樣本相關(guān)系數(shù)課件

第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.1.2樣本相關(guān)系數(shù)李思

這兩組成對變量都是線性正相關(guān)，你能判斷哪一組的線性相關(guān)性更強(qiáng)嗎？通過散點(diǎn)圖可以推斷兩個變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)、是線性相關(guān)是非線性相關(guān)，但這些推斷是定性的推斷.從定量的角度刻畫成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度，進(jìn)而推斷兩個變量的線性相關(guān)程度。樣本相關(guān)數(shù)r根據(jù)散點(diǎn)圖特征，初步構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：年齡/歲脂肪含量/%中心化成對樣本數(shù)據(jù)：將數(shù)據(jù)以

為零點(diǎn)進(jìn)行平移，得到平移后的數(shù)據(jù)為：

通過繪圖分析可得，如果變量x和y正相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點(diǎn)將分布在第一象限、第三象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)同號的居多，如圖(1)所示；

如果變量x和y負(fù)相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點(diǎn)將分布在第二象限、第四象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)異號的居多，如圖(2)所示.利用散點(diǎn)

的橫縱坐標(biāo)是否同號，可以構(gòu)造一個量：一般情形下，

表明成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；

表明成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．

問題：你認(rèn)為

的大小一定能度量出成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎？在研究體重與身高之間的相關(guān)程度時，如果體重的單位不變，把身高單位由米改為厘米，單位的改變不會改變體重與身高之間的相關(guān)程度。為了消除單位的影響，進(jìn)一步做“標(biāo)準(zhǔn)化”處理：為簡單起見,把上述“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對數(shù)據(jù)分別記為：仿照Lxy的構(gòu)造,可以得到樣本相關(guān)系數(shù)：樣本相關(guān)系數(shù)r是一個描述成對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它反映了兩個隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度.r的符號反映了相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性.|r|的大小反映了兩個變量線性相關(guān)的程度，即散點(diǎn)集中于一條直線的程度.我們稱r為變量x和變量y的樣本線性相關(guān)系數(shù)，簡稱樣本相關(guān)系數(shù).當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．

樣本相關(guān)系數(shù)r是一個描述成對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負(fù)和絕對值的大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征.樣本相關(guān)系數(shù)r的正負(fù)能反映出成對變量的什么關(guān)系？標(biāo)準(zhǔn)化處理后的成對樣本數(shù)據(jù):設(shè)其第一分量為設(shè)其第二分量為

新知探究

樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍:樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1,1]相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：①當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).②|r|≤1；③當(dāng)|r|越接近1時，成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時，成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱；特別地，當(dāng)|r|＝0時，成對數(shù)據(jù)的沒有線性相關(guān)關(guān)系；當(dāng)|r|＝1時，成對數(shù)據(jù)都落在一條直線上.注意：若0.75≤|r|≤1，則認(rèn)為y與x的線性相關(guān)程度很強(qiáng)；

若0.3≤|r|<0.75，則認(rèn)為y與x的線性相關(guān)程度一般；若|r|≤0.25，則認(rèn)為y與x的線性相關(guān)程度較弱)圖(1)中成對樣本數(shù)據(jù)的正線性相關(guān)程度很強(qiáng).圖(2)中成對樣本數(shù)據(jù)的負(fù)線性相關(guān)程度比較強(qiáng).圖(3)中對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度很弱.圖(4)中成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度極弱.練習(xí)1判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系，可能是伴隨關(guān)系．(

)(2)散點(diǎn)圖越接近某一條直線，線性相關(guān)程度越強(qiáng)，樣本相關(guān)系數(shù)越大．()(3)散點(diǎn)圖可以直觀地分析出兩個變量是否具有相關(guān)性．(

)(4)若變量x，y滿足函數(shù)關(guān)系，則這兩個變量線性相關(guān)．(

)×√×√練習(xí)2已知求得甲、乙、丙3組不同的數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為0.81，－0.98，0.63，其中________(填甲、乙或丙)組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度最強(qiáng)．乙

例1根據(jù)表8.1-1中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個變量是否線性相關(guān)，計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)，并推斷它們的相關(guān)程度.解:由樣本數(shù)據(jù)可得由此可以推斷脂肪含量和年齡這兩個變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng).編號1234567891011121314年齡/歲2327394145495053545657586061脂肪含量/％9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6

變式1

在一次試驗(yàn)中，測得(x,y)的4組值分別為(1,2),(2,0),(4,－4),(－1,6),則y與x的樣本相關(guān)系數(shù)為(

)A．1 B．－2C．0 D．－1√解：由樣本數(shù)據(jù)可得√變式3

兩個變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)r1＝0.7859，兩個變量u，v的樣本相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568，則下列判斷正確的是(

)CA.變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)B.變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)C.變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)D.變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)解析由樣本相關(guān)系數(shù)r1＝0.7859>0知x與y正相關(guān)，由樣本相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568<0知u，v負(fù)相關(guān).又|r1|<|r2|，∴變量u與v的線性相關(guān)性比x與y的線性相關(guān)性強(qiáng).

例3.在某校高一年級中隨機(jī)抽取25名男生，測得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù)，如表所示.體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性？解：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出體重與身高、臂展與身高的散點(diǎn)圖，分別如圖(1)和(2)所示，兩個散點(diǎn)圖都呈現(xiàn)出線性相關(guān)的特征.

題型一：相關(guān)系數(shù)的計(jì)算

21232527293235711212466115325

21232527293235711212466115325

課本103頁1.已知變量x和變量y的3對隨機(jī)觀測數(shù)據(jù)(2,2),(3,－1),(5,－7)，計(jì)算成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù).能據(jù)此推斷這兩個變量線性相關(guān)嗎?為什么?解：由樣本數(shù)據(jù)可得雖然樣本相關(guān)系數(shù)為－1，三個樣本點(diǎn)在一條直線上，但是由于樣本量太小，據(jù)此推斷兩個變量完全線性相關(guān)并不可靠.例2

假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x(單位：年)與所支出的維修費(fèi)用y(單位：萬元)有如下統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.23.85.56.57.0所以y與x之間具有正相關(guān)關(guān)系.

練習(xí)2.隨機(jī)抽取7家超市，得到其廣告支出與銷售額數(shù)據(jù)如下:解：由樣本數(shù)據(jù)可得正線性相關(guān)，相關(guān)性較強(qiáng)，銷售額與廣告支出的變化趨勢相同.超市ABCDEFG廣告支出/萬元1246101420銷售額/萬元19324440525354請推斷超市的銷售額與廣告支出之間的相關(guān)關(guān)系的類型、相關(guān)程度和變化趨勢的特征.課堂小結(jié)：1.樣本相關(guān)系數(shù)：2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：①當(dāng)r>0時，稱成對