北京市順義區(qū)2023-2024學年高二年級上冊數(shù)學期中試卷

北京市順義區(qū)2023-2024學年高二上學期數(shù)學期中試卷

閱卷入

一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，四個選項中只有

得分一個符合題目)

1.若直線％+y—3=0與2%+ay-1=0垂直，則。=()

A.-2B.2C.1D.

2.橢圓的兩個焦點是(-4,0)和(4,0),橢圓上的點M到兩個焦點的距離之和等于10,則橢圓的標準方

程是()

A.A娶1B.A要1c?各*=1D.拿白1

3.若％2+y2+4x—2y-m=0表示圓的方程,則zn的取值范圍是()

A.(5,+oo)B.(—oo,5)C.(—oo,—5)D.(-5,+8)

4.若雙曲線C：■—記=1的焦距長為8,則該雙曲線的漸近線方程為)

9m

A.y=±?XB.y=+—%C.y=+-%D.y=±四

5.已知拋物線y2=2px(p>0)上橫坐標為3的點M到焦點F的距離為6,則p=)

A.2B.3C.6D.8

6.已知平面a的法向量為元=(2,1,1),若平面a外的直線［的方向向量為五=(一1,0,3),則可以推斷

()

A.I||aB.I1aC.1與a斜交D./ua

7.已知點M的坐標為(a,b),圓”與x軸交于A、8兩點，與y軸交于C、。兩點，貝廣|48|=|CC|”是

“a=b”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知三棱錐。-ABC,點。是。A的中點，點G是△ABC的重心(三角形三條中線的交點叫三角形的重

心)設瓦？=五，~OB=b，0C=c，則向量直用基底m，b,方可表示為()

為（A

B.—yd+^b+^-C

C.D.+ih+ic

666333

9.設點P為函數(shù)y=V5|%|圖象上的動點，Q是圓C：（%—q）2+（y—b）2=3（其中ab=0）上的動點,

若|PQ|的最小值為g，則以所有滿足條件的點C為頂點的多邊形的面積為（）

A.24V3B.16V3C.8VID.竽

10.如圖，在正方體ABCD—中，點E是線段BG的中點，點F是線段BD上的動點，下列結論中

錯誤的是（）

A.對于任意的點F,均有EF14C

B.存在點F,使得EF||平面A41B1B

C.存在點F,使得EF與CG所成角是60°

D.不存在點凡使得EF與平面ABGD1的所成角是30°

閱卷人

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.請把結果填在答題

得分紙上的相應位置.）

11.直線y=l的傾斜角為.

12.平面直角坐標系中，已知直線/過點（0,4）,與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4,則直線I的方程

為.

13.已知拋物線C：產(chǎn)=8%的焦點為/，準線為/,則尸至〃的距離是；若斜率為8的直線經(jīng)過

焦點P在第一象限與拋物線交于點M,過M作MN垂直于I于點N,則4MNF的面積為.

14.已知橢圓C：琴+q=1與雙曲線氏與-g=1有共同的焦點Fi，F(xiàn)2,設兩曲線的其中一個交點為

259a乙b

P,且COSNF1PF2=*,則雙曲線的離心率為.

222422

15.關于曲線皿1：x+y=m,W2：x+y=m(m>0)

①曲線W2關于無軸、y軸和原點對稱；

②當m=1時，兩曲線共有四個交點；

③當0<m<1時，曲線圍成的區(qū)域面積大于曲線皿2所圍成的區(qū)域面積；

④當m=VI時，曲線皿2對圍成的平面區(qū)域內(nèi)(含邊界)兩點之間的距離的最大值是3.

上述結論中所有正確命題的序號是.

閱卷人

三、解答題(本大題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明過程或演算

得分步驟.

16.平面直角坐標系中,已知圓的圓心是C(0,1),且經(jīng)過點M(遍，0),直線［的方程為久+y+m=0.

(1)求圓C的標準方程；

(2)若/與圓C相切，求加的值；

(3)若直線/被圓截得的弦長|MN|=2遮，求m的值

17.已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是久軸，且經(jīng)過點P(l,2).

(1)求拋物線的標準方程、焦點坐標；

(2)經(jīng)過焦點產(chǎn)且斜率是1的直線與拋物線交于A、8兩點，求|AB|以及AOAB的面積.

18.如圖，在四棱錐P-ABC。中，PD1平面ABC。，底面4BCC是邊長為2的正方形，PD=2,點E是

PC的中點.

(1)求證：BC||平面PAD；

(2)求直線AC與EB所成角的余弦值；

(3)求直線EB與平面PAD所成角的正弦值.

19.如圖，直三棱柱4BC-&B1Q中，AC=BC=逐,AB=2,441=3,/為棱4B的中點，點N是

&C上靠近C的三等分點

(1)求證：AB，平面MCCQ

(2)求二面角N—BJW—4的余弦值；

(3)棱4C上是否存在點P,使得點P在平面/MN內(nèi)?若存在，求奈的值；若不存在，說明理由.

20.已知橢圓C：［+J=l(a>b>0)的長軸長為2VL離心率為*,過右焦點且與久軸不垂直的直線2

與橢圓相交于A,B兩點，點M的坐標為(2,1),記直線MA,MB的斜率分別為七，k2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)當|AB|=苧時，求直線，的方程；

(3)求證：七+七為定值.

21.對于空間向量沅=(a,b,c),定義||而||=max{|a|,網(wǎng)，|c|}>其中max{久，y,z}表示丁,y,z這

三個數(shù)的最大值.

(1)已知。=(3,-4,2),b=(x,-x,2x).

①直接寫出||句|和兩||(用含％的式子表示)；

②當0W%<4,寫出||五—山|的最小值及此時％的值；

(2)設五=(尤1，y1；Zi),b=(久2，y2>Z2)，求證：||五+瓦|W||團|+||瓦卜

(3)在空間直角坐標系。一支yz中，4(2,0,0),B(0,2,0).<7(0,0,2),點。是△ABC內(nèi)部的

動點，直接寫出||曲||的最小值(無需解答過程).

答案解析部分

L【答案】A

【知識點】兩條直線垂直的判定；直線的一般式方程與直線的垂直關系

【解析】【解答】解：?,?直線x+y-3=0與2%+ay-1=0垂直，2X1+aX1=0,二a=-2.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)兩直線垂直得到2x1+ax1=0,求出a的值即可.

2.【答案】C

【知識點】橢圓的定義

【解析】【解答】解：???橢圓焦點坐標為(—4,0)和(4,0),??.c=4,

???橢圓上的點M到兩個焦點的距離之和等于10,2a=10,a=5,b=Va2-c2=V52-42=3;

???橢圓的標準方程是+

故答案為：C.

【分析】根據(jù)橢圓定義寫出橢圓的標準方程是+

3.【答案】D

【知識點】圓的標準方程；二元二次方程表示圓的條件

【解析】【解答】解：x2+y2+4x—2y—m=0可化為(％+2)2+(y—l)2=5+m,v(x+2)2+

(y-l)2=5+租表示圓的方程，.??5+TH>0,即zn>-5.

故答案為：D.

【分析】將圓的一般方程化為標準方程(%+2尸+(y-1產(chǎn)=5+租，貝l」5+m>0求出m的取值范圍.

4.【答案】D

【知識點】雙曲線的定義；雙曲線的標準方程；雙曲線的簡單性質(zhì)

【解析】【解答】解：???雙曲線C："—*=1的焦距長為8,；.2c=2回不=8,.?.m=7,

9m

二雙曲線C：《―^=1，.?.雙曲線的漸近線方程為y=+，久.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)雙曲線性質(zhì)得2c=2回T元=8,求出m,進而寫出雙曲線的漸近線方程.

5.【答案】C

【知識點】拋物線的簡單性質(zhì)

【解析】【解答】解：由拋物線性質(zhì)知拋物線的準線為％=-與二3—（—初=6,p=6.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)拋物線定義得到3-（-切=6,進而求出p的值.

6.【答案】C

【知識點】空間向量的夾角與距離求解公式；平面的法向量

—?—>

——TL'CL

【解析】【解答】解：設直線Z與平面a的夾角為仇貝！Jsine=cos<n，=幣幣

\n\\a\

(2,1,1)(—1,0,3)=1"

1與a斜交.

j22+l2+l2j(-l)2+02+322*30

故答案為：C.

【分析】設直線/與平面a的夾角為仇利用向量夾角公式求出sin。=cos〈匯a>，判斷Z與a的位置關系.

7.【答案】B

【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線與圓相交的性質(zhì)

【解析】【解答】解：設圓M半徑為r,???點M的坐標為（a,6）,??.點M到x軸距離為|b\,到y(tǒng)軸距

離為Ial，...研=21r~b，IC0=2《r~a

充分性：^\AB\=\CD\,則2JJ-L=2小J-a?’求得『=>，IP|a\=\b\,充分性不成立;

必要性：若a=6,則2//一4=2I/_/，\AB\=\CD\，必要性成立，

“|4B|=|CD『是"a=6”的必要不充分條件.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)圓的弦長公式和圓心坐標，分別證明充分性和必要性是否成立.

8.【答案】B

【知識點】空間向量的加減法

【解析】【解答】解：?.?點6是4/呂。的重心，二彳0=/（7^+7工），

----->-----?----->----->1-----?----->1-----?1----->-----?----->-----?1-----?

??.DG=DA+AG=DA+^AB+AC)=^OAB-OA+OC-OA)=-^OA+

i-----*i----->i-*i->i->

Q-OB+八OC=-za+八b+八C.

33633

故答案為：B.

【分析】根據(jù)重心性質(zhì)得AG=：（/6/人。），再根據(jù)向量的加法運算求向量而用基底僅，b,可表示.

9.【答案】A

【知識點】平面內(nèi)點到直線的距離公式；圓的標準方程；直線與圓的位置關系

【解析】【解答】解：???|PQ|的最小值為b，；.|P的最小值為8/r=2B，

當a=0,b=0時，不滿足題意；

Ipc\

當a>0,b=0時，由圖知——、=4，圓心為（4,0）;

siz?60

當a<0,b=0時，由對稱性知圓心為（一4,0）;

Ipc\

當a=0,b>0時，由圖知-%=48，圓心為（4日，0）；

當a=0,b<0時，由圖知，（一2。,0）;

連接四點得得到四邊形，四邊形的面積S(4-(-4))(4V3-(-2V3))=24V3.

【分析】分圓心在原點、在x軸上和在y軸上結合圖象討論分析，利用圓心到直線距離求出圓心坐標，

進而求解多邊形面積.

10.【答案】D

【知識點】直線與平面平行的判定；空間向量的夾角與距離求解公式；空間向量的數(shù)量積運算的坐標表示

【解析】【解答】解：設正方體的棱長為2,以點D為坐標原點以DA,DC,DDi所在直線分別為x,y,

z軸建立空間直角坐標系，

.■.D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),Ai(2,0,2),B(2,2,0),Ci(0,2,2),E(l,2,1),

???點F在線段BD上，.??設F(a,a,0),ae(0,2),

EF=(^a—1/a—2,—1)?A—2/2,-2)，CC]=(0,0,2)，

A.-.-EF-C=(a~1,a~2,一1)?(一2,2,-2)=2~2a+2a-4+2=0-二對任意F,有石尸

1A1C,A正確；

B.易知平面4夕i6的法向量為77]=(1,o,0)，當石尸.A]=(a—1,a—2,-1).(1,0,0)

=a—1=0時，求得a=1,滿足ae(0,2),；.存在F,有E尸||平面/B正確；

—>T

T

EF-C(a-1,a—2/—1)-(0/0,2)

C.當IC。s{EF,CC^)\=\->TI=1-「

222

\EF\\CCA\狹…)巴-)A-l)2a—6a+6

時，求得@=與1a=3-&(°,2)，:存在F，有后尸與夾角為60°,C正確；

22

—?—?

—?——EF'n。

D.易知平面/3q%的法向量為4=(1,0,1)，當|cos〈N尸，7?2)|=|-^>——=r-|=

'''\EF\\n2\

.(a—1/a—2,—1),(1/0/1)_a_1

1—I222=|2==2時,求得a=l,滿足ae(0,2),???存在F,有

V2(a—1)7-(a—2)+(—1)2Ia—3a-A3

后產(chǎn)與平面A51萬16夾角為30°,D錯誤;

故答案為：D.

【分析】設正方體的棱長為2,以點D為坐標原點以DA,DC,DDi所在直線分別為x,y,z軸建立空

間直角坐標系，利用空間向量逐一分析選項.

11.【答案】0

【知識點】直線的傾斜角；直線的斜率

【解析】【解答】解：直線y=1與x軸平行斜率為0,???傾斜角為0.

故答案為：0.

【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率的關系求解.

12.【答案】y=±2%+4

【知識點】直線的斜截式方程

【解析】【解答】解：顯然直線斜率存在且不為0,設直線1方程為y=kx+4,則直線與x軸交點坐標為

44

-一f-

々0),???則直線1與坐標軸圍成的三角形面積為sc

y=±2x+4.

故答案為：y-±2%+4.

【分析】顯然直線斜率存在且不為0,設直線1方程為y=kx+4,根據(jù)三角形面積公式求解k的值，得到

直線方程.

13.【答案】4；16g

【知識點】拋物線的標準方程；拋物線的簡單性質(zhì)；拋物線的應用；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【解答】解：由拋物線定義知焦點坐標為(2,0),準線1為％=-2,，F(xiàn)到1距離為2-(-2)=4,

設直線方程為y=遮(無一2),聯(lián)立P=F(久一2),得3——20%+12=0,求得久=6或%=左

y—8%J

???M在第一象限，???x=6,當冗=6時，y=4舊，?,?點M(6,4舊),

SAMNF=與MN-|yMl=1x|4-(-2)|x=16同

【分析】根據(jù)題意結合拋物線的定義求下至〃的距離；求出直線方程，與拋物線聯(lián)立求出點M的坐標,

進而求解AMNF的面積.

14.【答案】

【知識點】橢圓的簡單性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì)；余弦定理

【解析】【解答】解：由題意得橢圓焦點坐標為％(—4,0),打(4,0),

???橢圓與雙曲線有共同焦點，二a2+廬=c2=16,

不妨設點P在第一象限，則|P%|+|P4I=I。，\PFi\~\PF2\=2a,求得|P%|=5+a,中乙1=5—

|PF|2+|PF|2-|FF|2=(5+a)2+(5-a)2-82=25+a2-32_1

a,又131=8,1212求得

2|嗎卜叫1=-2(5+a)(5—a)~=25—a2=8'

f4

-

C2混--

q2=9,.?.雙曲線離心率e=3

【分析】由題意得。2+廬=c2=16,設點P在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線定義求得|P%|=5+a,

\PF2\=5-a,再結合C0SNaPF2=g利用余弦定理求出a2,進而求雙曲線離心率.

15.【答案】①②④

【知識點】平面內(nèi)兩點間的距離公式；圓的標準方程；圓錐曲線的軌跡問題

【解析】【解答】解：①設F(x,y)=x4+y2—m2(m>0),

F(—%,y)=(—%)4+y2—m2=x4+y2—m2=F(x,y)，

F(x,—y)=x4+(—y)2—m2=x4+y2—mz=F(x,y)，

F(—%,—y)=(—%)4+(—y)2—m2=%4+y2—m2=F(x,y),

???曲線W2關于x軸、y軸和原點對稱，①正確；

②當m=l時，/1：x2+y2=1,卬2：%4+y2=1

聯(lián)立尉仁f求得：;或m:;或或真二

.,?兩曲線共有四個交點，②正確；

③???曲線01：/+y2=m2和勿2：/+y2=血2的圖象關于X軸、y軸和原點對稱，.?.研究第一象限的曲

線即可，

24

設當=一久2久e(0,m),y2=Jm—xxE(0,m)>

0<m<1,xe(0,m),x2>x4,-x2<-x4,Vm-%2<Vm-x4>

.?.當0<m<1時，曲線Wi圍成的區(qū)域面積大于曲線卬2所圍成的區(qū)域面積，③錯誤；

④當TH時，則勿2：%4+y2=2,%e(-V2,奩)，???曲線/2上任意一點(x,y)到原點距離d=

J久2+y2=’久2+2_久4=J_(%2_3+去??1xG(―V2,V2),:.d=J-(%2—

根據(jù)對稱性知：曲線02對圍成的平面區(qū)域內(nèi)(含邊界)兩點之間的距離的最大值是3.

故答案為：①②④.

【分析】①設F(尤，y)=x4+y2-m2＞證明F(—久，y),F(x,—y),F(—%,—y)都等于F(無，y)即

可；②聯(lián)立曲線方程求出交點坐標，進而求交點個數(shù)，③設＜]=,加2_久2,y2^Jm2-X4,xe

(0,m),討論第一象限為與丫2大小，進而判斷曲線加1與卬2圍成的區(qū)域面積大小；④利用二次函數(shù)性質(zhì)

求曲線加2上任意一點(x，y)到原點距離的范圍，結合對稱性判斷.

16.【答案】(1)解：由題意知，r=\CA\=2

所以圓C的方程為久2+(y—1)2_4.

,|0+l+m||m+l|、

(2)解：圓心C到直線/的距離d=-F=-==2

解得加=2V2-1或一2/-1

(3)解：設圓心C到直線/的距離為屋有(d')2+(繆=4

因為|MN|=2W，所以d'=1

I|0+l+7n|_|zn+l|_]

即有d

Jl2+12g解得m=-1+魚或-1—V2-

【知識點】平面內(nèi)點到直線的距離公式；圓的標準方程

【解析】【分析】(1)根據(jù)兩點間距離公式求出半徑，然后寫出圓C的標準方程；

(2)根據(jù)圓心到直線距離等于半徑求m的值；

(3)根據(jù)弦長公式求出圓心C到直線[的距離為d'，再利用點到直線的距離公式求m的值.

17.【答案】(1)解：由題設方程為y2=—2p久，

將P(l,2)代入，解得p=2

所以拋物線的標準方程為y2=4%.

焦點坐標為(1,0).

(2)解：因為直線k=l,過點F(-l,0),所以直線/的方程為y=%-1,

y=x—1

聯(lián)立

.y2=4%

消y得久2—6%+1=0

設力(修，yQ，B(X2,>2)，則％i+%2=6,%1%2=1.

\AB\=Vl+k2-JQi+久2)2-4%I%2=8(或|4用=K1+亞+P=6+2=8)

1V2

所以S=*X8X￥=2A.

【知識點】拋物線的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)由題意設拋物線的方程為儼=—2px,代入點P(l,2),求出p,進而寫出拋物線的

標準方程和焦點坐標；

(2)由題意寫出直線AB方程，與拋物線方程聯(lián)立，結合韋達定理求|AB|=/+犯+「，再結合點到直線

距離公式求△04B的面積.

18.【答案】(1)證明：因為力BCD為正方形，所以BFIIAD,

因為BC三平面PCB,4。u平面PAD

所以BC||平面PAD.

(2)解：因為PD1平面ZBCD,所以PD1ZD,PD1DC

又因為底面/BCD是正方形，所以AC1DC,

如圖，以口4、DC、DP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系

則配=（一2,2,0）,麗=（2,1,-1）,

所以cos（晶，EB）=一2

\AC\\EB\2V2xV6

所以直線4C與EB所成角的余弦值為夕.

6

(3)解：平面24。的法向量為元=(0,1,0)

麗=(2,1,-1),設直線EB與平面PAD所成角為仇

貝Usin。=|cos(EB,n)\==4=真所以直線EB與平面24。所成角的正弦值為電.

|EB||n|V6o6

【知識點】平面與平面平行的判定；空間向量的夾角與距離求解公式；用空間向量求直線間的夾角、距離

【解析】【分析】(1)因為4BCD為正方形，所以結合線面平行判定定理求BC||平面P4D；

(2)以DA、DC、DP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求求直線AC與EB所成角的余

弦值；

(3)求出平面24。的法向量，利用空間向量求直線EB與平面24。所成角的正弦值sin。=|cos(晶，n)|-

19.【答案】(1)解：證明：連接BC「

由于=AC=BC,所以AB1CM

在直三棱柱ABC-A/iG中，

CQ1平面4BC,所以CQ14B,

又CMOCQ=C,所以AB_L平面CC]M.

(2)解：如圖，

取AiBi中點Q,由于AAi_L平面ABC,MQ||AA^因止LMQ，平面ABC,

又因為AC=BC,所以MBLMC,故MB,MC,,MQ兩兩垂直，

以M為坐標原點，分別以前瓦~MC,前0的方向為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系M-xyz.

則義(一1,0,3),C(0,2,0),Bt(l,0,3),M(0,0,0),N(-1,J,1).

碇=(1,2,-3),而i=(l,0,3),W=(-1,I，1)

設平面Bi"N的法向量為汨=(K，y,z),

x+3z=0%=3

-1x+|y+z=0，取y=|，則汨=(3,|,-1)

Ji：：'即

z=-1

平面BiMA的法向量為何=(0,1,0)

(3,I，-1).(0,1,0)3

設所求二面角為。，則cos。=|cos〈溫，雨)|=|得嵩|=

~爐I+(|)2+(—1)2—7

(3)解：設都=4元=；1(1,2,0)=(九22,0)(0<2<1),

則加=加+而=(-1,0,0)+2(1,2,0)=(A-1,24,0),

因為平面BWN的法向量雨=(3,1,-1),

若點P在平面/MN內(nèi)，則加垂直于通，

所以加電=(4一1,2九0)-(3,|,-1)=64—3=0,解得4=*[0,1],

所以棱AC上存在點P,使得點P在平面/MN內(nèi)，此時槳=)

/ICZ

【知識點】直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；用空間向量研究二面角

【解析】【分析】(1)連接AC1，BC1，通過證明AB1CM,CCrLAB,得到AB1平面CCiM；

(2)取A/i中點Q,以M為坐標原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角N-BiM-4的余弦

值；

(3)設益=4晶，(0W2M1)，求出平面/MN的法向量祗，求而.R=o時，滿足0W4W1的4的值,

進而寫出霧的值.

20.【答案】(1)解：依題意2a=2&，所以。=企.

因為e=￡=*,所以c=L

a2

所以/=1.

2

所以橢圓。的方程為旨+y2=i.

(2)解:橢圓得右焦點F(l,0).

由已知可知，直線]的斜率存在，設直線/：y=/:(%-1),

聯(lián)立方程組"+y-1,消y得(1+2k2)第2一4女2冗+2(小-1)=0,△>()成立.

y=k(x-1)

22

J

設4(%i，y])，B(X：2,y2)則%]+冷=?4k亍xrx2=——

l+2k1+2《

\ABI=y/1+k2-J(久1+42)2-4K1%2=

4

O2Q

2.4〃、.2(fc-1)_5V2

V1+/c--4-1^F=-)

2

所以修』所以『土當直線，："士苧

(3)證明：由上問可知y=1叩—1),M(%i，%),N(%2,、2),

,,=1一172=(1-yj(2-％2)+(172)(2-％1)

12~2^x[2^x^~4-2(%1+%2)+%1%2

分子化為4—(%1+%2)-2仇+y2)+x2y1+x1y2=2kx1x2-(1+3k)(/+x2)+4k+4.

22

2kd*-y—(l+3k)x^^+4k+4

所以的+k2=一1±茲——.―岑任------

一4-

l+2fcl+2fc

2kx2(fc2-1)-4k2(1+3k)+4(k+1)(1+2k2)4k2+4

=---------------------------------2-----------9-----------2--------------------------=-2-------=2

4(1+2k)-8k+2(/c-1)2k+2

綜上所述，七+七為定值2.

【知識點】橢圓的標準方程；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(D依題意得到a=V2,再根據(jù)橢圓離心率和a?=必+c2求橢圓C的方程；

(2)由題意知，直線/的斜率存在，設直線/：y=k(x-1)與橢圓方程聯(lián)立，結合韋達定理和弦長公式

|AB|=+卜2?J(久1+x2)2—4久1久2=求解k的值，得到直線方程；

(3)結合(2)化簡/q+/=F+?—冬，判斷其是否為定值.

乙人1]4人2

21.【答案】(1)解：①|(zhì)|訓=4,|網(wǎng)|=|2x|；

(—x+4,0<x<2

@\\a-b\\“a—b11nl)=2,此時久=2

12%-2,2<%<4

(2)解：||a+b||=max{%+%2卜1%+為1，\zi+z2l}

Wmax{%|+%|，|%|+㈤，㈤+㈤}

因為||a||=max{%|,㈤},|網(wǎng)|=max{%|，陽，㈤}，

所以㈤，|月|，㈤割叫,|%2|,|y2|,|z2|<||h||

所以||a+b\\<max{||a||+\\b\\,||a||+|網(wǎng)|,||a||+\\b\\]=||a||+||h||,

(3)解：質(zhì)J

【知識點】不等關系與不等式；共面向量定理；不等式的證明

【解析】【解答】(3)由題意知Q,A,B,C四點共面，...OQ=光04+y03+(1_%_y)&;,又

―>

4(2,0,0),5(0,2,0),。(0,0,2),OQ=(2%/2y,2—2%—2y)j

由(2)知。Q=max^\2x\,\2y\,|2-2%-2y|j>\2x\,\2y\,|2-2%—2y|,

???同=m”{|2%I，|2y|,|2-2%-2y|}2附十|2"2-2x—2y|?|2x+2y+y2Ty|=|,

IOQI=i當且僅當久=y=。寸等號成立.

1'minD3

【分析】(1)①根據(jù)定義直接求解；②根據(jù)定義分0〈xM2和2<xW4討論寫出|日—山|,進而求其最

小值，和此時x的值；

(2)根據(jù)定義結合三角不等式直接證明；

⑶由四點共面的充要條件結合定義及三角不等式求解，進而直接寫出||所||的最小值.

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分:150分

客觀題（占比）45.0(30.0%)

分值分布

主觀題（占比）105.0(70.0%)

客觀題（占比）11(52.4%)

題量分布

主觀題（占比）10(47.6%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題（本大題共6

小題，每小題5分，

共30分.請把結果填5(23.8%)25.0(16.7%)

在答題紙上的相應位

置.）

解答題（本大題共6

小題，共85分，解

6(28.6%)85.0(56.7%)

答應寫出文字說明過

程或演算步驟.

選擇題（本大題共

10小題，每小題4

分，共40分，四個10(47.6%)40.0(26.7%)

選項中只有一個符合

題目）

3、試卷難度結構分析

序號難易度占比

1普通(52.4%)

2容易(28.6%)

3困難(19.0%)

4、試卷知識點分析

序號知識點（認知水平）分值（占比）對應題號

1直線與平面垂直的性質(zhì)16.0(10.7%)19

2橢圓的簡單性質(zhì)5.0(3.3%)14

3用空間向量研究二面角16.0(10.7%)19

4直線與圓的位置關系4.0(2.7%)9

5用空間向量求直線間的夾角、距離14.0(9.3%)18

6直線與圓錐曲線的綜合問題34.0(22.7%)13,17,20

7雙曲線的簡單性質(zhì)