第22章相似形單元測試卷2023-2024學(xué)年滬科版九年級數(shù)學(xué)上冊

滬科版九年級數(shù)學(xué)上冊第22章相似形單元測試卷一、單選題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，五邊形與五邊形為位似圖形，位似中心是原點，點坐標(biāo)為，，則點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC邊上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，則AC等于（）A．3 B．4 C．6 D．83．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，F(xiàn)是BA延長線上一點，F(xiàn)D⊥BC于D，交AC于點E，則圖中相似三角形共有幾對（）A．6對 B．5對 C．4對 D．3對4．如果（），那么下列比例式中正確的是（）A． B． C． D．5．如圖，在和是以點為位似中心的位似三角形，若為的中點，，則的長為（）A．1 B．2 C．4 D．86．如圖，已知DE∥BC，EF∥AB，現(xiàn)得到下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確比例式的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個7．點把分割成和兩段，如果是和的比例中項，那么下列式子成立的是（）A． B． C． D．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為（0，2），直線y=與x軸、y軸分別交于點A，B，點M是直線AB上的一個動點，則PM長的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．69．如圖，矩形紙片，，點，分別在，上，把紙片如圖沿折疊，點，的對應(yīng)點分別為，，連接并延長交線段于點，則的值為（）A． B． C． D．10．已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊AB的中點，DF與對角線AC交于點G，過G作GE⊥AD于點E，若AB=2，且∠1=∠2，則下列結(jié)論正確個數(shù)有（）①DF⊥AB；②CG=2GA；③CG=DF+GE；④S四邊形BFGC=﹣1.A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11．在比例尺為1:5000的江陰市城區(qū)地圖上，某段路的長度約為25厘米，則它的實際長度約為米12．給出下列命題：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等邊三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中屬于真命題的有.(填序號)13．已知點在線段上，且.若，則cm.（精確到0.1cm）14．如圖，等邊△ABC的邊長為10，點M是邊AB上一動點，將等邊△ABC沿過點M的直線折疊，該直線與直線AC交于點N，使點A落在直線BC上的點D處，且BD：DC=1：4，折痕為MN，則AN的長為．三、解答題15．根據(jù)圖中所注的條件，判斷圖中兩個三角形是否相似，并求出x和y的值.16．如圖，E，F(xiàn)分別是矩形ABCD一組對邊AD，CB的中點．已知矩形AEFB∽矩形ABCD，求AB：BC的值．17．如圖，為了估算河的寬度，在河對岸選定一個目標(biāo)作為點A再在河的這邊選點B和C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D.此時如果測得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求兩岸間的大致距離AB.18．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，∠AED＝∠ABC，∠BAC的平分線AF交DE于點G，交BC于點F．（1）求證：△AGE∽△AFB．（2）若，GE＝2，求BF的長．四、綜合題19．如圖，一次函數(shù)y=﹣2x的圖象與二次函數(shù)y=﹣x2+3x圖象的對稱軸交于點B．（1）寫出點B的坐標(biāo)；（2）已知點P是二次函數(shù)y=﹣x2+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個動點，將直線y=﹣2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點．若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，則點P的坐標(biāo)為．20．在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，點E在CD上，且DE=1．（1）感知：如圖①，連接AE，過點E作EF丄AE，交BC于點F，連接AF，易證：△ADE≌△ECF（不需要證明）；（2）探究：如圖②，點P在矩形ABCD的邊AD上（點P不與點A、D重合），連接PE，過點E作EF⊥PE，交BC于點F，連接PF．求證：△PDE和△ECF相似；（3）應(yīng)用：如圖③，若EF交AB于點F，EF丄PE，其他條件不變，且△PEF的面積是6，則AP的長為．21．如圖，在△ABC中，AB＝BC.（1）用直尺和圓規(guī)在∠ABC的內(nèi)部作射線BM，使∠ABM＝∠ACB，且BM交AC于點D；(不要求寫作法，保留作圖痕跡)（2）在(1)的條件下，若BC＝6，BD＝4，求線段AC的長.22．如圖，將矩形紙片ABCD（AD＞DC）的點A沿著過點D的直線折疊，使點A落在BC邊上，落點為E，折痕交AB邊于點F（1）若BE＝1、EC＝2，則sin∠EDC＝；（2）若BE：EC＝1：4，CD＝9，求BF的長；（3）若BE：EC＝m：n，求AF：FB（用含有m、n的代數(shù)式表示）23．已知，如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且BF＝FC，連接DE，EF，并以DE，EF為邊作?DEFG.（1）求?DEFG對角線DF的長；（2）求?DEFG周長的最小值；（3）當(dāng)?DEFG為矩形時，連接BG，交EF，CD于點P，Q，求BP：QG的值.

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)A′（x，y），∵五邊形ABCDE與五邊形A'B'C'D'E'為位似圖形，位似中心是原點，3OA=OA'∴得到位似比為3又∵點A坐標(biāo)為（1，2）∴，∴故答案為：D.【分析】根據(jù)已知條件可得位似比為3：1，給點A的橫、縱坐標(biāo)分別乘以3，就可得到點A′的坐標(biāo).2．【答案】D【解析】【解答】∵DE∥BC，∴，即，∴AC＝8．故答案為：D．

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例進行解答即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：∵ED⊥BC，∴∠CDE＝∠BDF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠CDE，∠EAF＝90°，∵∠C＝∠C，∠F＝∠F，∠B＝∠B，∴△ABC∽△DEC，△AEF∽△DEC，△DBF∽△ABC，∴△ABC∽△DEC∽△AEF∽△DBF，故共有6對相似三角形.故答案為：A.【分析】由題意根據(jù)有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可求解.4．【答案】C【解析】【解答】A、由比例的性質(zhì)，得4x=3y與3x=4y不一致，故A不符合題意；B、由比例的性質(zhì)，得4x=3y與3x=4y不一致，故B不符合題意；C、由比例的性質(zhì)，得3x=4y與3x=4y一致，故C符合題意；D、由比例的性質(zhì)，得4x=3y與3x=4y不一致，故D不符合題意；故答案為：C．

【分析】根據(jù)比例式的性質(zhì)逐項判斷即可。5．【答案】B【解析】【解答】為的中點，和是以點為位似中心的位似三角形，，即.故答案為：B.【分析】由位似圖形的性質(zhì)可得，由可得，即得，據(jù)此求出A1B1的長即可.6．【答案】B【解析】【解答】∵，，，即．∵DE∥BC，即，，所以①②④正確，正確的個數(shù)為3個，故答案為：B.

【分析】由DE∥BC，可得其對應(yīng)線段成比例，再根據(jù)題中所得的比例關(guān)系即可判斷題中正確的個數(shù)。7．【答案】D【解析】【解答】解:∵點把線段分割成和兩段，是和的比例中項，根據(jù)線段黃金分割的定義得:．故答案為：D．【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值叫做黃金比．8．【答案】B【解析】【解答】解：如圖，過點P作PM⊥AB，則：∠PMB=90°，當(dāng)PM⊥AB時，PM最短，∵直線y=x﹣3與x軸、y軸分別交于點A，B，∴點A的坐標(biāo)為（4，0），點B的坐標(biāo)為（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB==5，∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=5，∴△PBM∽△ABO，∴=，即=，解得：PM=4．故答案為：B．【分析】根據(jù)垂線段最短，因此添加輔助線過點P作PM⊥AB，先求出直線AB與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，再利用勾股定理求出AB的長，然后證明△PBM∽△ABO，得出對應(yīng)邊成比例，即可求出PM的長。9．【答案】A【解析】【解答】解：如圖，過點F作FH⊥AD于點H，∵點，的對應(yīng)點分別為，，∴，，∴EF是AA＇的垂直平分線.∴∠AOE=90°.∵四邊形是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°.∴∠OAE＋∠AEO=∠OAE＋∠AGD，∴∠AEO=∠AGD.∵FH⊥AD，∴∠FHE＝∠D＝90°.∴△EFH∽△GAD.∴.∵∠AHF＝∠BAD＝∠B＝90°，∴四邊形ABFH是矩形.∴FH＝AB.∴；故答案為：A.

【分析】過點F作FH⊥AD于點H，利用折疊的性質(zhì)可證得EA＇=AE，F(xiàn)B=FB＇，同時可證得EF是AA＇的垂直平分線，可得到∠AOE=90°；利用矩形的性質(zhì)去證明∠AEO=∠AGD，利用垂直的定義可證得∠FHE＝∠D＝90°；再利用有兩組對應(yīng)角分別相等的三角形相似，可證得△EFH∽△GAD，利用相似三角形的性質(zhì)可得對應(yīng)邊成比例；利用矩形的性質(zhì)可得到FH=AB，由此可求出EF與AG的比值.10．【答案】C【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠DAC，AB∥CD，∴∠1=∠CAD，∵∠1=∠2，∴∠CAD=∠2，∴AE=ED，∵GE⊥AD，∴AD=2AE，∵AB=2AF，∴AE=AF，又∵AG=AG，∴△FAG≌△EAG，∴∠AFG=∠AEG=90°，∴DF⊥AB，故①正確；∵AB//CD，∴△AFG∽△CDG，∴CG：AG=CD：AF，∵AF=AB，AB=CD，∴CG：AG=2：1，∴CG=2AG，故②正確；延長CB交DF的延長線于點M，∵AD//BC，∴∠M=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠M，∴CG=MG，在△ADF和△BMF中，∵∠M＝∠2，∠BFM＝∠AFD(對頂角相等)，BF＝AF，∴△ADF≌△BMF（AAS），∴MF=DF，∵△FAG≌△EAG，∴FG=EG，∵GM=GF+MF，∴CG=DF+GE，故③正確；由以上可得BO=1，AC=2，F(xiàn)G=，∴S四邊形BFGC=S△ABC-S△AFG=×2×1-××1=，故④錯誤；故選C.【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等，能正確地添加輔助線并能熟練應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵.11．【答案】1250【解析】【解答】實際距離=5000×25=125000cm=1250米.【分析】根據(jù)圖上距離比實際距離等于比例尺即可求解。12．【答案】②③【解析】【解答】解：①等腰三角形三角不一定相等，不符合相似三角形的判斷方法，故①錯誤；

②所有的等邊三角形三角相等，符合相似三角形的判斷方法，故②正確；

③所有的等腰直角三角形三角都相等，符合相似三角形的判斷方法，故③正確；

④所有的直角三角形三角不一定都相等，不符合相似三角形的判斷方法，故④錯誤，

∴真命題是②③.

故答案為：②③.

【分析】相似三角形的判定方法：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊的延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；②如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似；④三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似，據(jù)此一一判斷得出答案.13．【答案】3.1【解析】【解答】解：∵點P在線段AB上，且PA2=AB?PB，∴點P是線段AB的黃金分割點，且PA＞PB，∴PA=AB≈0.618×5=3.1（cm），故答案為：3.1.

【分析】利用已知可得到點P是線段AB的黃金分割點，且PA＞PB，可推出PA=AB，然后代入可求出結(jié)果.14．【答案】7或【解析】【解答】解：①當(dāng)點A落在如圖1所示的位置時，∵△ACB是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，∴∠BMD=∠NDC，∴△BMD∽△CDN．∴得==，∵DN=AN，∴得==，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=2，CD=8，設(shè)AN=x，則CN=10﹣x，∴==，∴DM=，BM=，∵BM+DM=30，∴+=10，解得x=7，∴AN=7；②當(dāng)A在CB的延長線上時，如圖2，與①同理可得△BMD∽△CDN．∴得==，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=，CD=，設(shè)AN=x，則CN=x﹣10，∴==，∴DM=，BM=，∵BM+DM=10，∴+=10，解得：x=，∴AN=．故答案為：7或．【分析】此題分兩種情況①當(dāng)點A落在如圖1所示的位置時，由等邊三角形的性質(zhì)及翻折的知識判斷出△BMD∽△CDN，由相似三角形的性質(zhì)得==進而得出==，設(shè)AN=x，則CN=10﹣x，進而得出關(guān)于X的方程求解即可；②當(dāng)A在CB的延長線上時，與①同理可得△BMD∽△CDN，BD：DC=1：4，BC=10，從而表示出BD，CD的在長度，設(shè)AN=x，則CN=x﹣10，從而得出關(guān)于X的方程求解即可。15．【答案】解：在圖（1）中，∵∠1=∠2，，，解得：，；在圖（2）中，，，，，，，，.【解析】【分析】在圖（1）中，根據(jù)已知可得∠1=∠2，∠G=∠I=90°，則△FGH∽△JIH，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得x、y的值；在圖（2）中，根據(jù)同角的余角相等可得∠FHG=∠JHK，根據(jù)各邊的長度可得，證明△FGH∽△JKH，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行計算.

16．【答案】解：由矩形矩形ABCD，得

即，

得.

所以【解析】【分析】由相似多邊形的性質(zhì)可得對應(yīng)邊的比相等，可得到，然后根據(jù)E是AD的中點可得出，AE=，代入比例式中即可求出AB：BC的值．17．【答案】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC∴∠B=∠C=90°又∵∠ADB=∠EDC∴△ABD∽△ECD∴即∴AB=100答：兩岸向的大致距高AB為100米.【解析】【分析】由兩角對應(yīng)相等可得△BAD∽△CED，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得兩岸間的大致距離AB.18．【答案】（1）證明：∵AF平分∠BAC，∴∠EAG＝∠BAF，∵∠AED＝∠ABC，∴△AEG∽△ABF；（2）解：∵，∵△AEG∽△ABF，而GE＝2，∴BF＝．【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到：進而根據(jù)"有兩個角相等的三角形為相似三角形"，據(jù)此即可求證；

（2）根據(jù)題意得到：然后利用相似三角形的性質(zhì)得到：據(jù)此即可求解.19．【答案】（1）（，﹣3）（2）（2，2），（，），（，），（，）【解析】【解答】解：（1.）∵拋物線y=﹣x2+3x的對稱軸為x=﹣=，∴當(dāng)x=時，y=﹣2x=﹣3，即B點（，﹣3）；（2.）設(shè)D（0，2a），則直線CD解析式為y=﹣2x+2a，可知C（a，0），即OC：OD=1：2，則OD=2a，OC=a，根據(jù)勾股定理可得：CD=a．以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，當(dāng)∠CDP=90°時，若PD：DC=OC：OD=1：2，則PD=a，設(shè)P的橫坐標(biāo)是x，則P點縱坐標(biāo)是﹣x2+3x，根據(jù)題意得：，解得：，則P的坐標(biāo)是：（，），若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2），當(dāng)∠DCP=90°時，若PC：DC=OC：OD=1：2，則P（，），若DC：PD=OC：OD=1：2，則P（，）．故答案為：（2，2），（，），（，），（，）．【分析】（1.）由y=﹣x2+3x可知圖象的對稱軸為x=﹣=，將x=代入y=﹣2x中，可求B點坐標(biāo)；（2.）設(shè)D（0，2a），則直線CD解析式為y=﹣2x+2a，可知C（a，0），以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，分為∠CDP=90°和∠DCP=90°兩種情況，分別求P點坐標(biāo)．20．【答案】（1）證明：感知：如圖①．∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DAE+∠DEA=90°．∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠DEA+∠FEC=90°，∴∠DAE=∠FEC．∵DE=1，CD=4，∴CE=3．∵AD=3，

∴AD=CE，∴△ADE≌△ECF（ASA）（2）證明：如圖②．∵四邊形ABCD為矩

形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DPE+∠DEP=90°．∵EF⊥PE，∴∠PEF=90°，∴∠DEP+∠FEC=90°，∴∠DPE=∠FEC，∴△PDE∽△ECF；（3）3﹣【解析】【解答】（3）解：利用兩角相等證明△PDE∽△ECF；應(yīng)用：作輔助線，構(gòu)建如圖②一樣的相似三角形，過點F作FG⊥DC于點G，同（2）證出△PDE∽△EGF∴=，∴=，∴EF=3PE，∴3PE2=12，∴PE=±2．∵PE＞0，∴PE=2．在Rt△PDE中，由勾股定理得：PD==，∴AP=AD﹣PD=3﹣．故答案為：3﹣．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠D=∠C=90°，根據(jù)同角的余角相等得出∠DAE=∠FEC．然后利用ASA就可以判斷出△ADE≌△ECF；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠D=∠C=90°，根據(jù)同角的余角相等得出∠DPE=∠FEC，根據(jù)有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似即可得出△PDE∽△ECF；

（3）利用兩角相等證明△PDE∽△ECF；應(yīng)用：作輔助線，構(gòu)建如圖②一樣的相似三角形，利用探究得：△PDE∽△EGF，則DE∶GF=PE∶EF，所以PE∶EF=1∶3，再利用△PEF的面積是6，列式可得：PE?EF=12，兩式結(jié)合可求得PE的長，利用勾股定理求PD，從而得出AP的長．21．【答案】（1）解：如答圖，射線BM即為所作.（2）解：∵∠ABD＝∠ACB，∠BAD＝∠CAB，∴△ABD∽△ACB，∴，即，∴AC＝9.【解析】【分析】（1）根據(jù)作一個角等于已知角的方法進行作圖；

（2）易證△ABD∽△ACB，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行求解就可得到AC.22．【答案】（1）（2）解：∵BE：EC＝1：4設(shè)，，由矩形的性質(zhì)可得：由折疊的性質(zhì)可得：在中，，即解得（負(fù)值舍去）即設(shè)，則由勾股定理可得，，即解得，即（3）解：由題意可得：∴，∴∴∴，即∵設(shè)，則∴由折疊的性質(zhì)可得：∴故答案為：．【解析】【解答】解：（1）在矩形ABCD中，，由折疊的性質(zhì)可得：在中，故答案為：；【分析】（1）先求出，再利用銳角三角函數(shù)計算求解即可；

（2）先求出，再利用勾股定理計算求解即可；

（3）利用相似三角形的判定與性質(zhì)計算求解即可。23．【答案】（1）解：如圖1所示：連接DF，∵四邊形ABCD是矩形，∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC，∵BF＝FC，AD＝2；∴FC＝1，∵AB＝3；∴DC＝3，在Rt△DCF中，由勾股定理得，∴DF＝；故?DEFG對角線DF的長（2）解：如圖2所示：作點F關(guān)直線AB的對稱點M，連接DM交AB于點N，連接NF，ME，點E在AB上是一個動點，①當(dāng)點E不與點N重合時點M、E、D可構(gòu)成一個三角形，∴ME+DE＞MD，②當(dāng)點E與點N重合時點M、E（N）、D在同一條直線上，∴ME+DE＝MD由①和②DE+EF的值最小時就是點E與點N重合時，∵MB＝BF，∴MB＝1，∴MC＝3，又∵DC＝3，∴△MCD是等腰直角三角形，∴MD