內(nèi)蒙古赤峰市2024屆高三上學(xué)期1.30模擬理科數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

赤峰市高三年級(jí)1.30模擬考試試題理科數(shù)學(xué)2024.01本試卷共23小題，共150分，共8頁，考試時(shí)間用時(shí)120分鐘，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題答案必須使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡清楚.3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答案區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙，試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破，弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液，修正帶，刮紙刀.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，為的共軛復(fù)數(shù)，等于（）A.2i B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)加減運(yùn)算法則計(jì)算.【詳解】，故，則.故選：B2.若全集，集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式，利用補(bǔ)集和交集的概念進(jìn)行計(jì)算.【詳解】，故，.故選：B3.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷出函數(shù)定義域再利用函數(shù)奇偶性的定義逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)定義域?yàn)?，且，為奇函?shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)?，且，為非奇非偶函?shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)定義域?yàn)椋遥瑸槠婧瘮?shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)定義域，，為偶函數(shù)，D正確.故選：D4.已知實(shí)數(shù)，，，則，，這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷大小.【詳解】由于，即，由，即，由，即，故.故選：C5.已知直線，則“是直線與相交”的（）A.充分必要條件 B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件 D.即不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分別驗(yàn)證充分性，必要性即可得到.【詳解】當(dāng)直線：與相交時(shí)，則，即，當(dāng)時(shí)滿足，即“是直線與相交”的充分條件，當(dāng)直線：與相交時(shí)，不一定有，如時(shí)也滿足，所以“是直線與相交”的充分不必要條件，故選：C.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)是，P為上一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.6 C. D.5【答案】D【解析】【分析】過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線l的垂線段，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，結(jié)合拋物線的定義可得答案.【詳解】由拋物線知，則，準(zhǔn)線l方程為，如圖所示，點(diǎn)A在拋物線內(nèi)，過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線l的垂線段，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，由拋物線的定義得,所以,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是線段與拋物線的交點(diǎn)（即A，P，H三點(diǎn)共線）時(shí)取等號(hào)．所以的最小值為，故選：D.7.為了測(cè)量西藏被譽(yù)稱為“阿里之巔”岡仁波齊山峰的高度，通常采用人工攀登的方式進(jìn)行，測(cè)量人員從山腳開始，直到到達(dá)山頂分段測(cè)量過程中，已知豎立在點(diǎn)處的測(cè)量覘標(biāo)高米，攀登者們?cè)谔帨y(cè)得，到覘標(biāo)底點(diǎn)和頂點(diǎn)的仰角分別為，則的高度差約為（）A.7.32米 B.7.07米 C.27.32米 D.30米【答案】A【解析】【分析】畫出示意圖，結(jié)合三角函數(shù)的定義和正切展開式求解即可.【詳解】模型可簡(jiǎn)化為如上圖，在中，，所以，而，代入上式并化簡(jiǎn)可得米，故選：A.8.已知遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若是與的等差中項(xiàng)，則（）A21 B.21或57 C.21或75 D.57【答案】A【解析】【分析】由題意列方程求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由是與的等差中項(xiàng)，得，解得或，則時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)等比數(shù)列遞減，不合題意；故，，則，故選：A9.七巧板是我國古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方模板”，它由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成，如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若向此正方形丟一粒種子，則種子落入黑色部分的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)小正方形邊長(zhǎng)1，求陰影部分的面積和大正方形的面積，利用幾何概型即可計(jì)算.【詳解】設(shè)小正方形邊長(zhǎng)1，可得黑色平行四邊形底為，高，黑色等腰直角三角形直角邊為2，斜邊，即大正方形邊長(zhǎng)，所以落入黑色部分的概率，故選：D.10.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》中，后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，…，設(shè)從上往下各層的球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可得，后由裂項(xiàng)求和法可得答案.【詳解】注意到，則.則.故選：B11.過雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，與的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出直線方程與漸近線方程聯(lián)立，解出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用已知列方程解出，最后求出離心率即可.【詳解】設(shè)直線方程為，因?yàn)闈u近線方程為，聯(lián)立兩方程解得，因?yàn)?，所以，即，化?jiǎn)可得，所以離心率，故選：B.12.已知函數(shù)定義域?yàn)椋?，，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）①若，，則函數(shù)在上是增函數(shù)②若，，則函數(shù)是奇函數(shù)③若，，則函數(shù)是周期函數(shù)④若，且，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè)【答案】A【解析】【分析】令可判斷①，利用奇函數(shù)定義可判斷②，由周期函數(shù)的定義可判斷③，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，令此時(shí)，即滿足，此時(shí)，舉例，，則，則函數(shù)在上不是增函數(shù)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，令，則，可得，即滿足，則函數(shù)是奇函數(shù)，可知②正確；對(duì)于③，若，，令，所以，即，滿足，可得函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，即③正確；對(duì)于④，取，滿足，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；可得，因?yàn)?，且，，所以；即，可得且；所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故④正確；綜上共3個(gè)正確，故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解抽象函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性時(shí)，要根據(jù)已知條件充分利用奇偶性和單調(diào)性定義，化簡(jiǎn)變形進(jìn)行證明即可求得結(jié)論.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.有3名同學(xué)同時(shí)被邀請(qǐng)參加一項(xiàng)活動(dòng)，必須有人去，去幾人自行決定，共有_________種不同的去法.（用數(shù)字回答）【答案】7【解析】【分析】按去1，2，3個(gè)人分類，利用組合數(shù)求解即可.【詳解】由題意，去1人有種去法，去2人有種去法，去3人有種去法，所以共有種不同的去法，故答案為：714.已知單位向量滿足，則________.【答案】【解析】【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算率和模長(zhǎng)計(jì)算可得.【詳解】，又為單位向量，所以，，故.故答案為：15.《孫子算經(jīng)》中提到“物不知數(shù)”問題.如：被3除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，即，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為________.【答案】19【解析】【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可得到，再由基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：16.祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)期的數(shù)學(xué)家，著作《綴術(shù)》上論及多面體的體積：緣冪勢(shì)既同，則積不容異——這就是祖暅原理.用現(xiàn)代語言可描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這個(gè)兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，，點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)一周所得圓的面積為_________（用表示）；將空間四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為_________.【答案】①.②.【解析】【分析】第一空由已知，點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)一周所得圓的面積即為以為半徑的圓面積；第二空空間四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積，利用祖暅原理可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)底面半徑和高均為的圓柱體積加一個(gè)一個(gè)底面半徑和高均為的圓錐的體積.【詳解】在正方體中，棱長(zhǎng)為2，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，即點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)一周所得圓的半徑為，點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)一周所得圓的面積為.根據(jù)祖暅原理“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這個(gè)兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”，將空間四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周，可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)底面半徑和高均為的圓柱體積加一個(gè)一個(gè)底面半徑和高均為的圓錐的體積，所以空間四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為：.故答案為：；.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前已被廣大消費(fèi)者所接受.針對(duì)這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額穩(wěn)步提升，以下是該公司2023年前5個(gè)月的帶貨金額的統(tǒng)計(jì)表（金額（萬元））.月份1月2月3月4月5月月份編號(hào)12345金額712131924（萬元）（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表，①求該公司帶貨金額的平均值；②求該公司帶貨金額與月份編號(hào)的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系（，則認(rèn)為與的線性相關(guān)性較強(qiáng)；，則認(rèn)為與的線性相關(guān)性較弱）；（2）該公司現(xiàn)有一個(gè)直播間銷售甲、乙兩種產(chǎn)品.為對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)控，質(zhì)檢人員先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從甲、乙兩種產(chǎn)品中分別抽取了5件、3件產(chǎn)品進(jìn)行初檢，再從中隨機(jī)選取3件做進(jìn)一步的質(zhì)檢，記抽到甲產(chǎn)品的件數(shù)為，試求的分布列與期望.附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)：，，，.【答案】（1）①；②，兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和相關(guān)系數(shù)公式代入求解即可；（2）利用超幾何分布求分布列，進(jìn)而求期望即可.【小問1詳解】①由統(tǒng)計(jì)表數(shù)據(jù)可得：，②由于，，，所以相關(guān)系數(shù)，因此，兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.【小問2詳解】由題意知，的可能取值為0，1，2，3，因?yàn)?，，，，所以的分布列為?123所以.18.在①，②中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下列問題中，并作答.問題：在中，角、、所對(duì)邊分別為、、，已知_________.（1）求；（2）若的外接圓半徑為2，且，求.注：若選擇不同條件分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）條件選擇見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正余弦定理邊角互化，即可結(jié)合三角恒等變換求解，（2）根據(jù)余弦的和差角公式可得，進(jìn)而利用率正弦定理可得，由余弦定理即可求解.【小問1詳解】選擇條件①：因?yàn)?，在中，由余弦定理可得，由余弦定理可得，則，因?yàn)椋?選擇條件②：因?yàn)?，由正弦定理得?即，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?【小問2詳解】因?yàn)?，所以，即，即，又因?yàn)?，所?由于的外接圓半徑為，由正弦定理可得，可得，所以，由余弦定理可得，所以.19.如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)題意證得四邊形是平行四邊形，得到，結(jié)合線面平行判定定理，即可證得平面；（2）法1、由，得到，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；法2、過點(diǎn)作，得到，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的法向量為和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：如圖所示，連接，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，且，可得，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)閮?nèi)，所以平面，所以平面.【小問2詳解】解：法1、因?yàn)榈酌媸堑妊菪?，且，，可得，在中，由余弦定理得，所以，又由，所以，因平面，平面，可得，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示可得，，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取，則，，所以，又由向量，設(shè)直線與平面所成角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為.法2、因?yàn)榈酌媸堑妊菪?，且，過點(diǎn)作，垂足為，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，設(shè)，因?yàn)?，可得，所以，，設(shè)平面的法向量為，則,取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.20.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為，為橢圓上一點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)位于軸上方），記直線的斜率分別為，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義直接求解即可；（2）設(shè)直線，，，將橢圓方程與直線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解即可.【小問1詳解】由于橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為橢圓上，且，所以根據(jù)橢圓定義可知，，則，所以橢圓的方程為：.【小問2詳解】由題意可知直線斜率不為0，設(shè)直線，，，聯(lián)立可得，則得，，所以，由于點(diǎn)位于軸上方，所以均大于，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．【點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線相交（過定點(diǎn)、定值）問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于或的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為，形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）若，，使得，①求的單調(diào)區(qū)間；②求的取值范圍.【答案】（1）（2）①遞增區(qū)間為，；遞減區(qū)間為，；②【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線方程；（2）①求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行因式分解，解不等式得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②得到，求出，在上遞減，在上遞增，分，和，得到函數(shù)單調(diào)性和最大值，進(jìn)而得到不等式，求出答案.【小問1詳解】時(shí)，，，又，，所以，即.【小問2詳解】①由題可得，令，可得，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的遞增區(qū)間為，；遞減區(qū)間為，.②由題可得，由（1）得在上遞增，上遞減，，，所以.由題可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增.若，即，則在單調(diào)遞增，，則，所以.若，即，則在單調(diào)遞減，所以，所以無解.若，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以或，則，且，解得.綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過兩個(gè)函數(shù)圖象確定條件.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22