2020年中考數(shù)學(xué)人教版復(fù)習(xí)：三角形 教學(xué)案設(shè)計(jì)

2020年中考數(shù)學(xué)人教版專(zhuān)題復(fù)習(xí)：三角形

【本課簡(jiǎn)介】

我們將所學(xué)習(xí)的幾何圖形按照由簡(jiǎn)到繁的順序，對(duì)各部分知識(shí)進(jìn)行整合，進(jìn)行模塊式

復(fù)習(xí)，今天我們復(fù)習(xí)線(xiàn)，角和三角形。

考試內(nèi)容和考試要求細(xì)目表

考試要求

考試內(nèi)容

ABC

會(huì)用尺規(guī)作圖；作一個(gè)角等于已知會(huì)識(shí)別角并會(huì)表

角，作已知角的平分線(xiàn)；會(huì)用角平示：認(rèn)識(shí)度、分、

角

分線(xiàn)的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；結(jié)合圖秒，并會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單

與形認(rèn)識(shí)角與角之間的數(shù)量關(guān)系換算；會(huì)度量角的

大小及進(jìn)行簡(jiǎn)單

角

的計(jì)算；會(huì)比較角

平的大小，能估計(jì)一

個(gè)角的大??；了解

分角平分線(xiàn)的概念

并會(huì)表示

線(xiàn)

圖

圖

形

與

的

圖了解補(bǔ)角、余角、對(duì)頂角，知道等會(huì)用三角尺和直

認(rèn)

形角（同角）的余角相等、等角（同尺過(guò)已知直線(xiàn)外

識(shí)相交

角）的補(bǔ)角相等、對(duì)頂角相等；了一點(diǎn)畫(huà)這條直線(xiàn)

線(xiàn)與解垂線(xiàn)、垂線(xiàn)段等概念，了解垂線(xiàn)的平行線(xiàn)；會(huì)用三

段最短的性質(zhì)，理解點(diǎn)到直線(xiàn)的距角尺或量角器過(guò)，

平行

離的意義；了解線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)及一點(diǎn)畫(huà)一條直線(xiàn)

線(xiàn)其性質(zhì)；知道過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且僅的垂線(xiàn)；會(huì)用線(xiàn)段

有一條直線(xiàn)平行于已知直線(xiàn)；知道垂直平分線(xiàn)的性

過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線(xiàn)垂直于己質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；

知直線(xiàn)；理解兩條平行線(xiàn)之間距離掌握平行線(xiàn)的性

的意義，會(huì)度量?jī)蓷l平行線(xiàn)之間的質(zhì)與判定

距離

三角形了解三角形的有關(guān)概念；了解三角會(huì)用尺規(guī)作給定

形的穩(wěn)定性；會(huì)按邊或角對(duì)三角形條件的三角形；掌

進(jìn)行分類(lèi)；理解三角形的內(nèi)角和、握三角形內(nèi)角和

外角和及三邊關(guān)系；會(huì)畫(huà)三角形的定理及推論；會(huì)按

主要線(xiàn)段，知道三角形的內(nèi)心、外要求解決三角形

心和重心的邊、角的計(jì)算問(wèn)

題；能用三角形的

內(nèi)心、外心的知識(shí)

解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；掌

握會(huì)證明證明三

角形的中位線(xiàn)定

理，并會(huì)用三角形

中位線(xiàn)性質(zhì)解決

有關(guān)問(wèn)題

等腰了解等腰三角形、等邊三角形、直能用等腰三角形、會(huì)運(yùn)用等腰

角三角形的概念，會(huì)識(shí)別這三種圖等邊三角形、直角三角形、等邊

三角

形；理解等腰三角形、等邊三角形、三角形的性質(zhì)和三角形、直角

形與直直角三角形的性質(zhì)和判定判定解決簡(jiǎn)單問(wèn)三角形的知

角三角題識(shí)解決有關(guān)

形問(wèn)題

全等三了解全等三角形的概念，了解相似掌握兩個(gè)三角形會(huì)運(yùn)用全等

角形三角形與全等三角形之間的關(guān)系全等的條件和全三角形的知

等三角形的性質(zhì)；識(shí)和方法解

會(huì)應(yīng)用全等三角決有關(guān)問(wèn)題

形的性質(zhì)與判定

解決有關(guān)問(wèn)題

【知識(shí)精講】

知識(shí)點(diǎn)一、三角形的概念及其性質(zhì)

1.三角形：由不在同一直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2.三角形的分類(lèi)

(1)按邊分類(lèi):

「不等邊三角形

三角形.底與腰不等的等腰三角形

等腰三角形

.等邊三角形

(2)按角分類(lèi):

'銳角三角形

斜三角形

三角形鈍角三角形

〔直角三角形

3.三角形的內(nèi)角和外角

(1)三角形的內(nèi)角和等于180°.

(2)三角形的任一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)

和它不相鄰的內(nèi)角.

4.三角形三邊之間的關(guān)系：

三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

5.三角形內(nèi)角與對(duì)邊對(duì)應(yīng)關(guān)系：

在同一個(gè)三角形內(nèi)，(大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊)；在同一三角形中，等邊對(duì)等角，等角對(duì)

等邊.

6.三角形具有穩(wěn)定性.

知識(shí)點(diǎn)二、三角形的“四心”和中位線(xiàn)

三角形中的四條特殊的線(xiàn)段是：高線(xiàn)、角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、中位線(xiàn).

1.內(nèi)心：三角形角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等.

2.外心：三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，是三角形外接圓的圓心，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離

相等.

3.重心：三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，它到每個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.

4.垂心：三角形三條高線(xiàn)的交點(diǎn).

5.三角形的中位線(xiàn)：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段是三角形的中位線(xiàn).

中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半.

知識(shí)點(diǎn)三、全等三角形

1.定義：能完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。

2.性質(zhì)：

(1)對(duì)應(yīng)邊相等(.2)對(duì)應(yīng)角相等(3)對(duì)應(yīng)角的平分線(xiàn)、對(duì)應(yīng)邊的中線(xiàn)和高相等

(4)周長(zhǎng)、面積相等

3.判定：(1)邊角邊(SAS)(2)角邊角(ASA)(3)角角邊(AAS)(4)邊邊邊(SSS)

(5)斜邊直角邊(HL)(適用于直角三角形)

知識(shí)點(diǎn)四、等腰三角形

1.定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。

2.性質(zhì)：

(1)具有三角形的一切性質(zhì)；

(2)兩底角相等(等邊對(duì)等角)；

(3)頂角的平分線(xiàn)，底邊中線(xiàn)，底邊上的高互相重合(三線(xiàn)合一)；

(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60。。

3.判定：

(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)；.

(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

(3)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；

(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形.

知識(shí)點(diǎn)五、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)和角平分線(xiàn)

1.線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)：經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)并且垂直這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平

分線(xiàn).

線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定理：

(1)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；

(2)與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。

線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)可以看作是與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。

2.角平分線(xiàn)的性質(zhì)：

(1)角的平分線(xiàn).上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；

(2)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上；

(3)角的平分線(xiàn)可以看做是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。

【典例剖析】

例1.三角形的三邊分別為3,l-2a,8,則a的取值范圍是()。

A.-6<a<-3B.-5<a<-2C.2<a<5D.a<-5或a>-2

答案：B

解析：《，選B。

1—2a<8+3

小結(jié)：本題考查的是三角形三邊關(guān)系，三角形任意一邊小于其它兩邊之和，大于其它兩邊之

差。

例2.如果三角形的一個(gè)內(nèi)角等于其他兩個(gè)內(nèi)角的和，這個(gè)三角形是()。

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定

答案：C

解析：ZA+ZB+ZC=180°,不妨設(shè)NA+NB=NC,代入可求出NC=90°。選C。

小結(jié)：本題考查三角形內(nèi)角和180。，及用方程思想的運(yùn)用。

例3.如圖，已知aABC中，ZA=58°,如果：

(1)0為外心；⑵0為內(nèi)心.；分別求NB0C的度數(shù).

解：(1)0為外心時(shí)，以0為圓心，0B為半徑的圓是AABC的外接圓

ZB0C=2ZA=116°。

(2)0為內(nèi)心時(shí)，OB,0C分別為NABC和NACB的角平分線(xiàn),

ZB0C=180°-(N0BC+/0CB)=180°--(ZABC+ZACB)=180°--(180°-ZA)

22

=90°+-ZA=119°。

2

小結(jié)：內(nèi)心和外心代表了三角形與圓的不同，位置關(guān)系，在解題時(shí)可以借助圓的相關(guān)概念計(jì)

算，內(nèi)心是三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，題目中涉及內(nèi)心，往往要關(guān)聯(lián)角平分線(xiàn)的定理。

例4.如圖所示，已知點(diǎn)A、D、B、F在一條直線(xiàn)上，AC=EF,AD=FB,要使△ABCgZ\FDE,

還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是：o(只需填一個(gè)即可)

解：要判定△ABCgZkFDE,已知AC=FE,AD=BF,則AB=CF,具備了兩組邊對(duì)應(yīng)相等，故添

加夾角NA=/F,利用SAS可證全等；或添加AC〃EF得夾角/A=NF,禾U用SAS可證全等;

或添加BC=DE,利用SSS可證全等。

小結(jié)：在用“邊角邊''定理證明三角形全等時(shí)，必須要保證角是兩邊所夾的角。

例5.如圖，一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=4cm,BC=8cm,將AABC折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)A

重合，折痕為DE,則DE的長(zhǎng)為()A

7，D.5J

A.2行B.右C.

7D1

/

/

答案：B

解析：-BD-AC=-AB-DE

22

小結(jié)：折疊前后的兩個(gè)圖形是全等形。

例6.已知：如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=90°,CD1AD,AD2+CD2=2AB2.

(1)求證：AB=BC;

(2)當(dāng)BELAD于E時(shí)，試證明：BE=AE+CD.

B

/、

Z

A:?--

(1)證明：連接AC。

VZABC=90°,AB2+BC2=AC20

VCD±AD,，AD2+CD2=AC2。

B

AAB2+BC2=2AB2C/

VAD2+CD2=2AB2,

AED

，AB=BC。

(2)證明：過(guò)C作CF_LBE于F。

VBE1AD,，四邊形CDEF是矩形。，,CD=EF。

VZABE+ZBAE=90",/ABE+NCBF=90°,AZBAE=ZCBFO

又：AB=BC,NBEA=NCFB,/.ABAE^ACBF(AAS)。，AE=BF。

.?.BE=BF+EF=AE+CD。

小結(jié)：四邊形問(wèn)題經(jīng)常通過(guò)連接對(duì)角線(xiàn)轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解決。

例7.如圖(1),1b12,13,U是一組平行線(xiàn)，相鄰兩條平行線(xiàn)間的距離都是1個(gè)單位長(zhǎng)度.，

正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D都在這些平行線(xiàn)上.過(guò)點(diǎn)A作AFJJ3于點(diǎn)E交

12于點(diǎn)H