大題03立體幾何（30題）（學生版）

黃金沖刺大題03立體幾何1．（2024·黑龍江·二模）如圖，已知正三棱柱的側棱長和底面邊長均為2，M是BC的中點，N是的中點，P是的中點．

(1)證明：平面；(2)求點P到直線MN的距離．2．（2024·安徽合肥·二模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是側棱的中點，側面為正三角形，側面底面．(1)求三棱錐的體積；(2)求與平面所成角的正弦值．3．（2023·福建福州·模擬預測）如圖，在三棱柱中，平面平面，．

(1)設為中點，證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．4．（2024·山西晉中·三模）如圖，在六面體中，，，且，平行于平面，平行于平面，.(1)證明：平面平面；(2)若點到直線的距離為，為棱的中點，求平面與平面夾角的余弦值．5．（2024·遼寧·二模）棱長均為2的斜三棱柱中，在平面ABC內的射影O在棱AC的中點處，P為棱（包含端點）上的動點．(1)求點P到平面的距離；(2)若平面，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．6．（2024·重慶·模擬預測）在如圖所示的四棱錐PABCD中，已知，，，是正三角形，點M在側棱PB上且使得平面．(1)證明：；(2)若側面底面，與底面所成角的正切值為，求二面角的余弦值．7．（2024·安徽·模擬預測）2023年12月19日至20日，中央農村工作會議在北京召開，習近平主席對“三農”工作作出指示．某地區(qū)為響應習近平主席的號召，積極發(fā)展特色農業(yè)，建設蔬菜大棚．如圖所示的七面體是一個放置在地面上的蔬菜大棚鋼架，四邊形ABCD是矩形，m，m，m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，m，，平面平面ABCD．(1)求點H到平面ABCD的距離；(2)求平面BFHG與平面AGHE所成銳二面角的余弦值．8．（2024·重慶·模擬預測）如圖，ACDE為菱形，，，平面平面ABC，點F在AB上，且，M，N分別在直線CD，AB上．(1)求證：平面ACDE；(2)把與兩條異面直線都垂直且相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，若，MN為直線CD，AB的公垂線，求的值；(3)記直線BE與平面ABC所成角為，若，求平面BCD與平面CFD所成角余弦值的范圍．9．（2024·安徽·二模）將正方形繞直線逆時針旋轉，使得到的位置，得到如圖所示的幾何體．(1)求證：平面平面；(2)點為上一點，若二面角的余弦值為，求．10．（2024·安徽黃山·二模）如圖，已知為圓臺下底面圓的直徑，是圓上異于的點，是圓臺上底面圓上的點，且平面平面，，，是的中點，．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.11．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）正四棱臺的下底面邊長為，，為中點，已知點滿足，其中．

(1)求證；(2)已知平面與平面所成角的余弦值為，當時，求直線與平面所成角的正弦值．12．（2024·遼寧·三模）如圖，在三棱柱中，側面底面，，點為線段的中點.(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值.13．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，是等邊三角形，，點，分別為和的中點.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求與平面所成角的正弦值.14．（2024·廣東梅州·二模）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為直角梯形，為等邊三角形，，，．(1)求證：；(2)點在棱上運動，求面積的最小值；(3)點為的中點，在棱上找一點，使得平面，求的值．15．（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖所示，圓臺的軸截面為等腰梯形，為底面圓周上異于的點，且是線段的中點.(1)求證：平面.(2)求平面與平面夾角的余弦值.16．（2024·廣東深圳·二模）如圖，三棱柱中，側面底面ABC，且，．

(1)證明：平面ABC；(2)若，，求平面與平面夾角的余弦值．17．（2024·河北保定·二模）如圖，在四棱錐中，平面內存在一條直線與平行，平面，直線與平面所成的角的正切值為，，.

(1)證明：四邊形是直角梯形.(2)若點滿足，求二面角的正弦值.18．（2024·湖南衡陽·模擬預測）如圖，在圓錐中，是圓錐的頂點，是圓錐底面圓的圓心，是圓錐底面圓的直徑，等邊三角形是圓錐底面圓的內接三角形，是圓錐母線的中點，.

(1)求證：平面平面；(2)設點在線段上，且，求直線與平面所成角的正弦值.19．（2024·湖南岳陽·三模）已知四棱錐的底面是邊長為4的菱形，，，，是線段上的點，且．

(1)證明：平面；(2)點在直線上，求與平面所成角的最大值．20．（2024·湖南·二模）如圖，直四棱柱的底面是邊長為2的菱形，平面.(1)求四棱柱的體積；(2)設點關于平面的對稱點為，點和點關于平面對稱（和未在圖中標出），求平面與平面所成銳二面角的大小.21．（2024·山東濟南·二模）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，，平面平面ABCD，F(xiàn)為線段BC的中點，E為線段PF上一點.(1)證明：；(2)當EF為何值時，直線BE與平面PAD夾角的正弦值為.22．（2024·山東濰坊·二模）如圖1，在平行四邊形中，，，E為的中點，將沿折起，連結，，且，如圖2．

(1)求證：圖2中的平面平面；(2)在圖2中，若點在棱上，直線與平面所成的角的正弦值為，求點到平面的距離．23．（2024·福建·模擬預測）如圖，在三棱錐中，，已知二面角的大小為，.(1)求點P到平面的距離；(2)當三棱錐的體積取得最大值時，求：（Ⅰ）二面角的余弦值；（Ⅱ）直線與平面所成角.24．（2024·浙江杭州·二模）如圖，在多面體中，底面是平行四邊形，為的中點，．(1)證明：；(2)若多面體的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．25．（2024·浙江嘉興·二模）在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，平面，.(1)證明：平面平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.26．（2024·浙江紹興·二模）如圖，在三棱錐中，，，，.

(1)證明：平面平面；(2)若，，求二面角的平面角的正切值.27．（2024·河北滄州·一模）如圖，在正三棱錐中，，點滿足，，過點作平面分別與棱AB，BD，CD交于Q，S，T三點，且，.(1)證明：，四邊形總是矩形；(2)若，求四棱錐體積的最大值.28．（2024·湖北·二模）如圖1．在菱形ABCD中，，，，，沿EF將向上折起得到棱錐．如圖2所示，設二面角的平面角為．(1)當為何值時，三棱錐和四棱錐的體積之比為？(2)當為何值時，，平面PEF與平面PFB的夾角的余弦值為？29．（2024·湖北·模擬預測）空間中有一個平面和兩條直線m，n，其中m，n與的交點分別為A，B，，設直線m與n之間的夾角為，(1)如圖1，若直線m，n交于點C，求點C到平面距離的最大值；(2)如圖2，若直線m，n互為異面直線，直線m上一點P和直線n上一點Q滿足，且，（i）求直線m，n與平面的夾角之和；（ii）設，求點P到平面距離的最大值關于d