不等式證明的基本方法

精品文檔-下載后可編輯不等式證明的基本方法不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，高考中往往出現(xiàn)在解答題中，涉及到代數(shù)運(yùn)算、函數(shù)思想、數(shù)列、幾何、邏輯推理等知識(shí)，證法多樣，思維嚴(yán)謹(jǐn)，若能根據(jù)題目特征，靈活地運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法，往往能迅速確定解題思路，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確地獲解.

一、比較法

例1設(shè)a、b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3+b3≥ab（a2+b2）.

簡(jiǎn)解：a3+b3-ab（a2+b2）=a2a（a-b）+b2b（b-a）

=（a-b）［（a）5-（b）5］

當(dāng)a≥b時(shí)，a≥b，從而（a）5≥（b）5，得（a-b）［（a）5-（b）5］≥0；

當(dāng)a＜b時(shí)，a＜b，從而（a）5＜(b)5，得（a-b）［（a）5-(b)5］

＜0

所以a3+b3≥ab（a2+b2）.

二、分析法

例2已知a＞0，b＞0，2c＞a+b，求證：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab．

簡(jiǎn)解：要證c-c2-ab＜a＜c+c2-ab，只需證，-c2-ab＜a-c＜c2-ab

只需證，|a-c|＜c2-ab即證，(a-c)2＜c2-ab

即證a2-2ac＜-ab，a＞0，只需證，a-2c＜-b

即證a+b＜2c，這為已知．故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：分析法是執(zhí)果索因，其步驟為未知需知已知，在操作中“要證”，“只需證”，“即證”這些詞語(yǔ)是不可缺少的．

三、綜合法

例3設(shè)函數(shù)f（x）=2x（1-ln2x），

求證：對(duì)任意a、b∈R+，均有f′a+b2≤f′(a)+f′(b)2≤f′2aba+b.

簡(jiǎn)解：

f′（x）=-2ln2x，f′（a）+f′（b）2=-ln4ab，

f′a+b2=-ln（a+b）2≤-ln4ab，

f′2aba+b=-2ln22aba+b≥-2ln4ab2ab=-ln4ab，

f′a+b2≤f′（a）+f′（b）2≤f′2aba+b.

點(diǎn)評(píng)：綜合法是由因?qū)Ч洳襟E為：從已知條件出發(fā)，利用有關(guān)定理、公理、公式、概念等推導(dǎo)出結(jié)論不等式.

四、基本不等式法

例4已知a、b、c均為正數(shù)，證明：a2+b2+c2+1a+1b+1c2≥63，并確定a、b、c為何值時(shí)，等號(hào)成立.

簡(jiǎn)解：因?yàn)閍、b、c均為正數(shù)，由基本不等式得：

a2+b2≥2ab

b2+2≥2bc

c2+a2≥2ac

所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①

同理1a2+1b2+1c2≥1ab+1bc+1ac②

故a2+b2+c2+1a+1b+1c2

≥ab+bc+ac+31ab+31bc+31ac③

≥63

所以原不等式成立.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，①式和②式等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3時(shí)，③式等號(hào)成立，

即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=314時(shí)，原式等號(hào)成立.

點(diǎn)評(píng)：利用基本不等式必須注意：“一正，二定，三相等.”

五、反證法

例5已知p3+q3=2，求證：p+q≤2.

分析：本題由已知條件直接證明結(jié)論，難找到證明的方法，正難則反，可以利用反證法.

簡(jiǎn)解：假設(shè)p+q＞2，則p＞2-q，p3＞（2-q）3，

p3+q3＞q3+（2-q）3=q3+8-12q+6q2-q3=6q2-12q+8=6（q-1）2+2≥2

p3+q3＞2與p3+q3=2矛盾，p+q≤2.

點(diǎn)評(píng)：正難則反，使用反證法，從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證明結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的.

六、放縮法

例6設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=0且11-an+1-11-an=1.

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=1-an+1n記Sn=∑nk=1bn，證明：Sn＜1.

分析：要證Sn＜1，先求出{bn}的通項(xiàng)公式，再求{bn}的前n項(xiàng)的和Sn，最后利用放縮法.

簡(jiǎn)解：(1)an=1-1n；

(2)bn=1-an+1n=n+1-nn+1n=1n-1n+1，

Sn=∑nk=1bn=∑nk=11k-1k+1=1-1n+1＜1.

點(diǎn)評(píng)：放縮法是利用不等式的傳遞性，按題意及目標(biāo)，作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，常用的放縮技巧有：

(1)舍掉(或加進(jìn))一些項(xiàng)；(2)在分式中放大或縮小分子(或分母)；

七、柯西不等式法

例7若n是不小于2的正整數(shù)，求證：47＜1-12+13-14+…+12n-1-12n＜22.

分析：從所要證明的不等式結(jié)構(gòu)可轉(zhuǎn)化為柯西不等式來(lái)證.

簡(jiǎn)解：1-12+13-14+…+12n-1-12n=1+12+13+…+12n-212+14+…+12n=1n+1+1n+2+…+12n

所以求證式等價(jià)于47＜1n+1+1n+2+…+12n＜22

由柯西不等式有1n+1+1n+2+…+12n［（n+1）+(n+2)+…+2n］＞n2于是：1n+1+1n+2+…+12n＞n2（n+1）+（n+2）+…+2n=2n3n+1=23+1n≥47

又由柯西不等式有

1n+1+1n+2+…+12n＜

（12+22+…+n2）1(n+1)2+1(n+2)2+…+1(2n)2＜

n1n(n+1)+1（n+1）（n+2）+…+1（2n-1）（2n）=

n1n-12n=22

八、構(gòu)造法

例8已知a、b∈R，求證：|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.

分析：本題若從絕對(duì)值不等式方面入手比較難，但觀察不等式兩邊的結(jié)構(gòu)，可看出是函數(shù)f(x)=x1+x（x≥0）自變量x分別取|a+b|、|a|、|b|的函數(shù)值，從而可構(gòu)造函數(shù)求解.

簡(jiǎn)解：構(gòu)造函數(shù)f(x)=x1+x（x≥0），首先判斷其單調(diào)性，設(shè)0≤x1＜x2，因?yàn)閒(x1)-f(x2)=x11+1-x21+x2=x1-x2(1+x1)（1+x2）＜0，所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在［0，+∞］上是增函數(shù)，取x1=|a+b|，x2=|a|+|b|，顯然滿(mǎn)足0≤x1≤x2，