2021-2022學(xué)年北京市燕山區(qū)九年級上期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2021-2022學(xué)年北京市燕山區(qū)九年級上期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一

個.

1.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）

C.棱柱D.正方體

2.下面是同學(xué)們利用圖形變化的知識設(shè)計的一些美麗的圖案，其中既是軸對稱圖形又是中

B.

3.如圖，OA,OB是的兩條半徑，且點C在。。上，則/ACB等于（

A.20°B.25°C.35D.45°

4.下列事件中，是隨機事件的是（）

A.。。的半徑為5,OP=3,點尸在OO外

B.相似三角形的對應(yīng)角相等

C.任意畫兩個直角三角形，這兩個三角形相似

D.直徑所對的圓周角為直角

5.如圖，在△ABC中，ZC=90°.若AB=3,BC=2,則sinA的值為（）

第1頁共34頁

A.2B.返C.2VED.在

3352

6.已知近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）之間成如圖所示的反比例函數(shù)關(guān)系，則

眼鏡度數(shù)》與鏡片焦距x之間的函數(shù)解析式為（）

X

7.一個扇形的圓心角為120。，半徑為3,則這個扇形的弧長是（）

A.4TlB.3nC.2nD.n

8.心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)：課堂上，學(xué)生對概念的接受能力s與提出概念的時間/（單位：機加）之

間近似滿足函數(shù)關(guān)系S=4尸+從+。（aWO）,s值越大，表示接受能力越強.如圖記錄了學(xué)

生學(xué)習(xí)某概念時f與s的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出當學(xué)生接受能力

最強時，提出概念的時間為（）

A.8mmB.13mmC.20minD.25min

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.點尸（4,3）關(guān)于原點的對稱點P'的坐標是.

10.寫出一個反比例函數(shù)y=K（20）,使它的圖象在其每一分支上，y隨x的增大而減小,

第2頁共34頁

這個函數(shù)的解析式為.

11.如圖標記了△ABC和的邊，角的一些數(shù)據(jù)，請你添加一個條件，使△ABCs4

DEF,這個條件可以是.（只填一個即可）

12.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，貝I]tanatan0.（填“>”，"=”或“<”）

13.如圖，在半徑為5cm的OO中，圓心O到弦AB的距離為3cm,則弦AB的長是

14.如圖，小蕓用燈泡。照射一個矩形相框ABCZ）,在墻上形成矩形影子A'B'C'￡>'.現(xiàn)

測得。4=20cwi,OA'=50cm,相框的面積為80cm則影子4B'CD'的

面積為.

15.在綜合實踐活動中，同學(xué)們借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用24加長的籬笆

圍成一個矩形花園ABCD,則矩形花園ABCD的最大面積為.7712

16.下表顯示了同學(xué)們用計算機模擬隨機投針實驗的某次實驗的結(jié)果.

第3頁共34頁

投針次數(shù)n100020003000400050001000020000

針與直線相交的次數(shù)m45497014301912238647699548

針與直線相交的頻率p=0.4540.4850.47670.4780.47720.47690.4774

m

n

下面有三個推斷：

①投擲1000次時，針與直線相交的次數(shù)是454,針與直線相交的概率是0.454；

②隨著實驗次數(shù)的增加，針與直線相交的頻率總在0.477附近，顯示出一定的穩(wěn)定性，

可以估計針與直線相交的概率是0.477；

③若再次用計算機模擬此實驗，則當投擲次數(shù)為10000時，針與直線相交的頻率一定是

0.4769.

其中合理的推斷的序號是：.

三、解答題(本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27,

28題，每小題5分)解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.(5分)計算：J"§tan60°-，Rcos45°+sin30°.

18.(5分)如圖，△ABC中，點。在邊AC上，且

(1)求證：/\ADBsAABC；

(2)若AO=4,AC=9,求AB的長.

19.(5分)如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的三個頂點坐標分別為A(1,0),O(0,

0),B(2,2).以點。為旋轉(zhuǎn)中心，將△A02逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AiOBi.

(1)畫出△4081；

(2)直接寫出點4和點81的坐標；

(3)求線段。修的長度.

第4頁共34頁

20.（5分）下面是小蕓設(shè)計的“過圓外一點作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：O。及O。外一點尸.

求作：OO的一條切線，使這條切線經(jīng)過點尸.

作法：①連接OP,作OP的垂直平分線/,

交OP于點A；

②以A為圓心，49為半徑作圓，

交于點

③作直線則直線即為的切線.

根據(jù)小蕓設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：連接。

由作圖可知，A為0尸中點，

二。尸為OA直徑，

ZOMP=°,（）（填推理的依據(jù)）

即

又：點M在O。上，

是O。的切線.（）（填推理的依據(jù)）

21.（5分）中國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)成就，《周髀算經(jīng)》，《九章算術(shù)》，《海島算經(jīng)》，《孫子

算經(jīng)》等是我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻.

第5頁共34頁

（1）小聰想從這4部數(shù)學(xué)名著中隨機選擇1部閱讀，則他選中《九章算術(shù)》的概率

為;

（2）某中學(xué)擬從這4部數(shù)學(xué)名著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，求恰

好選中《九章算術(shù)》和《孫子算經(jīng)》的概率.

22.（5分）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AD平分/C4B,交BC于點。，CD=2,

AC=2A/3.

（1）求/8的度數(shù)；

（2）求和的長.

23.（6分）如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面8"?時，水面寬AB為12m.當水面上升6根

時達到警戒水位，此時拱橋內(nèi)的水面寬度是多少m?

下面給出了解決這個問題的兩種方法，請補充完整:

方法一：如圖1,以點A為原點，所在直線為x軸，建立平面直角坐標系xOy,

此時點B的坐標為（,）,拋物線的頂點坐標為（,）,

可求這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為.

當y=6時，求出此時自變量尤的取值，即可解決這個問題.

方法二：如圖2,以拋物線頂點為原點，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系xOy,

這時這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為.

當＞=時，求出此時自變量尤的取值為,即可解決這個問題.

24.（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=2x+2與函數(shù)y=X（ZW0）的圖象交

X

于A,B兩點,且點A的坐標為（1,m）.

第6頁共34頁

(1)求％,m的值；

(2)已知點尸(a,0),過點尸作平行于y軸的直線，交直線y=2x+2于點交函數(shù)y

=Kgo)的圖象于點N.

X

①當a=2時，求線段MN的長；

②若PM>PN,結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出a的取值范圍.

25.(6分)如圖，A8是。。的直徑，C為。。上一點，過點C作OO的切線交AB的延長

線于點尸，過點A作AOLPC于點D,AD與交于點E.

(1)求證：AC平分/D4B.

(2)若AB=10,sin/CAB=Z,請寫出求長的思路.

5

26.(6分)如圖，。。的直徑點C為線段A2上一動點，過點C作的垂線

交O。于點。，E,連結(jié)AD,AE.設(shè)AC的長為xs,△ADE的面積為yen?.

小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.

下面是小東的探究過程，請補充完整：

(1)確定自變量x的取值范圍是；

(2)通過取點、畫圖、測量、分析，得到了y與x的幾組對應(yīng)值，如下表：

x/cm00.511.522.533.54

第7頁共34頁

(3)如圖，建立平面直角坐標系xOy,描出以補全后的表中各對對應(yīng)值為坐標的點，畫

?--------r

?--------r

出該函數(shù)的圖象；0123456xcm

(4)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當△AOE的面積為4cm2時，AC的長度約為

27.(7分)正方形ABCD中,將邊A2所在直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度a得到直線AM,

過點C作CEL4M,垂足為E,連接BE.

(1)當0°<a<45°時，設(shè)AM交于點尸，

①如圖1,若a=35°,則/BCE=°；

②如圖2,用等式表示線段AE,BE,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)當45°<a<90°時(如圖3),請直接用等式表示線段AE,BE,CE之間的數(shù)量

關(guān)系.

第8頁共34頁

28.（7分）對于平面直角坐標系xOy中的點P,。和圖形G,給出如下定義：點P,。都在

圖形G上，且將點尸的橫坐標與縱坐標互換后得到點。，則稱點尸，。是圖形G的一對

“關(guān)聯(lián)點”.例如，點尸（1,2）和點。（2,1）是直線y=-x+3的一對關(guān)聯(lián)點.

（1）請寫出反比例函數(shù)y=旦的圖象上的一對關(guān)聯(lián)點的坐標：；

X

⑵拋物線的對稱軸為直線％=1,與y軸交于點。（0,-1）.點A,B是

拋物線>=/+法+。的一對關(guān)聯(lián)點，直線與x軸交于點。（1,0）.求A,5兩點坐標.

（3）0T的半徑為3,點M,N是OT的一對關(guān)聯(lián)點，且點M的坐標為（1,m）（m>l）,

請直接寫出機的取值范圍.

4

3

2

1

-4-3-2-101234x

-1

-2

-3

一4

第9頁共34頁

2021-2022學(xué)年北京市燕山區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一

個.

1.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）

正視圖左視圖俯視圖

A.圓錐B.圓柱C.棱柱D.正方體

【分析】根據(jù)一個空間幾何體的正視圖和左視圖都是寬度相等的長方形，可判斷該幾何

體是柱體，進而根據(jù)俯視圖的形狀，可判斷柱體側(cè)面形狀，得到答案.

【解答】解：由幾何體的正視圖和左視圖都是寬度相等的長方形，

故該幾何體是一個柱體，

又：俯視圖是一個圓，

故該幾何體是一個圓柱.

故選：B.

【點評】本題考查的知識點是三視圖，如果有兩個視圖為三角形，該幾何體一定是錐，

如果有兩個矩形，該幾何體一定柱，其底面由第三個視圖的形狀決定.

2.下面是同學(xué)們利用圖形變化的知識設(shè)計的一些美麗的圖案，其中既是軸對稱圖形又是中

心對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)圖形的性質(zhì)和軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義解答.

第10頁共34頁

【解答】解：A、既是軸對稱圖形又是對稱圖形，故選項正確；

2、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，選項錯誤；

D,是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，選項錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱

軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度

后與原圖重合.

3.如圖，OA,OB是的兩條半徑，且。4_LOB,點C在。。上，則/ACB等于（）

A.20°B.25°C.35°D.45°

【分析】根據(jù)圓周角定理解答.

【解答】解：

/.ZAOB=90°,

由圓周角定理得，ZACB=^ZAOB^45°,

2

故選：D.

【點評】本題考查的是圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，

都等于這條弧所對的圓心角的一半.

4.下列事件中，是隨機事件的是（）

A.的半徑為5,OP=3,點尸在。。外

B.相似三角形的對應(yīng)角相等

C.任意畫兩個直角三角形，這兩個三角形相似

D.直徑所對的圓周角為直角

【分析】根據(jù)確定事件、隨機事件的定義，利用點圓的位置關(guān)系的判定方法對A進行判

定；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對8進行判定；根據(jù)相似三角形的判定可對C進行判定；根

據(jù)圓周角定理可對D進行判定.

第11頁共34頁

【解答】解：A、因為OP＜。。的半徑，所以點P在。。內(nèi)，所以點P在。。外為不可

能事件；

8、相似三角形的對應(yīng)角相等為必然事件；

C、任意畫兩個直角三角形，這兩個三角形可能相似，也可能不相似，所以它為隨機事件;

。、直徑所對的圓周角為直角為必然事件.

故選：C.

【點評】本題考查了作圖-相似變換：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個

圖形放大或縮小得到.相似圖形的作圖在沒有明確規(guī)定的情況下，我們可以利用相似的

基本圖形“A”型和“X”型進行簡單的相似變換作圖.也考查了隨機事件.

5.如圖，在△ABC中，NC=90°.若A2=3,BC=2,則sinA的值為（）

A.2B.返C.D.金

3352

【分析】根據(jù)sinA=ZA的對邊除以斜邊求解可得.

【解答】解：在RtZXABC中，VZC=90°,AB=3,BC=2,

故選：A.

【點評】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握正弦函數(shù)的定義.

6.已知近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）之間成如圖所示的反比例函數(shù)關(guān)系，則

第12頁共34頁

【分析】由于近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，可設(shè)y=K,由于

點（0.5,200）在此函數(shù)解析式上，故可先求得上的值.

【解答】解：根據(jù)題意近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，設(shè)〉=上,

X

由于點（0.5,200）在此函數(shù)解析式上，

.,.^=0,5X200=100,

?.?y-1--0--0-，

x

故選：D.

【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩

個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式.

7.一個扇形的圓心角為120。，半徑為3,則這個扇形的弧長是（）

A.4nB.31TC.2TCD.it

【分析】根據(jù)弧長的公式/=亞二進行計算即可.

180

【解答】解：根據(jù)弧長的公式/=正工，

180

得到：/=120-兀咤=2加

180

故選：C.

【點評】本題考查了弧長的計算，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵.

8.心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)：課堂上，學(xué)生對概念的接受能力s與提出概念的時間，（單位：力加）之

間近似滿足函數(shù)關(guān)系s=aP+4+c（aWO）,s值越大，表示接受能力越強.如圖記錄了學(xué)

生學(xué)習(xí)某概念時f與s的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出當學(xué)生接受能力

最強時，提出概念的時間為（）

A.8mmB.13mmC.20minD.25min

【分析】把點坐標：（0,43）、（20,55）、（30,31）,代入函數(shù)5=〃金+初+c,求出函數(shù)表

第13頁共34頁

達式，由故函數(shù)有最大值，即：當f=-以=13時，s有最大值.

102a

【解答】解：由題意得：函數(shù)過點（0,43）、（20,55）、（30,31）,

把以上三點坐標代入s=at1+bt+c得：

’43=ca=-^o

<55=202a+20b+c,解得：3，

0b-5

.31=30a+30b+c

則函數(shù)的表達式為：S=-」一尸+U+43,

105

??,?=--L<o,則函數(shù)有最大值，

10

當f=-旦=13時，s有最大值，即學(xué)生接受能力最強，

2a

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用，首先要吃透題意，確定已知

點坐標，求出函數(shù)表達式，通常自變量在對稱軸時，函數(shù)取得最值.

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.點尸（4,3）關(guān)于原點的對稱點P'的坐標是（-4,-3）.

【分析】根據(jù)“關(guān)于原點對稱的點的坐標關(guān)系：橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)”，即可求

解.

【解答】解：???關(guān)于原點對稱的點的坐標關(guān)系，即橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)，

點尸（4,3）關(guān)于原點的對稱點P'的坐標是（-4,-3）.

【點評】解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：

（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；

（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；

（3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù).

10.寫出一個反比例函數(shù)y=K（左#0）,使它的圖象在其每一分支上，丁隨x的增大而減小,

X

這個函數(shù)的解析式為y=2（答案不唯一）.

x

【分析】由圖象在其每一分支上，y隨x的增大而減小，即可求函數(shù)的解析式.

【解答】解：???圖象在其每一分支上，y隨x的增大而減小，

：.k>0

第14頁共34頁

這個函數(shù)的解析式為y=2,

故答案為y=2（答案不唯一）.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

11.如圖標記了△ABC和△￡>￡/的邊，角的一些數(shù)據(jù)，請你添加一個條件，使△ABCs4

DEF,這個條件可以是￡>歹=6或/C=60°或NB=35°.（只填一個即可）

【分析】答案不唯一，根據(jù)相似三角形的判定方法即可解決問題.

【解答】解：根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似，可以添加：ZC=60°或NB=35°,

根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似，可以添加：DF=6.

故答案為。尸=6或/C=60°或/B=35°

【點評】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？?/p>

題型.

12.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則tana<tanB.（填“>”或“<”）

【分析】由外角性質(zhì)知/0>/a,再根據(jù)銳角的正切函數(shù)值隨角度的增大而增大求解可

得.

【解答】解：由圖知/0>/a,

銳角的正切值隨角度的增大而增大，

/.tana<tanP，

故答案為：<.

【點評】本題主要考查銳角三角函數(shù)的增減性，解題的關(guān)鍵是掌握三角形外角的性質(zhì)和

銳角的正切函數(shù)值隨角度的增大而增大.

13.如圖，在半徑為5cm的中，圓心0到弦的距離為3cm,則弦A3的長是8cm.

第15頁共34頁

【分析】連接04由OC垂直于弦AB,利用垂徑定理得到C為AB的中點，在直角三

角形AOC中，由。4與OC的長，利用勾股定理求出AC的長，即可得出的長.

【解答】解：連接OA,

OC±AB,

；.C為AB的中點，BPAC=BC,

在RtZ\AOC中，0A—5cm,0C=3cm,

根據(jù)勾股定理得：AC=?0A2-0C2=4cm,

則AB=2AC=Scm.

故答案為：8cm

【點評】此題考查了垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.

14.如圖，小蕓用燈泡。照射一個矩形相框ABCD在墻上形成矩形影子A'B'C'￡>'.現(xiàn)

測得OA=20cm,OA'=50cm,相框ABCD的面積為80。加2,則影子4，B>c，D'的

【分析】易得對應(yīng)點到對應(yīng)中心的比值，那么面積比為對應(yīng)點到對應(yīng)中心的比值的平方,

據(jù)此求解可得.

【解答】解：；。4：OA'=2：5,

可知。8：OB'=2：5,

VZAOB=ZA'OB',

第16頁共34頁

/.△AOB^AA,OB',

：.AB：A'B'=2：5,

；?矩形ABCD的面積：矩形A'B'CD'的面積為4：25,

又矩形ABC。的面積為80a/,則矩形4B'CD'的面積為5000"2.

故答案為：500cm2.

【點評】本題考查中心投影與位似圖形的性質(zhì)，用到的知識點為：位似比為對應(yīng)點到對

應(yīng)中心的比值，面積比為位似比的平方.

15.在綜合實踐活動中，同學(xué)們借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長)，用24m長的籬笆

圍成一個矩形花園ABCD,則矩形花園ABCD的最大面積為.144m2.

【分析】設(shè)：AB=x,則BC=24-x,貝S矩形花園ABCD=AB?CD=X(24-尤)=-x2+24.r,

求面積的最大值即可.

【解答】解：設(shè)：AB=x,則BC=24-x,

2

S矩形花園4BCD=AB.CZ)=X(24-x)=-x+24x,

此函數(shù)的對稱軸為：x=-M=-—

2a-2X1

,：a=-1,故函數(shù)有最大值，

當x=12時，函數(shù)取得最大值，

貝1J：S^^ABCD=AB-CD=X(24-x)=-7+24x=-144+24X12=144,

故：答案是144.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用.最大銷售利潤的問題常利函

數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際選

擇最優(yōu)方案.

16.下表顯示了同學(xué)們用計算機模擬隨機投針實驗的某次實驗的結(jié)果.

投針次數(shù)n100020003000400050001000020000

針與直線相交的次數(shù)相45497014301912238647699548

針與直線相交的頻率p=0.4540.4850.47670.4780.47720.47690.4774

第17頁共34頁

m

n

下面有三個推斷：

①投擲1000次時，針與直線相交的次數(shù)是454,針與直線相交的概率是0.454；

②隨著實驗次數(shù)的增加，針與直線相交的頻率總在0.477附近，顯示出一定的穩(wěn)定性，

可以估計針與直線相交的概率是0.477；

③若再次用計算機模擬此實驗，則當投擲次數(shù)為10000時，針與直線相交的頻率一定是

0.4769.

其中合理的推斷的序號是：②.

【分析】根據(jù)圖表和各個小題的說法可以判斷是否正確，從而可以解答本題.

【解答】解：①投擲1000次時，針與直線相交的次數(shù)是454,可以估計針與直線相交的

概率是0.454,錯誤；

②隨著實驗次數(shù)的增加，針與直線相交的頻率總在0.477附近，顯示出一定的穩(wěn)定性，

可以估計針與直線相交的概率是0.477,正確；

③若再次用計算機模擬此實驗，則當投擲次數(shù)為10000時，可以估計針與直線相交的頻

率是0.4769,錯誤；

故答案為：②

【點評】本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關(guān)鍵是明確概率的定義，利用數(shù)形結(jié)

合的思想解答.

三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27,

28題，每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.（5分）計算：V3tan60o-V2cos45°+sin30°.

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別代入求出答案.

【解答】解：原式=?x?-&x返+工

22

=3-1+A

2

—_5—.

2

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

18.（5分）如圖，△ABC中，點。在邊AC上，且

(1)求證：△AD3s△Age；

第18頁共34頁

(2)若AD=4,AC=9,求AB的長.

【分析】(1)根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明；

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計算即可.

【解答】(1)證明：???/ABD=NC,ZA=ZA,

"。吐△ABC；

⑵解：VAADB^AABC,

2

AAB=AC；gpAB=AC'AD,

ADAB

,/AD=4,AC=9,

：.AB2=4X9=36,

.\AB=6.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定

理是解題的關(guān)鍵.

19.(5分)如圖，在平面直角坐標系中，△A08的三個頂點坐標分別為A(1,0),O(0,

0),B(2,2).以點O為旋轉(zhuǎn)中心，將AAOB逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AiOBi.

(1)畫出△4081；

(2)直接寫出點4和點21的坐標；

【分析】(1)分別作出點A和點2繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得對應(yīng)點，再與點。首尾

順次連接即可得；

第19頁共34頁

(2)由所得圖形可得點的坐標；

(3)利用勾股定理可得答案.

【解答】解：(1)畫出△4081,如圖.

(2)點4(0,1),點81(-2,2).

(3)021=08=62+22=2加.

【點評】本題主要考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義和性質(zhì)，并

據(jù)此得出變換后的對應(yīng)點.

20.(5分)下面是小蕓設(shè)計的“過圓外一點作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：及O。外一點尸.

求作：O。的一條切線，使這條切線經(jīng)過點尸.

作法：①連接OP,作OP的垂直平分線/,

交OP于點A；

②以A為圓心，A。為半徑作圓，

交。O于點M；

③作直線尸則直線即為的切線.

根據(jù)小蕓設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明：

證明：連接OM,

由作圖可知，A為。尸中點，

為。A直徑，

第20頁共34頁

ZOMP=90°,（直徑所對的圓周角是直角）（填推理的依據(jù)）

即

又：點M在OO上，

???PM是O0的切線.（經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）（填

推理的依據(jù)）

【分析】（1）根據(jù)作圖步驟利用尺規(guī)作圖可得；

（2）①根據(jù)“直徑所對圓周角是直角”可得；②根據(jù)“經(jīng)過半徑的外端點，并且垂直

于這條半徑的直線是圓的切線”可得.

（2）證明：連接OM,

由作圖可知，A為。尸中點，

為。A直徑，

：.ZOMP=90°,（直徑所對的圓周角是直角），

即OM_LPM.

又?.?點M在。。上，

???PM是OO的切線.（經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線），

故答案為：90,直徑所對的圓周角是直角，經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線

是圓的切線.

【點評】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中垂線的尺規(guī)作圖及圓

周角定理、切線的判定.

第21頁共34頁

21.（5分）中國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)成就，《周髀算經(jīng)》，《九章算術(shù)》，《海島算經(jīng)》，《孫子

算經(jīng)》等是我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻.

（1）小聰想從這4部數(shù)學(xué)名著中隨機選擇1部閱讀，則他選中《九章算術(shù)》的概率為

1__,

4一

（2）某中學(xué)擬從這4部數(shù)學(xué)名著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，求恰

好選中《九章算術(shù)》和《孫子算經(jīng)》的概率.

【分析】（1）根據(jù)小聰選擇的數(shù)學(xué)名著有四種可能，而他選中《九章算術(shù)》只有一種情

況，再根據(jù)概率公式解答即可；

（2）此題需要兩步完成，所以可采用樹狀圖法或者采用列表法求解.

【解答】解：（1）小聰想從這4部數(shù)學(xué)名著中隨機選擇1部閱讀，則他選中《九章算術(shù)》

的概率為上.

4

故答案為工；

4

（2）將四部名著《周髀算經(jīng)》，《九章算術(shù)》，《海島算經(jīng)》，《孫子算經(jīng)》分別記為A,B,

C,D,記恰好選中《九章算術(shù)》和《孫子算經(jīng)》為事件

方法一：用列表法列舉出從4部名著中選擇2部所能產(chǎn)生的全部結(jié)果：

ABCD

第1部

第2部

ABACADA

BABCBDB

CACBCDC

DADBDCD

由表中可以看出，所有可能的結(jié)果有12種，并且這12種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等,

所有可能的結(jié)果中，滿足事件M的結(jié)果有2種，即。8,BD,

方法二：根據(jù)題意可以畫出如下的樹狀圖:

第22頁共34頁

ABCD

/N/T\/N/t\

BCDACDABDABC

由樹狀圖可以看出，所有可能的結(jié)果有12種，并且這12種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等,

所有可能的結(jié)果中，滿足事件M的結(jié)果有2種，即DB,

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所

有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解

題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總

情況數(shù)之比.

22.(5分)如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AD平分/C4B,交BC于點、D,CD=2,

AC=2?.

（1）求的度數(shù)；

（2）求A3和的長.

【分析】（1）根據(jù)正切的概念求出/C4D,根據(jù)角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理計

算即可;

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出根據(jù)勾股定理求出BC.

【解答】解：（1）.在RtZXACD中，NC=90°,CD=2,AC=2?,

"W考

AZCAD=30°,

平分/CAB,

：.ZCAB=2ZCAD=60°,

VZC=90°,

AZB=90°-60°=30°；

(2)?.?在RtZXABC中，ZC=90°,ZB=30°,

：,AB=2AC=4-/3,

第23頁共34頁

-,-BC=/AB2_AC2=6.

【點評】本題考查的是勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，如果直角三角形的兩條直角邊長

分別是b,斜邊長為C,那么。2+/=02.

23.(6分)如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面8根時，水面寬AB為12%當水面上升6帆

時達到警戒水位，此時拱橋內(nèi)的水面寬度是多少m2

下面給出了解決這個問題的兩種方法，請補充完整：

方法一：如圖1,以點A為原點，所在直線為x軸，建立平面直角坐標系xOy,

此時點B的坐標為(,12,0),拋物線的頂點坐標為(6,8),

可求這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為二2/+&X.

旦一金一

當y=6時，求出此時自變量x的取值，即可解決這個問題.

方法二：如圖2,以拋物線頂點為原點，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系xOy,

這時這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為y=-27.

旦一

當尸-2時,求出此時自變量x的取值為±3,即可解決這個問題.

【分析】方法一：根據(jù)頂點坐標為(4,4),設(shè)其解析式為y=a(x-4)2+4,將(0,0)

代入求出a的值即可得；

方法二：設(shè)拋物線解析式為將點(4,-4)代入求得a的值，據(jù)此可得拋物線

的解析式，再求出上漲3根后，即y=-1時x的值即可得.

【解答】解：方法一：B(12,0),O(6,8),

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-6)2+8,

把8點的坐標代入得，。=-2,

9

.?.二次函數(shù)的解析式為尸-

方法二：設(shè)二次函數(shù)的解析式為>=以2,

第24頁共34頁

把8（6,-8）代入得，a=-―,

9

二次函數(shù)的解析式為y=-2/；

9

y=-2時，求出此時自變量尤的取值為±3,

故答案為：12,0,6,8,y=-2.A-2；-2,±3.

-93-9

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立合適的平面直角坐

標系及熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

24.（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=2x+2與函數(shù)尸巴（AW0）的圖象交

x

于A,B兩點,且點A的坐標為（1,根）.

（1）求％,m的值；

（2）已知點尸（〃，0）,過點尸作平行于y軸的直線，交直線y=2x+2于點交函數(shù)y

=K（20）的圖象于點N.

X

①當a=2時，求線段的長；

②若PM>PN,結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出。的取值范圍.

【分析】（1）將點A坐標代入直線解析式可求m的值，再將點A坐標代入反比例函數(shù)解

析式可求上的值；

（2）①求出點，點N兩點坐標，即可求的長；

②根據(jù)圖象可解.

【解答】解：（1）?.?點A（1,加）在直線y=2x+2上，

/.m=2X1+2=4,

.?.點A的坐標為（1,4）,代入函數(shù)y=K中，得

第25頁共34頁

.??Z=1X4=4.

(2)①當a=2時，P(2,0).

?.?直線y=2x+2,反比例函數(shù)的解析式為？=匡.

x

：.M(2,6),N(2,2),

:.MN=4.

②如圖，

可得：當a<-2,或a>l時，PM>PN.

【點評】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求解析式，利用函

數(shù)圖象性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

25.(6分)如圖，是。。的直徑，C為。。上一點，過點C作OO的切線交AB的延長

線于點尸，過點A作ADLPC于點D,AD與交于點E.

(1)求證：AC平分

(2)若AB=10,sin/C4B=2,請寫出求。E長的思路.

【分析】(1)只要證明OC〃AD,再證明/EAC=/C4O即可解決問題；

(2)可證：RtACDE^RtAACB,推出還=患，想辦法求出BC,CE即可解決問題;

BCAB

第26頁共34頁

【解答】（1）證明：連接OC,

:尸。切。。于點C,

：.OC±PC,

于點D,

OC//AD,

：.ZEAC=ZACO.

又：OA=OC,

ZACO=ZOAC,

：.ZEAC=ZCAO,

即AC平分

（2）解：連接CE,

可證：RtACDE^RtAACB,

.DE=CE

,*BCAB）

在RtZkABC中，由AB=10,sin/CAB=2,

5

：.BC=4,

由NEAC=/CA2,得前=祕，

：.EC=BC=4.

故D￡=BC?CE可求.

AB

【點評】本題考查切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角

三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

26.（6分）如圖，。。的直徑點C為線段A2上一動點，過點C作的垂線

交O。于點。，E,連結(jié)AD,AE.設(shè)AC的長為xs,△ADE的面積為yc毋.

第27頁共34頁

小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.

下面是小東的探究過程，請補充完整：

(1)確定自變量尤的取值范圍是0W-W4；

(2)通過取點、畫圖、測量、分析，得到了＞與尤的幾組對應(yīng)值，如下表:

x/cm00.511.522.533.54

y/cm00.71.72.944.85.24.60

(3)如圖，建立平面直角坐標系xOy,描出以補全后的表中各對對應(yīng)值為坐標的點，畫

八y/cm2

6-----1------1-----1-----1-----1----1

IIIIII

IIIIII

-IIIIII

5-----1------1-----1-----1------1----1

4

3

?-----1-----1-----1

iiii

iiii

1-----1-----j-----1-----1-----j----1

??????