湖南省2024屆湖南省邵陽(yáng)市大祥區(qū)邵陽(yáng)市二中2024年高三（5月）模擬考試(三模)數(shù)學(xué)試卷

邵陽(yáng)市二中2024年高三（5月）模擬考試數(shù)學(xué)試卷滿分：150時(shí)間120min命題：高三備課組一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.2.若數(shù)列滿足，，則其前2023項(xiàng)和為（）A.1360 B.1358 C.1350 D.13483.已知底面邊長(zhǎng)為2的正四棱柱的體積為，則直線與所成角的余弦為（）A. B. C. D.4.已知直線：與圓：，過直線上的任意一點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為，，則的最大值為（）A. B. C. D.5.邵陽(yáng)市二中高一、高二、高三年級(jí)的優(yōu)秀團(tuán)員各兩名站成一排拍照，恰有一個(gè)年級(jí)的團(tuán)員相鄰的站法有（）A.144種 B.240種 C.288種 D.336種6.某學(xué)習(xí)小組對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，甲同學(xué)首先求出回歸直線方程，樣本點(diǎn)的中心為.乙同學(xué)對(duì)甲的計(jì)算過程進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)甲將數(shù)據(jù)誤輸成，將這兩個(gè)數(shù)據(jù)修正后得到回歸直線方程，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.7.若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（）A. B. C. D.8.已知，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，平分，與其中一條漸近線交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知，，，則（）A. B. C. D.10.如圖，已知拋物線：的焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（直線的傾斜角為銳角）與拋物線相交于，兩點(diǎn)（在軸的上方，在軸的下方），過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則（）A.當(dāng)直線的斜率為1時(shí)， B.若，則直線的斜率為2C.存在直線使得D.若，則直線的傾斜角為11.已知非零函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，函數(shù)和均為奇函數(shù)，且，則（）A.函數(shù)為偶函數(shù) B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.，，則________.13.已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且，則________.14.十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”，意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).已知，，分別是三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且，若點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（本小題滿分13分）古樓雪峰茶，產(chǎn)于洞口縣古樓，1991年被評(píng)為湖南省名茶.其中雪峰茶在制茶過程中，在采摘后還需要經(jīng)過殺青、揉捻、干燥這三道工序.現(xiàn)在某雪峰茶廠將采摘后的茶葉進(jìn)行加工，其中殺青、揉捻、干燥這三道工序合格的概率分別為，，每道工序的加工都相互獨(dú)立，且茶葉加工中三道工序至多有兩道工序合格的概率為.三道工序加工都合格的雪峰茶為特級(jí)雪峰茶，恰有兩道工序加工合格的雪峰茶為一級(jí)雪峰茶，恰有一道工序加工合格的雪峰茶為二級(jí)雪峰茶，其余的為不合格雪峰茶.（1）在雪峰茶的三道工序中恰有兩道工序加工合格的前提下，求殺青加工合格的概率；（2）每盒雪峰茶原材料及制作成本為20元，其中特級(jí)雪峰茶、一級(jí)雪峰茶、二級(jí)雪峰茶的出廠價(jià)分別為100元，70元，50元，而不合格雪峰茶則不進(jìn)入市場(chǎng).記經(jīng)過三道工序制成的一盒雪峰茶的利潤(rùn)為元，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.16.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，且，，.，分別為，的中點(diǎn)..（1）若.求證：平面平面；（2）若，.求直線與平面所成角的正弦值.17.（本小題滿分15分）已知函數(shù)（1）若，求的單調(diào)區(qū)間.（2）若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍18.（本小題滿分17分）在平面中，，.為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率乘積為，動(dòng)點(diǎn)在平面的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程（2）若為直線上任意一點(diǎn)，直線，分別交曲線為、.在直線上存在一點(diǎn)，且.問：在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出定值.若不存在，請(qǐng)說明理由.19.（本小題滿分17分）高中教材必修第二冊(cè)選學(xué)內(nèi)容中指出：設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)，，則任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成：的形式，這種形式叫做復(fù)數(shù)三角形式，其中是復(fù)數(shù)的模，稱為復(fù)數(shù)的輻角，若，則稱為復(fù)數(shù)的輻角主值，記為。復(fù)數(shù)有以下三角