《高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題典》備選1000題六

題501：

已知函數(shù)/(x)=aInx+(x—c)|x—c|,?<0,c>0

31

(1)當(dāng)4=一一,C=一時，求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

44

(2)當(dāng)。=葭+1時，若/(幻2；對xe(c,+8)恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍；

(3)設(shè)函數(shù)/(幻的圖象在點/>(2/(芯)),。(%2"(工2))兩處的切線分別為4，/2,若M=J1|，z=c,且

/,1/2,求實數(shù)c的最小值

題502：

已知函數(shù)/(x)=2ax+bx-\-2\r\x{aGR)

(1)當(dāng)人=0時，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對Vae[l,3],心€(0,+00),/(幻之2法一3恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍；

(3)當(dāng)x>y>e-l時，求證：exln(y+l)>e'ln(%+l)

題503：

已知函數(shù)/(x)=Inx—

(1)若函數(shù).f(x)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)若玉,々￡氏+，且玉<入2，求證：(In%-111尤2>(%+2/)<3(%一馬)

題504：

已知函數(shù)/(x)=sinx-cosx+6Z

(1)求函數(shù)g(x)=2/(x)-很工￡[0,?]的單調(diào)區(qū)間;

(2)函數(shù)〃(x)=/(2x)+"(x)f一2以，若力(九)之。(〃一1)在工￡。自上恒成立，求。的取值范圍

題505：

1,

已知函數(shù)/(x)=]X-+x-xlnx的導(dǎo)函數(shù)f\x)

(1)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑵若關(guān)于x的方程/。)=根與兩個實數(shù)根內(nèi),々(西＜々)，求證；不名＜2

題506：

已知函數(shù)/(%)=ex~'+a,函數(shù)g(x)=以+lnx,。eR

(1)求函數(shù)y=g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式/(x)Ng(x)+l在[1,長。)上恒成立，求實數(shù)。的取值范圍

(3)若xe(l,+co),求證：e'-1-21nx＞—%+1

題507：

已知函數(shù)/(x)=(x+a)lnx,aeR

(1)當(dāng)&=-0,若/(Xo)=O,且0＜玉＜々，有/(芯)=/(々)，判斷王+々與2%的大小關(guān)系，并證明你

的判斷

(2)設(shè)不等式(x+a)/(x)—4/W0的解集為/,若(0,3e]=/,求實數(shù)a的取值范圍(以上問題中e為自然

對數(shù)的底數(shù))

題508：

已知函數(shù)/(x)=xlnx,e為自然對數(shù)的底數(shù)

(1)求曲線y=/(x)在x=e一處的切線方程；

(2)關(guān)于x的不等式在(0,+oo)上恒成立，求實數(shù)4的取值范圍；

31

⑶關(guān)于X的方程/(x)=a有兩個實數(shù)根為々，求證：I內(nèi)一對＜/。+1+京

題509：

已知函數(shù)/(x)=lnx-ar(aeR)

(1)若曲線y=/(x)存在一條切線與直線y=x平行，求。的取值范圍；

(2)當(dāng)0<“<2時，若/(x)在[a,2]上的最大值為一；，求。的值；

一皿”、，一1lnx+11

解：由題J(x)=lnx-ar?——=>a<------,a=—j=

2xy/e

題509：

已知函數(shù)f(x)=-^ax2+(1+a)x-\nx(ae/?)

(1)當(dāng)a>0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)當(dāng)a=O時，設(shè)函數(shù)g(x)=4(x)，若存在[m,〃|=[g,+8)，使得函數(shù)g(x)在[/",〃]上的值域為

[k(m+2)-2,k(n+2)-2],求實數(shù)上的取值范圍

題510：

32

已知函數(shù)/(x)=(x-6x+3x+t)e',tGR

(1)當(dāng)，=1時，函數(shù)/(x)在點(0,7(0)處的切線方程

(2)若函數(shù)y=/(x)有三個不同的極值點，求f的值；

(3)若存在實數(shù)te[0,2],使對任意的不等式/(x)Wx恒成立，求正整數(shù)，〃的最大值

題511：

已知函數(shù)/(x)=(x2-2x)\nx+ax1+2,g(x)=/(%)-%-2

(1)當(dāng)a=—1時，求/(x)在(1J⑴)處的切線方程；

(2)若a>0且g(x)有且僅有一個零點，求實數(shù)a的值；

(3)在(2)的條件下，若e-2<x<e時，g(x)?,〃恒成立，求實數(shù)機的取值范圍

題512：

vlnx

已知函數(shù)，(x)=----+OX-1在x=2處的切線平行于直線y=(l—ln2)x

x-1

(1)求。的值，并判斷了(X)在(1,+0。)上的單調(diào)性；

(2)求證：f(X)>

X+1

xlnxx-12(x2-1)2(x2-1),

解：------1>———=InY2>——-----,x>l,lnx2<——-----,0<%<1

X—1X+1X~+1X+1

題513：

已知函數(shù)f(x)=Inx,g(x)=x-l

(1)求函數(shù)y=/(x)的圖象在x=l處的切線方程；

(2)證明：/(x)Wg(x)；

(3)若不等式/(x)4ag(x)對于任意的xe(l,+o。)均成立，求實數(shù)。的取值范圍

題514：

已知函數(shù)/(x)=e*-"'-xlnx-O-l)x；

(1)若〃z=1,求證：/(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增；

(2)若g(x)=/'(x),試討論g(x)零點的個數(shù).

題515：

已知/(幻=1±也二(。70,且。為常數(shù)).

2ax

(1)求/1(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若a=；在區(qū)間(1,+oo)內(nèi)，存在斗々且工產(chǎn)々時，使不等式|/(石)一/(工2)|乂|尤1一工2|成立，求女的

取值范圍.

題516：已知函數(shù)/(x)=e'-mlnx,，〃e(O,e),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若加=2,求曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線斜率；

(2)證明：當(dāng)xe(%,l)時，函數(shù)/(x)有極小值，且極小值大于

e

題517：

已知函數(shù)f(x)=xlnx

(1)求/(X)在［；,；］上的值域；

(2)對任意xe［2,+oo),都有/(x-l)4ox-1/成立，求實數(shù)。的取值范圍

題518：

已知函數(shù)f(x)-lnx+—(?eR)

尤

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間：

(2)若方程f(x)=2存在兩個不同的實數(shù)解玉，求證：藥+々>2。

題519：已知函數(shù)/甕)=如,2"其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若a=—1,求曲線g(x)=/(x)+Inx在點(l,g⑴)處的切線方程；

(2)若關(guān)于x的不等式/(幻+2虎2，+1202，在(一8,0］上恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

解：ax2+2x+e-2x-l>0

g'(x)-2ax+2-2e~2x

?>—2

g'(x)<2ax+2-2(-2x+1)=2(a+2)x<0,f(x)>/(0)=0

八/Q+2八、

ci<-2,xG(---------,0)

2a

2

g\x)=2ax+2-2e~2x>2ax+2------>0,/(x)</(0)=0

2x+l

題520：

已知函數(shù)/(x)=2e*+ax

(1)求/1(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)討論函數(shù)/(幻在(0,+8)上的零點個數(shù)

題521：

1

已知函數(shù)/(%)=\nx-ax+x,aGR.

(1)討論函數(shù).f(x)的單調(diào)性；

(2)已知?！?,若函數(shù)/(x)40恒成立，試確定。的取值范圍.

題522：

已知函數(shù)/(x)=e2x+(a+\)ex-(a2+2a+l)x

(1)若a=—1,求函數(shù)/(x)的圖象在點x=0處的切線方程；

(2)若/(x)20,求。的取值范圍

題523：

已知函數(shù)/(x)=x(lnx-av-l)有兩個極值點尤］,無2.

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)求證：—+—>4ae,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

Inx}Inx2

題524：

已知函數(shù)/(x)=(m-l)lnx-—

(1)若加=2,求函數(shù)/(x)在［l,e］上的最值；

(2)若關(guān)于x的不等式工-1—x-/(x)>0在口,+0。)上恒成立，求實數(shù)”的取值范圍

m

題525：

設(shè)函數(shù)/(x)=2%2,g(x)=m\nx{m>0),已知曲線/(x)與g(x)有且僅有一個公共點

(1)求M的值；

(2)若存在實數(shù)a,。，使得關(guān)于x的不等式g(x)<奴+Z??/(x)+2對于任意的正實數(shù)x恒成立，求a取得最

小值時6的值

題526：

在函數(shù)y=lnx的圖象上取點P(〃,ln〃)(〃GN*),記線段片片用的斜率為火,,,求證：\1<-(/1+2)

i=i發(fā)2

1〃(〃+2)—(〃-1)(〃+1)2n+l

解：-------------<---------------------=------

ln(n+l)-lnn22

111〃(〃+2)[2(x-1)〃+1

-----------++???+<=>lnx>,x=

In2—In1In3-In2-------ln(n+l)-lnn-------2------------------x+1n

題527：

HY

已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)~.

1+x

(1)若a=2,求/(x)在x=l處的切線方程；

(2)若/(x)20對xe(—l,+oo)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

題528：

設(shè)函數(shù)/(幻=匕皿

X

(1)若函數(shù)/(X)在區(qū)間+3上存在極值，求實數(shù)f的取值范圍；

4

(2)若對任意的王,々，當(dāng)玉>々之6時，恒有，(X1)—/(々)|2女,一’~,求實數(shù)人的取值范圍。

(3)是否存在實數(shù)〃?,〃(機<〃)，當(dāng)時/(幻的值域為[根,山？若存在，請給出證明；若不存在，請

說明理由。

題529：

已知函數(shù)/(x)=lnx，QD，曲線y=/(x)在點(-,/(-))處的切線平行于直線y=10x+l.

x—122

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)直線/為函數(shù)y=lnx圖象上任意一點4/，%)處的切線，在區(qū)間(1,k)上是否存在與，使得直線/與

曲線y=e*也相切？若存在，滿足條件的與有幾個？

題530：

2xx22

已知函數(shù)/(x)=e-2ae+2?(xGR),g(x)=2?lnx-lnx+2(x>0),?GR

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)求證：對Vx>0,ae7?,都有/(x)>g(x)

題531：

已知函數(shù)/(x)=ex-(l+a)x-b(a,bwR),其中e是自然對數(shù)的底數(shù)

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性及極值；

(2)若不等式/(x)20在xeR內(nèi)恒成立，求證：絲詈<?

題532：

已知函數(shù)/(x)=(x-l)ev+l,XG[0,ll

(1)證明：/(x)>0：

(2)若〈方在xe(0,l)恒成立，求匕一。的最小值；

X

(3)證明：/(x)圖象恒在直線y=x—；的上方

題533：

已知加>0,函數(shù)/(x)=3^,g(x)=

mxyJx

(1)若/(x)<g(x)恒成立，求“7的取值范圍；

(2)證明：不論加取何正值，總存在正數(shù)小,使得當(dāng)龍G(%,+8)時，恒有/(X)<g

題534：

已知函數(shù)f(x)-(2x+h)ex,F(x)-bx-Inx,

(1)若。<0,且存在區(qū)間M,使得/(x)和/(x)在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性，求b的取值范圍;

(2)若P。+1)>匕對任意xe(0,+a5)恒成立，求〃的取值范圍

題535：

1,

已知/(x)=(x-l)e'+—tzx".

(1)當(dāng)a=e時，/(X)的極值；

⑵若/(x)有2個不同零點，求。的取值范圍；

(3)對Vx>l,求證：/(x)>—ax2+x+l+ln(x—1)

%2—1

題536：已知函數(shù)/(x)=(m-l)logZMx-----(m>1)

(1)若m=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))，求函數(shù)/(幻的單調(diào)區(qū)間；

(2)若l<x<求證：/(x)<———

2

題537：設(shè)函數(shù)f(x)=\nx-x2+ax

(1)若函數(shù)/(x)在(0,e］上單調(diào)遞增，試求。的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)/(?在點。(1,7(1))處的切線為/,證明：函數(shù)/(%)圖象上的點都不在直線/的上方

題538：設(shè)函數(shù)/(x)=(x-a)2Inx,g(x)=21nx+l——.

x

(1)設(shè)aeZ,試討論函數(shù)g(x)的零點個數(shù).

(2)設(shè)aeN,求。的最大值，使得對任意的x6(0*2],恒有/(x)44e2成立(其中e是自然對數(shù)底數(shù)，

e2?7.388,Ve?1.649,72?1.414).

題539：

定義在R上的函數(shù)/⑺滿足/3=等產(chǎn)+，2〃0?'ga)=〃*—*+a-g+a

(1)求函數(shù)/(X)的解析式；

(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)如果s",r滿足卜一“W/一r|,那么稱s比f更靠近r,當(dāng)aN2且xNl時，試比較且和e*T+a哪個更靠

近Inx,并說明理由

題540：

函數(shù)f(x)=口42—，〃InJl+2x+mx-2m,其中m<一■-.

22

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

p]e—1

(2)已知當(dāng)〃區(qū)一/(其中e=2.71828…是自然對數(shù))時，在xe(-了一丁]上至少存在一點與，使

/(Xo)>e+1成立，求加的取值范圍；

(3)求證：當(dāng)機=—1時，對任意%,當(dāng)w(0,1)，石工勺，有/⑺/(%)<)

x2-%)3

k

題541：已知函數(shù)/(x)=xlnx與函數(shù)g(x)=—(&eR)的圖像有兩個不同的交點且

x

X]V%2.

(1)求實數(shù)人的取值范圍；

2

(2)證明：X]+/<.

題542：

已知函數(shù)/(%)=-——-(tz>0)

e'+a

(1)若曲線y=/(x)在點(0,7(0))處的切線與直線x—2y+l=0平行，求。的值；

(2)若xNO時，成立，求實數(shù)。的取值范圍

題543：

對于函數(shù)y=E(x),若在其定義域內(nèi)存在與,使得小成立，則稱與為函數(shù)/(幻的“反比點”.已知函數(shù)

/(x)=Inx,g(x)=g(x_1尸_］

(.1)求證：.函數(shù)/(X)具有“反比點”，并討論函數(shù)/(X)的“反比點”個數(shù)；

(2)若時,恒有尤/(幻《/1他(幻+幻成立，求X的最小值.

題544：

已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+

(1)當(dāng)加=1時，討論了(龍)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)"ZW2時，證明：/(%)>-