湖北省第九屆2023-2024學年高三下學期4月四調(diào)（三模）數(shù)學試題

2024屆高中畢業(yè)生四月模擬考試數(shù)學試卷本試題卷共4頁，19小題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘．?？荚図樌⒁馐马棧?．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)，，，則等于（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出坐標，然后根據(jù)向量數(shù)量積坐標運算公式求解即可【詳解】因為，，所以，因為，所以，故選：C2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由絕對值三角不等式求得，然后由解析式有意義求得，再由交集運算可得.【詳解】由，當且僅當，即時，等號成立，得；由得，即.所以.故選：B3.下面四個數(shù)中，最大的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求得，然后可判斷最大項.【詳解】因為，即，所以，，故B，C錯誤；又，所以.故選：D4.數(shù)列的首項為1，前n項和為，若，（）則，（）A.9 B.1 C.8 D.45【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，令，得到，等差數(shù)列是等差數(shù)列，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意知，數(shù)列的首項為1，且，令，可得，即，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，則.故選：B.5.復(fù)數(shù)（）在復(fù)平面上對應(yīng)的點不可能位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘除運算法則求出復(fù)數(shù)，由此能求出結(jié)果.【詳解】，當時，，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限；當時，，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第三象限；當時，，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限；當或時，或，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在坐標軸上，不屬于任何象限.故復(fù)數(shù)對應(yīng)的點不可能位于第一象限.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點所在象限的判斷，考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘除運算法則及復(fù)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于基礎(chǔ)題．6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)時的單調(diào)性可排除BC；再由奇偶性可排除D.【詳解】，因為當時，都為增函數(shù)，所以，單調(diào)遞增，故B，C錯誤；又因為，所以不是奇函數(shù)，即圖象不關(guān)于原點對稱，故D錯誤.故選：A7.能被3整除，且各位數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的個數(shù)為（）A.228 B.210 C.240 D.238【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意將10個數(shù)字分成三組：即被3除余1的；被3除余2的；被3整除的，若要求所得的三位數(shù)被3整除，則可以分類討論：每組自己全排列或每組各選一個，求出3的倍數(shù)的三位數(shù)個數(shù)即可.【詳解】然后根據(jù)題意將10個數(shù)字分成三組：即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位數(shù)被3整除，則可以分類討論：每組自己全排列，每組各選一個，所以3的倍數(shù)的三位數(shù)有：個.故選：A.8.拋物線上有四點，，，，直線，交于點，且，．過分別作的切線交于點Q，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得∥，取弦，的中點分別為，設(shè)直線的方程為：代拋物線，由韋達定理可得，，，從而得在直線上，根據(jù)切線方程可得，作出圖象，可得，，再根據(jù)求解即可.【詳解】解：由，，可知∥，設(shè)弦，的中點分別為，設(shè)直線方程為：，代入，得，則，，所以，，同理可得，由拋物線的幾何意義可知點在直線上，所以，因為，所以，，所以物線在處的切線為，即，，即同理可得物線在處的切線為，即,由，解得，綜上，，,所以四點共線，且所在直線平行于軸，由，得，則，，又，所以有，又，化簡得，同理有，由兩式知直線的方程為：，因為，所以，又直線過點，代入得，，整理得，即，由題可得，所以，所以，解得.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及直線與圓錐曲線的問題，作出圖象，結(jié)合韋達定理求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.平行六面體中，各個表面的直角個數(shù)之和可能為（）A.0 B.4 C.8 D.16【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)考察矩形個數(shù)的可能情況即可.【詳解】平行六面體的六個面都是平行四邊形，且相對的平行四邊形全等，所以六個平行四邊形中的矩形個數(shù)可能為，所以各個表面的直角個數(shù)之和可能為.故選：ACD10.已知函數(shù)有最小正零點，，若在上單調(diào)，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】確定，，故或，當時，不滿足單調(diào)性，排除；當時，計算，，代入計算得到答案．【詳解】，故，，故，故，，故或，當時，，，故，，，有最小正零點，，，，故，，故，，當，，函數(shù)不單調(diào)，排除；當時，，，故，，或，或，，故，，故，，驗證滿足條件，此時．綜上，AD錯誤，BC正確.故選：BC．11.如圖，三棱臺的底面為銳角三角形，點D，H，E分別為棱，，的中點，且，；側(cè)面為垂直于底面的等腰梯形，若該三棱臺的體積最大值為，則下列說法可能但不一定正確的是（）A.該三棱臺的體積最小值為 B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意可得點的軌跡為橢圓，由橢圓的幾何性質(zhì)從而可確定的坐標范圍，設(shè)三棱臺的高為，由三棱臺的體積最大值確定的范圍，從而可判斷A；建立空間直角坐標系，根據(jù)兩點之間的距離公式求解的取值范圍，從而可判斷B，D；將三棱臺補成三棱錐，根據(jù)棱錐與棱臺的體積關(guān)系即可判斷C.【詳解】由，，可得點的軌跡為橢圓，如圖則橢圓方程為，由于則，又因為為銳角三角形，則且，所以，，所以，由于，所以，設(shè)，則，設(shè)三棱臺的高為，則，因為該三棱臺的體積最大值為，，所以，由于無最小值，故該三棱臺的體積無最小值，故A不正確；對于三棱臺有側(cè)面為垂直于底面的等腰梯形，則如圖，以為原點，在平面上作面，在面作面，則，設(shè)，則，，，所以，由于，，所以，又，故B可能正確；同理，又，故D可能正確；如圖，將三棱臺補成三棱錐，設(shè)點到平面的距離為，則，又，所以，故C一定正確.故選：BD.【點睛】思路點睛：本題考查空間幾何與平面解析幾何綜合運用，解決本題中的問題涉及的思路有：（1）根據(jù)橢圓的定義確定動點的軌跡，利用解析幾何的性質(zhì)縮小點坐標范圍；（2）建立合適的空間直角坐標系，利用空間中兩點距離公式確定線段長的取值范圍；（3）體積關(guān)系的建立，需將三棱臺補成三棱錐，由三棱錐的體積轉(zhuǎn)換特點分析體積比例.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.寫出函數(shù)的一條斜率為正的切線方程：______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)運算求導(dǎo)函數(shù)，取定義域內(nèi)的點作切點，求斜率與切點坐標即可得切線方程.【詳解】，，則，取切點為，則斜率為，又，則切線方程為：，即.故答案為：（答案不唯一）13.兩個連續(xù)隨機變量X，Y滿足，且，若，則______．【答案】0.86##【解析】【分析】利用期望和方差性質(zhì)可得，然后由對稱性即可求解.【詳解】因為，所以，因為，所以，即又，所以，，所以，所以.故答案為：0.8614.雙曲線的左右焦點分別為，，以實軸為直徑作圓O，過圓O上一點E作圓O的切線交雙曲線的漸近線于A，B兩點（B在第一象限），若，與一條漸近線垂直，則雙曲線的離心率為______．【答案】2【解析】【分析】先根據(jù)幾何關(guān)系證明點必為雙曲線的右頂點，再結(jié)合離心率計算公式，直接求解即可.【詳解】記與漸近線的交點為，根據(jù)題意，作圖如下：，，故；則在△中，設(shè)，又，由余弦定理可得，解得，即；在△中，，又，故；又左焦點到直線的距離，即，又，故，則在圓上，即與圓相切；顯然，則，又，又，故可得，根據(jù)對稱性，，故，故三點共線，點是唯一的，根據(jù)題意，必為雙曲線右頂點；此時顯然有，故雙曲線離心率為.故答案：2.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是能夠與漸近線垂直，以及，確定點的位置，進而求解離心率.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟．15.數(shù)列中，，，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列的前項和為，且滿足，，求．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）依題意可得，即可得到為等差數(shù)列，即可得到，再利用累加法計算可得；（2）由（1）可得，由，得到與同號，再對分類討論，利用并項求和法計算可得.【小問1詳解】因為，所以，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，其首項為，于是，則，，，，，所以，所以；【小問2詳解】由（1）問知，，則，又，則，兩式相乘得，即，因此與同號，因為，所以當時，，此時，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，；當時，，此時，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，；綜上，當時，；當時，.16.已知橢圓和的離心率相同，設(shè)的右頂點為，的左頂點為，，（1）證明：；（2）設(shè)直線與的另一個交點為P，直線與的另一個交點為Q，連，求的最大值．參考公式：【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率相等可得，然后求出直線和的斜率，利用斜率即可得證；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程求出的坐標，從而可得的中點坐標，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【小問1詳解】當時，的離心率，當時，的離心率；當時，的離心率，當時，的離心率；因為，所以或，得，又，所以，且；由題意知，，即，則，，它們的斜率之積為，因此.【小問2詳解】由（1）問知，，聯(lián)立與的方程，將y消去得：，解得，，又在曲線上，則，，聯(lián)立與的方程，將y消去得：，解得，，又在曲線上，則，，因此的中點，連，因為，即，所以，記，當最大時，也最大；可知，令得，解得，又，則，令得，因此在處取得最大值，且最大值為，因此最大值為.17.空間中有一個平面和兩條直線m，n，其中m，n與的交點分別為A，B，，設(shè)直線m與n之間的夾角為，（1）如圖1，若直線m，n交于點C，求點C到平面距離的最大值；（2）如圖2，若直線m，n互為異面直線，直線m上一點P和直線n上一點Q滿足，且，（i）證明：直線m，n與平面的夾角之和為定值；（ii）設(shè)，求點P到平面距離的最大值關(guān)于d的函數(shù)．【答案】（1）（2）（i）證明見解析，（ii）【解析】【分析】（1）設(shè)點C到平面的距離為h，結(jié)合余弦定理、三角形，面積公式，基本不等式即可求得大值；（2）利用空間直線之間的位置關(guān)系、線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理確定線面夾角即可證明結(jié)論；再根據(jù)點到平面的距離，結(jié)合（1）中結(jié)論即可得答案.【小問1詳解】設(shè)點C到平面的距離為h，作于點H，可知，設(shè)，，在中，由余弦定理可知：，由于直線m與n之間的夾角為，且它們交于點C，則，從而，又，則（時取等）；因為，所以，所以點C到平面的距離，其最大值為；【小問2詳解】（i）證：如圖，過點P作直線，由題知直線l與平面必相交于一點，設(shè)其為點D，連接，，則P，Q，D，B共面，又且，于是，又，則四邊形為平行四邊形，則，因為且，所以且，所以，又，所以平面，作于H，則，又，則，設(shè)，則P到平面的距離也為h，且直線m，n與平面的夾角分別為和；由于直線m與n之間的夾角為，則直線m與l之間的夾角也為，則，于是，即直線m，n與平面的夾角之和為定值；（ii）因為平面，所以，中，，則，又，由（1）問同法算得，即點P到平面距離h的最大值為.18.已知函數(shù)，，（1）若對定義域內(nèi)任意非零實數(shù)，，均有，求a；（2）記，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)可得，再分與兩種情況分析原函數(shù)的單調(diào)性，當時分析極值點的正負與原函數(shù)的正負區(qū)間，從而確定的值；（2）由（1）問的結(jié)論可知，，再累加結(jié)合放縮方法證明即可.【小問1詳解】的定義域為，且；，因此；i.時，，則此時令有，令有，則在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，又，于是，此時令，有，不符合題意；ii.時，有零點0和，若，即，此時令有，在上單調(diào)遞減，又，則，令，，有，不符合題意；若，即，此時令有，在上單調(diào)遞減，又，則，令，有，不符合題意；若，即，此時，在上單調(diào)遞增，又，則時，時；則時，也即對，，綜上，【小問2詳解】證：由（1）問的結(jié)論可知，時，；且時，；則時，，令，有，即，于是將上述n個式子相加，；欲證，只需證，只需證；因為，所以，得證：于是得證.【點睛】方法點睛：（1）此題考導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用，找到合適的分類標準，設(shè)極值點，并確定函數(shù)正負區(qū)間是解此題的關(guān)鍵；（2）對累加結(jié)構(gòu)的不等式證明，一般需要應(yīng)用前問的結(jié)論，取特定參數(shù)值，得出不等式累加證明，遇到不能累加的數(shù)列結(jié)構(gòu)，需要進行放縮證明.19.歐拉函數(shù)在密碼學中有重要的應(yīng)用．設(shè)n為正整數(shù)，集合，歐拉函數(shù)的值等于集合中與n互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)；記表示x除以y的余數(shù)（x和y均為正整數(shù)），（1）求和；（2）現(xiàn)有三個素數(shù)p，q，，，存在正整數(shù)d滿足；已知對素數(shù)a和，均有，證明：若，則；（3）設(shè)n為兩個未知素數(shù)的乘積，，為另兩個更大的已知素數(shù)，且；又，，，試用，和