2019-2020學年人教A版重慶市九龍坡區(qū)高一（上）期末數(shù)學試卷 含解析

2019-2020學年高一第一學期期末數(shù)學試卷

一、選擇題

1.已知集合4={x|-2VxV1},Q{x|4"V1},則()

A.Ar\B=0B.AQB=[x\-2<x<0]

C.A\J3=[x\x>-2}D.A\JB=R

2.函數(shù)A(x)=log3(x-1)+7工=的定義域為()

A.[1,2]B.(1,2]C.[1,2)D.(1,2)

3.若1000s=5,100d=2,則3>26=()

A.0B.1C.-1D.2

4.如圖，在平行四邊形4坑步中，0是對角線的交點，下列結論正確的是（）

A.AB=CD,BC=ADB-AD+0D=DA

c-A0+0D=AC+CDD.AB+BC+CD=DA

5.三個數(shù)a=o.82,b^/20-\C=log2°-8之間的大小關系是（）

A.a<c<bB.aVbVcC.b<a<cD.c<a<b

jrojr

6.已知sin(a=手則cos(一丁+a)的值等于()

A?-|V3B-管nC-0，V

2+log9(2-x)(x<Cl)

7.設函數(shù)f(x)=《，貝Ur(-6)+f(log38)=()

區(qū)-心1)

925

A.2B.—C.13D.—

33

8.把函數(shù)f(x)=sin一丁)圖象上所有點的橫坐標縮為原來的5倍(縱坐標不變)，

363

再把所得圖象向左平移三個單位長度，得到函數(shù)y=g(x),則函g(x)=()

4

A.g(x)=sin*x-(：)B.g()=sin(2x+-^-)

yiz.xo

c.g(x)=sin(2xI：)D.g(x)=sin*x't^-)

izyo

9.函數(shù)y=A(x)是定義在R上的增函數(shù)，則函數(shù)A(|x-2|)的單調(diào)減區(qū)間是()

A.(-8,-2)B.(-8,2)C.(2,+8)D.R

10.已知函數(shù)/'(x)=(1+cos2x)(1-cos2%),xGR,則f(x)是()

A.最小正周期為n的奇函數(shù)

B.最小正周期為n的偶函數(shù)

C.最小正周期為晉的奇函數(shù)

D.最小正周期為”的偶函數(shù)

11.已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R,y=f(A+1)為偶函數(shù)，對任意汨，x2,當xy>x2

時，f(x)單調(diào)遞增，則關于司的不等式,(941)<5(3—5)的解集為()

A.(-8,1)B.(-oo,Iog32)C.(1,log32)D.(1,+oo)

x-[x],x^^0

12.已知函數(shù)A(x)=k/k(k>0),g(x)=、,其中[x]表示不超過x

f(x+1),x<0

的最大整數(shù)，如[-1.2]=-2,[1.2]=1,[1]=1,若函數(shù)y=f(x)-g(x)恰有5

個零點，則〃的取值范圍是()

A.(0,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.[-1,1)

二、填空題

13.函數(shù)y=cosj^的值域為.

14.函數(shù)尸a,%2(a>0且恒過定點.

15.在△48C中，已知。是48邊上一點，若DB=2AD，CD^-CA+XCB,則入=.

o

16.函數(shù)y=2(x)是定義在R上的奇函數(shù)，y=g(x)是々上的偶函數(shù)，且g(x)=f(.x

-1),則A(2022)=.

三、解答題

17.已知集合/={x|aVxV1},集合5={x|log3X<1}.

(1)當a=-2,求(CM)D8；

(2)若/D24求實數(shù)a的取值范圍.

sin(兀-a)+sin(-a

已知f(a)=

cos(2兀-a)+cos(-CI

(1)已知tana=1，求》(a)的值;

3

(2)若a的終邊在直線y=2x上，求f(a-“)的值.

19.已知函數(shù)A(x)是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)，當0W后1時，f(x)=-x-x.

(1)求：-1WxV0時，函數(shù)尸(x)的解析式；

(2)若A(2a-1)+A(4a-3)>0,求實數(shù)a的取值范圍.

”—、2cos—tanx

20.已知函數(shù)f(x)=5

1+tan2x

(1)f(x)的最小正周期和對稱軸方程;

(2)f3在［0,三］上的最小值;

(3)2(x)的單調(diào)增區(qū)間.

21.已知函數(shù)f(x)=x-」.

X

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；

(2)若關于x的方程〃5(2*)=4"+4r在區(qū)間R,2］上恒有解，求實數(shù)m的取值范圍.

2-3X,x>0

已知函數(shù)f(x)=41°.

yx2+x+l,x<0

L乙

(1)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)A(x)=2尸(x)-a恰有3個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若22(x)?2#-6什2對所有關［-2,2］,6G［-2,2］恒成立，求實數(shù)t的取

值范圍.

參考答案

一、選擇題

1.已知集合4={x|-2VxV1},5={x|4*V1},則()

A.A^B=zB.ACiB={x\-2<x<0}

C.4U4{x|x>-2}D.AUB=R

【分析】先求出集合4,B,由此能求出AUB.

解：?集合4={x|-2VxV1},F={x|4"V1}={x|xV0},

.,jnB={x|-2VxVO},

AUB={x\x<}].

故選：B.

2.函數(shù)A(x)=log3(x-1)+7'i的定義域為()

A.[1,2]B.(1,2]C.[1,2)D.(1,2)

【分析】由函數(shù)有意義建立關于x的不等式組，解集即為定義域.

x-l〉0

解：依題意，\、，解得1VxV2,即函數(shù)的定義域為(1,2).

2-x>0

故選：D.

3,若1000"=5,1004=2,則3>26=()

A.0B.1C.-1D.2

【分析】把指數(shù)式化為對數(shù)式，利用對數(shù)運算性質(zhì)即可得出.

解：1000"=5,100"=2,

：.3a=/g5,2b=Igl.

貝113K26=/^5+/^2=1.

故選：B.

4.如圖，在平行四邊形4員》中，。是對角線的交點，下列結論正確的是()

D

BC

A.AB=CD,BC=ADB.AD+OD=DA

C.AO+OD=AC+CDD-AB+BC+CD=DA

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及平面向量的線性運算法則，對選項中的命題進行分

析，判斷即可.

解：AB=DC-BC=AD?且沅聲而，故”錯誤，

OD+DA=OA>且而聲'欣故夕錯誤，

AO+OD=AD^AC+CD=AD，故。正確,

AB+BC+CD^^DA>故〃錯誤，

故選：C.

5.三個數(shù)a=0.82,b=V20,c=log20-8之間的大小關系是()

A.aVcVbB.aVbVcC.b<a<cD.c<a<b

【分析】利用指數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出大小關系.

2

解：V0.8€(0,1),log20.8<0,

:.c<aVb.

故選：D.

JT0則cos(子+a)的值等于()

6.已知sin(a--2-)、"，

A.-|VSB.等質(zhì)0-3D.V

【分析】根據(jù)—+a=-(a--),利用誘導公式計算即可.

424

JT9

解：sin(Cl

貝“cos("^-+a)=cos[—(a--)]=-sin(a--)=-2.

2443

故選：D.

2+log;,(2-x)(x<l)

7.設函數(shù)f(x)=〈,則A(-6)+f(log8)=()

oX-1/?3

23

A.2B.—C.13D

3-3

【分析】由分段函數(shù)，結合對數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)恒等式,計算即可得到所求和.

‘2+1口g9(2-x)(x<Cl)

解：因為f(x)=《，

E(X>1)

則f(-6)+f(log38)

108-1

=2+log2[2-(-6)]+3h

loS8-1

=2+log28+.-,3X3

0

=5+—8=_——23?

33

故選：B.

8.把函數(shù)f(x)=sin(gx—丁)圖象上所有點的橫坐標縮為原來的士-倍(縱坐標不變)，

363

再把所得圖象向左平移工個單位長度，得到函數(shù)y=3(x),則函g(x)=()

4

A.g(x)=sin(-^-x-^)B.g(x)=sin(2x+^~)

yiz.o

c.g(x)=sin(2xI：)D.g(x)=sin*x4^-)

【分析】直接利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應用求出結果.

解：函數(shù)f(x)=sin(三—丁)圖^?-h所有點的橫坐標縮為原來的，■倍(縱坐標不變)，

363

得到h(x)=sin(2x-,

6

再把所得圖象向左平移十個單位長度，得到函數(shù)v=g(x)=sin(2x4f)=sin

.兀、

(z2A+—),

o

故選：B.

9.函數(shù)y=A(x)是定義在R上的增函數(shù)，則函數(shù)A(|x-2|)的單調(diào)減區(qū)間是()

A.(-8,-2)B.(一，2)C.(2,+oo)D.R

【分析】復合函數(shù)的性質(zhì)同增異減，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

解：由函數(shù)y=F(x)是定義在R上的增函數(shù)，則函數(shù)尸(|x-2|)為復合函數(shù)單調(diào)遞增

區(qū)間為(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間(-8,2),

再根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性同增異減，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,2).

故選：B.

10.已知函數(shù)/'(x)=(1+cos2x)(1-cos2x),xGR,貝寸f(x)是()

A.最小正周期為n的奇函數(shù)

B.最小正周期為n的偶函數(shù)

C.最小正周期為二丁的奇函數(shù)

D.最小正周期為二丁的偶函數(shù)

【分析】將函數(shù)化簡，求出最小正周期，再判斷時偶函數(shù).

解：f(x)=2cos，?sin2*=2?(sinxtcosx)2=^sin22x=—?(1-cos2x),所以

24

最小正周期7=蕓l=n,

且尸(-x)=—[1-cos(-2x)]=f(%),所以是偶函數(shù)，

8

故選：B.

11.已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R,y=f(A+1)為偶函數(shù)，對任意x,x2,當x^>x2

時，f(x)單調(diào)遞增，則關于a的不等式A(9"+1)<f(3s-5)的解集為()

A.(-8,1)B.(-8,Iog32)C.(1,log32)D.(1,+8)

【分析】由函數(shù)y為偶函數(shù)求出函數(shù)A(x)的對稱軸，再由題意函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性可

得自變量離x=1的距離的大小，進而求出不等式的解集.

【解答】解，由函數(shù)y=/(x)的定義域為R,y=f(A+1)為偶函數(shù)，所以尸(-A+1)

=f(A+1),即A(x)=A(-/2),

所以A(X)關于X=1對稱，

又當*時，f(X)單調(diào)遞增，f(9%1)<f(33-5),

所以|9"+1-1|<|3s-5-11,即9y|3"-6|,

當3,26時，即a》log36時，93<3a-6,即(33)2-33+6<0,解集為空集，

當3"V6時，即aVlog36,9"V6-3*即(302+3s-6<0,解得-3V3"V2,解得aV

log32,

綜上所述，不等式的解集為：(-8,|Og32),

故選：B.

x-[x],x^^0

12.已知函數(shù)5(x)=〃*+〃(〃>0),g(x)=〈/一，其中[x]表示不超過x

f(x+1),x<0

的最大整數(shù)，如[T.2]=-2,[1.2]=1,[1]=1,若函數(shù)y=f(%)-g(x)恰有5

個零點，則〃的取值范圍是()

A.(0,B.(1,C.[春|)D.中,|)

【分析】畫圖可知五(x)就是周期為1的函數(shù)，且在[0,1)上是一直線尸x的對應部

分的含左端點，不包右端點的線段，要有5個零點，只需直線過點（5,1）與

直線廳內(nèi)廿〃過點（6,1）之間即可

(x-[x],x>0

解:?.?函數(shù)g(x)

{f(x+1),x<0'

函數(shù)的圖象如下圖所示:

■:y=k/k=k（A+1）,故函數(shù)圖象一定過（-1,0）點，

若y=A（x）-g（x）恰有5個零點，則■與y=g（x）的圖象有5個交點

當V=AT（+A■過（4,1）點時，當y=A7t+A■過（6,1）點時，

56

故實數(shù)〃的取值范圍是［5，!）.

65

故選：C.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在答題卡中的相應位置.

13.函數(shù)y=cosj?7的值域為［T,1］.

【分析】由余弦函數(shù)的性質(zhì)直接得解.

解：函數(shù)的定義域為［0,+8）,由余弦函數(shù)的有界性可知，函數(shù)y=cos。五的值域為［-

1,U.

故答案為：［-1,1］.

14.函數(shù)y=a"3+2（a>0且a#=1）恒過定點（3,3）.

【分析】由指數(shù)函數(shù)圖象恒過（0,1）,再結合函數(shù)的圖象平移得答案.

解：?.?函數(shù)片/恒過定點（0,1）,

而函數(shù)y=a'-3+2（a>0且a=#1）的圖象是把尸a,向右平移3個單位，再向上平移2個

單位得到，

二函數(shù)y=a—+2（a>0且a=#1）恒過定點（3,3）,

故答案為：（3,3）.

15.在△48C中，已知〃是邊上一點，若DB=2AD，CD-^-CA+XCB,則入=_，.

OO

【分析】結合向量加法的三角形法則及平面向量基本定理即可求解.

解：因為而=2元i，

....0■■??"0■?■■■?0■'?1?i

貝"CD=CB+BD=CB+yBA=CB(CA-CB)=yCACB

■■"?O'?■■?

VCD=fCA+XCB

o

k=—.

3

故答案為：

16.函數(shù)y=A(x)是定義在R上的奇函數(shù)，y=g(x)是??上的偶函數(shù)，且g(x)=f(.x

-1),如J尸(2022)=0.

【分析】由函數(shù)的奇偶函數(shù)的性質(zhì)和兩個函數(shù)的關系，求出周期，進而求出結果.

解：因為函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以尸(-x)=-5(x),可得/(x)

=-/(-x),

又y=g(x)是A上的偶函數(shù)，所以g(-x)=g(x),

而g(x)=f(.x-1),

所以f(x-1)=A(-x-1),

所以/'(x)=f(-x-2),

故/1(-x-2)=-f(-x),

所以函數(shù)的周期7=4,

屬于/1(2022)=f(2+505X4)=f(2),

而A(2)=g(3)=g(-3)=f(-2),又2(2)=-f(-2)

所以f(2)=0.

故答案為：0.

三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟請將解

答過程書寫在答題卡中對應的位置上.

17.已知集合/={x|aVxV1},集合5={x|log3*V1}.

(1)當a=-2,求([M)D8;

(2)若4n5=4,求實數(shù)a的取值范圍.

【分析】(1)將a=-2代入，利用補集及交集定義即可得出答案；

(2)依題意，AQB,分4=0及4不0兩種情況討論得解.

解：8={x|log3x<1}={x|0<x<3},

(1)當a=-2時，A={x|-2<x<1},則(M={x|后-2或O,

故(CMD8={X|1WXV3};

(2)由405=4可知，AQB,

當4=0時，a,1,滿足題意;

a<Cl

當4#=0時,、，即0?1;

a>0

綜上，實數(shù)a的取值范圍為［0,+8).

sin(n-a)+sin(-a

18.已知f(a)=-----------------------------------

cos(2兀-a)+cos(-a

(1)已知tana=1，求/'(a)的值;

3

1T

(2)若a的終邊在直線y=2x上，求f(a七-)的值.

【分析】(1)利用誘導公式，同角三角函數(shù)基本關系式化簡即可得解.

(2)由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，可得tana的值，進而利用兩角和的正切函

數(shù)公式即可求解.

解：(1)*.,tana=-^-,

o

sin(冗-a)+sin(-a.l-*4"

?尸(a)=__________________________sina+cosa_1+tan.a_3_2

/CTTn\/r，.3―、cosa-sind1-tanCl1

cos(2H-a)+COs(-a-K-^-)1-

(2)；a的終邊在直線y=2x上，

二則在a的終邊上任意取一點/(x,2x),可得tana=工=2乏=2,

xx

1小兀、1tanCl+1

兀-l+tan(ay)l丁tana

1_1

tana-7'

fn(a=)不耐

19.已知函數(shù)尸(x)是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)，當0W后1時，尸(x)=-x-x.

(1)求：-1WxV0時，函數(shù)A(x)的解析式；

(2)若A(2a-1)+,(4a-3)>0,求實數(shù)a的取值范圍.

【分析】(1)利用奇函數(shù)的性質(zhì)，結合已知范圍的解析式，即可得到所求解析式；

(2)由函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性將不等式轉化為不等式組，解出即可.

解：(1)設-1/xV0,則0V-「1,

???當0W后1時，f(x)=-x-x,

/.f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x+x,

Vf(x)為奇函數(shù)，

/.f(x)=-f(-x)=x-X,

即當-1WxV0時，函數(shù)f(x)的解析式為，(x)=x-x-

(2)易知函數(shù)f(x)在［-1,1］上單調(diào)遞減，貝"f(2a-1)+f(4a-3)>0等價于f

(2a-1)>-f(4a-3)=f(3-4a),

2a-l41

則,-l43-4a<l,解得

V2a-l<C3-4a

io

故實數(shù)a的取值范圍為號，y).

3兀

八八、2cos~^tanx

20.已知函數(shù)f(x)=53兀/2?2、?求：

+sin--kcosx-sinx)

l+tan2x5

(1)f(x)的最小正周期和對稱軸方程;

(2)f(x)在［0,4］上的最小值；

(3)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

【分析】將尸(X)化簡得f(x)=sin(2A+|-n),進而可進行解答.

5

sinx

tanxcosxsinxcosxi?，、

解：因為2.2=-^----------=--sin2x,所以f(x)=

1+tanx,sinxsinx+cosx2

333

sin2>*cos—Jl+cos2%sin—K=sin(2A+一兀)，

555

(1)最小正周期7=蕓二=TT,令2戶曰兀=占葉4n(左￡Z),則x=-:+及1(k

252202

￡Z),即對稱軸方程為x=-兀+卜兀(4￡Z)；

202

(2)因為xG［0,——］,所以2A+-^-?！曦?，兀］,則A(x)最小值為sin-^-JT=

25555

.3e

-sin—K;

5

(3)令---+2kn<2A+—n=^—^-2/rn,M-ff---n+Zrn--^kn(ZrGZ),

2522020

11jr

即A(x)的單調(diào)增區(qū)間為[--兀+〃TT,-------+/rn](〃GZ)

2020

21.已知函數(shù)f(x)=x-1~.

(1)判斷函數(shù)A(x)的奇偶性；

(2)若關于x的方程〃2(2*)=4*+4一*在區(qū)間R,2]上恒有解，求實數(shù)加的取值范圍.

【分析】(1)通過驗證》(-X)與尸(x)關系即可；

2

(2)根據(jù)式子可化簡為m=2x-2-x+—~,利用換元以及對勾函數(shù)性質(zhì)即可求出嗎

2-2

取值范圍.

解：(1)f(.-X)—-A+—=-(x-—)=-f(x),所以/'(x)是奇函數(shù)；

XX

V1V11

(2)f(20=2一則M(2')=4"+4一*即為加(2