2020-2021學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共9小題，共36.0分)

1.在數(shù)列S｝中，已知的=2,%1Hgi十眼圜消避婦鏟”，則a4等于()

A.4B.11C.10D.8

2.?已知數(shù)列｛/｝是等差數(shù)列，且%+。9:=4,那么數(shù)列｛a。的前11項和等于()

A.22B.24C.44D.48

3.設(shè)數(shù)列｛即｝，｛%｝都是等比數(shù)列,且由=25,b]=4,a2-b2=100,那么數(shù)列｛an?bn｝的第37項

的值是()

A.1B.37c.100D.-37

4.設(shè)/(x)=3x2ex,則/'(2)=()

A.12eB.12e2c.24eD.24e2

5.直線，為曲線丫=1/一/+2%+1的切線，貝”的斜率的取值范圍是()

—

A.(°°,1]B.[—lz0]C.[0,1]D.[1,+8)

6.若s譏2%、s出工分別是s譏。與cos。的等差中項和等比中項，則cos2工的值為：()

Ai+聞B1-同Q1土國DL

?8884

7.已知函數(shù)y=f(x)的定義域為(-兀,兀)，且函數(shù)y=/(x+》的圖象關(guān)于直線x=對稱，當(dāng)x€

(0,兀)時，/(x)=-f'(^)sinx-nlnx,其中/''(x)是y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)，若a=/(303),b=

/(log加3),c=f(log2令，則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a

8.已知函數(shù)豳礴媼I，若磔且,巽潴=,施廖，則，搦的最小值是()

A.-16B.-12C.-10D.—8

9.己知等差數(shù)列｛斯｝,若點(n,an)(nGN*)在經(jīng)過點(5,3)的定直線k上，則數(shù)列｛6｝的前9項和S9=

().

A.9B.10C.18D.27

二、單空題(本大題共6小題，共24.0分)

10.等差數(shù)列｛&J的公差d不為0,S"是其前"項和，給出下列命題:

①若d>0,且S3=Sg,則S5和S6都是｛Sm｝中的最小項；

②給定n,對于一切％GN+(k<n),都有與一上+an+k=2am；

③若d<0,則｛S.｝中一定有最大的項；

④存在ke/V+，使縱-%+i和耿-耿-i同號；

⑤52013>3(51342~$671)-

其中正確命題的序號為.

11.設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列的前n項和為%，若52=3&2+2,S4=3a4+2,則

q=--------

12.若直線y=3x—2是曲線y=/—a的一條切線，則實數(shù)a的值為

13.設(shè)f(x)=：x3+：ax2+2bx+c,當(dāng)x6(0,1)取得極大值，當(dāng)x6(1,2)取得極小值，則三的取

3na—1

值范圍是

14.設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項和為%,5.=蛆要義(對于所有《21),且。4=54,則的的數(shù)值是

15.函數(shù)f(x)的定義域為R,/(-I)=2,尸(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),已

知y=尸(x)的圖象如圖所示，則/Q)>2x+4的解集為

三、解答題(本大題共5小題，共40.0分)

16.等差數(shù)列｛0｝中，。4=10,且。3,a6,成等比數(shù)列,求數(shù)列｛即｝前20項的和S2。.

17.設(shè)等差數(shù)列｛an｝的第10項為23,第25項為-22,求:

(1)數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)求治的最大值.

18.已知函數(shù)/(x)=e*-x,其中e為自然底數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)的極值；

(2)若函數(shù)F(x)=f(x)-ax2-1的導(dǎo)函數(shù)F'(x)在［0,+8)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍;

(3)求證：解)+居)+f?)+-+/O>n+^(nGN*).

19.設(shè)數(shù)列｛a九｝滿足的=a,an+1=can+1-c(nGN*),其中Q,c為實數(shù)，且cW0.

(I)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(n)設(shè)a=pC=|,6n=n(l-an)(nGN*),求數(shù)列｛bn｝的前幾項和Sn.

20.設(shè)函數(shù)/(%)=x—aex~r.

(I)求函數(shù)/(%)單調(diào)區(qū)間；

(II)若f(冗)工0對％ER恒成立，求a的取值范圍；

21

(HI)對任意n的個正整數(shù)的,a2,...a”記4="0產(chǎn)

(1)求證：號4肅-10=1,2,3...?1)(2)求證：4)飛a遂2…

參考答案及解析

1.答案：B

解析：試題分析：

數(shù)列｛即｝中，已知的=2,線＞BJsl+?：.口躅潟，衲箝鬻:前，那么可知，

遜j=峋普獸=4遹=：叫11■翼=落嗨=螃;#4=K(,故可知結(jié)論為11,故選8。

考點：數(shù)列的遞推關(guān)系

點評：本試題主要是考查了數(shù)列的性質(zhì)和運用，解題時要注意細(xì)心屬于基礎(chǔ)題。

2.答案：4

解析：略

3.答案:C

解析：解：?.?數(shù)列｛時｝,｛%｝都是等比數(shù)列，

???設(shè)數(shù)列也黯,｛為｝的公比分別為q,p,

則當(dāng)n22時，善%=pq為常數(shù)，

即么數(shù)列S"?%｝也是等比數(shù)列，

***a1—25,b]=4,?b?=100,

二數(shù)列｛0?%｝的公比pq=篙=瑞=1，

則數(shù)列｛冊-%｝的第37項等于a?-b2=100,

故選：C

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式進(jìn)行求解即可.

本題主要考查等比數(shù)列的判斷以及等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)判斷數(shù)列｛an-bn｝

也是等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵.

4.答案:D

解析：解：fix)=6xex+3x2ex,

"(2)=12e2+12e2=24e2.

故選：D.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可得到結(jié)論.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算，要求熟練掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，比較基礎(chǔ).

5.答案：D

解析：試題分析：求出函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，再利用二次函數(shù)的值域求出導(dǎo)數(shù)值的范圍，從而得到帕勺斜率

的取值范圍.

y=|x3-x24-2%4-1的導(dǎo)數(shù)為y'=/-2%+2=(x-I)?+131,故直線/的斜率k>1,

故選D.

6.答案：4

解析：解：依題意可知2sin2%=sind+cosd

sin2%=sinOcosd

vsin20+cos20={sind+cosd}2-2sin0cos9=4sin22x—2sin2x=1

???4(1-COS22X)+cos2x—2=0,即4cos—cos2x-2=0,

求得cos2%=i士同

8

???sin2%=sindcosO

???cos2x=1—2sin2x=1—sin2d>0

???cos2x=1+V33

8

故選A.

利用等差中項和等比中項的性質(zhì)求得sin%,sinlx^sind與cos。的關(guān)系，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)的基

本關(guān)系構(gòu)造出等式，利用二倍角公式整理成關(guān)于cos2x的一元二次方程，解方程求得cos2%的值.

本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值.解題的最后注意對cos2%的值進(jìn)行驗證，保證答案

的正確性.

7.答案：B

解析：解：由％6(0,兀)時，/(x)=-f(^)sinx-nlnxf

fM=-ff(^)cosx一%

???(9=一/6)31卷=-2,

2

則/''(X)=2cosx-p

所以當(dāng)x￡(0,兀)時，結(jié)合圖象可知2cosx的圖象始終在?的圖象下方，

故尸(%)<0,則f(x)在xe(0,兀)上為減函數(shù),

因為函數(shù)丫=/(X+|)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱，則函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，

因為=-2,而1V30,3<2,0<log3<1,

47r

所以>/(：e3)>/(2)=/(-2)=f(log^),

所以b>a>c.

故選B.

由題意可知函數(shù)為偶函數(shù)，把給出的函數(shù)解析式求導(dǎo)后求出尸€)的值，代入導(dǎo)函數(shù)解析式判斷導(dǎo)函

數(shù)的符號，得到原函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性得答案.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵在于判斷

函數(shù)在(0,兀)上的單調(diào)性，是中檔題.

8.答案：A

解析：試題分析：作出函數(shù)照:蹴m謂-闞，可知圖中遍點坐標(biāo)為功虬夠，圖中掾點坐標(biāo)為上瓶噬

.令悴-陷=躺=而：=邂4或室=@.即圖中線點坐標(biāo)為為傍磅由碰”::凝<?，旦翼礴:=施嘮可

知，-訪<蜩V-噩Y愚，《：0.由.除$=演徽得--筋卜pT即

儲-解=■-笳0凝H球=禽.

所以誦熱=@當(dāng)一合舞=莪門叫.令教喊:=一婢開修笳,貝婕量瑙=-警小注您=一尊宴.書瀚:解-畿.所

以當(dāng)死圖朝登時，腔緘Y獗當(dāng)溫圖卜器順時，,蟆崎即氯:礴在￡—展逸上單調(diào)遞減，

在G和夠上單調(diào)遞增.所以我褊如=教典=-嬲，即當(dāng)勘=-罷，謝=_既6時，蟒騙有最小值一16.

考點：函數(shù)的圖像、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、利用單調(diào)性求最值

9.答案：0

解析：點(ng)(neN*)在經(jīng)過點(5,3)的定直線及上，a$=3,根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得：S9=9as=27.

10.答案：①②③

解析：解：對于①：,:d>0,且S3=58,???V0,。4+。5+。6+。7+。8=0,???506=。，即。6=。，

：?S5和56都是｛Sm｝中的最小項，故①正確;

對于②：由等差中項的性質(zhì)可知正確；

2

對于③：當(dāng)d<0時，Sn=nar+^^-d=^n+(ax-|)n,可知｛Sn｝中一定有最大的項，故③正

確；

對于④：%-%+i和%-%_1符號相反，故④不正確；

對.于⑤：5671，S1342-$671，S2013-S-42成等差數(shù)列，

2(S]342一5671)=$671+62013一$1342)，

^2013=3(S]342-5671)，故⑤不正確.

綜上所述，正確命題的序號為①②③.

故答案為：①②③.

①由d>0,且S3=S8,利用等差數(shù)列的性質(zhì)易求。6=0,從而可判斷①；

②利用等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷②；

2

③當(dāng)d<0時，由S,=nar=^n+(%-凱，可知｛S”｝中一定有最大的項，由此可判斷③:

④%-%+1和耿—%-1符號相反，可判斷④；

⑤利用S671，S1342—S671，S2013一51342成等差數(shù)列，整理后可判斷⑤.

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，著重考查等差中項的性質(zhì)、等差數(shù)列前n項和的函數(shù)性質(zhì)及依次n項的和

成等差數(shù)列等性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

11.答案：一

解析:由已知得'奇：二》+癡

32

②-①得a1q2+axq=34q(q2-1),g|J2q-q-3=0.解得q=-或q=-1(舍).

12.答案：4或0

解析：解：設(shè)切點為(加九)，可得3血一2=九,

且血3—a=n,

函數(shù)y=%3—a的導(dǎo)數(shù)為y'=3/,

由切線方程y=3x—2,可得：

3m2=3,解得m=±l,

可得a=m3—3m+2=1—3+2=0,

或a=-1+3+2=4.

故答案為：4或0.

設(shè)切點為(m,n),代入切線的方程和曲線方程，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，解方程可得a的

值.

本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)出切點和求出導(dǎo)數(shù)及運用直線方程

是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：冷1)

解析：解：,?*/(x)=|x3+iax2+2bx+c,

f'(x)=x2+ax+2b,

???函數(shù)/Xx)在區(qū)間(0,1］內(nèi)取得極大值，在區(qū)間(1,2］內(nèi)

取得極小值

???［(x)=x2+ax+2b=0在(0,1］和(1,2］內(nèi)各有一

個根

f(0)>0,f(l)<0,f'(2)>0

(b>0

即+2b+1W0,

(a+b+220

在aOb坐標(biāo)系中畫出其表示的區(qū)域，如圖,

與表示點4(1,2)與可行域內(nèi)的點8連線的斜率，

Q—1

當(dāng)8(x,y)="(一1,0)時，三取最大值，最大值為1；

￡1—1

當(dāng)8(久4)='(一3,1)時，詈取最小值，最小值為點

??.詈的取值范圍是生1).

故答案為：［^,1).

推導(dǎo)出f'(x)=x2+ax+2b,f(0)>0,f(l)<0,尸(2)>0,詈表示點4(1,2)與可行域內(nèi)的點8連

線的斜率，由此能求出Y的取值范圍.

a-1

本題考查代數(shù)式的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)、最值等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生的

轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力，是中檔題.

14.答案：2

解析：試題分析：根據(jù)。4=$4-53把%=吆押代入，即可求得。4=27%,進(jìn)而求得由

設(shè)數(shù)列｛冊｝的前n項和為%,Sn=幺用(對于所有n>1),

則CI4=$4-53=.氏(8f-父(2尸=27%,

且&4=54,則的=2

故答案為2

15.答案：(―1,+8)

解析：解：令g(x)=/(X)-2%-4,

?1?g'(x)=f(x)-2,

而尸(x)>2,

?1?g'(x)>0,

???g(x)在R上單調(diào)遞增，

??5(-1)=/(-l)-2x(-1)-4=0,

???/(x)>2%+4的解集是(一1,+8),

故答案為：(-l,+oo).

令9(%)=/W-2x-4,求出g(x)的導(dǎo)數(shù)，得到g(x)在R上單調(diào)遞增，由g(-l)=0,從而求出/(%)>

2x+4的解集.

本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)g(x)是解題的關(guān)鍵，是一道基礎(chǔ)題.

16.答案：解：設(shè)數(shù)列｛加｝的公差為d,則<23=a4—d=10—d,a6=a4+2d=10+2d,aw=a4+

6d=10+6d.

由的，a6,Qi。成等比數(shù)列得a3a10=堤，

即(10-d)(10+6d)=(10+2d￥，

整理得10d2—10d=0,

解得d=?；騞=1.

當(dāng)d=0時，S20=20a4=200.

當(dāng)d=1時，Qi=a4-3d=10—3x1=7,

于是S20=20al=20X7+190=330.

解析：先設(shè)數(shù)列｛a"的公差為d,根據(jù)。3,a6,a1。成等比數(shù)列可知a3aio=或，把d和a4代入求得d的

值.再根據(jù)a4求得的，最后把d和的代入S20即可得到答案.

本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì).屬基礎(chǔ)題.

17.答案:解：（1）由已知可知由o=23,a2S=-22,

:.。25—=15d,即一22-23=15d,

解得d=-3,

則由=Qi。-9d=50,

-an=-3n4-53；

（2）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，由冊30,得n4嗚當(dāng)冊<0時,得n>嗚

???此數(shù)列的前17項均為正數(shù)，從第18項開始均為負(fù)數(shù)，

n=17時，Sn的最大值為品7=17X50+17X*（-3）=442,

解析：（1）由已知求得數(shù)列公差，進(jìn)一步求得首項，代入等差數(shù)列的通項公式得答案；

（2）由冊20,得nW17|,可知此數(shù)列的前17項均為正數(shù)，從第18項開始均為負(fù)數(shù),求出等差數(shù)列｛an｝

的前17項和即為Sn的最大值.

本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查等差數(shù)列的前n項和，是基礎(chǔ)的計算題.

18.答案：（本小題滿分13分）

解：（l）/'（x）=ex-1令f'（x）=ex-l=0解之得x=0...（1分）

當(dāng)x變化時/。）、f（x）的變化情況如下表：

X(一8,0)0(0,+8)

f'(x)—0+

f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)

???/(%)在R上有極小值，f極小值=/(°)=1?…(3分)

(2)尸=/'(%)—2ax=ex-2ax—1,令g(x)=F'(%)

由于P(%)在[0,+oo)上是增函數(shù)，故g'(x)=ex-2a>0...(5分)

從而在％W[0,+8)上恒成立，

???QW；(7分)

(3)由(2)可知，g(0)=0,且當(dāng)Q=1時，g(%)在[0,+8)上是增函數(shù),

???當(dāng)％6[0,+8)時，g(%)Ng(o)=0,

即F'(x)>F'(0)=0,

F(x)在[0,+8)是增函數(shù)...(9分)

又由于F(0)=0,F(x)N0(xe[0,+8))

即/(x)>|x2+l(xG[0,+oo))

依次令工=?!，：，…,去，

可得/?對針+1,展)對守+1,/(1)>1(1)2+1......../島)封島)2+1...(11分)

累加得：/(|)+/(|)+f?+…+/(W)

之I[(I)2+(|)2+鏟+■??+島)2]+n

>3*+*+W+~+?^^]+ri>3G—!)+G-》+GV)+—+(W—+)]+n

>超-強(qiáng))+幾>幾+扁MN*)

二超)+解)+/(；)+…+/(W)>n+,…(13分)

解析：(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷單調(diào)性求解極值即可.

(2)通過導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求解極值，通過恒成立，求出a的范圍.

⑶由(2)可知，g(0)=0,且當(dāng)。=決寸，g(%)在[0,+8)上是增函數(shù)，利用戶(%)在[0,+8)是增函數(shù),

得到/。)31%2+1(工￡[0,+8))依次令》=3*3，…,擊，求出函數(shù)值，利用累加推出結(jié)果即可.

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值的求法，累加法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力.

19.答案:ft?：(I)van+1=can+1-c,an+1-1=c(an-1),

???當(dāng)QI=QH1時，｛a九一1｝是首項為Q-1,公比為c的等比數(shù)列

n-1

??.an-1=(a—l)c

當(dāng)a=l時，a九=1仍滿足上式.

n-1

二數(shù)列｛an-1｝的通項公式為an=(a-l)c+l(n6N*)；

(H)由⑴得，當(dāng)a=%c=：時，

nn

bn=九(1-廝)=n｛l-[1-(1)]｝=n(|).

323w+1

???Sn=b1+b2++bn=l+2x(》2+3x(I)++nx(|)?.|sn=(1)+2X(i)++nX(i).

兩式作差得9S"=|+(》2++(1)?-nx

21

5n=l+1+(1)++(1r--nx(1r

=登一"(y=2'(1一表)-親

2

nn+2

Sc”=2-

解析：(1)整理即+1=can+1-C得即+1—1=C(CZn-1),進(jìn)而判斷出當(dāng)?shù)?a#1時，｛與-1｝是

首項為a-1,公比為c的等比數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得其通項公式，當(dāng)a=l時，也成