湖南省長(zhǎng)沙市雅禮教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

雅禮教育集團(tuán)2023年下學(xué)期期末考試試卷高一數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘分值：150分命題人：易蘭桂審題人：張?chǎng)獭⑴盱湟?、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集的定義運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：C.2.函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分式和偶次根式有意義的基本要求可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】由題意得：得：且，定義域?yàn)?故選：C.3.將化為的形式是（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接由終邊相同的角的概念求解即可.【詳解】由知.故選：B.4.十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號(hào)使用，后來英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若，則下列命題正確的是（）A.若且，則 B.若，則C.若，則 D.若且，則【答案】B【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)，結(jié)合特殊值法，即可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】A中，有，錯(cuò)誤；B中，時(shí)，成立，正確；C中，時(shí)，，錯(cuò)誤；D中，由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；故選：B5.函數(shù)①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個(gè)數(shù)：，，，中的一個(gè)，則a，b，c，d的值分別是（）A.，，， B.，，，C.，，，， D.，，，，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象判斷底數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】由題圖，直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)從上到下依次為c，d，a，b，而.故選：C．6.若角，均為銳角，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式及差角的正弦公式計(jì)算作答.【詳解】角，均為銳角，即，而，則，又，則，所以，.故選：B7.將函數(shù)和直線的所有交點(diǎn)從左到右依次記為A1，A2，A3，…，An，若P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】在同一坐標(biāo)系中作出和g(x)=x﹣1的圖象，所有交點(diǎn)從左到右依次記為A1，A2，A3，A4，A5根據(jù)為的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，得到關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，再用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到求解.【詳解】由題意作出圖象如圖，共得5個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)余弦函數(shù)的中心對(duì)稱性可知，和，和關(guān)于對(duì)稱，，，∴.故選：A.8.定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，且，都有成立，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性的定義可判斷得在上單調(diào)遞增，再將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為，利用的單調(diào)性即可求解.【詳解】令，因?yàn)閷?duì)，且，都有成立，不妨設(shè)，則，故，則，即，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，故可化為，所以由的單調(diào)性可得，即不等式的解集為.故選：D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的值可能是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】BCD【解析】【分析】由必要條件、充分條件的定義即可得出結(jié)果．【詳解】∵－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要條件，∴{x|－1＜x＜4}{x|－3＜x＜a}，∴a≥4，∴實(shí)數(shù)a的值可以是4，5，6．故選：BCD．10.若，，，，則下列各式中，恒等的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、換底公式逐一判斷得解.【詳解】因?yàn)?，，，，?duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：BD11.下列說法正確的是（）A.向量與共線是A，B，C，D四點(diǎn)共線的必要不充分條件B.若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得C.已知，則與的夾角為銳角的充要條件是D.在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，若，則是在上的投影向量【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量共線和必要不充分條件定義可判斷A；根據(jù)向量共線的充要條件可判斷B；根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷C；由平面向量加法和的平分線表示的向量平行的向量可得為的平分線，又因?yàn)闉榈闹芯€可判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：A，B，C，D四點(diǎn)共線向量與共線，反之不成立，所以A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，不存在實(shí)數(shù)使得，當(dāng)，時(shí)，存在無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)使得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：因?yàn)椋?，所以，則與的夾角為銳角的充要條件是且與不同向共線，即，且，解得，則實(shí)數(shù)取值范圍是，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：由平面向量加法可知：為“與的平分線表示的向量平行的向量”因?yàn)?，所以為的平分線，又因?yàn)闉榈闹芯€，所以，所以是在的投影向量，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12.函數(shù)的圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最大值為3 B.函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)的最小正周期為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象求出函數(shù)，進(jìn)而求出，再借助余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】觀察圖象知，，函數(shù)的周期有，，即，則，顯然，則，即，因此，，函數(shù)的最大值為3，A正確；，B錯(cuò)誤；，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；函數(shù)的最小正周期為，D正確.故選：AD三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分13.命題“，”否定是_________.【答案】，.【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用全稱量詞命題的否定寫出結(jié)論即得.【詳解】命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“，”否定是：，.故答案為：，.14.若是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】.【解析】【分析】分段函數(shù)單調(diào)遞減，則每一段均為遞減函數(shù)，且在分段處，左邊的函數(shù)值大于等于右邊的函數(shù)值，從而得到不等式組，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意得：，解得：，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.15.把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半(縱坐標(biāo)不變)，然后把圖象向左平移個(gè)單位，則所得圖形對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為__________.【答案】【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換求解.【詳解】將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半，可得的圖象，再向左平移個(gè)單位，所得圖象的解析式為，即.故答案為：16.若，則__________.【答案】或【解析】【分析】利用齊次式法列式，求解方程即得.【詳解】由，得，即，整理得，所以或.故答案為：或四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求與；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）把代入求出集合，再利用交集、并集的定義求解即得.（2）利用給定交集的結(jié)果，結(jié)合集合的包含關(guān)系列式求解即得.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，而，所以，.【小問2詳解】由，得，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)的最大值與最小值．【答案】（1），（2）最大值，最小值2，【解析】【分析】（1）根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)，利用整體換元法即可求解增區(qū)間，（2）由二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，由整體法即可求解最值.【小問1詳解】由于,故，解得，,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取最小值2，當(dāng)時(shí)，取最大值.19.已知函數(shù)（）是奇函數(shù),是偶函數(shù).（1）求;（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并說明理由;（3）若函數(shù)滿足不等式,求出的范圍.【答案】（1）3;（2）單調(diào)遞增,理由見解析;（3）.【解析】【分析】(1)根據(jù)奇偶性的定義將點(diǎn)代入求出即可;(2)先判斷單調(diào)性,再用單調(diào)性定義證明,注意變形時(shí)需要變到幾個(gè)因式乘積;(3)根據(jù)的奇偶性,將不等式化為,再根據(jù)的單調(diào)性及定義域?qū)懗龇秶獬黾纯?【小問1詳解】解:由題知（）是奇函數(shù),,是偶函數(shù),,,,故;【小問2詳解】在上的單調(diào)遞增,理由如下:由(1)知,任取,,,,故在上的單調(diào)遞增;【小問3詳解】由(1)(2)知是奇函數(shù)且在上的單調(diào)遞增,,,,故.20.某科技企業(yè)決定開發(fā)生產(chǎn)一款大型電子設(shè)備，生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為500萬元，每生產(chǎn)x臺(tái)需要另投入成本（萬元），當(dāng)年產(chǎn)量不足80臺(tái)時(shí)，，當(dāng)年產(chǎn)量不小于80臺(tái)時(shí)，，若每臺(tái)設(shè)備售價(jià)為100萬元，通過市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售完.（1）求年利潤(rùn)y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一電子設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？并求出這個(gè)最大利潤(rùn).【答案】20.；21.90臺(tái)，1500萬元.【解析】【分析】（1）考慮和兩種情況，根據(jù)計(jì)算得到答案.（2）利用二次函數(shù)性質(zhì)和均值不等式依次計(jì)算分段函數(shù)的最值，比較得到答案.【小問1詳解】當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，所以年利潤(rùn)y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式是.【小問2詳解】當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，最大值為；當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，而，所以當(dāng)時(shí)，有最大值為.21.已知向量，，函數(shù)，.（1）若的最小值為1，求實(shí)數(shù)的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)，有四個(gè)不同的零點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）利用向量數(shù)量積的公式化簡(jiǎn)函數(shù)即可．

（2）求出函數(shù)的表達(dá)式，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行討論求解即可．

（3）由=0得到方程的根，利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

試題解析：（1）∵，，∴，∵∴，，令，∴∵，對(duì)稱軸為，①當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴舍，②當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴，③當(dāng)即是，當(dāng)時(shí)，∴舍，綜上，.（2）令，即，∴或，∵，有四個(gè)不同的零點(diǎn)，∴方程和在上共有四個(gè)不同的實(shí)根，∴∴∴.22.已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求整數(shù)k的值；（3）設(shè)，若對(duì)于任意，都有，求m的取值范圍.【答案】（1）；（2）的取值為2或3；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，求得的值，即可求解；（2）由（1）可得，得到，設(shè)，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有零點(diǎn)，列出不等式組，即可求解；（3）求得的最大值，得出，得到，設(shè)，結(jié)合單調(diào)性和最值，即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的圖像過點(diǎn)，所以，解得，所以函數(shù)的解析式為.（2）由（1）可知，，