2022-2023學(xué)年云南省大理州高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年云南省大理州高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.設(shè)集合4={久|1<x<2},8={x\x>a],若4UB,貝必的范圍是()

A.a>2B.a<1C.a>1D.a<2

2.下列刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的是（）

A.平均數(shù)B.方差C.中位數(shù)D.眾數(shù)

3.若/'(%)=(%+a+1)(%2+a-1)為奇函數(shù)，則a=()

A.1或一1B.1C.0D.—1

4.若復(fù)數(shù)z滿足z<2+i）=l,則關(guān)于復(fù)數(shù)z的說法正確的是（）

A.復(fù)數(shù)z的實部為|B.復(fù)數(shù)z的虛部為專

C.復(fù)數(shù)z的模長為考D.復(fù)數(shù)z對應(yīng)的復(fù)平面上的點在第一象限

5.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有85%的學(xué)生喜歡足球或游泳，70%的學(xué)生喜歡

足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比

例是（）

A.15%B.63%C.67%D.70%

6.某校高一年級900名學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績分布直方圖如圖所示，則該校高一年級學(xué)生數(shù)學(xué)

成績的平均值為（）

A.121.2B.120.4C.119D.115

7.將函數(shù)/（x）=yT^sin2x+cos2x向右平移<p（w>0）個單位長度后得到一個關(guān)于x="對

稱的函數(shù)，則實數(shù)9的最小值為（）

A57r「57r

A-T2B舄CTD3

8.如圖，已知正方形4BCD的邊長為2,E,F分別是4B,40的中點，GC_L平面ABCD,且GC2,

則8E與平面EFG所成角的正弦值為()

A.%B.殍C.rD.罕

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知向量記+2記=(4,1),m—n=(1,—2),則下列結(jié)論正確的是()

A.\m\=V_2B.|n|=y/~~2C.(m—n)1mD.m-n=1

10.若P(4)=aP(B)=g,則()

A.P(B)=]B.P(AB)C.P(A+B)<|D.P(4+B)=竟

11.下列說法錯誤的是()

A.若角a=Irad,則角a為第二象限角

B.將表的分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是90°

C.若角a為第一象限角，則角/也是第一象限角

D.在區(qū)間(一3)內(nèi)，函數(shù)y==si九x的圖象有1個交點

12.下列選項中，正確的有（）

,fl2022

A.log23>log34B.20220233=2O23

C.2'g2+2'舊<2y/~2D.，n3+白>2ln2+區(qū)

Zn3ln2

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知cosa=那么cos2a=.

14.某校為了解高一年級學(xué)生的每周平均運動時間(單位：小時)，采用樣本量比例分配的分

層隨機(jī)抽樣調(diào)查，所得樣本數(shù)據(jù)如下：

性別抽樣人數(shù)樣本平均數(shù)

男2012

女3010

則總樣本平均數(shù)是.

15.已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在同一個球面上，底面4BC滿足84=BC=AC=C，

尸41平面4BC,PA=2,則其外接球的半徑為.

16.在4力BC中，。為其外心，2函+2南+元=6,若BC=2,則cos"OB=.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

如圖，角。的頂點與平面直角坐標(biāo)系xOy的原點重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單

位圓交于點p,若點P的坐標(biāo)為（一，%）（其中y。＞o）.

⑴求sin。的值;

（2）若將0P繞原點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。，得到角a,求tcma的值.

18.（本小題12.0分）

如圖，多面體4BCDEF中，四邊形ABCD為矩形，DE"CF,CD1DE.求證:

（1）平面BCF〃平面4DE；

（2）平面/WE，平面CDEF.

A

19.(本小題12.0分)

一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有3個交通崗，假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的

事件是相互獨立的，并且概率都是自求：

(1)這名學(xué)生在上學(xué)途中只遇到1次紅燈的概率；

(2)這名學(xué)生在上學(xué)途中至少遇到了2個紅燈的概率.

20.(本小題12.0分)

已知銳角△4BC的內(nèi)角所對的邊分別為a,b,c,且a=3,b=口1若asM2B=bsinA.

⑴求B；

(2)若點0滿足前=；瓦？+|比，求BD的長.

21.(本小題12.0分)

如圖，長方體4BCD-AiBiGDi中，44i=l,AD=2,AB=4,點E是棱力B上一點.

(1)當(dāng)點E在4B上移動時，三棱錐D-DiCE的體積是否變化？若變化，說明理由；若不變，求

這個三棱錐的體積；

(2)當(dāng)點E移動到48中點時，求直線與4。成角的余弦值.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/為正常數(shù))，且/

'(x)=log2x+t(t'(t)=3.

(1)求/(x)的解析式；

⑵若函數(shù)刎=找2'鼠:社的值域為R求實數(shù)。的取值范圍?

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，AQB,

而4={幻1<x<2},-1---------1----------------------------

-10123

在數(shù)軸上表示可得，必有aSl,

故選：B.

根據(jù)題意，AQB,在數(shù)軸上表示集合4,分析a的值，可得答案.

本題考查集合間的包含關(guān)系的運用，難點在于端點的分析，有時需要借助數(shù)軸來分析，屬于基礎(chǔ)

題.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

利用平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)的定義直接求解.

本題考查平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)的定義的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要熟練掌握基本概念.

【解答】

解：在4中，平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，它不能刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度，故A不正確；

在B中，方差是衡量隨機(jī)變量或一組數(shù)據(jù)時離散程度的度量，它能刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度，故8

正確；

在C中，中數(shù)是按順序排列在一起的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)，它不能刻畫一組數(shù)據(jù)離散程

度，故C不正確；

在。中，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，它不能刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度，故。不正確.

故選：B.

3.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，而/(x)=x3+(a-l)x+(a+l)x2+(a2-1),則/'(-%)=-x3-(a-

l)x+(a+l)x2+(a2—1),

若/(x)=(x+a+1)(42+a-1)為奇函數(shù),則f(-x)=-/(x).

即％3+(a—1)%+(a+l)x2+(a2—1)=-x34-(a—l)x+(a+l)x2+(a2—1),

則有分析可得a=—l.

W—1=0

故選：D.

根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義可得關(guān)于a與x的恒等式，分析可得答案.

必然考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和定義，涉及函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：因為z-(2+i)=l,所以2=義=湍痣=卜一9,

所以復(fù)數(shù)z的實部為"虛部為故A正確，8錯誤；

|z|=J(|)2+(-1)2=?，故C錯誤；

復(fù)數(shù)z對應(yīng)的復(fù)平面上的點為(|,-》，位于第四象限，故。錯誤.

故選：A.

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、幾何意義及模的計算公式計算可得.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：由題意可得如下所示韋恩圖:

所求比例為：70%+82%-85%=67%.

故選：C.

根據(jù)韋恩圖中集合的關(guān)系運算即可.

本題考查了韋恩圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：由頻率分布直方圖可得平均數(shù)為95x0.005X10+105x0.018x10+115x0.030x

10+125x0.022x10+135x0.015x10+145x0.010x10=120.4.

故選：B.

根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可求解.

本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：因為/(x)=V~^sin2x+cos2x=2(fsin2x+tcos2x)=2sin(2支+臺，

故將函數(shù)f(x)=2s譏(2x+斜向右平移9(*>0)個單位長度，

即可得到函數(shù)y=2s譏［2(x-w)+g=2s譏(2x+9一2卬)的圖象.

由函數(shù)y=2sin(2x+3-2(p)關(guān)于x="對稱，

所以2x^+92s=/OT+5(keZ),所以w=一白一等,k€Z,

又w>0,所以仍nin=等

故選：A.

利用兩角和的正弦公式化簡/'(X),再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到平移后的解析式，根據(jù)正弦函

數(shù)的對稱性求出勿的取值，即可得解.

本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)y=Asin(3x+0)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：如圖，連接BD、AC,且EF、BD分別交4c于

???四邊形力BCD是正方形，E、F分別為48和4)的中點，

-故EF〃BD,“為4。的中點，???EFu平面EFG,B。C平面,

AEB

EFG,

???BD〃平面EFG,二BO到平面EFG的距離就是點B到平面EFG的距離.

???BDLAC,EF//BD,EFLAC,即EF_LHC,：GC_L平面ABC。，

EFu平面ABC。，???EFLGC,-：HC^GC=C,EF1,?:HCCGC=C,HC,GCu平面HCG,

EF1平面HCG,vEFu平面EFG,.?.平面EFG1平面HCG,

作OKJL交HG于點K,「OKu平面HCG,平面EFGn平面HCG=HG,

???OK，平面EFG,.?.線段。K的長就是點B到平面EFG的距離.

,J正方形4BCZ)的邊長為2,GC=2,AC=2V2,HO——HC=—y—-

???GC_L平面ABCO,HCu平面4BCO,GCLHC,

.?.在Rt^HCG中，HG=VHC2+CG2=^RtHKO-RtHCG,

右OKHOHOGC2，T7

有出=而’得°K=B=T'

V0GBD,B?！ㄆ矫鍱FG,OK的長即為點B到平面EFG的距離，

空=察，即BE與平面EFG成角的正弦值為富.

BE1717

故選：D.

連接BD、AC,5.EF,BO分別交AC于H、0,證明BD〃平面EFG,再利用面面垂直的判定得平面

EFG1平面HCG,再作出。K1HG,利用面面垂直的性質(zhì)有。K1平面EFG,最后根據(jù)線面角的定

義計算相關(guān)長度即可.

本題主要考查直線與平面所成角的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：因為向量沆+2記=(4,1),zn-n=(1,-2),則元=：［(記+2元)一(記-初=(1,1),

m=(m-n)+n=(2,—1),

因此|方|=J2?+(—1)2=|元|=A//+12=A錯誤，B正確；

由(沆一元)?記=1x2+(—2)x(—1)=4。0,知C錯誤：jn-n=2xl+lx(-1)=1,。正

確.

故選：BD.

利用線性運算的坐標(biāo)表示，求出沆，記的坐標(biāo)，再逐項分析判斷作答.

本題主要考查平面向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解：因為P(4)=；,P(B)=g所以P(5)=l-P(B)=1-2=|,故A正確；

由于無法確定4、B是否相互獨立，故無法確定P(AB)的值，但是P(AB)20,故8錯誤;

又P(A+B)=P(A)+P(B)-PG4B)=?-P(AB)W?,故C正確，。錯誤.

OO

故選：AC.

根據(jù)對立事件的概率公式判斷4由于無法確定4、B是否相互獨立及P(A+B)=PQ4)+P(B)-

P(4B),即可判斷B、C、D.

本題主要考查對立事件、和事件的公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABC

【解析】解：對于人因為0<lrad<》所以角a為第一象限角，故A錯誤；

對于B：將表的分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是-90。，故B錯誤；

對于C：若a=-300。為第一象限角，則5=一100°位于第三象限，故C錯誤；

對于D：在(0,弓)內(nèi)，令tanx=sinx,即出竺=sinx,顯然sinx>0,

2cosx

所以cosx=1,貝ijx=2k?r,k&Z,即tanx=sinx無解，

又y=tanx與y-sinx均為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，

所以在(-^,0)內(nèi)，方程tcmx=sinx也無解，

又tcmO=sinO=O,所以在區(qū)間(一u)內(nèi)，函數(shù)y=1由％與、=sinx的圖象有1個交點(0,0),故

。正確.

故選：ABC.

根據(jù)象限角的概念判斷力，根據(jù)任意角的定義判斷B,利用特例判斷C,根據(jù)正弦、正切函數(shù)的性

質(zhì)判斷D.

本題以命題的真假為載體考查了弧度制、象限角的概念、三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)等知識點，是基

礎(chǔ)題.

12.【答案】AD

【解析】解：對于4：由logz3>logzZN=；log332>Qg34，所以logz3>log3%故A正確；

對于B：令〃=20220233,則均〃=92022妒233=2g2233x02022,令A(yù)=2023^2022,則均4=

Q202342。22=仞2022X匈2023,

所以國〃>配九所以〃>九故B錯誤；

對于C：2句2+2句5>2yl21g2X2e5=2yl21g2+igs=2，21g已英=2V-2，所以2叱+2lgS>

2\/"2?故C錯誤；

對于D：因為函數(shù)y=%+:在（0,2］上為減函數(shù)，又仇3<）4,

44c447

所以m3+>仇4+廠2=》24--~~2=2/n2+-----=2ln2+-j—r,故。正確.

ln3》4仇2/2Zn2ln2

故選：AD.

3Q3

由log23>log222=-=log332>log34易得A正確；令〃=2022①2233,則句〃=，g2022①2233=

02233x02022,=2023^2022,則0;I=0202302°22=02022X02023,可判斷8；由

202+2的5>2W麗又再計算可判斷C；函數(shù)y=x+：在（0,2］上為減函數(shù)，又仇3〈》4,所以

"3+白>》4+言，化簡可判斷。.

ln3Zn4

本題考查對數(shù)的運算與函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題.

13.【答案】Y

【解析】解：因為cosa=|,

則cos2a=2cos2a—l=2x^-l=-

故答案為：-g.

由已知結(jié)合二倍角公式即可直接求解.

本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】10.8

【解析】解：依題意，總樣本平均數(shù)是汽需型=10.8.

故答案為：10.8.

根據(jù)給定條件，利用平均數(shù)公式計算作答.

本題考查了平均數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題.

15.（答案】V~~2

【解析】解：設(shè)H為底面正△ABC的中心，取P4中點M,

過點H作OH〃PA,S.OH=^PA,連接OM,OA,

由于PA_L平面力BC,所以。H1平面4BC,故OA=OB=OC,

由于OH=AM,OH//AM,所以四邊形MO/M為正方形，

故OP=VOM2+PM2=VAH2+OH2=OA,因此04=OB=OC=

OP,

因此。為外接球的球心，

如圖，設(shè)外接球的半徑為R,由題可知4H=<*號=1,

2sinbO

則04=R=VOH2+AH2=。，

故答案為：<7.

根據(jù)PA_L平面4BC,底面為等邊三角形，可知球心的位置，利用勾股定理即可求解.

本題考查三棱錐的外接球問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

16.【答案】一）

4

【解析】解：由2萬？+2而+沅=6可得一2瓦？=2萬+靈，

平方可得4戒=40B^+0C2+4OB-0C'

由于。為△ABC外心，

所以=\OB\=\OC\=r<

所以4r2=4r2+r2+4r-rcos/-BOC=cos乙BOC=-7.

4

故答案為：—p

根據(jù)向量的模長公式，結(jié)合外心的性質(zhì)即可求解.

本題考查了平面向量的運算，重點考查了平面向量基本定理，屬基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：（1）依題意，由三角函數(shù)定義得cos。=一%且。為第二象限的角,

故sinS>0,

o

所以sind=V1r1-cos20=

⑵由⑴可知，￡即。=鬻=-弓，而a=0+45。,

tan6+tan4501

所以tana=tan(04-45°)

1—tan0-tan4507

【解析】(1)由三角函數(shù)定義求得COS。，再由平方關(guān)系求得S譏。作答.

(2)根據(jù)給定條件得a=0+45。，利用兩角和的正切公式求解作答.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)定義，兩角和的正切公式，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】證明：(1)因為四邊形4BCD為矩形，所以BC〃4D,

又因為BC仁平面ADE,ADu平面4DE,所以BC//平面4DE,

y.DE//CF,CFC平面4OE,DEu平面4DE,所以CF〃平面40E,

因為BCClCF=C,BC,CFu平面BCF,

所以平面BCF〃平面ZDE；

(2)因為四邊形ABCC為矩形，所以CCL4),又CDIDE,

ADCDE=D,AD,DEu平面力DE,

所以CD1平面4DE,

又CDu平面CDEF,所以平面4DE1平面CDEF.

【解析】(1)首先由矩形的性質(zhì)得到BC〃4D,從而證明BC〃平面4DE,再證CF〃平面力DE即可;

(2)依題意可得CDJL4D,即可得到CDJ■平面4DE,從而得證.

本題主要考查了面面平行和面面垂直的判定，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)設(shè)事件4為這名學(xué)生在上學(xué)途中只遇到1次紅燈，

則P“)=瑪(1(1-，=3X,X會急,

故這名學(xué)生在上學(xué)途中只遇到1次紅燈的概率為部；

(2)設(shè)事件B為這名學(xué)生在上學(xué)途中至少遇到了2個紅燈，

則這名學(xué)生在上學(xué)途中只遇到了2個紅燈的概率為A=或($2.(1一$=3x^x|=需,

這名學(xué)生在上學(xué)途中遇到了3個紅燈的概率為P2=然(|)3=4，

所以P(8)=A+02=哉+言=總，

故這名學(xué)生在上學(xué)途中至少遇到了2個紅燈的概率為黑.

【解析】(1)根據(jù)題意，由相互獨立事件的概率計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，這名學(xué)生在上學(xué)途中至少遇到了2個紅燈包括兩種情況，分別計算其概率，然后相

加，即可得到結(jié)果.

本題主要考查了獨立事件的概率乘法公式，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由asin2B=加譏4及正弦定理，得2s譏AsinBcosB=sinBsinA,

因為4Be(0,3,所以sE4>0,sinB>0,

所以cosB=g,即B=^.

(2)由(1)及余弦定理爐=a2+c2-2accosB,得13=9+c2—3c,即c?—3c—4=0.

而c>0,解得c=4,

又前=河+河，

所以|前|二gJ(BA+ZBCy=|J\BA\2+4\BC\2+4BA-BC

16+4x9+4x4x3=

3y23

【解析】(1)利用正弦定理邊化角，并結(jié)合二倍角公式化簡運算，得解；

(2)結(jié)合(1)中所得與余弦定理求出c,再利用平面向量數(shù)量積的運算法則，求解即可.

本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，平面向量數(shù)量積的運算法則是解題的關(guān)鍵,

考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

21.【答案】解:(1)三棱錐。一的體積不變，

vSMCE=gxAD=gx4x2=4,DDr=1.

114

^D-DACE=%1-OCE=XS>DCE=§x4xl=§;

(2)當(dāng)點￡移動到48中點時，設(shè)54rMiD=M,取AE的中點N,連接M