特訓(xùn)01 期中解答壓軸題（第16-18章）（解析版）

特訓(xùn)01期中解答壓軸題（第16-18章）一、解答題1．閱讀下列材料，解答后面的問題：；；(1)寫出下一個等式；(2)計算的值；(3)請求出的運算結(jié)果．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接根據(jù)前面的等式，仿寫出下一個等式即可；（2）先分母有理化，然后合并同類二次根式即可；（3）先分母有理化，然后合并同類二次根式，再利用平方差公式計算即可．（1）解：（2）解：．（3）解：【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算、分母有理化、平方差公式等知識點，在處理二次根式混合運算時，先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．2．如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程稱為“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．(1)判斷下列方程是不是“差1方程”，并說明理由；①x2﹣5x﹣6＝0；②x2﹣x＋1＝0；(2)已知關(guān)于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常數(shù)）是“差1方程”，求m的值；(3)若關(guān)于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差1方程”，設(shè)t＝10a﹣b2，求t的最大值．【答案】(1)①不是“差1方程”，理由見解析；②是“差1方程”，理由見解析(2)或(3)時，的最大值為9【分析】（1）根據(jù)解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比較兩根的差是否為1，從而確定方程是否為“差1方程”；（2）先解方程求得其根，再根據(jù)新定義列出的方程，注意有兩種情況；（3）根據(jù)新定義得方程的大根與小根的差為1，列出與的關(guān)系式，再由，得與的關(guān)系，從而得出最后結(jié)果．（1）解：①解方程得：，或，，不是“差1方程”；②，∴，，是“差1方程”；（2）解：方程得：，或，方程是常數(shù)）是“差1方程”，或，或；（3）解：由題可得：∴解方程得，關(guān)于的方程、是常數(shù)，是“差1方程”，，，，，，時，的最大值為9．【點睛】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法以及正確理解“差1方程”的定義，本題屬于中等題型．3．材料一：平方運算和開方運算是互逆運算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何將雙重二次根式化簡？我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y'）給出如下定義：若，則稱點Q為點P的“橫負(fù)縱變點”．例如：點（3，2）的“橫負(fù)縱變點”為（3，2），點（﹣2，5）的“橫負(fù)縱變點”為（﹣2，﹣5）．請選擇合適的材料解決下面的問題：(1)點的“橫負(fù)縱變點”為______，點的“橫負(fù)縱變點”為______；(2)化簡：；(3)已知a為常數(shù)（1≤a≤2），點M（，m）且，點是點M的“橫負(fù)縱變點”，求點'的坐標(biāo)．【答案】(1)（，）；（，）(2)+(3)（﹣，﹣）【分析】（1）根據(jù)“橫負(fù)縱變點”的定義，，即可；（2）根據(jù)材料一，雙重二次根式的化簡，將化為，再根據(jù)，即可化簡；（3）根據(jù)，得；將化簡得；根據(jù)，得，求出的值，求出的坐標(biāo)，根據(jù)橫負(fù)縱變點”的定義，，即可求出的坐標(biāo)．（1）∵∴點（，）的“橫負(fù)縱變點”為（，）∵∴點（，）的“橫負(fù)縱變點”為（，）故答案為：（，）；（，）．（2）∴化簡得：．（3）∵∴∴∴∴∵∴∴∴點（，）∵∴（，）故的坐標(biāo)為：（，）．【點睛】本題考查了二次根式的加減，新定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解新定義公式，化簡最簡二次根式．4．閱讀下列材料：在解一元二次方程時，無論是用直接開平方法、配方法還是用因式分解法，我們都是將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．再如，解無理方程（根號下含有未知數(shù)的方程），可以通過方程兩邊平方把它轉(zhuǎn)化為，解得．（1）解下列方程：①②（2）根據(jù)材料給你的啟示，求函數(shù)的最小值．【答案】（1）①，，；②；（2）【分析】（1）①結(jié)合題意，首先提取公因式，再結(jié)合因式分解法求解，即可得到答案②方程兩邊平方把它轉(zhuǎn)化為，再通過因式分解法求解一元二次方程，結(jié)合二次根式的取值范圍分析，即可得到答案；（2）首先將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程，分和兩種情況，當(dāng)時，根據(jù)一元二次方程判別式的性質(zhì)計算，即可得到y(tǒng)的取值范圍；當(dāng)時，結(jié)合一元一次方程的性質(zhì)分析，即可得到答案．【解析】（1）①∵∴∴，，②∵∴，即∴∴，∵∴∵∴∴（舍去）∴的解為：（2）將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程，得，當(dāng)時，∵x為實數(shù)

∴

∴且；當(dāng)時，得：，方程有解（x的值存在）；∴∴．【點睛】本題考查了一元二次方程、一元一次方程、二次根式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的知識，從而完成求解．5．如果方程滿足兩個實數(shù)解都為正整數(shù)解，我們就稱所有這樣的一元二次方程為同族方程，并規(guī)定：滿足．例如有正整數(shù)解3和4，所以屬于同族方程，所以(1)如果同族方程中有兩個相同的解，我們稱這個方程為同族方程中的完美方程，求證：對任意一個完美方程，總有(2)如果同族方程中的實數(shù)q滿足如下條件：①為一個兩位正整數(shù)，y為自然數(shù)②交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得差為54，那么我們稱這樣為同族方程中和諧方程，求所有和諧方程中的G的最小值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式求得，再代入即可得證；（2）先根據(jù)題意列出關(guān)于x，y的二元一次方程，從而得到，結(jié)合已知求得q的值，從而得到三個方程，再結(jié)合和諧方程及同族方程的定義得到p的值，最后再求得各方程中G的值，即可求得答案．(1)證明：同族方程中有兩個相同的解，，，，，；(2)據(jù)題得，，，，，，，或28或17，可得三個方程，，，由和諧方程定義可得的解為或39；或13，此時或；方程的解為或；或；或，此時或或；方程的解為或17，此時；則和諧方程中G的最小值為

方程中G的最小值為

中G的值為

，的最小值為．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，一元二次方程根的判別式的運用，二元一次方程應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相應(yīng)知識點，靈活運用．6．閱讀材料：把形如ax2+bx+c的二次三項式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛應(yīng)用．例如：①我們可以將代數(shù)式a2+6a+10進(jìn)行變形，其過程如下a2+6a+10=(a2+6a)+10=(a2+6a+9)+10-9=(a+3)2+1∵(a+3)2≥0∴(a+3)+1≥1，因此，該式有最小值1②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0將其變形，a22ab+2ac+b2++2bc+c2=0a2+2a(b+c)+(b+c)2=可得(a+b+c)2=0(1)按照上述方法，將代數(shù)式x2+8x+20變形為a(x+h)2+k的形式；(2)若p=-x2+2x+5，求p的最大值；(3)已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，試判斷此三角形的形狀并說明理由；(4)已知：a=2020x+2019，b=2020x+2020，c=2020x+2021，直接寫出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值．【答案】(1)；(2)6；（3）等邊三角形；（4）3【分析】（1）根據(jù)材料步驟配方即可；（2）配方后即可求最大值；（3）先配方成幾個平方的和為0的形式即可解題；（4）擴(kuò)大兩倍后平方即可.【解析】(1)x2+8x+2=(x2+8x)+20=(x2+8x+16)+20-16=(2)p=-x2+2x+5=∵(x-1)2≥0∴因此，該式有最大值6(3)∴∴∴三角形是等邊三角形(4)原式∵a=2020x+2019，b=2020x+2020，c=2020x+2021∴a-b=-1,a-c=-2,b-c=-1∴原式=3【點睛】本題考查完全平方公式的運用，熟讀閱讀材料并理解運用是解題的關(guān)鍵.7．對于代數(shù)式ax2+bx+c，若存在實數(shù)n，當(dāng)x＝n時，代數(shù)式的值也等于n，則稱n為這個代數(shù)式的不變值．例如：對于代數(shù)式x2，當(dāng)x＝0時，代數(shù)式等于0；當(dāng)x＝1時，代數(shù)式等于1，我們就稱0和1都是這個代數(shù)式的不變值．在代數(shù)式存在不變值時，該代數(shù)式的最大不變值與最小不變值的差記作A．特別地，當(dāng)代數(shù)式只有一個不變值時，則A＝0．（1）代數(shù)式x2﹣2的不變值是，A＝．（2）說明代數(shù)式3x2+1沒有不變值；（3）已知代數(shù)式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．【答案】（1）﹣1和2；3；（2）見解析；（3）﹣3或1【分析】（1）根據(jù)不變值的定義可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；（2）由方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式可得出方程3x2﹣x+1＝0沒有實數(shù)根，進(jìn)而可得出代數(shù)式3x2+1沒有不變值；（3）由A＝0可得出方程x2﹣（b+1）x+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，進(jìn)而可得出△＝0，解之即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）依題意，得：x2﹣2＝x，即x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴A＝2﹣（﹣1）＝3．故答案為﹣1和2；3．（2）依題意，得：3x2+1＝x，∴3x2﹣x+1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4×3×1＝﹣11＜0，∴該方程無解，即代數(shù)式3x2+1沒有不變值．（3）依題意，得：方程x2﹣bx+1=x即x2﹣（b+1）x+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴△＝[﹣（b+1）]2﹣4×1×1＝0，∴b1＝﹣3，b2＝1．答：b的值為﹣3或1．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，根據(jù)不變值的定義，求出一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．8．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應(yīng)用．例：已知可取任何實數(shù)，試求二次三項式最小值．解：無論取何實數(shù)，總有．，即的最小值是．即無論取何實數(shù)，的值總是不小于的實數(shù)．問題：（1）已知，求證是正數(shù)．知識遷移：（2）如圖，在中，，，，點在邊上，從點向點以的速度移動，點在邊上以的速度從點向點移動．若點，同時出發(fā)，且當(dāng)一點移動到終點時，另一點也隨之停止，設(shè)的面積為，運動時間為秒，求的最大值．【答案】（1）見解析;（2）當(dāng)時，有最大值【分析】（1）根據(jù)題意對進(jìn)行配方，即可求出最值；（2）先求，再根據(jù)題意進(jìn)行配方即可求得最值．【解析】（1）證明：．．．．是正數(shù)．（2）解：由題意得：，，．．．．又∵當(dāng)時，有最大值．【點睛】本題考查利用配方法求最值，正確進(jìn)行配方是求解本題的關(guān)鍵．9．閱讀下列三份材料：材料1：我們定義：在分式中對于只含有一個字母的分式當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時我們稱之為“假分式”：當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時我們稱之為“真分式”如，這樣的分式就是假分式；再如，這樣的分式就是真分式；類似的，假分式也可以化為帶分式．如：；材料2：在學(xué)了乘法公式“”的應(yīng)用后，王老師提出問題：求代數(shù)式的最小值．要求同學(xué)們運用所學(xué)知識進(jìn)行解答．同學(xué)們經(jīng)過探索、交流和討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：，∵，∴．當(dāng)時，的值最小，最小值是1．∴的最小值是1．材料3：由得，；如果兩個正數(shù)a，b，即，，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取到等號．例如：已知，求式子的最小值．解：令a=x，，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即x=2時，式子有最小值，最小值為4．請你根據(jù)上述材料，解答下列各題：(1)已知，填空：①把假分式化為帶分式的形式是________；②式子的最小值為________；③式子的最小值為________；(2)用籬笆圍一個面積為32平方米的長方形花園，使這個長方形花園的一邊靠墻（墻長20米），問這個長方形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？(3)已知，分別求出分式和的最值．（若有最大值，則求最大值，若有最小值，則求最小值）．【答案】(1)①；②；③24(2)當(dāng)長為8，寬為4時，所用籬笆最短16米；(3)有最小值，有最小值【分析】（1）①根據(jù)已知材料1，將分子改寫成x+2-3，進(jìn)一步計算即可；②根據(jù)材料2，將原式化成完全平方式加常數(shù)的形式，即可可到答案；③根據(jù)材料3，將原式進(jìn)行改寫，即可得到答案；（2）首先設(shè)長方形的長為x，然后根據(jù)材料3進(jìn)行計算即可得到答案；（3）根據(jù)材料1和材料3，將原式改寫，然后使用不等式的性質(zhì)進(jìn)行計算即可得到答案；（1）①解：；故答案為；②解：，∵，∴，∴當(dāng)x=-4時，原式的最小值為-1；故答案為-1；③解：∵，設(shè)，則：，∴，∴，當(dāng)僅當(dāng)時，即x=3時取等號，∴當(dāng)x=3時，原式的最小值為24；故答案為24；（2）設(shè)長為x，寬為y．則xy=32，欲使x+2y最小，∵x＞0，y＞0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取得等號，由，解得，x=8，y=4，即長為8，寬為4時，所用籬笆最短．最短籬琶為16米．（3）解：，∵，∴，當(dāng)僅當(dāng)時取等號，∴，∴，故當(dāng)時，有最小值；===，∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，即x=2時取等號，∴∴∴∴故當(dāng)x=2時，有最小值．【點睛】本題是材料題，考查學(xué)生對所給材料的理解分析能力，涉及分式的加減、二次根式的乘法、不等式的性質(zhì)、完全平方公式、利用平方根解方程等知識，熟練運用已知材料和所學(xué)知識，認(rèn)真審題，仔細(xì)計算，并注意解題過程中需注意的事項是本題的解題關(guān)鍵．10．如果記，并且表示當(dāng)時的值，即；表示當(dāng)時的值，即；表示當(dāng)時的值，即；…（1）計算下列各式的值：__________.__________.（2）當(dāng)為正整數(shù)時，猜想的結(jié)果并說明理由；（3）求的值.【答案】（1）1；1（2）結(jié)果為1，證明過程見詳解（3）【分析】（1）根據(jù)題目定義的運算方式代數(shù)計算即可.（2）根據(jù)第（1）題的計算結(jié)果總結(jié)規(guī)律，并加以證明.（3）運用第（2）題的運算規(guī)律和加法結(jié)合律進(jìn)行將式子中每一項適當(dāng)分組，再進(jìn)行計算.【解析】解：（1）；.（2）猜想的結(jié)果為1.證明：（3）【點睛】本題以定義新運算的形式考查了二次根式的綜合計算，遵循新運算的方式，熟練掌握二次根式的計算是解答關(guān)鍵.11．我國南宋時期有個著名的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了一個利用三角形的三邊求三角形的面積的公式，若三角形三邊為，則此三角形的面積為：同樣古希臘有個幾何學(xué)家海倫也提出了一個三角形面積公式：其中（1）在中，若，，，用其中一個公式求的面積．（2）請證明：【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）將，，代入中計算即可；（2）對和分別平方，再進(jìn)行整理化簡得出，即可得出．【解析】解：（1）將，，代入得：（2）===∵，∴==∴∵，，∴．【點睛】本題考查了二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是理解題中給出的公式，靈活運用二次根式的運算性質(zhì)進(jìn)行運算．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點的坐標(biāo)為（其中），射線與反比例函數(shù)的圖像交于點，點、分別在函數(shù)的圖像上，且軸，軸．（1）當(dāng)點的橫坐標(biāo)為6時，求直線的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；（3）聯(lián)結(jié)、，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）1【分析】（1）根據(jù)自變量的值，可得函數(shù)值，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)值，可得自變量的值，根據(jù)勾股定理，可得OB長，根據(jù)AB=OB，可得點A坐標(biāo)；（3）聯(lián)立函數(shù)解析式，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得點P坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得點B和點C坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式，可得答案．【解析】（1）解：當(dāng)時，，∴，設(shè)直線AO的解析式為，代入得，∴直線AO的解析式為；（2）由軸，得點B橫坐標(biāo)是4，當(dāng)時，，∴，，∵，∴，得，∴；（3）直線AO的解析式為，聯(lián)立，得，解得，∴，如圖，作，，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，，，，，∴，，∴．【點睛】本題考查反比例函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，根據(jù)三角形面積求點坐標(biāo)的方法，以及利用點坐標(biāo)表示三角形面積的方法，需要熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想．13．已知在平面直角坐標(biāo)中，點在第一象限內(nèi)，且，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，（1）當(dāng)點的坐標(biāo)為時（如圖），求這個反比例函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)點在反比例函數(shù)的圖像上，且在點的右側(cè)時（如圖2），用含字母的代數(shù)式表示點的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，求的值．【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）過A作AC⊥OB，根據(jù)三角形AOB為等腰直角三角形，得到AC=OC=BC=OB，確定出A坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；（2）過A作AE⊥x軸，過B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AO=AB，利用AAS得出三角形AOE與三角形ABD全等，由確定三角形的對應(yīng)邊相等得到BD=AE=n，AD=OE=m，進(jìn)而表示出ED及OE+BD的長，即可表示出B坐標(biāo)；（3）由A與B都在反比例圖象上，得到A與B橫縱坐標(biāo)乘積相等，列出關(guān)系式，變形后即可求出的值．【解析】解：（1）如圖1，過A作AC⊥OB，交x軸于點C，∵OA=AB，∠OAB=90°，∴△AOB為等腰直角三角形，∴AC=OC=BC=OB=3，∴A（3，3），將x=3，y=3代入反比例解析式得：3=，即k=9，則反比例解析式為y=；（2）如圖2，過A作AE⊥x軸，過B作BD⊥AE，∵∠OAB=90°，∴∠OAE+∠BAD=90°，∵∠AOE+∠OAE=90°，∴∠BAD=∠AOE，在△AOE和△BAD中，∴△AOE≌△BAD（AAS），∴AE=BD=n，OE=AD=m，∴DE=AE-AD=n-m，OE+BD=m+n，則B（m+n，n-m）；（3）由A與B都在反比例圖象上，得到mn=（m+n）（n-m），整理得：n2-m2=mn，即（）2+-1=0，這里a=1，b=1，c=-1，∵△=1+4=5，∴=，∵A（m，n）在第一象限，∴m＞0，n＞0，則=．【點睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及一元二次方程的解法，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．14．已知正反比例函數(shù)的圖像交于、兩點，過第二象限的點作軸，點的橫坐標(biāo)為，且，點在第四象限（1）求這兩個函數(shù)解析式；（2）求這兩個函數(shù)圖像的交點坐標(biāo)；（3）若點在坐標(biāo)軸上，聯(lián)結(jié)、，寫出當(dāng)時的點坐標(biāo)【答案】（1）y=-，y=（2）A（-2，3），B（2，-3）（3）（2，0）或（-2，0）或（0，3）或（0，-3）【分析】（1）先根據(jù)題意得出，再結(jié)合知，再利用待定系數(shù)法求解可得；（2）聯(lián)立正反比例函數(shù)解析式得到方程組，解之即可得交點坐標(biāo)；（3）由“點在坐標(biāo)軸上”分點在軸上和軸上兩種情況，根據(jù)利用割補(bǔ)法求解可得．【解析】解：（1）如圖，∵點的橫坐標(biāo)為-2，且軸，∴，∵，∴，則點，將代入得：，則正比例函數(shù)的解析式為；將代入得：，則反比例函數(shù)的解析式為；（2）∵∴得：或，∵點在第四象限，∴點坐標(biāo)為，故答案為.（3）若在軸上，設(shè)，∵∴，解得：或，∴點的坐標(biāo)為或；若在軸上，設(shè)，∵∴，解得：或，∴點的坐標(biāo)為或；綜上，點的坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及割補(bǔ)法求三角形的面積、分類討論思想的運用等.15．如圖，直線與雙曲線交于A點，且點A的橫坐標(biāo)是4．雙曲線上有一動點C（m，n）,.過點A作軸垂線，垂足為B，過點C作軸垂線，垂足為D，聯(lián)結(jié)OC．（1）求的值；（2）設(shè)的重合部分的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系；（3）聯(lián)結(jié)AC，當(dāng)?shù)冢?）問中S的值為1時，求的面積．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由題意列出關(guān)于k的方程，求出k的值，即可解決問題．（2）借助函數(shù)解析式，運用字母m表示DE、OD的長度，即可解決問題．（3）首先求出m的值，求出△COD，△AOB的面積；求出梯形ABDC的面積，即可解決問題．【解析】（1）設(shè)A點的坐標(biāo)為（4，）；由題意得：，解得：k=8，即k的值為8．（2）如圖，設(shè)C點的坐標(biāo)為C（m，n）．則n=m，即DE=m；而OD=m，∴S=OD?DE=m×m=m2，即S關(guān)于m的函數(shù)解析式是S=m2．（3）當(dāng)S=1時，m2=1，解得m=2或-2（舍去），∵點C在函數(shù)y=的圖象上，∴CD==4；由（1）知：OB=4，AB=2；BD=4-2=2；∴S梯形ABDC＝(4+2)×2=6，S△AOB＝×4×2＝4，S△COD＝×2×4=4；∴S△AOC=S梯形ABDC+S△COD-S△AOB=6+4-4=6．【點睛】該題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題；解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，靈活運用方程、函數(shù)等知識來分析、判斷、求解或證明．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，軸于點，點在反比例函數(shù)的圖像上．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求面積；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在一點，使得以、、三點為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，簡述你的理由．【答案】（1）（2）（3）存在，點P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，?6）或（0，?2）．【分析】（1）根據(jù)點A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）由點A的坐標(biāo)可得出OC，AC的長，利用勾股定理可得出OA＝2＝2AC，進(jìn)而可得出∠AOC＝30°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得出∠B＝∠AOC＝30°，利用30°角所對的直角邊為斜邊的一半可求出AB的長，再利用三角形的面積公式即可求出△AOB的面積；（3）根據(jù)勾股定理可求出OB的長，分OP＝OB，BP＝BO及PO＝PB三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)可求出點P的坐標(biāo)，此題得解．【解析】（1）把代入反比例函數(shù)，得：，所以反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2），軸于，，，，，∴∠OAC＝60°，，，，，；（3）存在，在Rt△AOB中，OA＝2，AB＝4，∠AOB＝90°，∴OB＝，分三種情況考慮：①當(dāng)OP＝OB時，如圖2所示，∵OB＝，∴OP＝，∴點P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（0，）或（0，）；②當(dāng)BP＝BO時，如圖3，當(dāng)點P在y軸上時，過點B做BD⊥y軸于點D，則OD＝BC＝AB?AC＝3，∵BP＝BO，∴OP＝2OD＝6，∴點P的坐標(biāo)為（0，?6）；當(dāng)點P在x軸上時，∵BP＝BO，∴OP＝2OC＝，∴點P的坐標(biāo)為（，0）；③當(dāng)PO＝PB時，如圖4所示．若點P在x軸上，∵PO＝PB，∠BOP＝60°，∴△BOP為等邊三角形，∴OP＝OB＝，∴點P的坐標(biāo)為（，0）；若點P在y軸上，設(shè)OP＝a，則PD＝3?a，∵PO＝PB，∴PB2＝PD2＋BD2，即a2＝（3?a）2＋3，解得：a＝2，∴點P的坐標(biāo)為（0，?2），綜上所述：在坐標(biāo)軸上存在一點P，使得以O(shè)、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形，點P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，?6）或（0，?2）．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、勾股定理、三角形的面積公式以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）利用直角三角形的性質(zhì)，求出AB的長；（3）分OP＝OB，BP＝BO及PO＝PB三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)求出點P的坐標(biāo)．17．如圖已知正比例函數(shù)圖像經(jīng)過點A(2，3）、B（m，6）.（1）求正比例函數(shù)的解析式.（2）求m的值及A、B兩點之間的距離。（3）分別過點A與點B作y軸的平行線，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的分支分別交于點C、D（點C、D均在點A、B下方），若BD=5AC.求反比例函數(shù)的解析式，并求出四邊形ACDB的面積?！敬鸢浮浚?）y=x；（2）m=4；；（3）；四邊形ACDB的面積為6.【分析】（1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx（k≠0），然后將點A的坐標(biāo)代入即可求出正比例函數(shù)的解析式；（2）將B點坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式中即可求出m，然后根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點之間的距離公式，即可求出AB；（3）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：（a≠0），根據(jù)AC∥BD∥y軸，即可求出C、D的橫坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)的解析式即可用a表示出C、D的縱坐標(biāo)，從而求出BD和AC，然后列出方程即可求出a的值，從而求出反比例函數(shù)的解析式，然后根據(jù)梯形面積公式計算面積即可.【解析】解：（1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx（k≠0）將點A(2，3）代入，得：3=2k解得：故正比例函數(shù)的解析式為：y=x；（2）將B點（m，6）代入y=x中，得：6=m解得：m=4根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點之間的距離公式：AB=；（3）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：（a≠0）∵AC∥BD∥y軸∴A、C的橫坐標(biāo)相同，即點C的橫坐標(biāo)為:2,B、D的橫坐標(biāo)相同，即點D的橫坐標(biāo)為:4,∴點C的縱坐標(biāo)為，點D的縱坐標(biāo)為∴AC=3－，BD=6－∵BD=5AC∴6－=5（3－）解得：a=4∴反比例函數(shù)的解析式為：.過點C作CE⊥BD于E∴AC=1，BD=5，CE=4－2=2∴S梯形ACDB==6.【點睛】此題考查的是正、反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平面直角坐標(biāo)系中任意兩點之間的距離公式和方程思想求參數(shù)值是解決此題的關(guān)鍵.18．已知反比例函數(shù)的圖像與的圖像交于點A、B，A點的坐標(biāo)是（，-2）（1）求反比例函數(shù)解析式；（2）求點B的坐標(biāo)；（3）在y軸上是否存在點C，使得△ABC的面積是6，若存在，求點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由?！敬鸢浮浚?）；（2）（-1，2）；（3）（0,6）或（0，-6）【分析】（1）將點A坐標(biāo)代入中，求a的值，然后用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)關(guān)于原點對稱的性質(zhì)求點B的坐標(biāo)；（3）設(shè)點C的坐標(biāo)為（0，y），數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三角形面積公式列方程求解.【解析】解：（1）把A點的坐標(biāo)（，-2）代入中解得：a=1∴A點的坐標(biāo)是（1，-2）設(shè)反比例函數(shù)解析式為：將A點的坐標(biāo)（1，-2）代入中∴反比例函數(shù)的解析式為：（2）∵正比例函數(shù)和反比例函數(shù)關(guān)于原點對稱且它們的圖像交于點A、B∴點A、B關(guān)于原點對稱∴B點坐標(biāo)為：（-1，2）（3）存在，設(shè)點C的坐標(biāo)為（0，y），連接AC，BC∴∴點C的坐標(biāo)為（0,6）或（0，-6）【點睛】本題考查反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，數(shù)形結(jié)合思想解題是本題的解題關(guān)鍵.19．如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點，且為雙曲線上的一點，為坐標(biāo)平面上一動點，垂直于軸，垂直于軸，垂足分別是、.（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式.（2）當(dāng)點在直線上運動時，直線上是否存在這樣的點，使得與的面積相等？如果存在，請求出點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.【答案】（1）正比例函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為；（2）在直線上存在這樣的點或，使得與面積相等.【分析】（1）用待定系數(shù)法進(jìn)行求解，即可得到正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點Q在直線MO上運動時，假設(shè)在直線MO上存在這樣的點Q（x，x），使得△OBQ與△OAP面積相等，則B（0，x）．根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于x的方程，解方程即可．【解析】（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，正比例函數(shù)的解析式為.∵正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點，∴，.∴，.∴正比例函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為.（2）當(dāng)點在直線上運動時，假設(shè)在直線上存在這一的點，使得與面積相等，則.∵，∴，解得.當(dāng)時，.當(dāng)時，.故在直線上存在這樣的點或，使得與面積相等.【點睛】本題考查正比例函數(shù)和反比例函數(shù)綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解.20．如圖，是反比例函數(shù)在第一象限圖象上一點，連接OA，過A作軸，截取在A右側(cè)，連接OB，交反比例函數(shù)的圖象于點P．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求點B的坐標(biāo)及OB所在直線解析式；（3）求的面積．【答案】（1）

（2）（9，3）；

（3）5【分析】（1）直接代入A點坐標(biāo)課的k的值，進(jìn)而可得函數(shù)解析式；（2）過點A作AC⊥x軸于點C，利用勾股定理計算出AO的長，進(jìn)而可得AB長，然后可得B點坐標(biāo)．設(shè)OB所在直線解析式為y=mx（m≠0）利用待定系數(shù)法可求出BO的解析式；（3）首先聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，求出P點坐標(biāo)，過點P作PD⊥x軸，延長DP交AB于點E，連接AP，再確定E點坐標(biāo)，最后求面積即可．【解析】解：將點代入，得：，則反比例函數(shù)解析式為：；如圖，過點A作軸于點C，則、，，軸，且，點B的坐標(biāo)為；設(shè)OB所在直線解析式為，將點代入得，所在直線解析式為；聯(lián)立解析式：，解得：可得點P坐標(biāo)為，過點P作軸，延長DP交AB于點E，連接AP，則點E坐標(biāo)為，，，，則的面積．【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和正比例函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點，必能滿足解析式．21．周末，小麗騎自行車從家出發(fā)到野外郊游，從家出發(fā)0.5小時到達(dá)甲地，游玩一段時間后按原速前往乙地，小麗離家1小時20分鐘后，媽媽駕車沿相同路線前往乙地，行駛10分鐘時，恰好經(jīng)過甲地，如圖是她們距乙地的路程y(km)與小麗離家時間x(h)的函數(shù)圖象．（1）小麗騎車的速度為_______km/h，在甲地游玩了_______小時；（2）求小麗游玩一段時間后前往乙地的過程中y與x的函數(shù)關(guān)系；（3）小麗從家出發(fā)多少小時后被媽媽追上?此時距家的路程多遠(yuǎn)．【答案】（1）20；0.5；（2）y＝－20x＋40；（3）小麗從家出發(fā)1.75小時后被媽媽追上，此時距家25km．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖中的數(shù)據(jù)，由小麗從家到甲地的路程和時間可以求出小麗騎車的速度；再根據(jù)圖像BC段求出甲地游玩時間；（2）先求出直線AB的解析式，再根據(jù)直線AB∥CD，求出直線CD的解析式；（3）求出直線EF的解析式，聯(lián)立直線CD和直線EF的解析式，求出交點D的坐標(biāo)即可．【解析】解：（1）由函數(shù)圖可以得出，小麗家距離甲地的路程為10km，花費時間為0.5h，故小麗騎車的速度為：10÷0.5＝20（km/h），由BC段可得甲地游玩時間1-0.5=0.5h．（2）設(shè)直線AB的解析式為：，將點A（0，30），B（0.5，20）代入得：，∵AB∥CD，∴設(shè)直線CD的解析式為：，將點C（1，20）代入得：＝40，故＝?20x＋40；（3）設(shè)直線EF的解析式為：＝x＋，，將點E，H代入得：＝?60，＝110，∴＝?60x＋110，解方程組，解得．∴點D坐標(biāo)為（1.75，5），30?5＝25（km），所以小麗出發(fā)1.75小時后被媽媽追上，此時距家25km．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于讀懂題意，根據(jù)函數(shù)圖所給的信息求出合適的函數(shù)解析式并求解．22．如圖①，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°．（1）動點M從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿路線A→B→C→D運動到點D停止．設(shè)運動時間為a，△AMD的面積為S，S關(guān)于a的函數(shù)圖象如圖②所示，求AD、CD的長．（2）如圖③，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿路線A→D→C運動到點C停止．同時，動點Q從點C出發(fā)，以每秒5個單位的速度沿路線C→D→A運動到點A停止．設(shè)運動時間為t，當(dāng)Q點運動到AD邊上時，連接CP、CQ、PQ，當(dāng)△CPQ的面積為8時，求t的值．【答案】（1）AD＝12，CD＝16；（2）t＝或【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象得到CD=16，根據(jù)S＝CD?AD＝16×AD＝96，即可求出CD；（2）根據(jù)題意得到，只有點P、Q都在AD邊上，才有以PQ為底邊，CD為高的三角形CPQ，確定t的取值范圍為≤t＜，分點P在Q上方和點P在點Q下方兩種情況分類討論并判斷是否滿足取值范圍即可求解．【解析】解：（1）由函數(shù)圖象可知，點M從A出發(fā)，從點C到D耗時16秒，即CD＝16，此時S＝CD?AD＝16×AD＝96，解得：AD＝12，∴AD＝12，CD＝16；（2）由題意得，當(dāng)Q運動到A停止的時間為，而點P運動到D的時間為＝6，故只能有點P、Q都在AD邊上，此時有以PQ為底邊，CD為高的三角形CPQ，設(shè)運動的時間為t，則AP＝2t，DQ＝5t﹣16，而≤t＜，當(dāng)點P在Q上方時，則PQ＝AD﹣AP﹣QD＝12﹣2t﹣5t+16＝28﹣7t，△CPQ的面積＝PQ×CD＝(28﹣7t)×16＝8，解得：t＝(滿足條件)；當(dāng)點P在點Q下方時，PQ＝DQ﹣(AD﹣AP)＝5t﹣16﹣(12﹣2t)＝7t﹣28，△CPQ的面積＝PQ×CD＝(7t﹣28)×16＝8，解得：t＝(滿足條件)；綜上，t＝或．【點睛】本題為動點問題與函數(shù)圖象綜合題，綜合性較強(qiáng)．第（1）題讀懂題意和函數(shù)圖像是解題關(guān)鍵，第（2）題根據(jù)題意確定PQ位置后分類討論是解題關(guān)鍵．23．點為平面直角坐標(biāo)系的原點，點、在反比例函數(shù)的圖象上，點、在反比例函數(shù)的圖象上，且．（1）若點的坐標(biāo)為，點恰好為的中點，過點作軸于點，交的圖象于點．①請求出、的值；②試求的面積．（2）若軸，，與間的距離為6，試說明的值是否為某一固定值？如果是定值，試求出這個定值；若不是定值，請說明理由．【答案】（1）①a=24，b=6②；（2）是定值為．【分析】（1）①把代入反比例函數(shù)即可求出a，根據(jù)點為的中點，求出B點坐標(biāo)，代入即可求出b；②根據(jù)k的幾何意義求出△AOP的面積，再連接BP，根據(jù)中線的性質(zhì)即可求解；（2）先分析分別位于的兩個分支,分別位于的兩個分支；再利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，表示S△AOB和S△COD，再根據(jù)三角形的面積公式，AB與CD之間的距離為6，即求出答案．【解析】（1）①把代入反比例函數(shù)，得a=6×4=24∵點為的中點，∴B（3，2）把B（3，2）代入反比例函數(shù)，得b=3×2=6②∵S△AOP=S△AON-S△NOP==9∵B點是的中點，∴BP是△AOP的中線∴的面積=×9=；（2）如圖，當(dāng)在的第一象限的圖像上時，在的第一象限的圖像上時軸，，，，則點與點重合，點與點重合即與間的距離為0，分別位于的兩個分支,分別位于的兩個分支；如圖，延長AB、CD交y軸于點E、F，∵點、在反比例函數(shù)的圖象上，點、在反比例函數(shù)的圖象上，a＞b＞0，軸，∵與間的距離為6，∴OE+OF=6∴S△AOE＝＝a＝S△COF，S△BOE＝＝b＝S△DOF，∴S△AOB＝S△AOE?S△BOE＝a?b＝AB?OE＝OE，S△COD＝S△COF?S△DOF＝a?b＝CD?OF＝OF，∴S△AOB＋S△COD＝a?b＝OE＋OF＝（OE＋OF）=．．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，理解反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是正確解答的關(guān)鍵．24．（1）用“＞”、“＝”、“＜”填空：_________，_________，_________（2）由（1）中各式猜想：對于任意正實數(shù)a、b，a＋b_________（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”），并說明理由；（3）結(jié)論應(yīng)用：若a＞0，則當(dāng)a＝_________時，有最小值；若b＞0，有最小值，最小值為_________；（4）問題解決：如圖，已知點A在反比例函數(shù)的圖像上，點B在反比例函數(shù)的圖像上，且AB∥x軸，過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BC⊥x軸于點C．四邊形ABCD的周長是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并寫出此時點A的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【答案】（1）＞，＝，＞；（2），理由