2020-2021學(xué)年北京市101中學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年北京市101中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共10小題，共40.0分)

1.已知兩個(gè)集合4={%€/?"=71=3口},8={%|=20}則408=()

A.AB.BC.{-1,1}D.0

2.2或標(biāo)25。-1的值為()

sin20℃os20°K7

A.-1B.-2C.1D.2

3.8.下列命題為真命題的是

A.已知Wl,則“”是“LS1”的充分不必要條件

B.已知數(shù)列a為等比數(shù)列，則“1x?”是“日”的既不充分也不必要條件

C.已知兩個(gè)平面目，3,若兩條異面直線0滿足I一1且日〃耳，日〃因，則

a//3

D.I—I,使Ix?成立

4,Jsini1200等于()

A.土走B.走C.一走D.-

2222

5.已知y=/(%)是奇函數(shù)，當(dāng)％>0時(shí)，/(%)=%(1+%).那么，當(dāng)x<0時(shí)，/(%)的解析式是()

A.x(l4-%)B.x(l-x)C.-x(l4-x)D.-x(l-%)

6.方程(log3%)2=2-Iog9(3x)的解集是()

A.{3,V3)B.{3凈C.{3}D.{e

7.若sin(7r—a)=—多且a6(兀,當(dāng)，則sin(,+.=()

8.將函數(shù)y=2sin(2x—”的圖象向右平移1個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為()

A.y=2sin(2x-7)B.y=2sin(2x—

6

C.y=2sin(2x+g)D.y=2sin(2x-

9.已知角。為鈍角，cos(^+0)=則tan(7r—2。)=()

A.立B.2C.V2D.這

237

10.調(diào)控房?jī)r(jià)關(guān)系民生，為了更好地調(diào)控房地產(chǎn)市場(chǎng)，政府要對(duì)房?jī)r(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與預(yù)測(cè)，某城市通過

對(duì)今年1?5月份的房?jī)r(jià)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：第X個(gè)月的平均單價(jià)y(每平方米的價(jià)格，單位：元)與月份X之

間近似滿足y=500sin(tox+9)+3000(3>0),已知第3和第5兩個(gè)月的平均單價(jià)如表所示，

則預(yù)測(cè)該城市7月份房?jī)r(jià)的平均單價(jià)大約是()

X357

y35003000?

A.3500B.3000C.2500D.2000

二、單空題(本大題共5小題，共25.0分)

11.已知向量五=(-2,1),K=(l,m)平行，則?n=.

12.在0。到360。范圍內(nèi)，與角-60。的終邊在同一直線上的角為.

13.易函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第象限.

14.在正方形4BCC中，M、N分別是BC、CD的中點(diǎn)，若前=4宿+〃而，則4+4=

15.以下五個(gè)命題中：

①若］<a<0<；兀，則a—夕的取值范圍是一？<a—*

②不等式a--2ax+1>0,對(duì)一切xeR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為0<a<1；

③若橢圓［+［=1的兩焦點(diǎn)為居、尸2，且弦4B過F1點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)為16；

④若常數(shù)m>0,a,b,c成等差數(shù)列，則mJmb,成等比數(shù)列；

⑤數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和為2則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列.

anriSn=n+2n-l,

所有正確命題的序號(hào)是.

⑴卜=_(1)_；

(2)為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對(duì)房間進(jìn)行消毒，則在消毒后至少經(jīng)過_(2)一分

鐘人方可進(jìn)入房間.

四、解答題(本大題共4小題，共48.0分)

17.已知函數(shù)/(%)=|x+2|——1|

(1)求該函數(shù)值域；

(2)設(shè)g(x)=a]?x+3(a>0),若Vse(0,+8),Vt6/?,恒有g(shù)(s)2/(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍.

a3TF123

18.20>己知,(尸<a<—j-,cos(^—jff)=—,sin((^4-切=——,求sin2cHxos2a

19.已知函數(shù)f(x)=lg警(a>0)為奇函數(shù)，函數(shù)g(x)=g+b(b6R).

1—X*

(I)求生

(11)若6>1,討論方程g(x)=ln|x|實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)；

(W)當(dāng)x6?巾時(shí)，關(guān)于x的不等式/(1一為式加。)有解，求b的取值范圍.

20.已知公差不為0的等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為S“，且S5=25,a2是藥和的等比中項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛5｝滿足垢=2以，證明數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，并求｛,｝的前ri項(xiàng)和7；.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：由4中y得到1一/20,

解得：—1WXW1,即4=[—1,1],

由B中不等式變形得：(x+1)(%—1)S0,且X—1N0,

解得：一1Wx<1,即B=[-1,1),

則408=[-1,1)=B,

故選：B.

求出A中x的范圍確定出4求出B中不等式的解集確定出8,找出4與B的交集即可.

此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.答案：B

解析：解："2sin225°—1=—cos50°=—sin40°,

sin20°cos20°=|sin40°,

.2或標(biāo)25。-1=-SM40。=_2

加20。皿2。。聶n40。

故選:B.

逆用二倍角的余弦與二倍角的正弦即可求得答案.

本題考查二倍角的余弦與二倍角的正弦，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.

3.答案：C

解析：

故答案為C.

4.答案：B

解析：

本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用；由120。是第二象限角，得出sinl20。>0,先將原式開方化成sinl20。,

然后直接寫出結(jié)果或者用誘導(dǎo)公式化成銳角再寫出結(jié)果.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽視二次根式本身的符號(hào)

問題

解：原式=w1/1120。|=sinl20。=2!—.

2

故選8.

5.答案：B

解析：

本題考查奇函數(shù)的解析式，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化定義域是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

解：設(shè)x<0,可得-x>0,

故可得f(-X)=-x(l-x),

又y=/(x)是奇函數(shù)，

則-/(%)=/(-X)=-x(l-X),

故可得/(x)=x(l—x)，

故選8

6.答案：B

解析：

本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了換元法的應(yīng)用以及解一元二次方程，是中檔題.

利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)原方程(10g3%)2=2-log9(3x),可化為(，。。3刀)2+夕。。3%-|=0>再利用換

元法即可求出X的值，從而得出方程的解集.

解：因?yàn)?10g3X)2=2-10g9(3x),所以(10g3X)2=2-“0。3(3%)，

所以(log3X)2=2-|(ZO^33+log3x),

2

IP(Z053X)+1log3x-1=0,

令t=10g3X,則方程可化為/+]—1=0,解得t=i或t=—|,

所以x=3或X=3"4，即X=3或％=小

所以方程。。g3%)2=2—Iog9(3x)的解集是｛3,弓｝,

故選:B.

7.答案：B

解析：

已知等式利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求出sina的值，根據(jù)a的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosa

的值，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式求出cos^的值，所求式子利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，將cos^的值代入

計(jì)算即可求出值.

此題考查了誘導(dǎo)公式的作用，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.

解：sin(7r—a)=sina=且ae(乃泮)，

:.cosa——V1—sin2a——Jl—(—y)z——|5

vcosa=2cos2--1,-￡

22v247

all+cosa|-1+1V6

?.?==-J--T

則sin('+巴)=cos-=——.

、22，26

故選B.

8.答案：B

解析：

本題考查三角函數(shù)圖象的平移、三角函數(shù)的周期的求法，屬于中檔題.

利用三角函數(shù)的圖象的平移以及周期變換，轉(zhuǎn)化求解即可.

解：函數(shù)y=2s譏(2x-%)的最小正周期為兀，貝4個(gè)周期為京

即將函數(shù)y=2sin(2x-9的圖象向右平移冷單位，則所得函數(shù)為y=2sm[2(x一$一勺=

ooJo

2sin(2x—由.

故選用

9.答案：D

解析：解：,??角。為鈍角，cos(^4-0)=—sinO=—-sinO=cos0——V1—sin20=~~~f

仆sineV2

tand=——-=---，

cos04

則tan(7i—20)=—tan29———2mn：—越，

'Jl-tan207

故選：D.

由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得汝幾。的值，再利用誘導(dǎo)公式、二倍角的正切公式，求得要

求式子的值.

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.答案：C

解析：解：由題意可得：3500=500s出(3儂+0)+3000(3>0),3000=500s譏(53+?)+

3000(3>0),

化為：sin(3a)+口)=l(co>0),sin(5co+,)=0,

可得：33+0=2自兀+1,5儂+0=2七ns七,k2EZ.

取3=(攵2-k])7t—取—上1=1.

則3=斗，取9=

44

y=fix)=500sin(yX+$+3000(a)>0),

/(7)=500sin(yx7+$+3000=2500.

故選：C.

由題意可得：3500=500sin(3<o+")+3000(“>0),3000=500sin(5w+8)+3000(3>0),

化為：sin(3o>+s)=l(o?>0),sin(5a>+R)=0,可得：33+“=2k1ir+],5a)+cp=2k2n,kr,

七ez.即可解出.

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、方程的解法，考查了理解能力與推理能力，是中檔題.

11.答案：一：

解析：解：向量W另=(l,m)平行,

可得一2m=1,解得m=

故答案為：一1.

直接利用斜率的平行列出方程求解即可.

本題考查向量共線的充要條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

12.答案：120。和300。

解析：解：??,與一60。角終邊相同的角為：a=k-360。一60。，(keZ),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的終邊的角為:

a=k-360°+120°,(keZ),

v0°<a<360°,

k=1時(shí)，a=300。.與a=120°

故答案為:120。和300。；

利用與a終邊相同的角度為k-3600+a(kGZ)以及關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的終邊的角，即可得到答案.

本題考查與a終邊相同的角的公式，考查理解與應(yīng)用的能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：四

解析：解：對(duì)于嘉函數(shù)f(x)=xa,%為自變量，a為常數(shù)，

則當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=xa>0恒成立，

故它的圖象不可能經(jīng)過第四象限，

故答案為：四.

由題意利用幕函數(shù)的定義和性質(zhì)，得出結(jié)論.

本題主要考查某函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：i

解析：

本題考查了平面向量的基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，列方程組解出4+

解：以4B,4D為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,71(0,0),M(2,l)；C(2,2),

N(l,2),AC=XAM+fiAN，

可得：(2,2)=4(2,1)+“(1,2),

可得:｛之父2%

???1+M=^.

解析：解：①若]<。<6<：兀，則a—/?的取值范圍是一W<a—S<0,因此不正確；

②對(duì)a分類討論：a=0時(shí)，不等式化為：1>0,成立；a。。時(shí)，不等式a/-2ax+1>0,對(duì)一

切XWR恒成立，貝斗：>224/n，解得0<a<1.綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍為0Wa<1，

因此不正確；

③若橢圓著+\=1的兩焦點(diǎn)為6、F2,且弦AB過6點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)=4a=20力16,因此不

正確；

④若常數(shù)m>0,a,b,c成等差數(shù)列，則2b=a+c,=ma+c~2b=m0=1,ma-mc=(mb)2.

因此mb,m。成等比數(shù)列；

222

⑤數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為Sn=n+2n—1,n>2時(shí),an=Sn-Sn-i=n+2n-l—[(n-l)+

2(n-1)-1]=2n+1；n=1時(shí)，ar=Sx=2.an=>2,則這個(gè)數(shù)列一定不是等差數(shù)

列.

所有正確命題的序號(hào)是④.

故答案為：(4).

①利用不等式的性質(zhì)即可得出a-夕的取值范圍，進(jìn)而判斷出正誤；

②對(duì)a分類討論：a=0時(shí)，不等式化為：1>0,成立；a*0時(shí)，不等式a/-2ax+1>0,對(duì)一

切X6R恒成立，可得,/C，解得a范圍，即可判斷出結(jié)論.

③利用橢圓的定義即可得出△ABF2的周長(zhǎng)=4a,進(jìn)而判斷出正誤；

④若常數(shù)m>0,a,b,c成等差數(shù)列，可得2b=a+c,判斷需=1是否成立即可得出結(jié)論；

⑤nN2時(shí)，an=Sn-Sn-i；n=1時(shí)，的=Si，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可判斷出正誤.

本題考查了不等式的性質(zhì)、橢圓的定義、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、不等式恒成立

問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.答案：2

40

解析：解：(1)由圖象可知，當(dāng)時(shí)，y=l,

-=1,

k

:?k=2；

2t,0<t<-

{ii2，

當(dāng)t*時(shí),y=卷，令y<0.75得，t>|,

?r、2

,,f>?

???在消毒后至少經(jīng)過|小時(shí)，即40分鐘人方可進(jìn)入房間，

故答案為：2,40.

(1)把點(diǎn)G，1)代入函數(shù)解析式，即可求出k的值；

(2)當(dāng)時(shí)，y=搟，令y<0.75得，t>|,所以在消毒后至少經(jīng)過|小時(shí)，即40分鐘人方可進(jìn)入房

間.

本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，是中檔題.

—3,xV—2

17.答案：解：(l);/(x)=2x+l,-2WxWl,.?./(;<)€[-3,3]...(5分)

3,x>1

(2)g(x)=I"=QX+：-3,s6(0,+8),g(s)=as+1-3>2y/3a-3,當(dāng)且僅當(dāng)as?=3時(shí)，

等號(hào)成立，

VSe(0,+oo),tGR恒有g(shù)(s)>/(t)Og(s)min2

則2商一323,；?a23...(10分)

解析：(1)利用絕對(duì)值的意義，得出分段函數(shù)，即可求該函數(shù)值域；

(2)Vs6(0,+oo),teR恒有g(shù)(s)>/(t)=g(s)min>f(t)max,即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

本題考查絕對(duì)值函數(shù)，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

解：因?yàn)?<￡<0<乎，

24

所以0<a-S<2,?r<a+X工，

42

54

由已知可得sin(a-￡)=—,cos(a+￡)=-->

135

18.答案：、5412356

所以sin2a=sin[(a_￡)+(4?￡)]=—x(—)+—x(--)=--,

13513565

、r/4/Z12,4、5,3、33

cos2a=cos[(a—￡)+(a+J3)]=—x(--)----x(--)=-——，

13513565

89

所以5由20：+(：0520：二一一

65

解析：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和兩角和與差的正弦公式和余弦公式，熟記公式是

解題的關(guān)鍵.

先由已知求出a+/?>?-3的范圍，再求出sin(a-/?)和cos(a+/?)的值，利用2a=(a—夕)+(a+夕)

求出sin2a、cos2a的值即可.

19.答案：解:(1)由/。)=恒警缶>0)為奇函數(shù)得：/(-x)+/(x)=0,

日口11-ax,[1+ax[l-a2x2

即Ig^+lg弓=lg/B=A°,

所以宅手=1,解得a=1(負(fù)值舍去).

(II)當(dāng)b>1.時(shí)，設(shè)九(%)=g(x)-ln|x|=~+&-ln|%|,

則九(%)是偶函數(shù)且在(0,+8)上遞減

又八(1)=2+b>0,h(e2b)=高一b<0

所以h(x)在(0,+?>)上有唯一的零點(diǎn)，方程g(x)=ln|x|