第12章 復數(shù)單元綜合能力測試卷-2024學年高一數(shù)學同步學與練（蘇教版）（解析版）

第第頁第12章復數(shù)單元綜合能力測試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故，所以，解得.故選：B2．復數(shù)在復平面上對應的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】復數(shù)在復平面上對應的點的坐標為，根據(jù)第二象限坐標的特點可得，從而可得.故選：D.3．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則復數(shù)對應的復平面上的點的集合所表示的圖形是（

）A．正方形面 B．一條直線 C．圓面 D．圓環(huán)面【答案】D【解析】設，則由可得，即，所以復數(shù)對應的點在復平面內(nèi)表示的圖形是圓環(huán)面.故選：D.4．已知為虛數(shù)單位，是關于的方程的一個根，則實數(shù)（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】由題意，整理得，所以，解得.故選：C.5．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，故選：C.6．已知復數(shù)滿足，當?shù)奶摬咳∽钚≈禃r，（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，則，所以，，即，所以，，可得，解得，當?shù)奶摬咳∽钚≈禃r，即當時，則，解得，故，故選：A.7．已知是復數(shù)，是其共軛復數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A． B．若，則的最大值為C．若，則復平面內(nèi)對應的點位于第一象限 D．若是關于的方程的一個根，則【答案】B【解析】對于A，設，則，，A錯誤；對于B，由知，在復平面內(nèi)表示復數(shù)的點在以原點為圓心的單位圓上，可看作該單位圓上的點到點的距離，因為圓心到的距離為，則該單位圓上的點到點的距離最大值為，B正確；對于C，，則復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，C錯誤；對于D，依題意，，整理得，而，因此，解得，D錯誤．故選：B.8．已知復數(shù)、在復平面內(nèi)對應的點分別為、，（為坐標原點），且，則對任意，下列選項中為定值的是（

）A． B． C．的周長 D．的面積【答案】A【解析】因為復數(shù)、在復平面內(nèi)對應的點分別為、，（為坐標原點），則，由可得，對于方程，則，解方程可得，所以，，所以，，中，由于不是定值，則的面積、均不為定值，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知復數(shù)，，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則在復平面內(nèi)對應的點在一條直線上【答案】AD【解析】對于A：設，若，則，故必有，A正確；對于B：若，，則有，但，B錯誤；對于C：若，，則有，但，C錯誤；對于D：設復數(shù)，在復平面內(nèi)對應的點為和若，則在復平面內(nèi)對應的點為線段的中垂線，故在復平面內(nèi)對應的點在一條直線上，D正確.故選：AD.10．已知復數(shù)，（，）（為虛數(shù)單位），為的共軛復數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的虛部為B．C．D．若，則在復平面內(nèi)對應的點形成的圖形的面積為【答案】CD【解析】由題意可得，所以的虛部為，A錯誤，，故，B錯誤，，C正確，表示點到的距離不大于1的點構(gòu)成的圖形，故為以為圓心，以1為半徑的圓以及內(nèi)部，故面積為，D正確，故選：CD11．歐拉是科學史上最多才的一位杰出的數(shù)學家，他發(fā)明的公式為，i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，這個公式也被譽為“數(shù)學中的天橋”為自然對數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位依據(jù)上述公式，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．復數(shù)為純虛數(shù)B．復數(shù)對應的點位于第二象限C．復數(shù)的共軛復數(shù)為D．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是半圓【答案】ABD【解析】對于A，，則為純虛數(shù)，A正確；對于B，，而，即，則復數(shù)對應的點位于第二象限，B正確；對于C，，復數(shù)的共軛復數(shù)為，C錯誤；對于D，，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是半徑為的半圓，D正確．故選：ABD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．下列關于復數(shù)的命題，是真命題的是．（填序號）①；②若，則；③若，則是純虛數(shù)；④對任意實數(shù)，都有是虛數(shù)．【答案】①②④【解析】對于①，，①正確；對于②，由，設，則，②正確；對于③，當時，，而是實數(shù)，③錯誤；對于④，當時，，當且僅當時取等號，因此是虛數(shù)，④正確，所以真命題的是①②④.故答案為：①②④13．復數(shù)，（a、），若它們的和為實數(shù)，差為純虛數(shù)，則．【答案】【解析】由題設為實數(shù)，故，，故，所以.故答案為：14．已知，是復數(shù)，則下列正確結(jié)論的序號是．①若，則；

②若，則；③若，則；

④若，則．【答案】①②③【解析】設，(其中，)對于①由，可得，則，故①正確；對于②若，則，，所以，故②正確；對于③若，則，由，，則，故③正確；對于④若，令，，則，，所以，故④不正確.故答案為：①②③四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）設復數(shù)．(1)若是實數(shù)，求；(2)若是純虛數(shù)，求．【解析】（1）由，得，而是實數(shù)，于是，解得，所以．（2）依題意，是純虛數(shù)，因此，解得，所以．16．（15分）計算下列各題:(1)；(2).【解析】（1）.；（2）..17．（15分）設虛數(shù)z滿足.(1)計算的值；(2)是否存在實數(shù)a，使？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設且，則，因為，所以，所以，所以，所以，所以；（2）存在.設且，假設存在實數(shù)a使，則有，所以，因為，所以，得所以存在實數(shù)，滿足.18．（17分）已知i是虛數(shù)單位，a，，設復數(shù)，，，且.(1)若為純虛數(shù)，求；(2)若復數(shù)，在復平面上對應的點分別為A，B，且O為復平面的坐標原點.①是否存在實數(shù)a，b，使向量逆時針旋轉(zhuǎn)后與向量重合，如果存在，求實數(shù)a，b的值；如果不存在，請說明理由；②若O，A，B三點不共線，記的面積為，求及其最大值.【解析】（1）因為復數(shù)，所以，而為純虛數(shù)，因此，即.又因為，且，所以，由，解得或，所以或.（2）①存在，理由如下：法一：由題意知：，得，解得或，因為OB逆時針旋轉(zhuǎn)后與OA重合，所以；法二：設是以x軸正半軸為始邊，OB為終邊的角，則，所以即，所以，所以，且時，滿足.所以.②因為復數(shù)，對應的向量分別是為坐標原點），且O，A，B三點不共線，所以設向量的夾角為θ，，設復數(shù)所對應的向量為則且，因此的面積，，設，則，當且僅當且，即或時等號成立，所以，其最大值為2.19．（17分）通過平面直角坐標系，我們可以用有序?qū)崝?shù)對表示向量.類似的，我們可以把有序復數(shù)對看作一個向量，記，則稱為復向量.類比平面向量的相關運算法則，對于，，、、、、，我們有如下運算法則：①；

②；③；

④.(1)設，，求和.(2)由平面向量的數(shù)量積滿足的運算律，我們類比得到復向量的相關結(jié)論：①②

③.試判斷這三個結(jié)論是否正確，并對正確的結(jié)論予以證明.(3)若，集合，.對于任意的，求出滿足條件的，并將此時的記為，證明對任意的，不等式恒成立.根據(jù)對上述問題的解答過程，試寫出一個一般性的命題（不需要證明）.【解析】（1）因為，，所以，（2）設，，，、、、、、、，則，，故①不成立，，，，因為