2019-2020學(xué)年人教A版重慶市南岸區(qū)高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷 含解析

2019-2020學(xué)年高一第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.已知集合4={x|f-2x-3<0},集合6={x|2"i>l},則[BA=()

A.[3,+°°)B.(3,+°°)

C.(-8,-1]U[3,+°°)D.(-8,-1)U(3,+8)

2.函數(shù)/1(x)=￡的圖象大致為()

3.已知a=2,3,6=4叱c=log38,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c<bB.b<c<aC.c<a<bD.c〈b〈a

4.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A1

C.8D.4

3

5.已知RtA^C,加=3,8(7=4,CA=5,P為叢ABC外接圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且

AP=xAB+yAC.貝底+y的最大值是（

A1

A-717D

4C."T"-i

6.將函數(shù)9）=sin2x向右平移十個(gè)單位后得到函數(shù)g）,則…）具有性質(zhì)（

)

71

A.在（0,工）上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)

B.最大值為1,圖象關(guān)于直線x嚀對稱

c.在（丹Qjr-，丁兀）上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)

OO

D.周期為“，圖象關(guān)于點(diǎn)（等，0）對稱

O

7.《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同立.甲行率七，乙行率三，乙東行,甲

南行十步而斜東北與乙會(huì)，問甲乙各行幾何？”大意是說：“已知甲、乙二人同時(shí)從同

一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7,乙的速度為3,乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜

向北偏東方向走了一段后與乙相遇.甲、乙各走了多少步？”請問乙走的步數(shù)是（）

A旦IL49

A-2cD

2-T

=_±_

8.已知定義在R上的函數(shù)/'（x）滿足/'（或+3）,且y=/（x+3）為偶函數(shù),若

f(x)

f3在（0,3）內(nèi)單調(diào)遞減，則下面結(jié)論正確的是（）

A.r(-4.5)<f(3.5)<r(12.5)

B.f(3.5)<f(-4.5)<f(12.5)

C./,(12.5)<f(3.5)</?(-4.5)

D.f(3.5)<f(12.5)<r(-4.5)

9.已知命題0：對任意xdR,總有2、>0；q：“￡>1”是“x>2”的充分不必要條件，則

下列命題為真命題的是()

A.p/\qB.-'joA-'<?C.「pf\qD.pA-'<?

10.定義在R上的函數(shù)/'(x)滿足：f(x)=/f(x-2n),且當(dāng)xd[0,2Ji)時(shí)，f(x)

=8sinx,則函數(shù)g(x)=f(x)-/gx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.5B.6C.7D.8

11.已知圓(x+1)?+/=4的圓心為G點(diǎn)尸是直線/：力x-y-5研4=0上的點(diǎn)，若該圓上

存在點(diǎn)。使得N6F0=3O°,則實(shí)數(shù)力的取值范圍為()

A.[-1,1]B.[-2,2]C.,愿+3]D.[0,孕]

445

12.不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x].已知/1(x)=cos([x]-x),

給出下列結(jié)論：

①f(X)是偶函數(shù)；

②f(x)是周期函數(shù)，且最小值周期為“；

③/"(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為藤，4+1)(右Z)；

④f(X)的值域?yàn)閇cosl,1).

其中正確的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓。的方程為-4x=0.若直線y="(矛+1)上存在一

點(diǎn)P,使過月所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)A的取值范圍是.

14.如圖，在平面四邊形46(力中，ZABC=90°,4DCA=2/BAC,若麗=》而+『無(x,y

eR),則x-y的值為.

B

D

15.若a>0,b>2,且a+6=3,則使得匹+二)取得最小值的實(shí)數(shù)a=_____.

ab-2

16.如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡/C的頂上有一高度為25卬的建筑物切，為了測量該

山坡相對于水平地面的坡角0,在山坡的/處測得,沿山坡前進(jìn)500到達(dá)6

處，又測得/龍。=45°,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos。=.

17.在△/比'中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且滿足^+1-#=26csin(班C).

(1)求角A的大??；

IT

(2)若a=2,B=-—,求△力a1的面積.

18.已知等比數(shù)列｛aj的各項(xiàng)均為正數(shù)，a2=8,a3+a4=48.

(I)求數(shù)列｛&J的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)4=log4a〃.證明：｛4｝為等差數(shù)列,并求伉｝的前A項(xiàng)和。

19.如圖，某公園有三條觀光大道/用BC,4。圍成直角三角形，其中直角邊加一200)，斜

邊46=400%現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在6C,4C大道上嬉戲，所在位置分別

記為點(diǎn)2,E,F.

(1)若甲、乙都以每分鐘IOOR的速度從點(diǎn)6出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一

端時(shí)即停，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后，求此時(shí)甲乙兩人之間的距離；

(2)設(shè)/◎尸=8,乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍，且/DEF=g,請將甲乙

之間的距離y表示為0的函數(shù)，并求甲乙之間的最小距離.

20.如圖，四面體被/中，0、￡分別BD、比'的中點(diǎn)，AB=Ag^,CA=CB=CD=BD=2.

(1)求證：/0_L平面85；

(2)求異面直線46與5所成角的余弦值大小;

21.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用

的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積=/(弦X矢+矢2).弧田(如圖)，由圓弧和其所對弦所圍

成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上

述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為寫，弦長等

于9米的弧田.

(1)計(jì)算弧田的實(shí)際面積；

(2)按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得結(jié)果與(1)中計(jì)算的弧田實(shí)際

面積相差多少平方米？(結(jié)果保留兩位小數(shù))

22.已知四棱錐S-ABCD中，底面/題是邊長為2的菱形，/BAD=60°,SA=SD=

LLKF

V5-，點(diǎn)￡是棱”的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在棱SC上，且毛7=入，玄〃平面龐E

(I)求實(shí)數(shù)人的值；

(II)求三棱錐尸-⑸%的體積.

B

參考答案

一、選擇題

1.已知集合/=3f-2x-3<0},集合6=32a>1},貝此B/=()

A.[3,+8)B.(3,+8)

C.(-8,-1]U[3,+8)D.(-8,-1)u(3,+oo)

【分析】根據(jù)集合/是二次不等式的解集，集合6是指數(shù)不等式的解集，因此可求出集

合4B,根據(jù)補(bǔ)集的求法求得[口4

解：A=[x\^-2,x-3<0}={x\-l<x<3},

6={x|2">l}={x|x>-1},

CBA=[3,+8).

故選：A.

2.函數(shù)f(x)=其二的圖象大致為()

【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的值域，判斷函數(shù)的圖象即可.

解：函數(shù)，（x）=￡一的定義域?yàn)椋簒WO,XGR,當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)（x）=-------

可得函數(shù)的極值點(diǎn)為：X=l,當(dāng)（0,1）時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，x>l時(shí)，函數(shù)是增函

數(shù)，并且F（x）>0,選項(xiàng)反〃滿足題意.

當(dāng)x〈0時(shí)，函數(shù)/'（x）=——<0,選項(xiàng)〃不正確，選項(xiàng)8正確.

x

故選：B.

3.已知3=21",b=4°，7,c=log38,則a,b,c的大小關(guān)系為（)

A.a〈c〈bB.C.c<a<bD.c<b<a

,30714

【分析】利用C=log；i8<2<a=2<A=4=2,即可得出.

解：?.?c=log38<2<a=2L3c力=4°'=214,

c<a<b.

故選：C.

4.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

D.4

【分析】由三視圖可知：該幾何體為一個(gè)三棱錐，底面是等腰直角三角形，高為2,利用

三棱錐體積公式即可計(jì)算.

解：由三視圖可知：該幾何體為一個(gè)三棱錐，底面是腰為2的等腰直角三角形，高為2,

該幾何體的體積，="1?＞＜春X2X2X2=3，

故選：B.

5.已知RtA^C,AB=3,BC=4,CA=5,〃為△，回外接圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且

AP=xAB+yAC＞貝"x+y的最大值是()

A5R4V17八5

4363

【分析】以zc的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以月最軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)尸的坐標(biāo)

為(]cos6,—sin0),求出點(diǎn)刀的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)乘運(yùn)算得到x+y

=75-sin(0+4))+《1，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出答案

解：以/。的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以4圓軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則△力勿外接圓的方程為/+/=2.52,

設(shè)戶的坐標(biāo)為(―cos0,—sin9),

過點(diǎn)夕作劭垂直X軸，

4

??飛加=￡,AB=3

5

1229

：.BD=ABsinA=^,AD=AB?cosA~X3~,

555

97

/.OD=AO-AD=2.5-?=去，

510

"金7卷12)，

55

9?A(",0),C(—,0)

?*-AB=(”，后)，AC=(5,0)，AP=(-^-cos0+■55?、

5,Qinefl)

DDN

AP=^AB+^AC

555Q199

(—cos0+—,—sin0)=x(—,--)+y(5,0):=(—x+5y,1

乙22555

.55945.012

.?-cosfUlx+—=—x+5y,—sinU=--JT,

ND/D

,1n3.125.Q

..y=—cosy--sin-sin,

28224

?,?廣p=gcos9+gsin9+《=?sin（。+6）+3,其中sin6=彥,4

cos6

23262b5

當(dāng)sin(0+e)=1時(shí)，x+y有最大值，最大值為?

b2o

故選：B.

6-將函數(shù)9)=si必向右平移至個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)，則g(x)具有性質(zhì)(）

A.在(0,工)上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)

B.最大值為1,圖象關(guān)于直線x烏二對稱

4

C.在(亮等)上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)

OO

D.周期為“，圖象關(guān)于點(diǎn)(等，0)對稱

O

【分析】首先求出函數(shù)g(x)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用函數(shù)的g(x)的性質(zhì)求出結(jié)果.

解：函數(shù)f(x)=sin2x向右平移一「個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)=sin(2x——)=-cos2x,

42

當(dāng)王=學(xué)時(shí)，函數(shù)的值為0,

4

故：6錯(cuò)誤.

函數(shù)g(X)為偶函數(shù).

故：C錯(cuò)誤.

當(dāng)了=等時(shí)，g(等)■卉0，

ooZ

故：〃錯(cuò)誤.

故選：A.

7.《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同立.甲行率七，乙行率三，乙東行，甲

南行十步而斜東北與乙會(huì)，問甲乙各行幾何？”大意是說：“已知甲、乙二人同時(shí)從同

一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7,乙的速度為3,乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜

向北偏東方向走了一段后與乙相遇.甲、乙各走了多少步？”請問乙走的步數(shù)是()

【分析】設(shè)甲、乙相遇經(jīng)過的時(shí)間為X,由題意畫出圖形，由勾股定理列出方程求出X,

即可求出答案.

解：設(shè)甲、乙相遇經(jīng)過的時(shí)間為X,如圖：

貝!|〃=3x,46=10,BC=lx-10,

?.3=90。，:.Be=A戌+Ae,

即(7x-10)2=102+(3%)2,

解得xj7或x=0(舍去)，

21

，C=3x=苛，

故選：C.

1

8.已知定義在R上的函數(shù)/'(x)滿足/'(x+3)=,且y=/(x+3)為偶函數(shù),若

f(x)

f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減，則下面結(jié)論正確的是()

A.f(-4.5)<f(3.5)<f(12.5)

B.f(3.5)<f(-4.5)<f(12.5)

C.r(12.5)<f(3.5)<r(-4.5)

D.f(3.5)<f(12.5)</(-4.5)

1f(x')—'

【分析】根據(jù)題意，由f(x+3)=分析可得f(x+6)

f(x)

則可得函數(shù)f(x)是周期為6的周期函數(shù)，由曠=『(x+3)為偶函數(shù)，則函數(shù)f(X)關(guān)

于直線x=3對稱，則有f(3.5)=f(2.5),f(-4.5)=f(1.5),f(12.5)=f

(0.5),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.

1

解：根據(jù)題意，定義在R上的函數(shù)/1(x)滿足/1(矛+3)=

1

則有f(x+6)=f(x),則函數(shù)/1(x)是周期為6的周期函數(shù),

f(x+3)-

又由y=f(x+3)為偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=3對稱,

則/'(3.5)=f(2.5),f(-4.5)=f(1.5),f(12.5)=f(0.5),

又由/1(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞減，則/'(2.5)<r(l.5)<f(0.5),

則有/1(3.5)<f(-4.5)<f(12.5)；

故選：B.

9.已知命題p：對任意xGR,總有才>0;q,“￡>1"是'">2”的充分不必要條件，則

下列命題為真命題的是()

A.p/\qB.-'pA-'<?C.pf\qD.pA-'<?

【分析】由命題0,找到x的范圍是xGR,判斷0為真命題.而S“x>l”是“x>2”

的充分不必要條件是假命題，然后根據(jù)復(fù)合命題的判斷方法解答.

解：因?yàn)槊}o對任意xGR,總有2‘>0,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷是真命題；

命題q,“x>l”不能推出“x>2”；但是“x>2”能推出“x>l"所以：'">1”是“x

>2"的必要不充分條件，故g是假命題；

所以為真命題；

故選：D.

10.定義在R上的函數(shù)/'(x)滿足：f(x)(x-2n),且當(dāng)xd[0,2n)時(shí)，f(x)

=8sinx,則函數(shù)g(x)=f(x)-Jgx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.5B.6C.7D.8

【分析】求出函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的圖象以及函數(shù)值判斷即可.

解：定義在R上的函數(shù)/'(x)滿足：flx)=/f(x-2n),且當(dāng)xG[0,2n)時(shí)，f

(x)=8sinx,

當(dāng)[2”,4兀)時(shí)，廣(x)=4sinx,

當(dāng)[4兀，6叮)時(shí)，F(xiàn)(x)=2sinx,

當(dāng)[6兀，8兀)時(shí)，廣(x)=sinx,

在坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)y=F(x)與的圖象如圖：

由圖象可知兩圖象有5個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)g(x)=f(JT)-/gx有5個(gè)零點(diǎn),

故選：A.

存在點(diǎn)。使得N6F0=3O°,則實(shí)數(shù)0的取值范圍為()

A.[-1,1]B.[-2,2]C.限,,返+.]D.[0,孕]

445

【分析】由題意，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)才是

最大的角，此時(shí)。=4,利用圓上存在點(diǎn)。使得/"0=30°,可得圓心到直線的距離d

|-6m+41

=~l2.W4,進(jìn)而得出答案.

VmZ+l

解：由題意，從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時(shí)才是最大

的角，此時(shí)少=4.

:圓上存在點(diǎn)。使得/C%=30°,

I-6m+41

/.圓心到直線的距離＜/=~/=3---W4,

12

5

故選：D.

12.不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x].已知f(x)=cos(Dd-x),

給出下列結(jié)論：

①/'(X)是偶函數(shù)；

②f〈X)是周期函數(shù)，且最小值周期為JI；

③，(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為藤，A+l)(AGZ)；

④/'(x)的值域?yàn)閇cosl,1).

其中正確的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【分析】通過計(jì)算特殊值驗(yàn)證判斷①，②；利用符合函數(shù)的單調(diào)性判斷③，根據(jù)[R-X

的范圍和余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷④.

解：對于①，n)=cos(3-It)=cos(Jt-3),y(-It)=cos(-4+n)=

cos(4-五),

顯然f(n)Wf(-n),：./■(x)不是偶函數(shù)，故①錯(cuò)誤；

對于②，f(0)=cos(0-0)=cos0=l,而/'(五)=cos(n-3)#1,

,即f(x)不是周期為n的函數(shù)，故②錯(cuò)誤；

對于③，當(dāng)4+1)時(shí)，[x]=A,

令t(x)=x-[x],則t(x)在區(qū)間[A,A+1)單調(diào)遞增，且0W[(x)<1,

又y=cosx在[0,1)上單調(diào)遞減，

:.fQx)=cos([x]-x)=cos在[A,A+l)單調(diào)遞減，故③正確；

對于④，：-1<[x]-X<0,(X)取不到值cosl,且/1(X)的最大值為1.

故④錯(cuò)誤.

故選：B.

二、填空題

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為-4x=0.若直線y=A(x+1)上存在一

點(diǎn)、P,使過P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)A的取值范圍是[-2后，2如].

【分析】由題意可得圓心為C(2,0),半徑7?=2；設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為4B,則由題意

可得四邊形為曲為正方形，圓心到直線y=4(x+1)的距離小于或等于尸C=2&,

|2k-0+k|廠

即依+1土質(zhì)，由此求得A的范圍.

解：的方程為步+/-4入=0,故圓心為C(2,0),半徑7?=2.

設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為/、B,則由題意可得四邊形以W為正方形，故有PC=?R=2近,

圓心到直線y=#(x+1)的距離小于或等于戶，=2如，

|2k-0+k|廣廠l

即WT々e,解得/W8,可得-2料《七￡2圾，

故答案為：[-2衣，2y].

14.如圖，在平面四邊形/用方中，/ABC=90°,ZDCA=2ZBAC,若麗=太布+『前(x,y

GR),貝!)x-y的值為-1.

【分析】過〃作加■加；則RtZ\4%;sRtAJM；利用相似比表示出x,y即可得出結(jié)論.

解：過〃作6c的垂線，交/延長線于〃，

設(shè)NB4C=a,則N/G9=2a,/AC8=90°-a,

:./DCM=18Q°-2a-(90°-a)=90°-a.

：.Rt/\ABC^Rt/\DMC,

.DMCM,

??市荻加

'1"BD=xBA+/BC，

.DM,BMCM+BC

ABBCBC

/.x-y=-1.

故答案為：-1.

4i2

15.若a>0,b>2,且a+6=3,則使得匡+/取得最小值的實(shí)數(shù)a=4.

ab-213一

【分析】構(gòu)造基本不等式的性質(zhì)即可求解.利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得

出.

解：,：a>0,6>2,且a+6=3,

a+b-2—1,

a

那么:(―+^-)[a+(6-2)]=4+1+()

ab-24"a7’b<

N5+2,4(b-2)x、

Va

當(dāng)且僅當(dāng)2(6-2)=a時(shí)即取等號(hào).

2(b-2)=a

聯(lián)立，

a+b=3

解得：片泉p

O

故答案為：拿

O

16.如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡/C的頂上有一高度為257的建筑物儀?，為了測量該

山坡相對于水平地面的坡角。，在山坡的/處測得/加415°,沿山坡前進(jìn)500到達(dá)方

處，又測得N9-45°,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos9=_V3^^.

【分析】先在△/血中用正弦定理求得做，再在△龍C中用正弦定理求得sin/比瓦然

后根據(jù)/次茬=?？汕蟮?

解：：/物餐15°,/龍餐45°,:./ADB=3Q°,

在△.中,由正弦定理得：缶r京舞r.?加嚼瑞—（任

在△龍。中，繆=25,NDBC=45°,劭=25（正-我），由正弦定理.一

sinZ.DCB

CD

；.sinZ^==BDbin4^_=?-1,

sinZDBC*'LU

sin(9+-^-)=我-1,.".cos9—yf2-l.

2

故答案為：V3-1.

三、解答題

17.在△/比1中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足-a2=26csin（6+C）.

（1）求角A的大??；

（2）若a=2,B=—r-,求△/87的面積.

【分析】（1）利用余弦定理即可得出.

（2）根據(jù)正弦定理與三角形面積計(jì)算公式即可得出.

解：(1)9：A+B+C=Ji,/.sin(B+C)=sinA,：.l/+c-a=2bcsinA,

222

.b+c-a

-sinA，

2bc

由余弦定理得cosZ=sin4可得tan/=l,

又（0,兀）,A=一二.

4

（2）根據(jù)正弦定理得b^'sinB^又

?/、./兀兀、V6W2

sinC=sin(A+B)=sin(-^--^-)=---------,

.?1」「1°不娓F空心

■■SAABC亍bsinC=q?2W6'-—=2

18.已知等比數(shù)列｛2｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，a2=8,a+&=48.

（I）求數(shù)列｛a〃｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)&=log4ao.證明：｛&｝為等差數(shù)列，并求伉｝的前〃項(xiàng)和S.

【分析】（I）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；

（II）利用（I）的結(jié)論和對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，再計(jì)算或是否是一個(gè)常數(shù)即

可判定，若是利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可.

【解答】（I）解：設(shè)等比數(shù)列｛&｝的公比為0,依題意q>0.

...23

?己2=8,己3+4=48,..3IQ=8,a?Q+a1q~48?

兩式相除得Q+Q~6=0,

解得0=2,舍去q=~3.

??a

1q

n-ln+l

?.?數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為an=a】?q=2n

(II)證明：由(I)得bn=log4anJ|L.

、,_n+2n+1_1

?^n+1-^n--2-2—一萬，

...數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1,公差為d卷的等差數(shù)列.

2

.n(n-1),n+3n

??Sn=nbL~2~d=:

19.如圖，某公園有三條觀光大道加，BC,圍成直角三角形，其中直角邊比-200偏斜

邊H6=400%現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在46,8aHe大道上嬉戲，所在位置分別

記為點(diǎn)D,E,F.

(1)若甲、乙都以每分鐘100〃的速度從點(diǎn)6出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一

端時(shí)即停，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后，求此時(shí)甲乙兩人之間的距離；

(2)設(shè)/竹=。，乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍，目/DEF=j,請將甲乙

之間的距離y表示為0的函數(shù)，并求甲乙之間的最小距離.

【分析】(1)由題意，M=300,座=100,△〃應(yīng)中，由余弦定理可得甲乙兩人之間的

距離；

(2)△〃應(yīng)中，由正弦定理可得20°-2y,可將甲乙之間的距離y表

示為。的函數(shù)，并求甲乙之間的最小距離.

解：(1)由題意，加=300,龐=100,

上1TT

△AABC中，cosB=『,B=~~,

△叱中，由余弦定理可得龐=530()2+1002-2?300?100卷=10。由例

(2)由題意，EF=2DE=2y,ZBDE=ZCEF=6.

△CEF中,CE=EFcos/CEF=2ycose

△BDE中，由正弦定理可得20°-2^^8=.：,

sinsmbO

50?

100匹

-?r0<8

sin8+愿cos8sin(8-H^-)

兀=

/.9■?ymin50"\f^n.

20.如圖，四面體版/中，0、￡分別BD、比'的中點(diǎn)，AB=AgM，CA=CB=CABD=2.

(1)求證：40J_平面"力；

(2)求異面直線46與3所成角的余弦值大小;

(3)求點(diǎn)￡到平面/切的距離.

【分析】(1)如圖所示，要證平面頗，只需證班，力。，，0即可，用運(yùn)算的

方式來證明結(jié)論.

(2)法一：取47中點(diǎn)R連接行1.OE.EF,由中位線定理可得杼〃四，施〃⑦所以/

戚(或其補(bǔ)角)是異面直線與繆所成角，然后在中求解.法二：以。為原

點(diǎn)，必為x軸，必為y軸，以為2軸，建立空間直角坐標(biāo)系，異面直線與切的向量

坐標(biāo)，求出兩向量的夾角即可；

(3)求出平面/5的法向量，點(diǎn)￡到平面47?的距離轉(zhuǎn)化成向量在平面力切法向量

上的投影即可.

解：(1)連接。C,'：BO=DO,AB=AD,：.AOLBD,

■:BgDO,BC^CD,J.COLBD,

在△4%中，由題設(shè)知AO=\,CO=M，AC=2,

d=/汽

/.ZAOC=^0°,即40_L%,

'：AOVBD,BDC0C=0,

平面BCD；

(2)取47中點(diǎn)凡連接"'、OE、E

△46C中E、尸分別為BC、〃'中點(diǎn)

1-Jo

：.EF//AB,且EF=*AB="

22

XBCD中0.￡分別為BD.以中點(diǎn)

OE//CD且0E=《CD=1

2

.?.異面直線4?與切所成角等于/筋(或其補(bǔ)角

又〃是RWOC斜邊上的中線

二等腰△磔'中cos/龐F=，EF=返；

-oF4

(2)解：以。為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則8(1,0,0),Z?(-1,0,0),

C(0,V3.0),A(