2019北京某中學(xué)初二（下）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2019北京H~一學(xué)校初二(下)期末

數(shù)學(xué)

一、填空題(共18小題，1-17題每小題3分，第18小題第一空2分，第二空3分，共56分，)

1.(gtan73°產(chǎn)9x(-2tanl7°)2019+-

2.在AABC中，7sinA-O.5+13tanB-31=0,則AABC是三角形.

3.如圖，已知AB〃￡F//CD,若=CD=b,EF=c,則o,b,c之間等量關(guān)系式為—

4.如圖，。。的半徑為H,則。。的內(nèi)接正六邊形和其外切正六邊形的面積比S內(nèi)接：S外切=

5.已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-l,3),B(-l,-3),C(3,-3)則A4BC外接圓半徑的長(zhǎng)度為

2

6.已知tana=—,則sin2a+4sinacosa-2cos2a=.

3

7.若關(guān)于光的方程(加-1)爐+2痛+機(jī)+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則加的取值范圍是一

8.如圖，AB=5,AC=3,5。邊上的中線AD=2,則AABC的面積為.

9.關(guān)于x的方程f+2(a+l)x+2a+l=0有一個(gè)大于0而小于1的根，則。的取值范圍是.

10.如圖，O是矩形ABCD對(duì)角線瓦)的中點(diǎn)，AD=8,CD=6,石是4?邊上的一個(gè)點(diǎn).若DE=OE,則

AE=

ED

B

11.已知：如圖，在AASC中，AB=AC,以他為直徑作圓交BC于D,交AC于E.若NA=84。，則AE的度數(shù)

為—,

12.如圖，AB,CD是OO的直徑，且AB_LCD,P為CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PE切于E.BE交CD于

F.若AB=6,DP=2,貝1]3尸=.

13.在A4BC中，已知AB=2,ZB=30°,AC=應(yīng).貝U5AAsc=-

14.已知cosor+cos2a=1,貝!J2sin。a+sin4a+sin，a+sin'a=.

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)M:y=ax2+6x+c(a*0)的圖象過點(diǎn)4-1,0),且頂點(diǎn)坐標(biāo)為8(0,1)設(shè)點(diǎn)

/”,0)為x軸正半軸上一點(diǎn)，是M以尸為旋轉(zhuǎn)中心的對(duì)稱圖形，當(dāng)AT與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，f的取值范圍

為—,

16.如圖，已知NACB=90。，ZZMB=120°,AB=4,AD=2,則CD的取值范圍是.

17.在四邊形ABCD中，AB=AD=5,BC=12,ZB=ZD=90°,點(diǎn)M在邊8C上，點(diǎn)N在四邊形ABCD內(nèi)部且

到邊AB、AD的距離相等，若要使ACW是直角三角形且AAMN是等腰三角形，則MN=—.

18.(5分)如圖1,分別以等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)3C為半徑畫弧AC,CB,BA,我們將這

三條弧所組成的封閉圖形稱為萊洛三角形,

y

(1)若AB=4,則萊洛三角形的面積(即封閉圖形面積)為一；

(2)如圖2,將一個(gè)萊洛三角形放置于直角坐標(biāo)系x軸上方，其“底端”落在原點(diǎn)。處，一頂點(diǎn)及中心M在y軸正半

軸上，如使萊洛三角形沿x軸正向滾動(dòng)前進(jìn)，在滾動(dòng)過程中萊洛三角形每時(shí)每刻都有一個(gè)“最高點(diǎn)”，其中心也在不

斷移動(dòng)位置如果在萊洛三角形滾動(dòng)一周的過程中，將其“最高點(diǎn)”和“中心點(diǎn)”所形成的軌跡圖形按上、下放置，應(yīng)大

致為下列選項(xiàng)中—的形狀.

二、解答題(共6小題，要求寫出嚴(yán)格的推理、論證、演算過程，共44分)

19.(6分)當(dāng)0。<(/<45。時(shí)，下列關(guān)系式有且僅有一個(gè)成立：

①應(yīng)sin(a+45°)=sintz+1

②亞sin(?+45°)=A/2since+—

(3)&sin(a+45°)=72sina+cosa

(4)夜sin(6r+45°)=sina+cosa

(1)如圖，AABC中，AB=1,ZACB=45°,ZCAB=a,請(qǐng)利用這個(gè)圖形證明上述選項(xiàng)中你認(rèn)為正確的結(jié)論.

(2)利用(1)結(jié)論，計(jì)算cos75。.

cB

20.(6分)如圖，已知反比例函數(shù)丁=一和一次函數(shù)y=2x-l,其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過伍乃)，(Q+1,Z;+Q兩點(diǎn),

2x

反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象交于A、8兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)的解析式，和AAOB的面積；

(2)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出不等式2x>—^+7的解集為—；

2x-6

(3)在反比例函數(shù)圖象上存在個(gè)點(diǎn)P,使得SAPAB=2SAOAB.

21.(6分)如圖，在OO內(nèi)，弦AB//CD,交AC延長(zhǎng)線于。，交3c于P,垂足為

(1)證明：Z.BOP=ZQCP.

(2)證明：OP.OQ=OA2.

22.(8分)已知關(guān)于無的方程2尤2-2(m+l)x+；+wi=0

(1)證明方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)設(shè)關(guān)于x的方程2x?-2(m+1)尤+g+m=0的兩根是%，<x2),關(guān)于x的方程2x?-2(〃7+l)x+：+m=l的

兩根是W，%(工3<%)，請(qǐng)直接寫出玉，X2,W，匕的大小關(guān)系;

(3)當(dāng)1領(lǐng)k3時(shí)，代數(shù)式2f-2(m+1)*+3+根的值恒為正，求機(jī)的取值范圍.

23.(10分)如圖，過點(diǎn)A(O,1)作直線P。，交拋物線于尸，。兩點(diǎn)，點(diǎn)3是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn).

4一

(1)試判斷以點(diǎn)P為圓心，以為半徑的圓與直線/:y=-l的位置關(guān)系；

(2)證明：直線和直線3尸關(guān)于y軸對(duì)稱；

(3)過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線/:y=-l于H點(diǎn)，連接AH交x軸于E,直線PE與拋物線y=:無?是否還有除

點(diǎn)尸之外別的交點(diǎn)？請(qǐng)說明理由.

24.(8分)如圖所示，在AABC中，44C=9O。，4￡>_LBC于。，NB的平分線分別與AD,AC交于E,F,

H為EF中點(diǎn).

(1)求證：AH±EF；

(2)設(shè)ABH4、ABDE、廣的周長(zhǎng)分別為八%、L,試證明必乜,，U.并求出當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)空的值.

138BF

B

D

E

H

參考答案

一、填空題(共18小題，1-17題每小題3分，第18小題第一空2分，第二空3分，共56分，)

1?【分析】根據(jù)互余的兩個(gè)銳角的正切的乘積等于1以及負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的公式計(jì)算即可.

【解答】解：gtan73°產(chǎn)9x(-2tanl7°)2019+§尸=[1tan73°x(-2tanl7°)]2019+2=(-1)2019+2=-l+2=l.

故答案為：1

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.

2.【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出sinA=0.5,tanB=l,再利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案.

【解答】解：JsinA-0.5+|3tanB-3|=0,

/.sinA=0.5,3tanB=3,

解得：tanB=l,

故ZA=30°,ZB=45°,

,-.ZC=105°,

則AABC是鈍角三角形.

故答案為：鈍角.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

3.【分析】證明ADEFSAZMB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到變=2生同理可得先=變，計(jì)算即可.

ABDBCDBD

【解答】解：???45//EF,

:.ADEF^ADAB,

.EFDF

AB-

.CD//EF,

.?.ABEFSMCD,

.EFBF

…CD-BD'

EFEFBFDFA

ABCDBDDB

111日口111

------1------=-----，即—I—=一，

ABCDEFabc

故答案為：—+—.

abc

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

4.【分析】連接。4、OB、04、OB',由正六邊形的性質(zhì)得出R:AB=1:1；得出

R:A'B'=OB:OB'=sin60o=43:2；因此AB:AB=6：2,根據(jù)相似多邊形的面積比是相似比的平方，求得其面積

比即可.

【解答】解：連接OB、04、OB',如圖所示：

則R:AB=1:1；

:.R:A'B'=OB:OB'=sin600=y/3:7.；

AB:A'B'=^:2,

-.-GO的內(nèi)接正六邊形s其外切正六邊形，

二OO的內(nèi)接正六邊形和其外切正六邊形的面積比S內(nèi)接：邑卜切=

E'

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓、正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及相似多邊形的性質(zhì)；熟練掌握正六邊

形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.【分析】三角形的外心是三邊中垂線的交點(diǎn)，設(shè)AABC的外心為M；由A、B、C的坐標(biāo)知：AB、3c的垂直

平分線正好經(jīng)過(1,0),由此可得到M(l,0),由勾股定理即可求得GM的半徑長(zhǎng).

【解答】解：設(shè)AABC的外心為如圖：

A(-l,3),5(-1,-3),C(3,-3),

:.AB,3C的垂直平分線過(1,0),故M(l,0)；

就是0M的半徑長(zhǎng)，

由勾股定理得：M4=，2?+栗=而,

即AABC的外接圓半徑為屈.

故答案為：A/13.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外心的定義和性質(zhì).能夠根據(jù)三角形外心的性質(zhì)來判斷出AABC外心的位置是解答此題

的關(guān)鍵.

6.【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)原式得到sin%+4sinecosa-2cos2。=—+fan”2,把^11c=2代

tana+13

入即可得到結(jié)論.

sin2a+4sinacosa—2cos2a

【解答】解：sin。a+4sinacosa-2cos2a=°+勿*。_--------嚴(yán)sa-------="""+；tan°2

sina+cos1asina+cos2atana+1

cos2a

2

?「tan。二一，

3

...原式差|2+4x|~210

13

+1

故答案為：t

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握同角三角函數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

7?【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式4〉。時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，建立關(guān)于根的不等式,

然后求出租的取值范圍;

【解答】解：???a=m—l,b=2m,c=m+3,

而方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

/.△=/-4ac=4m2-4(m-l)(m+3)>0,且加一lwO，

2

3

故答案為：加〈一且7〃W1.

2

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△XJo方程有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根；（2）△nOo方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)；（3）△<0o方程沒有實(shí)數(shù)根.

8.【分析】延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE,如圖所示，由。為3c的中點(diǎn)，得到CD=3D,再由一對(duì)對(duì)頂

角相等，利用SAS得出三角形ACD與三角形EDB全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BE=OC=3,由

AE=2AD=4,AB=5,利用勾股定理的逆定理得到三角形ABE為直角三角形，即隹垂直于3E,利用垂直定義

得到一對(duì)直角相等，三角形ASC的面積等于三角形W與三角形ACD面積之和，求出即可.

【解答】解：延長(zhǎng)45到E,使DE=AD,連接BE,

?。為3c的中點(diǎn)，

DC-BD，

?,在AWC與AEDB中，

AD=ED

<ZADC=ZEDB,

DC=BD

:.AADC=AEDB(SAS),

:.BE=AC=3,ACAD=AE,

又?.?AE=2AD=4,45=5,

:.AB2=AE2^BE2,

,\ZCAD=ZE=90°,

則“=—+5=3皿B￡+；QAC=gx2x3+gx2x3=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的解本題的關(guān)鍵.

9?【分析】通過因式分解法解方程得到玉=-1,%2=-2a-l,利用題意得到然后解不等式即可.

【解答】解：解方程/+2(Q+1)X+2Q+1=0得玉=一1,x2=-2a-1,

,方程/+2(〃+1)X+2〃+1=0有一個(gè)大于0而小于1的根，

0v~■2a—1v1

解得

2

a的取值范圍是-1<。<-工.

2

故答案為T<a<-L

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=+fcr+c(a,b,c是常數(shù)，awO)與x軸的交

點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于尤的一元二次方程.也考查了解一元二次方程.

10?【分析】先求出BD,進(jìn)而求出8=03=04,再判斷出△OOEsAADO,即可得出結(jié)論；

【解答】解：如圖b連接。4,

在矩形ASCD中，CD=AB^6,AD=BC=8,ZBAD=90°,

在RtAABD中，根據(jù)勾股定理得，BD=y/AB2+AD2=A/36+64=10,

是中點(diǎn)，

:.OD=OB=OA=5,

,\ZOAD=ZODA,

?.OE=DE,

.\ZEOD=ZODE,

ZEOD=ZODE=ZOAD,

:.NODEstsADO,

.ODDE

而一訪‘

/.DO2=DE.DA,

設(shè)=x，

DE-8—xf

25=8(8—%)

..x=—39

8

故答案為:39

T

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明AODESAADO是本題的關(guān)鍵.

11.【分析】取至的中點(diǎn)O,連接OE,由等腰AAOE中，OA^OE,可解答.

【解答】解：取他的中點(diǎn)O,連接OE,

?.?AB為直徑,

OA=OE,

:.ZA=ZAEO=84°f

.?.ZAO石=180。—2x84。=12。，

則AE的度數(shù)為12。,

故答案為：12。.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)

合思想的應(yīng)用.

12.【分析】連接OE,可求得NPEF=NPFE,可得PF=PE,在RtAOPE中由勾股定理可求得PE,在RtAOBF中

由勾股定理可求得

【解答】解：如圖，連接OE,

ZPEF=90°-Z.OEB=90°-Z.OBE=Z.OFB=ZEFP,

:.PF=PE,

■.■AB=6,AB,CD是OO的直徑,

:.OE=OD=OC=OB=OA=3,

?.?PE切。0于E，

:.APEO=9QP,

在RtAOPE中，DP=2,

OP=3+2=5,

由勾股定理可得。尸=PE2+OE2,

:.52=PE2+32,解得PE=4,

：.PF=PE=4,OF=OP-PF=5-4=1,

;AB_LCD,

.-.ZBOF=90°,

在RtAOBF中,由勾定理可得B尸=OB2+OF2,

即BF2=32+l2=10,

FB=>Jid.

故答案為：'/10.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的性質(zhì)及勾股定理，證得莊=PF是解題的關(guān)鍵.

13?【分析】分AABC是銳角三角形與鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論，然后分別解直角AABD與直角AACD,求出

AD.BD、CD的長(zhǎng)，再根據(jù)5AAsc=g代入數(shù)值計(jì)算即可.

【解答】解：當(dāng)AABC是銳角三角形時(shí)，

過點(diǎn)A作ADLBC于點(diǎn)。，

■.■AB=2,ZB=30°,

AD=-AB=1,

2

，由勾股定理可知：BD=^AB2-AD2=>/22-12=>/3,

AC=yl2,

，由勾股定理可知：CD=dAC?-AD。=，2--=1,

BC=BD+DC=4i+\,

??-5MBC=|BC.AD=1x(^/3+l)xl=^tl;

當(dāng)AABC是鈍角三角形時(shí)，

同理可得：BD=^>,CD=1,

BC=BD-DC=>f3-l,

???5AABC=|BC.AD=1X(73-1)X1=^1.

故答案為：@±1或且二1.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形、三角形的面積，利用數(shù)形結(jié)合與分類討論是解題的關(guān)鍵.

14.【分析】根據(jù)已知條件和同角的三角函數(shù)的關(guān)系siYaul-cos2a即可得到結(jié)論.

【解答】解：:cosa+cos2a=1,

/.cos26Z=1—coscr,1—cosa=cos2a,

,/sin2a=l—cos2a,

/.2sin2a+sin4a+sin6a+sin8a

=2(1-cos2cr)+(1-cos2a)2+(1-cos2a)3+(1-cos2cr)4

=2cosa+cos2a+cos3a+cos4a

=2cosa+1-cosa+cosa(l-cosa)+cos4a

=2cosa+1-cosa+cosa—cos2a+(1-cosa)2

=2cosa+\-cosa+cosa-cos2a+1-2cosa+cos2a

=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系，整式的化簡(jiǎn)，熟練掌握同角的三角函數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

15.【分析】先根據(jù)待定系數(shù)法，可得二次函數(shù)M的解析式；再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得拋物線“，的頂點(diǎn)與與玄關(guān)

于廠點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)中點(diǎn)公式，求出用的坐標(biāo)；最后根據(jù)圖象過A,5點(diǎn)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)符合解析式，根據(jù)圖象，

可得答案.

【解答】解：由拋物線"的頂點(diǎn)坐標(biāo)為仇0,1)可設(shè)拋物線的解析式為＞=a?+i,

將A(-l,0)代入解析式，得〃x(-+1=0,

解得a=-1,

.,.二次函數(shù)M的解析式為y=-x2+l,

設(shè)旋轉(zhuǎn)后拋物線M'的頂點(diǎn)為與，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得：及與3(0,1)關(guān)于E(r,O)對(duì)稱，

B](2Z,—1)；

?.?拋物線AT的二次項(xiàng)系數(shù)為1,

二.拋物線M'的解析式為y=(x-2/)2一1?>0),

.?.當(dāng)拋物線經(jīng)過4-1,0)時(shí)有(T-2f)2-1=0,解得?2=0；

當(dāng)拋物線M'經(jīng)過2(0,1)時(shí)有(-2/)2-1=1,解得t=±—；

2

當(dāng)拋物線M'與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，f的取值范圍0

2

故答案為：0<"注.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用圖象過A,B點(diǎn)得出點(diǎn)的坐標(biāo)符合解析式是解題關(guān)鍵.

16,【分析】如圖，取的中點(diǎn)￡,連接CE,DE,過點(diǎn)作AT_LD石于T,連接CD.求出DE,EC,根據(jù)

DE-EC^tDDE+CE求解即可.

【解答】解：如圖，取回的中點(diǎn)￡,連接CE,DE,過點(diǎn)作AT，。石于T,連接CD.

D

B

?/AB=4,AD=2，AE=EB,

AD=AE=2,

???AT_LDE,ZDAE=120°,

:.ZDAT=ZEAT^60°,

DE=20T=2AE.sin60°=2上,

?.?NACB=90。，AE=EB,AB=4,

:.CE=-AB=2,

2

■.■DE-EC^iJDDE+CE,

2A/3-2^IJC￡>2道+2.

故答案為2A-2麴JC￡>273+2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)

會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題.

17?【分析】首先證明點(diǎn)N在線段AC上，分兩種情形分別求解即可.

【解答】解：如圖，連接AC.?.?/8=90。，AB=5,BC=12,

AC=752+122=13,

■.■ZD=90°,AD^5,AC=13,

:.CD=7132-52=12,

:.AB^AD,BC=CD,

■.■AC=AC,

，AABC=AADC(SSS),

:.ZCAB^ZCAD,

?.?點(diǎn)N在四邊形ABCD內(nèi)部且到邊M、AD的距離相等，

.,.點(diǎn)N在線段AC上，

①如圖1中，當(dāng)AN=MN,M0_L3C時(shí)，設(shè)AN=MN=x.

圖1

NM//AB,

MNCN

~AB~~CA

x_13-x

5-13

②如圖2中，當(dāng)AN=MN,MN_LAC時(shí)，沒AN=MN=y,

A/

D

圖2

\ZMCN=ZACB,ZMNC=ZB=90°,

..ACMN^ACAB,

MN_CN

3J3-y

5-12

綜上所述，滿足條件的"N的長(zhǎng)為巴或巴.

1817

故答案為國(guó)或竺.

1817

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線

分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題.

18.【分析】(1)圖中三角形的面積是由三塊相同的扇形疊加而成，其面積=三塊扇形的面積相加，再減去兩個(gè)等

邊三角形的面積，分別求出即可.

(2)由題意，最高點(diǎn)到無軸的距離是不變的，中心點(diǎn)/到x軸的距離開始是增加然后減小，再增加，又減小，不

斷循環(huán)，由此即可判斷.

【解答】解：(1)過A作于。，

圖1

?.?AABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC=4,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

:AD_LBC,

:.BD=CD=2,AD=￡BD=26,

AABC的面積為工BC.AD=473,

2

60?%d_8

扇形BAC-一通一—^萬，

萊洛三角形的面積S=3x§萬-2乂46=8萬-8追，

3

故答案為8萬-86.

(2)由題意，最高點(diǎn)到x軸的距離是不變的，中心點(diǎn)Af到x軸的距離開始是增加然后減小，再增加，又減小，不

斷循環(huán)，

故圖象選3.

故選3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和扇形的面積計(jì)算，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡等知識(shí)，能根據(jù)圖形得出萊洛三角形的

面積=三塊扇形的面積相加、再減去兩個(gè)等邊三角形的面積是解此題的關(guān)鍵.

二、解答題(共6小題，要求寫出嚴(yán)格的推理、論證、演算過程，共44分)

19.【分析】(1)如圖，過A作AT>_L3C,交CB的延長(zhǎng)線于D,過3作鹿_LAC于E.由三角函數(shù)定義得出

BE=AB?sin/FAB=sintz,AE=AB-cosZ.EAB=cosa.CE=BE=since,BC=\[2BE=A/2sina.在RtAABD中，

ZADB=90°,ZABD=ZCAB+ZC=a+45°,AB=\,得出AD=AB?sinNABD=sin(&+45。).由三角形面積得出

BC-AD=AC*BE,得出近sina.sin(tz+45。)=(sina+costz).sina,即可得出結(jié)論；

(2)由(1)得：72sin(30°+45°)=sin30°+cos30°=1,得出sin75°=(；+g)x*=,再由

sin275°+cos275°=1,即可得出答案.

【解答】解：(1)如圖，過A作A￡>_L8C,交CB的延長(zhǎng)線于。，過3作AC于E.

?.?在RtAABE中，ZAEB=90°,ZEAB=a,AB^l,

BE=AB^sinZEAB=sina,AE=AB?cosZ.EAB=cosa.

???在RtABCE中，NCEB=90。,NC=45。，

CE-BE=sina,BC=y[2BE=5/2sina.

???在RtAABD中，ZADB=90°,ZABD=ZCAB+ZC=a+45°,AB=l,

AD=AB.sinZABD=sin(a+45°).

■.S^^BC.AD^AC.BE,

二.BC?AD=AC?BE,

v2sina?sin(a+45°)=(sina+cosa)?sina,

?「sinaw0,

y/2sin(a+45°)=sin1+cosa,④正確；

(2)由(1)得：A/2sin(30°+45°)=sin30°+cos30°=1+^,

.”。A艮176+72

?.sin75o=(/+5-)x^==----------,

?.?sin275°+cos275°=1,

cos275。=1一阻也丫=函一行了

416

.4-oA/6—\/2

..cos75=-----------?

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形、特殊銳角的三角函數(shù)值、同一銳角的三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)；通過解直角三角形

得出正確結(jié)論是解題的關(guān)鍵.

20.【分析】(1)把3份、(〃+11+6兩點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式可得3易得反比例函數(shù)的解析式，聯(lián)立方程，解

方程組求得A,5的坐標(biāo)，即可求得AAO5的面積；

(2)利用函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)和平移的規(guī)律，即可得出不等式2尤〉上+7的解集；

x+6

(3)根據(jù)同底不同高的三角形面積即可求得.

(2〃_1—A

【解答】解：(1)把(。向，3+1,6+Q兩點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=2%-1可得：?-177

[2(〃+I)-l=b+k

解得：k=2.

故反比例函數(shù)的解析式為：y=-；

11

V=得%=1-x=——

解-x或《2，

y=i

y=2x-l。=一2

/.A(l,l),B(--,-2),

2

由一次函數(shù)解析式y(tǒng)=2%-l可知與y軸的交點(diǎn)為(0,-1),

c1一1113

?,'MOB=-xlxl+-xlx-=-；

(2)由平移的規(guī)律可知，反比例函數(shù)y=2和一次函數(shù)y=2x—1向右平移3個(gè)單位得至Uy=—和y=2x—7,

2x2x—6

?反比例函數(shù)y=&和一次函數(shù)y=2x-l的交點(diǎn)為,-2),

2x2

...不等式2x>—L_+7的解集為9c<3或x>4

2x-62

故答案為9Vx<3或x>4；

2

(3)有4個(gè)點(diǎn)尸，使得5“鉆=2￡。.，如圖：

過。點(diǎn)作O￡)_LAB于￡),延長(zhǎng)DO到使ZM/=28,過M點(diǎn)作他的平行線/交雙曲線兩個(gè)尸點(diǎn)，則

SAFAS=2sAe1AB'

作直線/關(guān)于直線AB對(duì)稱直線交雙曲線又有兩個(gè)P點(diǎn),

故有四個(gè)點(diǎn)尸，使得SAW=2sA加，

故答案為4.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求解析式以及求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，一次函數(shù)、反比例圖象與

幾何變換.

21.【分析】(1)由垂徑定理可得AM=N/0,由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理可得/BOM=NACB,可得

NBOP=NQCP；

(2)通過證明AAOPSAQOA,可得結(jié)論.

【解答】證明：(1)-.-QOLAB,

ZAOB=1ZBOM=1ZAOM,S.ZAOB=2ZACB,

:.ZBOM=ZACB,

:.ZBOP=ZQCP,

(2)■.■MQLAB,AM=BM,

:.AO=BO,AP=BP,S.OP=OP,

:.AAOP^ABOP(SSS)

;.ZPAO=NPBO,

ZBPO=ZCPQ,ZBOP=ZQCP

:.ZPBO=ZQ

ZQ=ZPAO,J3.ZAOP=ZAOQ,

.AAQPsAQQA

OAOP

一~OQ~~OA

OP.OQ=OA2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，證明AAOPSAQCM是

本題的關(guān)鍵.

22?【分析】(1)利用判別式△>?即可求解；

(2)將方程的根看作函數(shù)y=2x2-2(〃2+l)x+g+〃z,當(dāng)y=0,y=1時(shí)分另U與x軸和y=1的交點(diǎn)，即可求解；

(3)將代數(shù)式2/-2(m+l)x+1+m的值恒為正問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2/一2(m+l)x+；+加在給定范圍內(nèi)最小值大

于0,即可求解.

133

【解答】確軍：(1)證明：,/△=4(m+1)2-4x2(—+m)=4m2+6m+3=4(m+—)2+—>0,

/.方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)j=2x2—2(m+l)x+g+a=2>0

y=0時(shí)，表示二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)；

y=l時(shí)，表示二次函數(shù)與y=l的交點(diǎn)，

故九3々<%4；

(3)令y=2x2—2(m+T)x+g+m，

則函數(shù)的對(duì)稱軸為尤="f,

2

當(dāng)啜心里3時(shí)，啜加5,y有最小值為-工療，

22

--m2>0,不符合題意；

2

當(dāng)3口<］時(shí)，y有最小值g一根，

--m>0,則機(jī)<工，

22

1

2

當(dāng)1>3,m>5,>有最小值以一9根，

22

QIO

-----9m>0,則機(jī)<—(舍去)；

22

綜上所述，m<-時(shí)代數(shù)式2/-2(m+l)x+-+m的值恒為正.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程，一元二次函數(shù)問題；能夠?qū)⒋鷶?shù)式轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問題是解題的關(guān)鍵.

23?【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式和點(diǎn)到直線的距離可得：PA=-m2+l,點(diǎn)尸到直線=的距離為

4

d^-ne+l,由切線的判定定理，可知以點(diǎn)尸為圓心，出為半徑的圓與直線/:y=-l相切；

4

(2)先證明AE4AfsAQ4N,再證明ABMPsABNQ,即可得/尸3"=NQBN,即直線2。和直線關(guān)于y軸對(duì)

稱；

(3)待定系數(shù)法先求直線AH解析式，令y=0可求得石的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求直線尸石解析式，根據(jù)一元

二次方程根的判別式即可判斷拋物線與直線PE的交點(diǎn)情況.

【解答】解：(1)以點(diǎn)。為圓心，為半徑的圓與直線/:y=-l的位置關(guān)系為相切.

設(shè)點(diǎn)P(m,—m2),點(diǎn)尸到直線/:y=-1的距離為d=—m2+1,則PA=.(m-0)2+(—m2-I)2=—m2+1,

44V44

d=—m2—(-1)=—m2+],

44

PA=d

以點(diǎn)。為圓心，P4為半徑的圓與直線/:y=-l相切；

(2)如圖，過點(diǎn)尸作尸"，直線/于"，作軸于M,過點(diǎn)。作QG，/于G,QNLy軸于N,

則：ZQGB=ZQNA=ZQNB=ZGBN=ZHBM=ZPMA=ZPHB=90°

一.四邊形BGgN、BHPM均為矩形,

:.BN=QG,BM=PH

由(1)知：PA=PH,QA=QG

:.QA=BN,PA=BM

ZPAM=ZQAN

:.\PAM^\QAN

PMQN

…~PX~~QX

.PMQN

BM~BN

?；/BMP=/BNQ=90。

ABMP^ABNQ

:.ZPBM=ZQBN

/.直線BQ和直線BP關(guān)于y軸對(duì)稱；

(3)除點(diǎn)尸之外無別的交點(diǎn).

P(/77,-m2),,A(O,1)

設(shè)直線AH解析式為〉=左々+〃，貝”[;m[k';+/?'=—1，解得k'=—

7

/.直線AH解析式為y=--x+l,令y=O,=—

m