)系明確,整定方法易于被工程人員掌握;二是理論依據(jù)充分,當(dāng)滿(mǎn)足一些條件時(shí),它們是IAE或ISE意義最優(yōu)的。圖3.2-9和圖3.2-10分別是關(guān)于帶時(shí)滯的一階對(duì)象

的改良型IMC-PI整定方法及IMC-PID整定方法與傳統(tǒng)的Zieger-Nichols方法、Cohen-Coon方法的比較結(jié)果,從中可以看出,在不同的時(shí)滯θ值下,IMC-PI(D)的整定效果都要明顯優(yōu)于Z-N方法和C-C方法的整定效果。圖3.2-9IMC-PI方法與傳統(tǒng)整定方法效果比較

,(——)為IMC-PI(改良型ε=1.7θ)(———)為Z-N方法,(……)為C-C方法圖3.2-10

IMC-PID方法與傳統(tǒng)整定方法效果比較(毛刺是設(shè)定值階躍沖擊的結(jié)果)

,(——)為IMC-PI(改良型ε=0.8θ)(———)為Z-N方法(θ=10時(shí)不穩(wěn)定),(……)為C-C方法

3.3簡(jiǎn)化模型預(yù)測(cè)控制

前面說(shuō)過(guò)內(nèi)模控制是一種極具理論價(jià)值的基于模型的控制策略,但其工程實(shí)現(xiàn)因涉及模型求逆和濾波器合理設(shè)計(jì)等,設(shè)計(jì)過(guò)程比較復(fù)雜,尤其是多輸入-多輸出過(guò)程,實(shí)施難度更大。為此Arulalan和Deshpande等人提出了一種簡(jiǎn)化模型預(yù)測(cè)控制(SMPC),為內(nèi)模控制的工程實(shí)現(xiàn)提供了更為簡(jiǎn)便的途徑。

SMPC的基本思想是要求系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)至少能達(dá)到其開(kāi)環(huán)響應(yīng)的性能,由此導(dǎo)出一個(gè)控制算法,并引入一個(gè)整定參數(shù)α改善系統(tǒng)響應(yīng)的性能,在快速性和魯棒性之間折中選擇

一個(gè)合適的α值。由于只有一個(gè)整定參數(shù),因此SMPC方法也很容易推廣到多輸入-多輸出系統(tǒng)中。3.3.1單輸入-單輸出SMPC

1.SMPC方法

圖3.3-1是典型的采樣數(shù)字控制系統(tǒng),假定對(duì)象是開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的,其開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

(3.3-1)

閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

(3.3-2)圖3.3-1簡(jiǎn)單采樣控制系統(tǒng)

SMPC方法是基于如下假設(shè)設(shè)計(jì)的,即總可以設(shè)計(jì)一個(gè)控制算法,使系統(tǒng)對(duì)閉環(huán)的設(shè)定值的單位階躍響應(yīng)至少能和對(duì)象的開(kāi)環(huán)歸一化階躍響應(yīng)相同,歸一化階躍響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)增益為1的對(duì)象對(duì)單位階躍輸入的響應(yīng)。

如對(duì)象的穩(wěn)態(tài)增益為Kp,則其開(kāi)環(huán)歸一化階躍響應(yīng)為

(3.3-3)而閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

(3.3-4)

令上述兩個(gè)響應(yīng)相同,就有

(3.3-5)因此,

(3.3-6)

由于

(3.3-7)將式(3.3-6)代入式(3.3-7),整理后得

(3.3-8)

式(3.3-8)中對(duì)應(yīng)的脈沖函數(shù)可以用其開(kāi)環(huán)脈沖響應(yīng)系數(shù)

來(lái)表示,即對(duì)穩(wěn)定的對(duì)象,i→∞時(shí),→0,由此只需要取有限的N項(xiàng)表示就足夠了,即

令為對(duì)象模型的脈沖傳遞函數(shù):

(3.3-9)其中,hi為對(duì)象模型的脈沖響應(yīng)系數(shù)(為簡(jiǎn)單起見(jiàn),略去了它們上方的～號(hào))。我們?cè)谑?3.3-6)中用模型代替真實(shí)的對(duì)象

(3.3-10)

結(jié)合式(3.3-7),有

(3.3-11)寫(xiě)成時(shí)域表示的形式為

(3.3-12)按照式(3.3-12)的控制規(guī)律,在沒(méi)有模型誤差(

,

,)的情況下,則閉環(huán)系統(tǒng)的設(shè)定值的單位階躍響應(yīng)與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)完全一樣,這顯然不能滿(mǎn)足對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的性能要求,為此我們?cè)谒惴ㄖ幸胍粋€(gè)整定參數(shù)α來(lái)改變閉環(huán)響應(yīng),這樣式(3.3-11)變?yōu)?/p>

(3.3-13)相應(yīng)的時(shí)域形式為

(3.3-14)

式(3.3-13)和式(3.3-14)是單輸入-單輸出系統(tǒng)SMPC系統(tǒng)控制規(guī)律的最終形式。

2.SMPC的主要性質(zhì)

按上節(jié)所述,簡(jiǎn)單控制回路的SMPC控制器C(z)有等價(jià)的內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu),如圖3.3-2所示。虛線方框內(nèi)是等效的內(nèi)?？刂破鱃IMC(z),因而

(3.3-15)圖3.3-2

SMPC的等效內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)由式(3.3-13)可得SMPC控制器的脈沖傳遞函數(shù)為

(3.3-16)

故等效的內(nèi)模控制器為

(3.3-17)

應(yīng)注意,它與上一節(jié)內(nèi)?？刂破鞯慕M成是不同的。

利用上節(jié)的結(jié)果,下面我們來(lái)討論SMPC系統(tǒng)的主要性質(zhì)。

1)穩(wěn)定性

內(nèi)?？刂破鞯膶?duì)偶穩(wěn)定性告訴我們,在模型匹配的條件下,

,整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是GIMC與G(z)都是穩(wěn)定的,因?yàn)镚(z)是開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的,那么只要GIMC(z)穩(wěn)定,則閉環(huán)系統(tǒng)也穩(wěn)定。另一方面,由式(3.3-15)可知GIMC(z)的特征方程式為

(3.3-18)

將式(3.3-16)代入式(3.3-18),整理得

(3.3-19)

,式(3.3-19)也是相當(dāng)于參數(shù)為

的z的根軌跡方程,而穩(wěn)定的α值范圍可由Jury穩(wěn)定判據(jù)求得,此范圍內(nèi)的根軌跡應(yīng)在z平面的單位圓內(nèi)。

下面舉兩個(gè)例子說(shuō)明對(duì)于SMPC系統(tǒng),如何選擇整定參數(shù)α來(lái)保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

【例3.3-1】已知被控對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)為

采用SMPC控制器,求SMPC系統(tǒng)穩(wěn)定的α值范圍。

解:被控對(duì)象是一個(gè)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng),它的穩(wěn)態(tài)增益為根據(jù)式(3.3-16),SMPC控制器的脈沖傳遞函數(shù)為控制器有一個(gè)單位圓上的極點(diǎn)z=1,故C(z)是開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定的。

但對(duì)于SMPC系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程(也是等效的內(nèi)?？刂破鱃IMC(z)的特征方程)

有即

z2+(α-1)z-0.25α=0

應(yīng)用Jury判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定的α范圍為0<α<1.6。

這個(gè)結(jié)果也可從

的z根軌跡看出,當(dāng)α調(diào)整到這個(gè)范圍時(shí),整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi),系統(tǒng)是穩(wěn)定的,如圖3.3-3所示,其中0<α≤1這一段是的零度根軌跡，如圖中的虛線所示。圖3.3-3的z根軌跡

【例3.3-2】設(shè)被控對(duì)象為

這是一個(gè)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的非最小相位對(duì)象(零點(diǎn)z=2在單位圓外),其穩(wěn)態(tài)增益為將、代入式(3.3-16),可得控制器C(z)的特征方程式為

它的兩個(gè)根z1=1及z2=-1.75均不在單位圓內(nèi),可知SMPC控制器C(z)開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定(也可用Jury判據(jù)判定)。將代入式(3.3-19),GIMC(z)的特征方程式(也是SMPC系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式)為

即

z2+(α+0.75)z+［(α+0.75)(-2)-0.25］=0由Jury判據(jù)可求得GIMC(z)的穩(wěn)定范圍為

-1.375<α<-0.5

由對(duì)偶穩(wěn)定性可知,這也是整個(gè)SMPC系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件。

從閉環(huán)特征方程看,當(dāng)α+3/4>0,即α>-0.75時(shí),閉環(huán)極點(diǎn)落在的根軌跡上,而α+3/4<0,即α<-0.75時(shí),閉環(huán)極點(diǎn)落在的零度根軌跡上,如圖3.3-4中的虛線所示。因此對(duì)于非最小相位系統(tǒng),應(yīng)該用全根軌跡討論。

本例還說(shuō)明SMPC算法可用在非最小相位過(guò)程中。圖3.3-4的全根軌跡

2)零穩(wěn)態(tài)偏差特性

從式(3.3-13)或式(3.3-14)中可以看出控制u中含有偏差的積累項(xiàng),由此可推斷該算法能消除穩(wěn)態(tài)偏差,下面加以驗(yàn)證。

首先考慮隨動(dòng)系統(tǒng),系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為將式(3.3-10)代入上式,得因此輸出y對(duì)設(shè)定值單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為(3.3-20)再考慮定值系統(tǒng),由圖3.3-1知

將式(3.3-10)代入上式,得對(duì)單位階躍擾動(dòng),d(z)=1/(1-z-1),閉環(huán)輸出的穩(wěn)態(tài)值為(3.3-21)上述分析表明,SMPC系統(tǒng)對(duì)于設(shè)定值或干擾的階躍變化,不論是否存在對(duì)象模型誤差,總是穩(wěn)態(tài)無(wú)差的。

3)魯棒性

SMPC系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

它可以改寫(xiě)為

上式中最后一項(xiàng)體現(xiàn)了模型失配的影響,是模型誤差,

是它的權(quán)因子?？烧{(diào)參數(shù)α的值對(duì)系統(tǒng)魯棒性有作用。α的絕對(duì)值越小,對(duì)模型誤差的抑制能力就越強(qiáng),魯棒性越好;反之,α的絕對(duì)值越大,魯棒性越差。

3.SMPC應(yīng)用實(shí)例

【例3.3-3】一個(gè)由三個(gè)水槽串聯(lián)而成的三容對(duì)象如圖3.3-5所示,經(jīng)測(cè)試得到傳遞函數(shù)為

采樣周期取為15s,通過(guò)雙線性變換圖3.3-5三容水槽實(shí)驗(yàn)裝置流程簡(jiǎn)圖其中,Ts為采樣周期,可以將G(s)變換為如下脈沖傳遞函數(shù):

用長(zhǎng)除法將上式展成式(3.3-9)的形式,可以得到脈沖響應(yīng)系數(shù)h1,h2,…,h40(取N=40)。用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)式(3.3-14)的SMPC控制律,輸出y對(duì)單位給定值變化的響應(yīng)如圖3.3-6所示,y對(duì)單位階躍負(fù)荷干擾的響應(yīng)如圖3.3-7所示。由圖可知,整定參數(shù)α增大時(shí),系統(tǒng)響應(yīng)加快,但振蕩加劇,穩(wěn)定性變差。圖3.3-6單位給定值階躍變化時(shí)的閉環(huán)響應(yīng)(無(wú)模型誤差)圖3.3-7單位負(fù)荷干擾下的閉環(huán)響應(yīng)(無(wú)模型誤差)圖3.3-8和圖3.3-9表明,當(dāng)模型失真時(shí),SMPC仍能很好地工作,只要適當(dāng)整定α,SMPC系統(tǒng)就能有較強(qiáng)的魯棒性。一般而言,α越小,魯棒性越強(qiáng)。

Vaidya和Deshpande還將SMPC與PID、PI的控制效果做了比較,仿真對(duì)象是一階加純滯后環(huán)節(jié)G(s)=Ke-θs/(1+τs),評(píng)判的標(biāo)準(zhǔn)是ISE指標(biāo)。仿真結(jié)果表明,無(wú)論參數(shù)K、τ、θ是否存在模型誤差,對(duì)小滯后對(duì)象,SMPC都要優(yōu)于PI控制而稍遜于PID控制,但對(duì)大滯后對(duì)象,SMPC要遠(yuǎn)優(yōu)于PI和PID控制。圖3.3-8模型誤差為+25%時(shí)的閉環(huán)響應(yīng)圖3.3-9模型誤差為-25%時(shí)的閉環(huán)響應(yīng)3.3.2多輸入-多輸出SMPC

1.多輸入-多輸出SMPC算法

圖3.3-10所示為一個(gè)多變量采樣數(shù)字控制系統(tǒng),其中,Ysp(z)為設(shè)定值向量,E(z)為誤差向量,Y(z)為輸出向量,U(z)為控制向量,D(z)為擾動(dòng)向量,C(z)和G(z)分別是控制器和對(duì)象脈沖的傳遞矩陣。為簡(jiǎn)單起見(jiàn),下面在公式中省略了z算子。圖3.3-10多變量數(shù)字控制系統(tǒng)多變量對(duì)象的歸一化響應(yīng)為

Y=GK-1U

(3.3-22)

系統(tǒng)對(duì)設(shè)定值的閉環(huán)響應(yīng)為

Y=(I+GC)-1GCYsp

(3.3-23)

SMPC算法要求這兩個(gè)響應(yīng)相同,則

(I+GC)-1GC=GK-1

(3.3-24)

由此有

CK=I+CG

(3.3-25)即有

C=(K-G)-1

(3.3-26)

又

U=CE

(3.3-27)

則

U=(K-G)-1E

(3.3-28)式(3.3-28)兩邊左乘(K-G),整理后得

KU=E+GU(3.3-29)

即

U=K-1