2019-2020學(xué)年山東省棗莊市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2019-2020學(xué)年山東省棗莊市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.(5分)設(shè)集合A={x|-IWXWI},則ACN=()

A..{1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-I,0,1)

2.(5分)已知i是虛數(shù)單位，1+(a-1)z>0(aCR),復(fù)數(shù)z=a-2i,則|==()

z

A.AB.5C.返D.

55

3.(5分)函數(shù)y=/(x)是R上的奇函數(shù)，當x〈0時，/(x)=2*,則當x>0時，/(x)

=()

A.-2XB.2'xC.-2*D.2X

4.(5分)已知a€R,貝“OCaVl”是“Vx€R,ax2+2ax+\>0n的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.(5分)已知向量2=(1,1),b=(-1，3),c=(2,1),且(a->b)〃c，則人=

()

A.3B.-3C.AD.」

77

6.(5分)將曲線y=/(x)cosZr上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得

到的曲線向右平移--個單位長度，得到曲線)，=cosZt,則f哈)=()

A.1B.-1C.V3D.-73

1nx1

7.(5分)已知/(x)=\)k，若函數(shù)y=/(x)-1恰有一個零點，則實數(shù)

f(2-x)+k,x<l

k的取值范圍是()

A.(1,+8)B.[L+8)C.(-8,1)D.(-8,I]

8.(5分)已知直線/|：h+y=0(A6R)與直線勿x-6+2%-2=0相交于點A,點B是圓

(x+2)2+(y+3)2=2上的動點，則|AB|的最大值為()

A.入巧B.5A/2C.5+2A/2D.3+2V2

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.（5分）某特長班有男生和女生各10人，統(tǒng)計他們的身高，其數(shù)據(jù)（單位：cm）如下面

的莖葉圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

男生女生

7816134557

35679171123

2318

219

A.女生身高的極差為12

B.男生身高的均值較大

C.女生身高的中位數(shù)為165

D.男生身高的方差較小

10.（5分）在平面直角坐標系xO），中，拋物線C：y1=2px（p>0）的焦點為F,準線為/.設(shè)

/與x軸的交點為K,P為C上異于。的任意一點，P在/上的射影為E,NEP尸的外角

平分線交x軸于點Q,過Q作于M,過。作QNLPE交線段EP的延長線于點

N,則（）

A.|PE|=|PflB.|PF|=|QQC.|PN=|MF|D.|PN=|Kfl

II.（5分）在正方體ABCO-4BiCi￡）i中，N為底面ABC。的中心，P為線段45上的動

點（不包括兩個端點），M為線段AP的中點，則（）

A.CM與PN是異面直線

B.CM>PN

C.平面aiN_L平面8￡>。由1

D.過P,A,C三點的正方體的截面一定是等腰梯形

12.（5分）如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的P點的距離是2切?，從P點沿海岸正

東12km處有一個城鎮(zhèn).假設(shè)一個人駕駛的小船的平均速度為3km回步行的速度為5km/h,

時間，（單位：//）表示他從小島到城鎮(zhèn)的時間，x（單位：km）表示此人將船停在海岸處

距P點的距離，設(shè)uTx?+4+x'vTx?+4-x）則（）

小島

A.函數(shù)u=/(")為減函數(shù)

B.15/-w-4v=32

C.當x=1.5時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間最少

D.當x=4時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間不超過3%

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）談祥柏先生是我國著名的數(shù)學(xué)科普作家，他寫的《數(shù)學(xué)百草園》、《好玩的數(shù)學(xué)》、

《故事中的數(shù)學(xué)》等書，題材廣泛、妙趣橫生，深受廣大讀者喜愛.下面我們一起來看

《好玩的數(shù)學(xué)》中談老的一篇文章《五分鐘內(nèi)挑出埃及分數(shù)》：文章首先告訴我們，古埃

及人喜歡使用分子為1的分數(shù)（稱為埃及分數(shù)）.如用兩個埃及分數(shù)JJ5上的和表示2

3155

等.從工，1,工，…，工，上這100個埃及分數(shù)中挑出不同的3個，使得它們

234100101

的和為1,這三個分數(shù)是.（按照從大到小的順序排列）

14.（5分）在平面直角坐標系X0V中，角a的頂點是O,始邊是x軸的非負半軸，0<a（如,

點P（l+tarr^|"，1-tan。）是a終邊上一點，則a的值是.

22

15.（5分）已知F為雙曲線C：—--^-=1（a>0,b>0）的右焦點，過F作C的漸近線

的垂線F￡）,。為垂足，且|FD|=李|OF|（O為坐標原點），則c的離心率為.

16.（5分）如圖，在三棱錐P-A8C中，PA1.AB,PCLBC,ABLBC,AB=2BC^2,PC=V5,

則PA與平面ABC所成角的大小為；三棱錐P-ABC外接球的表面積是

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）在①M（bcosC-a）=csinB；@2a+c—2bcosC；③bsinA=V"§asirr^^■這三

個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問題.

在△ABC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足,b=2V3-a+c=4,

求△ABC的面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

18.（12分）已知等比數(shù)列（斯｝滿足0,“2,a3-aI成等差數(shù)列，且。1的=。4；等差數(shù)列｛瓦｝

mm（n+1）log?an/

的刖n項和5門=-------——求：

（1）；

（2）數(shù)列｛斯瓦｝的前項和Tn.

19.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AC=2百，AB=3,AP=M，AD//BC,AD

J_平面以B,NAPB=90°,點E滿足鈍

（1）證明：PEVDC-,

（2）求二面角A-PO-E的余弦值.

20.(12分)2017年11月河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國城市”，吸引了大批投資

商的目光，一些投資商積極準備投入到“魅力城市”的建設(shè)之中.某投資公司準備在2018

年年初將四百萬元投資到三門峽下列兩個項目中的一個之中.

項目一：天坑院是黃土高原地域獨具特色的民居形式，是人類“穴居”發(fā)展史演變的實

物見證.現(xiàn)準備投資建設(shè)20個天坑院，每個天坑院投資0.2百萬元，假設(shè)每個天坑院是

否盈利是相互獨立的，據(jù)市場調(diào)研，到2020年底每個天坑院盈利的概率為p(0<pVl),

若盈利則盈利投資額的40%,否則盈利額為0.

項目二：天鵝湖國家濕地公園是一處融生態(tài)、文化和人文地理于一體的自然山水景區(qū).據(jù)

市場調(diào)研，投資到該項目上，到2020年底可能盈利投資額的50%,也可能虧損投資額的

30%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為p和1-p.

(1)若投資項目一，記Xi為盈利的天坑院的個數(shù)，求E(Xi)(用°表示)；

(2)若投資項目二，記投資項目二的盈利為X2百萬元，求E(X2)(用p表示)；

(3)在(1)(2)兩個條件下，針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個項目，

并說明理由.

21.(12分)設(shè)中心在原點O,焦點在x軸上的橢圓C過點慶(赤，尸為C的右焦點,

OF的方程為'+『-2?x#=0?

(1)求C的方程；

(2)若直線Ly=k(x-?)(左>0)與。。相切，與。尸交于例、N兩點，與C交于P、

Q兩點，其中M、P在第一象限，記的面積為S(k),求(WQ|-|HP|)?S(火)取最

大值時，直線/的方程.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=/〃(2x+a)(x>0,a>0),曲線y=/(x)在點(1,/(D)

處的切線在y軸上的截距為1斕-2

3

(1)求a；

(2)討論函數(shù)g(x)=f(x)-2x(x>0)和h(x)二f(x)^—紅-(]>。)的單調(diào)性；

2x+l

(3)設(shè)斯+1=/(〃〃)，求證：王二^---<一^-2<0(〃22).

152na”

2019-2020學(xué)年山東省棗莊市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.(5分)設(shè)集合4=國-IWXWI},則ACN=()

A..{1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}

【分析】利用交集定義直接求解.

【解答】解：?.?集合A={x|-lWxWl},

.\AnN={0,1}.

故選：B.

【點評】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解

能力，是基礎(chǔ)題.

2.(5分)已知i是虛數(shù)單位，1+(a-1)i>0(“WR),復(fù)數(shù)z=a-2i,則|==()

Z

A.AB.5C.返D.V5

55

【分析】先根據(jù)已知條件求出。；再根據(jù)長度定義即可求解.

【解答】解：因為：i是虛數(shù)單位，1+(a-1)J>0(?GR),

所以：a-l=0=>6F=l；

，z=l-2i,則=一粵一返；

zl-2i(l-2i)(l+2i)5

故選：C.

【點評】本題主要考察復(fù)數(shù)的定義以及長度；解決本題的關(guān)鍵在于由/-是虛數(shù)單位，1+

(a-1)z>0(a€R),得至lja=l.

3.(5分)函數(shù)y=/(x)是R上的奇函數(shù)，當x〈0時，/(X)=2。則當x>0時，f(x)

=()

A.-2*B.2rC.-2XD.2X

【分析】x>0時，-xVO,根據(jù)已知可求得了(-x),根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)=-/<-

x)即可求得/(x)的表達式.

【解答】解：x>0時，-x<0,時，f(x)=2X,

.?.當x>0時/(-x)=-2'x,

'：f(x)是R上的奇函數(shù)，

...當x>0時，f(x))=-f(-x)=-2x.

故選：C.

【點評】本題考查函數(shù)解析式的求解，利用了奇函數(shù)的性質(zhì)/(x)=-f(-x),計算簡

單，屬于基礎(chǔ)題.

4.(5分)已知“6R,貝I」是“Vx€R,ax+2cvc+l>OW的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

.2fa>0

【分析】“VATER,ax+2ax+\>0ff，或。=0,1>0,解得。范圍即

A=4a2-4a<C0

可判斷出結(jié)論.

2fa>0

【解答】解：“VXER,/+2公+]>o，，=1,或。=o,1>0,解得OWa

A=4a2_4a<C0

<1.

是“Vx6R,ax1+2ax+\>Q^^的充分不必要條件.

故選：A.

【點評】本題考查了簡易邏輯的判定方法、不等式的解法、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推

理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.(5分)已知向量4=(1,1),b—(-1，3),c=(2,1),且(@-入b)〃c，則入=

()

A.3B.-3C.AD.」

77

【分析】利用(I-Ab)〃；列出含入的方程求解即可.

【解答】解：因為a-Ab=(1+入，1-3人)，又因為(a_Ab)〃c，

所以IX(1+A)-2X(1-3A)=7入-1=0,解得入=工，

7

故選：C.

【點評】本題考查平面向量的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題

6.(5分)將曲線y=f(x)coslr上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得

到的曲線向右平移三-個單位長度，得到曲線)，=cos2r,則f*)=()

A.1B.-1C.V3D.-^3

【分析】首先利用函數(shù)的關(guān)系式的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式，進一

步求出函數(shù)的值.

【解答】解：曲線cos2x上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得

到：y=f(Lf)cosx,

2

再把得到的曲線向右平移二個單位長度，得到:兀

y=)cos(x--^_)=cos^-Y,

4

2.2

cosx-sinx

所以/x2L)=V2(cosx-sinx)=2cos(x+^->

8-^?(cosx+sinx)

設(shè)工乂工二t，解得x=2什工，

284

所以f(r)=2cos(2t-^--**^-)==2cos(2r+-^-)=-2sin2r.

所以f(x)=-2sin2x.

所以f《)=2X(-*■)=-?，

0N

故選：D.

【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，函數(shù)的圖象的平移變換和

伸縮變換的應(yīng)用，換元法的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬

于基礎(chǔ)題型.

7.(5分)己知f(x)=/,若函數(shù)y=/(x)-1恰有一個零點，則實數(shù)

f(2-x)+k,x<1

女的取值范圍是()

A.(1,+°°)B.[1,+°°)C.(-8,1)D.(-8,1]

【分析】先畫的圖象單調(diào)遞增，由/(尤)=/(2-x)是關(guān)于x=l對稱可得f(2-x)

的圖象，單調(diào)遞減，而/(2-x)+Z是/(2-x)的圖象上下平行移動得到，要使函數(shù)y

=f(x)-1恰有一個零點，只需將/(2-x)的圖象向上平行移動，可得結(jié)果.

lnx,x》l

【解答】解:由/(x)=

f(2~x)+k,x<1

可得/(x)=/(2-x)為關(guān)于x=l對稱，畫出的圖象，單調(diào)遞增的,

由對稱得/(2-x)的圖象單調(diào)遞減，

而f(2-x)+%是/(2-x)的圖象上下平行移動得到，y=f(x)-1恰有一個零點即是

f(JC)=1的根，

所以可得上》1,

【點評】考查函數(shù)的對稱性及函數(shù)的零點與函數(shù)的交點的關(guān)系，屬于中檔題.

8.(5分)已知直線小h+y=0(髭R)與直線七尸切+2h2=0相交于點4點B是圓

(x+2)2+(y+3)2=2上的動點，則|AB|的最大值為()

A.372B.572C.5+2&D.3+2加

【分析】由/i：依+y=0恒過定點0(0,0),直線2x-妗，+2&-2=0恒過定點C(2,

2)且/I_L/2，可知A在以O(shè)C為直徑的圓力上，要求|48|的最大值，轉(zhuǎn)化為在加上找一

點A,使AB最大，結(jié)合圓的性質(zhì)可求.

【解答】解：因為線入依+y=0恒過定點O(0,0),直線京x-竹+2k-2=0恒過定

點C(2,2)且/I_L/2，

故兩直線的交點A在以O(shè)C為直徑的圓上，且圓的方程。：(x-1)2+(y-1)2=2,

要求|AB|的最大值，轉(zhuǎn)化為在D：(x-1)2+(y-1)2=2上找一點A,在￡：(x+2)2+

(>3)2=2上找一點5,使A8最大，

根據(jù)題意可得兩圓的圓心距4(1+2產(chǎn)+(1+3產(chǎn)=5,

貝iJ|AB|“g=5+2&.

故選：C.

【點評】本題綜合考查了點的軌跡方程的求解及兩圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想

的應(yīng)用.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.（5分）某特長班有男生和女生各10人，統(tǒng)計他們的身高，其數(shù)據(jù)（單位：cm）如下面

的莖葉圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

男生女生

7816134557

35679171123

2318

219

A.女生身高的極差為12

B.男生身高的均值較大

C.女生身高的中位數(shù)為165

D.男生身高的方差較小

【分析】A、根據(jù)極差的公式：極差=最大值-最小值解答;

B、根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的取值范圍判斷均值大小;

C、根據(jù)中位數(shù)的定義求出數(shù)值；

。、根據(jù)兩組數(shù)的據(jù)波動性大??；

【解答】解：A、找出所求數(shù)據(jù)中最大的值173,最小值161,再代入公式求值極差=173

-161=12,故本選項符合題意；

B、男生身高的數(shù)據(jù)在167?192之間，女生身高數(shù)據(jù)在161?173之間，所以男生身高的

均值較大，故本選項符合題意；

C、抽取的10名女生中，身高數(shù)據(jù)從小到大排列后，排在中間的兩個數(shù)為165和167,

所以中位數(shù)是166,故本選項不符合題意；

。、抽取的學(xué)生中，男生身高的數(shù)據(jù)在167?192之間，女生身高數(shù)據(jù)在161?173之間，

男生身高數(shù)據(jù)波動性大，所以方差較大，故本選項不符合題意.

故選：AB.

【點評】本題考查了統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

10.（5分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y=2*（p>0）的焦點為尸，準線為/.設(shè)

/與x軸的交點為K,尸為C上異于O的任意一點，P在/上的射影為E,NEPF的外角

平分線交x軸于點。，過Q作QMLPE于M,過。作QNLPE交線段EP的延長線于點

N,則（）

A.|PE|=|PF|B.\PF]=\QF]C.\PN\=\MF]D.|P/V|=|KF|

【分析】由拋物線的性質(zhì)到焦點的距離等于到準線的距離可得A正確；角平分線性質(zhì)及

平行線的性質(zhì)可得B正確；由平行四邊形的性質(zhì)及直角三角形中邊長的關(guān)系可得D正確；

假設(shè)C正確得到角PFQ為定值，而由題意可得戶為動點，所以C不正確.

【解答】解：由拋物線的性質(zhì)到焦點的距離等于到準線的距離，所以由題意可得|P，1二|PE|,

即A正確；

尸。為NEPF的外角平分線，所以NFPQ=NNPQ,

又EP〃FQ,所以NNPQ=/PQ凡

所以NFPQ=NPQF,所以|P/q=|QQ,所以B正確；

連接EF,由上面可得：PE=PF=QF,PE//FQ,所以四邊形EFQP為平行四邊形，所

以EF=PQ,EF//PQ

所以NEFK=NPQF=/QPM在△EFK中，KF=EF'cosZEFK,

△PQV中，PN=PQ*cosNQPN,

所以FK=PN；所以。正確；

C中，若PN=MF,而PM=PN,所以M是PF的中點，PMLPF,所以尸。=尸。，由上

面可知△PQF為等邊三角形，即NP尸0=60°,而P為拋物線上任意一點，所以NPFQ

不一定為60°,所以C不正確；

【點評】考查拋物線的性質(zhì)及外角平分線的性質(zhì)，和直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中

難題.

11.（5分）在正方體4BCD-A1B1G。］中，N為底面4BCD的中心，P為線段4功上的動

點（不包括兩個端點），M為線段AP的中點，則（）

B.CM>PN

C.平面MAU平面BOQBi

D.過P,4,C三點的正方體的截面一定是等腰梯形

【分析】A.根據(jù)ANCPM共面，因此CM與PN不是異面直線，即可判斷出正誤；

B.由CM/C=QB,PN<A|C=JAA：+（孚即可判斷

出正誤.

C.利用線面垂直的判定定理可得：AN上平面BDD/1，因此平面平面BO5B1，

即可判斷出正誤；

D.過P,A,C三點的正方體的截面與相交于點Q,可得AC〃PQ,KPQ<AC,

可得一定是等腰梯形.

【解答】解：A.「ANCPM共面，因此CM與PN不是異面直線，不正確;

B.?；C7W24C=&AB,PN<A\N=AA：+（乎AAP2=冬4產(chǎn)亭B<揚8,

因此CM>PN,因此正確.

C.,.?AN_LB￡>,AN_LB8i，BOnBBi=8,...AN_L平面8￡>￡>出1，.,.平面B4N_L平面BDD\B\,

因此正確；

D.過P,A,C三點的正方體的截面與Ci5相交于點。，貝IJAC〃PQ,且PQ<AC,因

此一定是等腰梯形，正確.

故選：BCD.

【點評】本題考查了正方體的性質(zhì)、空間位置關(guān)系的判定、簡易邏輯的判定方法，考查

了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

12.（5分）如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的P點的距離是2&“，從P點沿海岸正

東12k〃i處有一個城鎮(zhèn).假設(shè)一個人駕駛的小船的平均速度為3kmlh,步行的速度為5km/h,

時間，（單位：h）表示他從小島到城鎮(zhèn)的時間，x（單位：km）表示此人將船停在海岸處

距P點的距離?設(shè)u=J7Z+x，v=J77-x，則（）

小島

A.函數(shù)u=/（〃）為減函數(shù)

B.15/-w-4v=32

C.當x=1.5時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間最少

D.當x=4時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間不超過3萬

x2+412x

【分析】由題意可知，是減函數(shù)，故選項4正確，又：t=^.+~,0

vuX35

Wx<12,化簡即可得到15f-〃-4i，36,故選項B錯誤，利用導(dǎo)數(shù)可得當x=3時，，（x）

2

最小，且最短時間為斗，故選項C正確，當x=4時，返十&〉3,故選項。錯

1535

誤.

【解答】解：u=VX2+4+X,V=VX2+4-X,,*-UV=（-\/X2+4+X）（VX^+4-X）=4,

AV=A,是減函數(shù)，故選項A正確，

u

由題意可知：±="+412-x,00W12,

r35

??15t=5不x2+4+3（12-x）=5Vx2+4-3x+36=（Vx2+4+x）+（4Vx^+4~4x）+36=

w+4v-36,

A15r-w-4v36,故選項8錯誤,

...VX2+412-X,12,

Z35

.，1、，2x15X-31X2+4

??+Z?X1--------二------------,——,

32Vx2+45157X2+4

令/1'=（）得，x——,

2

當（0,尚）時，，vo，r（x）單調(diào)遞減；當*€,，⑵時，f>0,，（x）單調(diào)遞

增，

.?.當X=3時，f（X）最小，且最短時間為絲人故選項c正確，

215

當x=4時，?=2返目〉3,故選項。錯誤，

35

故選：AC.

【點評】本題主要考查了函數(shù)的實際運用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，是中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）談祥柏先生是我國著名的數(shù)學(xué)科普作家，他寫的《數(shù)學(xué)百草園》、《好玩的數(shù)學(xué)》、

《故事中的數(shù)學(xué)》等書，題材廣泛、妙趣橫生，深受廣大讀者喜愛.下面我們一起來看

《好玩的數(shù)學(xué)》中談老的一篇文章《五分鐘內(nèi)挑出埃及分數(shù)》：文章首先告訴我們，古埃

及人喜歡使用分子為1的分數(shù)（稱為埃及分數(shù)）.如用兩個埃及分數(shù)工與工的和表示2

3155

等.從工，1,1,，這100個埃及分數(shù)中挑出不同的3個，使得它們

234100101

的和為1,這三個分數(shù)是.（按照從大到小的順序排列）

【分析】由工4d=i即可求出答案.

236

【解答】解：???！」」■

236

...這三個分數(shù)是：1,11

23，T

故答案為：1,1,1.

236

【點評】本題主要考查了簡單的合情推理，是基礎(chǔ)題.

14.（5分）在平面直角坐標系X。），中，角a的頂點是O,始邊是x軸的非負半軸，0<a<2m

點P（l+tan工，l-ta哈）是a終邊上一點，則a的值是一年一

【分析】由已知利用任意角的三角函數(shù)定義求得tana的值，由題意可求1-tan2L>0,

12

結(jié)合范圍0<aV如，可得0<a<2L,根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解.

12

【解答】解：?.?點p（l+tan^^，是a終邊上一點，

兀兀兀,兀兀、2

1-tan-y^-C-sin五(cos『in旬

tana=------

71~~K7T-7T冗兀兀

l+tan五C。呃+sin五(cos—+sin—)(cos--sin^-)

JI

冗~

c。百

V0<—<2L,可得tan—<tan—=2Z1,可得1-tan—>1-返>0,

1261263123

又：0<a<2Tt,可得0VaV?L,

12

故答案為：2L.

6

【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查任意角的三角函數(shù)定義，考查了計算能力

和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

15.（5分）已知產(chǎn)為雙曲線C：4-4=1（“>0,*>0）的右焦點，過尸作C的漸近線

「bz

的垂線尸C,。為垂足，且|FDk亨|0F|（。為坐標原點），則c的離心率為2.

【分析】由題意畫出圖形，可得Z=tan60°=如，結(jié)合隱含條件及離心率公式求解.

a

【解答】解：如圖，

F為雙曲線C：—=l（a>0,h>0）的右焦點，F(xiàn)Q與直線y=耳:垂直，垂足為Q,

a2b2a

尸￡>尸率Of],則/。OF=60°,可得.^-=tan60°=/§,

得自一=3,

2

a

【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方

法，是中檔題.

16.（5分）如圖，在三棱錐P-A8C中，PAVAB,PCLBC,ABLBC,A8=2BC=2,PC=V5?

則PA與平面ABC所成角的大小為45°；三棱錐尸-A8C外接球的表面積是，

【分析】先確定三棱錐P-ABC外接球的球心為PB的中點，從而求出三棱錐P-ABC

外接球的表面積，再利用球心0找出南J?平面ABC,從而找出必與平面ABC所成角的

平面角，再利用勾股定理即可求出結(jié)果.

【解答】解：取PB的中點O,AC的中點。，連接2。并延長至點E,使得BD=DE,

連接AE,PE,0D,如圖所示：

和△PCB是同斜邊的直角三角形，.?.三棱錐P-ABC外接球的球心為PB的中

點，

又；PB=7（V5）2+12=V6''三棱錐p'ABC外接球的半徑R=/PB卷，

三棱錐P-ABC外接球的表面積為：47Tx堂）2=6m

'CABA.BC,.,.點。為△ABC的外接圓圓心，0￡>_L平面A8C,

又：點。是BE的中點，點0是PB的中點，...PE，。。，

m平面ABC,

ZPAE為PA與平面ABC所成角的平面角，

?.?在RtZXOBO中，OD=VoB^P=X

：.PE=20D=\,

?.?在Rt△必8中，PA=JpB2AB2=a，

.?.在中，，N?E=45°,

sin乙皿，?卜圾2

故答案為：45°,67r.

【點評】本題主要考查了三棱錐的外接球，以及直線與平面所成夾角，是中檔題.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）在①百（bcosC-a）=csinB；②2"+c=2反osC；③bsinAuV^asirr^^?這三

個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問題.

在△A8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足①,b=2?,a+c=4,

求△ABC的面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【分析】先利用正弦定理邊化角，再結(jié)合兩角和與差的正弦公式，求出B,再利用余弦

定理求出ac,從而求出三角形的面積.

【解答】解：①若在橫線上填寫“JE(bcosC-a)=csinB”，

則由正弦定理，得百(sinBcosC-sinA)=sinCsinE

由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

得~V3cosBsinC=sinCsinE

由OVCVm得sinCNO.

所以~V3cosB=sinB.

又cosBWO(若cosB=0,則sinB=O,sin2B+cos2B=0這與sin2B+cos2B=1矛盾)，

所以tanB二

又0<B<m得

由余弦定理及b=2?,得(2?)2=a2+c2-2accos等，

即12=(〃+°)2-ac.將〃+c=4代入，解得ac=4,

所以SAABC=yacsinB=yX4X^y-=V3：

②若在橫線上填寫“2a+c=2反osC”，

則由正弦定理，得2sinA+sinC=2sinBcosC,

由2sin>4=2sin(B+C)=2sinBcosC+2cosBsinC,得2cosBsinC+sinC=O,

由OVCVTT,得sinCWO,

所以cos3=->l,又BE(0,K),所以

23

由余弦定理及b=2Vs，得(2?)2=a2+c2-2accos與，

0

B|J12=(tz+c)2-ac,將〃+c=4代入，解得ac=4,

所以SAABC=yacsinB=yX4義喙=百；

③若在橫線上填與‘"bsinA=J§asin*券"，

則由正弦定理，得sinBsinA=J§iinAsin312,

又AC(0,n),所以sin/IWO,

所以sinB=V^in2E^_=yco］，

B

co可

又0VB<m所以0<￡<g所以電巧聲0,

所以sin且=返，所以且=工，即BW~，

22233

由余弦定理及b=2?,得(2?)2=a2+c2-2accos與，

即12=(a+c)2-ac.將〃+c=4代入，解得〃c=4,

所以S/kABC=^acsinB=yX4、亨=仃

【點評】本題主要考查了正弦定理和余弦定理，是中檔題.

18.(12分)已知等比數(shù)列｛斯｝滿足0,碘，的一刀成等差數(shù)列，且可的=。4；等差數(shù)列｛4｝

一乂v(n+1)loga4

的前n項和$=----------?9~2M_.求：

n2

(1)卬，bn；

(2)數(shù)列｛a〃瓦｝的前項和Tn.

【分析】(1)設(shè)｛斯｝的公比為q,由等差數(shù)列的中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式可得首項

和公比，進而得到所求；

(2)運用數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和.

【解答】解：⑴設(shè)｛斯｝的公比為夕.

因為。2,。3-〃1成等差數(shù)列，

所以2。2=。1+(〃3一。1)，即2〃2=〃3?

因為42r0，所以q」2=2.

a2

_aA

因為m〃3=〃4，所以a=-----=q=2.

1a3

因此an=a〃nT=2n.

n+1；1Qga

由題意，$J'2n=(n+l)n

n22

所以歷=Si=L"+歷=S2=3,從而歷=2?

所以｛瓦｝的公差d—bi-b\-2-1=1.

所以bn—b\+(n-1)d=\+(〃-1)7=〃.

(2)令Cn=""b",則Cn=n“2n，

因此〃=C1+C2+…+Cn=IX2=2X22+3X23+…+(M-1)?2W''+W2n.

x234nn+1

2Tn=lX2+2X2+3X2+-+(n-l)-2-m-2

兩式相減得-T=2+22+23+---+2n-n,2n<-1~—^--n>2n<-1~2>，+1-2-n*2>,+'—

n1-2

(1-n>2,,+'-2.

所以Tn=(nT)'2nH+Z

【點評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，數(shù)列的錯位相減

法求和，化簡運算能力，屬于中檔題.

19.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，4。=2百，AB=3,AP=M，AD//BC,AD

J_平面以B,NAPB=90°,點E滿足稀得而號說.

(1)證明：PELDC；

(2)求二面角A-PD-E的余弦值.

【分析】（1）根據(jù)邊角關(guān)系，結(jié)合而=1?冠,而，求出PEA.AB,得到PEL平面ABCD,

所以PELDC；

（2）建立空間直角坐標系，求出平面PZ）E的法向量為7,平面AP。的法向量為】利

用向量的夾角公式，求出即可.

【解答】（1）證明：在Rt△以B中，

由勾股定理，得FB=C蹲后三亞匚立云^=返.

因為PE卷證,而，AB=PB-PA>

所以PE-AB=(-1-PA-?jPB)?(PB-PA)=-jPA^PB^PA-PB=

4X(F)24X函)24x0=0，

000

所以說1版，

因為A￡>_L平面布8,PEu平面布B,

所以PEA.AD,

又因為PE_LAB,ABPiAD=A,

所以PE_L平面ABCD,

又因為￡>Cu平面ABCD,

所以PELDC；

WEB=2AE.

所以點E是靠近點4的線段AB的三等分點.

所以AE[AB=I-

o

分別以標，標i所在方向為），軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-QZ.

則A(0,0,0),D(o,0,2V§),E(0,I,0),P(V2>1>0)，

設(shè)平面PCE的法向量為IT=(m〃，c),而=(加,0,Q),而=(0,-1,2?)

由?%=。，得［收=0

,m-ED=0l-b+2近c=0

令c=L則2(0,-26,1)，

設(shè)平面APO的法向量為n=(x，?z),7p=(V2-1，0)'AD=(O,0,班)，

由0號。,得iL，

,n-AD=012yz=0

令x=l，則浸(1,-近，0)，

設(shè)向量夾角為。，

則cos8=丁咒=_/=_2V^.

Im|?|n|7(2V3)2+12x4F+(-&)213

所以二面角A-PD-E的余弦值為2迤.

13

【點評】考查直線和平面的垂直的判斷定理和性質(zhì)的應(yīng)用，考查向量法求二面角的余弦

值，考查運算能力，中檔題.

20.(12分)2017年11月河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國城市”，吸引了大批投資

商的目光，一些投資商積極準備投入到“魅力城市”的建設(shè)之中.某投資公司準備在2018

年年初將四百萬元投資到三門峽下列兩個項目中的一個之中.

項目一：天坑院是黃土高原地域獨具特色的民居形式，是人類“穴居”發(fā)展史演變的實

物見證.現(xiàn)準備投資建設(shè)20個天坑院，每個天坑院投資0.2百萬元，假設(shè)每個天坑院是

否盈利是相互獨立的，據(jù)市場調(diào)研，到2020年底每個天坑院盈利的概率為p(0<pVl),

若盈利則盈利投資額的40%,否則盈利額為0.

項目二：天鵝湖國家濕地公園是一處融生態(tài)、文化和人文地理于一體的自然山水景區(qū).據(jù)

市場調(diào)研，投資到該項目上，到2020年底可能盈利投資額的50%,也可能虧損投資額的

30%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為p和1-p.

(1)若投資項目一，記Xi為盈利的天坑院的個數(shù)，求E(X|)(用p表示)；

(2)若投資項目二，記投資項目二的盈利為X2百萬元，求E(X2)(用p表示)；

(3)在(1)(2)兩個條件下，針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個項目，

并說明理由.

【分析】(1)由題意Xi?B(20,p),由此能求出盈利的天坑院數(shù)的均值.

(2)若投資項目二，求出X2的分布列，由此能求出盈利的均值E(X2).

(3)若盈利，則每個天坑院盈利0.2X40