第四章 圓和扇形（壓軸題專練）（解析版）

第四章圓和扇形（壓軸題專練）壓軸題1組合圖形的周長問題例題1如圖，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，若點D是AB的中點，分別以點A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC于點E，交BC于點F，則圖中陰影部分的周長是．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理首先求出AB，由于D是AB中點,因此就可以得到圓的半徑AD，從而計算得到CE、CF,在△ABC中，AC＝BC＝4,可得∠A＝∠B＝45°，利用圓弧的計算公式，計算的值．【詳解】解：∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝4，又點D是AB中點，∴AD＝BD＝2，由題意知∠A＝∠B＝45°，AD＝AE＝BD＝BF＝2，則陰影部分周長為2×（4﹣2+）＝8﹣4+π，故答案為8﹣4+π．【點睛】本題主要考查圓弧長的計算公式，結(jié)合直角三角形，關(guān)鍵在于計算圓弧的半徑，此題綜合性比較強(qiáng)．壓軸題2組合圖形的面積問題例題2一把直角三角尺的一邊緊貼在直線上，，，，直角三角尺先繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使落在直線上，然后繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使落在直線上，再繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使落在直線上，此時，三角形的放置方式與初始的放置方式一樣，我們稱這樣的旋轉(zhuǎn)為一個周期．請問，再經(jīng)過幾個周期，點走過的路程就會超過？（取3.14）

【答案】25【分析】當(dāng)三角形的放置方式與初始的放置方式一樣時，旋轉(zhuǎn)為一個周期．點走過的路程為以為半徑和以為半徑的兩個扇形的弧長．【詳解】解：，，點走過的路程為以為半徑，圓心角為的扇形的弧長和以為半徑，圓心角為的扇形的弧長和，三角形旋轉(zhuǎn)一個周期．點走過的路程為：，，答：從初始位置開始至少經(jīng)過25個周期，點走過的路程會超過．【點睛】本題考查了扇形的弧長公式，掌握點經(jīng)過的圖形的形狀是關(guān)鍵．變式1如圖長方形的長BC為8，寬AB為4．以BC為直徑畫半圓，以點D為圓心，CD為半徑畫?。箨幱安糠值闹荛L和面積．【答案】周長為【分析】根據(jù)圖形得到陰影部分的周長=半圓的周長，由割補(bǔ)法可得S1=S2=S3，陰影部分的面積=，代入數(shù)據(jù)計算即可．【詳解】解：，如圖，，，．【點睛】此題主要考查了三角形面積和圓的面積的計算方法的靈活應(yīng)用．巧用割補(bǔ)法將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)為規(guī)則圖形是解題關(guān)鍵．變式2某服裝廠有形狀為等腰三角形的邊角布料，測的得，米，現(xiàn)要從此三角形中剪出若干扇形，以制作不同形狀的玩具，要求扇形的兩條半徑恰好都在的邊上，扇形的弧與的一邊有一個公共點（或兩邊各有一個公共點）．如第一幅圖所示的扇形符合題意．現(xiàn)請設(shè)計其他符合題意的一種方案，要求在第二幅圖中畫出圖形，請直接寫出半徑并求扇形的周長（結(jié)果保留π），若想不出其他方案，可以直接根據(jù)第一幅圖寫出半徑并求該扇形的周長（結(jié)果保留π），若還有更多方案，可以畫在后面的圖中．

【答案】（米），（米）；（米），（米），圖形見解析【分析】第一幅圖中的扇形半徑等于等腰三角形腰的一半，用弧長公式求出弧長，再算扇形周長，第二幅圖可以以B為圓心，BC為半徑畫弧，交AB于點D，畫出一個扇形，用同樣的方法求出扇形周長．【詳解】解：方案一，如圖，過點O作于點D，作于點E，O是AB的中點，四邊形ODCE是正方形，（米），即半徑（米），弧長（米），扇形周長（米）；

方案二，如圖，以B為圓心，BC為半徑畫弧，交AB于點D，半徑（米），弧長（米），周長（米），

綜上：（米），（米）；（米），（米）．【點睛】本題考查扇形的周長的求解，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的周長的求解方法．壓軸題3運動中的面積問題例題3在一空曠場地上設(shè)計一個落地為長方形的小屋，邊長邊長，拴住小狗的繩子長，其中一端固定在點B處，小狗在不能進(jìn)入小屋內(nèi)的條件下活動，設(shè)小狗活動的區(qū)域面積為．（π取3）

(1)如圖1，若，求此時S的值．(2)如圖2，現(xiàn)考慮在圖1中的長方形小屋的右側(cè)以為邊拓展一個正三角形區(qū)域，使之變成一個落地為五邊形的小屋，其他條件不變，在（1）的條件下，則_____．【答案】(1)(2)【分析】（1）小狗活動的區(qū)域面積為以B為圓心、10為半徑的圓，以C為圓心、6為半徑的圓和以A為圓心、4為半徑的圓的面積和，據(jù)此列式求解可得；（2）小狗活動的區(qū)域面積為以B為圓心、10為半徑的圓，以C為圓心、6為半徑,圓心角為的扇形和以A為圓心、4為半徑的圓的面積和，據(jù)此列式求解可得．【詳解】（1）如圖1，拴住小狗的長的繩子一端固定在B點處，小狗可以活動的區(qū)域如圖所示：

由圖可知，小狗活動的區(qū)域面積為以B為圓心、10為半徑的圓，以C為圓心、6為半徑的圓和以A為圓心、4為半徑的圓的面積和，∴，故答案為：；（2）如圖2，

根據(jù)，，可得：，在（1）的條件下：，則，∴，，即小狗活動的區(qū)域面積為以B為圓心、10為半徑的圓，以C為圓心、6為半徑,圓心角為的扇形和以A為圓心、4為半徑的圓的面積和，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓的面積、扇形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)繩子的長度結(jié)合圖形得出其活動區(qū)域．變式3如圖，一只小羊被主人用繩子拴在長為5米，寬為4米的長方形水泥臺的一個頂點上，水泥臺的周圍都是草地，(1)若繩子長為4米，求這只羊能吃到草的區(qū)域的最大面積（結(jié)果保留）(2)為了增加小羊吃草的范圍，現(xiàn)決定把繩子的長度增加到6米，求這只羊現(xiàn)在能吃到草的區(qū)域的最大面積（結(jié)果保留）【答案】(1)平方米(2)平方米【分析】（1）先根據(jù)題意畫出圖形，列出算式，再求出即可；（2）先根據(jù)題意畫出圖形，列出算式，再求出即可．【詳解】（1）解：假設(shè)羊繃著繩子跑，則羊能到達(dá)的區(qū)域就是最大區(qū)域的邊界，當(dāng)繩子長為4米時，這只羊能吃到草的區(qū)域的最大區(qū)域為圖中陰影部分，則面積（平方米），答：這只羊能吃到草的區(qū)域的最大面積是平方米；（2）如圖，當(dāng)繩長為6米時，羊活動的最大區(qū)域為陰影部分，其中分為扇形，扇形，扇形，∵，，，∴，，∴陰影部分面積為．【點睛】本題考查了扇形的面積計算，能根據(jù)題意畫出圖形，列出算式是解此題的關(guān)鍵．壓軸題4閱讀型問題例題4在研究圓的面積時，將圓等分成若干個扇形再拼起來，可以發(fā)現(xiàn)把圓等分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近于一個長方形，這個長方形的面積就越接近于圓的面積，其中這個長方形的長是圓周長的一半，寬等于圓的半徑，故由長方形的面積推導(dǎo)出圓的面積，這個過程體現(xiàn)了“無限逼近”的數(shù)學(xué)思想．(1)小明在數(shù)學(xué)活動中，把一個圓等分成若干個扇形，然后拼成了一個近似的長方形，并量的這個長方形的長是厘米，那么這個圓的面積是多少平方厘米？(2)生活中的易拉罐、圓形筆筒等都是一種叫做圓柱體的立體圖形（如圖），它的上底面、下底面是兩個大小相等的圓，側(cè)面展開后是一個長方形，上、下底面之間的距離叫做圓柱體的高．小明在學(xué)習(xí)了《圓的面積》后，也想用類似的方法研究圓柱體的體積，他將一個圓柱體等分成若干分，拼成了一個近似的長方體（如圖），他發(fā)現(xiàn)把圓柱體等分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近于一個長方體，這個長方體的體積就越接近于圓柱體的體積，故由長方體的體積推導(dǎo)出圓柱體的體積.如果設(shè)這個圓柱體底面的半徑為，高為，體積為，那么這個長方體的長=，寬=，所以圓柱體的體積．(3)將一個底面周長是厘米的圓柱體斜著截去一段，截后的形體如圖所示，求這個截后的體積是多少立方厘米？【答案】(1)平方厘米(2)，，(3)立方厘米【分析】（1）求出圓的半徑，再根據(jù)圓的面積公式求出結(jié)果即可；（2）由（1）可知拼成的長方體的長、寬，再根據(jù)長方體體積的計算公式進(jìn)行計算即可；（3）求出圓柱的底面半徑，再根據(jù)截后的體積底面半徑為2，高為2的圓柱體體積的一半底面半徑為2，高為3的圓柱體的體積進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：設(shè)圓的半徑為厘米，由題意得，，解得，圓的面積為（平方厘米），答：這個圓的面積是28.26平方厘米；（2）由（1）可知，所拼成的長方體的長為圓周長的一半，即，寬為圓的半徑，由于長方體的體積為長寬高，所以圓柱的體積為，故答案為：，，；（3）設(shè)圓柱底面半徑為厘米，則，解得，所以截后的體積為（立方厘米），答：截后的體積為50.24立方厘米．【點睛】本題考查認(rèn)識立體圖形，截一個幾何體，掌握圓面積、圓周長、長方體體積、圓柱體積的計算方法是正確解答的前提．壓軸題5軌跡問題例題5等邊三角形的邊長是3厘米，現(xiàn)將沿一條直線翻滾30次，如圖所示，求點經(jīng)過的路程的長．【答案】125.6cm【分析】翻轉(zhuǎn)第一次轉(zhuǎn)動，它走的路程是圓心角是的圓?。环D(zhuǎn)第二次轉(zhuǎn)動，它走的路程是圓心角是的圓??；第三次點是不動的，因此每翻滾一次，就有一次固定不動，以此類推，根據(jù)圓的周長公式求出點經(jīng)過的路程，由此求解．【詳解】A點運動一次走過的路程是圓心角為半徑為3厘米的扇形的弧長，但連續(xù)運動兩次之后，第三次A點是不動的，因此每翻滾一次，就有一次固定不動，A點經(jīng)過的路程的長為：．【點睛】本題綜合性較強(qiáng)，一方面要分清楚點的運動路徑，另一方面要確定三角形在旋轉(zhuǎn)時的旋轉(zhuǎn)中心．變式5如圖1，是等邊三角形，曲線……叫做“等邊三角形的漸開線”，曲線的各部分均為圓弧．設(shè)的邊長為3厘米，求前5段弧長的和（即曲線的長）是多少厘米？（2）如圖2，有一只狗被拴在一建筑物的墻角上，這個建筑物是邊長為400厘米的正方形，拴狗的繩子長18米．現(xiàn)狗從點A出發(fā)，將繩子拉緊按順時針方向跑，可跑多少米？【答案】（1）厘米；（2）米．【分析】（1）利用弧長公式計算．但要先確定弧所對的圓心角都是120度，半徑卻在不斷的增大，第一次是3厘米，第二次是6厘米，第三次是9厘米，依此下去第五次是15厘米，總和就是把五段弧加起來；（2）分別以B為圓心，為半徑跑到F點，以E為圓心，為半徑跑到G點，此時跑的距離是，以D為圓心，為半徑跑到H點，此時距離是，以C為圓心，為半徑跑到K點，此時距離是，以B為圓心，為半徑跑到點L，此時距離是，求出總距離即可．【詳解】（1）解：前5段弧長的和（即曲線的長）是：（厘米）．故前5段弧長的和（即曲線的長）是厘米．（2）解：以B為圓心，為半徑跑到F點，此時跑的距離是，∵，，∴，以E為圓心，為半徑跑到G點，此時跑的距離是，∵，，∴，以D為圓心，為半徑跑到H點，此時距離是，∵，，∴，以C為圓心，為半徑跑到K點，此時距離是，∵，，∴，以B為圓心，為半徑跑到點L，此時距離是，∴，∴將繩子拉緊按順時針方向跑，可跑米．【點睛】本題考查了圓的應(yīng)用和弧長公式：（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r），等邊三角形和正方形的性質(zhì)，確定每一段弧所在圓的半徑是解題的關(guān)鍵．變式5.1×2＋3×4＋5×6＋…＋199×200的結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？【答案】偶數(shù)，理由見詳解【分析】計算時，第一步先算乘，乘都是奇數(shù)乘偶數(shù)，積都是偶數(shù)；第二步再算加，都是偶數(shù)相加，和還是偶數(shù)，所以最后的結(jié)果一定是偶數(shù)．【詳解】結(jié)果是偶數(shù)，因為每一個乘積都是偶數(shù)，這些偶數(shù)的和一定是偶數(shù)．壓軸題6方案問題例題6中學(xué)原計劃在一個直徑為20米的圓形場地內(nèi)修建圓形花壇（花壇指的是圖中實線部分），為使花壇修得更加美觀、有特色，決定向全校征集方案，在眾多方案中最后選出三種方案：方案A：如圖1所示，先畫一條直徑，再分別以兩條半徑為直徑修兩個圓形花壇；方案B：如圖2所示，先畫一條直徑，然后在直徑上取一點，把直徑分成2：3的兩部分，再以這兩條線段為直徑修兩個圓形花壇；方案C：如圖3所示，先畫一條直徑，然后在直徑上任意取四點，把直徑分成5條線段，再分別以這5條線段為直徑修5個圓形花壇．(1)如果按照方案A修，修的花壇的周長是______．(2)如果按照方案B修，與方案A比，省材料嗎？為什么？(3)如果按照方案C修，學(xué)校要求在8小時內(nèi)完成，甲工人承包了此項工程，他做了4小時后，發(fā)現(xiàn)不能完成任務(wù)，就請乙來幫忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，結(jié)果正好按時完成任務(wù)，若修1米花壇可得到10元錢，修完花壇后，甲可以得到多少錢？（取3）【答案】(1)20π(2)不省料，因為方案B與方案A的周長相等．(3)甲可以得到360元【分析】（1）根據(jù)圓的周長公式：c=πd，把數(shù)據(jù)代入公式求此直徑是10米的兩個圓的周長即可．（2）首先根據(jù)圓的周長公式：c=πd，求出直徑是8米、和12米的圓的周長和，然后與圖1進(jìn)行比較．（3）因為圓的周長和直徑成正比例，所以5個小圓的周長和等于直徑20米的圓的周長．設(shè)甲原來每小時的工作效率為每小時x米，則乙的工作效率為每小時x米，甲的速度提高后為每小時x米，據(jù)此列方程解答．【詳解】（1）π×10×2=20π（米），答：修的花壇的周長是20π米．（2）2+3=520×=8（米）20×=12（米），8π+12π=20π（米），答：不省料，因為方案B與方案A的周長相等．（3）綜合前兩問可得，花壇的總周長為20π，修完花壇共花費20π×10=200π=600元，設(shè)甲原來每小時的工作效率為每小時x米，則乙的工作效率為每小時x米，甲的速度提高后為每小時x米，4x+（x+x）×（8-4）=20π解得x=4，（4×4+4××4）×10=360（元），答：甲可以得到360元．【點睛】此題解答關(guān)鍵是明確：圓的周長和直徑成正比例，（3）找出等量關(guān)系列方程解答．變式6如圖，半徑分別是8和28的兩個圓盤，其中大圓是固定的，小圓在大圓的外面，沿大圓圓周按逆時針方向滾動．開始時小圓圓周上的點與大圓圓周上的點重合．當(dāng)、兩點再次重合時，至少繞小圓圓心轉(zhuǎn)動了多少圈？【答案】7圈．【分析】根據(jù)題意，小圓轉(zhuǎn)一圈，A點經(jīng)過的路徑長是小圓的周長，大圓的周長是，它們不是整數(shù)倍關(guān)系，所以小圓繞著大圓轉(zhuǎn)一圈，A和B并不能重合，需要求16和56的最小公倍數(shù)，然后求出小圓需要自轉(zhuǎn)多少圈．【詳解】解：小圓周長，大圓周長=，算出16和56的最小公倍數(shù)是112，則小圓需要自轉(zhuǎn)（圈），∴A至少繞著小圓圓心轉(zhuǎn)7圈．【點睛】本題考查圓的周長，以及最小公倍數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析題目，知道需要求兩個圓的周長的最小公倍數(shù)．鞏固訓(xùn)練1.下圖是一塊草地上殘留的一段墻角，，米，米，為緊靠在段殘墻外側(cè)地面上的一個木樁，米．現(xiàn)木樁上拴有一只白山羊，若這只羊能吃到草的最遠(yuǎn)距離為8米，求這只羊能吃到草的區(qū)域的最大面積．（取3.14，結(jié)果保留兩位小數(shù)）

【答案】159.36平方米【分析】根據(jù)題意，這只羊吃到草的區(qū)域是半徑為8米的半圓（紅色部分），以及半徑是米的半圓（藍(lán)色部分），以及半徑是米的四分之一圓（黃色部分），根據(jù)扇形的面積公式求解即可．【詳解】解：這只羊吃到草的區(qū)域是半徑為8米的半圓（紅色部分），以及半徑是米的半圓（藍(lán)色部分），以及半徑是米的四分之一圓（黃色部分），

所以這只羊能吃到草的面積為：（平方米）．【點睛】本題考查扇形的面積，明確羊能夠吃到草的面積是哪幾個部分是解題的關(guān)鍵．2.已知正方形的邊長為8，圓的半徑為1．（1）如圖①，若圓在正方形的內(nèi)側(cè)沿著正方形的四條邊無滑動地滾動一周回到原來的位置，求圓心經(jīng)過的路程和圓掃過區(qū)域的面積；（結(jié)果保留）（2）如圖②，若圓在正方形的外側(cè)沿著正方形的四條邊無滑動地滾動一周回到原來的位置，求圓心經(jīng)過的路程和圓掃過區(qū)域的面積．（結(jié)果保留）【答案】（1）路程為24，面積為；（2）路程為，面積為【分析】（1）如圖①，圓心經(jīng)過的路程，就是邊長為6的正方形的周長；圓滾動一周，滾不到的面積（陰影部分）是四周的角以及中間的一個小正方形，四周的角合起來相當(dāng)于一個邊長為2的正方形減去一個半徑為1的圓的面積，中間小正方形的邊長為，然后用大的正方形面積減去滾動不到的面積，即可解得；（2）如圖②，圓形經(jīng)過的路程，是四周的角和四條長度為8的線段組成的圖形的周長，四個角合起來相當(dāng)于一個半徑為1的圓的周長，然后求和即可解得；如圖③，圓滾動一周，掃過的面積（陰影部分）是四周的角以及四個長方形組成，四周的角合起來相當(dāng)于一個半徑2的圓的面積，四個長方形的邊長是長為8和寬為2，然后將兩部分面積求和，即可解得；【詳解】（1）如圖①，圓心經(jīng)過的路程=大的正方形面積=中間小的正方形面積=四周角的面積=則圓掃過區(qū)域的面積=（2）如圖②，圓心經(jīng)過的路程=如圖③，圓掃過區(qū)域的面積=【點睛】本題主要考查正方形和圓的組合圖形的周長和面積的計算，解題的關(guān)鍵是弄清楚圓心經(jīng)過的圖形的形狀和圓滾動的地方由哪幾部分組成．3.小華的爸爸要用一塊矩形鐵皮加工出一個底面半徑為，高為的錐形漏斗，要求只能有一條接縫（接縫忽略不計）你能求出這個錐形漏斗的側(cè)面展開圖的圓心角嗎？如圖，有兩種設(shè)計方案，請你計算一下，哪種方案所用的矩形鐵皮面積較少？【答案】（1）120°（2）方案二所用的矩形鐵皮面積較少【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出母線長為60，然后根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長和弧長公式計算錐形漏斗的側(cè)面展開圖的圓心角；（2）如圖1，矩形的一邊長等于母線長60，再利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計算出OB，從而得到BC長，再計算矩形ABCD的面積；如圖2，矩形的一邊長等于母線