2022-2023學(xué)年安徽省合肥市廬江縣高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省合肥市廬江縣2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（5分）為了扎實推進“五大行動”，學(xué)校為高一年級同學(xué)準備了形式多樣的勞動課程．有種植白菜、種植蕃茄、果樹整枝和害蟲防治4種課程，小明要隨機選報其中的2個，則該試驗中樣本點的個數(shù)為A．3 B．5 C．6 D．9〖答案〗〖解析〗設(shè)4種課程編號為1，2，3，4，隨機選報其中的2個，樣本點有：12，13，14，23，24，34，共6個．故選：．2．（5分）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為A． B． C．1 D．2〖答案〗〖解析〗設(shè)，，則，即，故，解得，故的虛部為．故選：．3．（5分）不同的直線和，不同的平面，，，下列條件中能推出的是A．，， B．， C．，， D．，，〖答案〗〖解析〗由不同的直線和，不同的平面，，，知：若，，，則與相交或平行，故不正確；若，，則與相交或平行，故不正確；若，，，則由平面平行的判定定理知，故正確；若，，，則與相交或平行，故不正確．故選：．4．（5分）某企業(yè)為響應(yīng)國家新舊動能轉(zhuǎn)換的號召，積極調(diào)整企業(yè)擁有的5種系列產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)比例，并堅持自主創(chuàng)新提升產(chǎn)業(yè)技術(shù)水平，2021年年總收入是2020年的2倍，為了更好的總結(jié)5種系列產(chǎn)品的年收入變化情況，統(tǒng)計了這兩年5種系列產(chǎn)品的年收入構(gòu)成比例，得到如圖餅圖：則下列結(jié)論錯誤的是A．2021年的甲系列產(chǎn)品收入和2020年保持不變 B．2021年的丁系列產(chǎn)品收入是2020年丁系列產(chǎn)品收入的4倍 C．2021年的丙和丁系列產(chǎn)品的收入之和比2020年的企業(yè)年總收入還多 D．2021年的乙和丙系列產(chǎn)品的收入之和比2020年的乙和丙系列產(chǎn)品收入之和的2倍還少〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意設(shè)2020年總收入為，則2021年總收入為，對于年甲系列收入為，2021年甲系列收入為，故正確；對于年丁系列收入為，2021年丁系列收入為，故正確；對于年丙和丁系列收入之和為，2020年總收入為，故正確；對于年的乙和丙系列產(chǎn)品收入之和的2倍為，由得，錯誤．故選：．5．（5分）已知兩座燈塔和與海洋觀察站的距離都等于，燈塔在觀察站的北偏東，燈塔在觀察站的南偏東，則燈塔與燈塔的距離為A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗由題意得，，，由余弦定理得，，即燈塔與燈塔的距離為．故選：．6．（5分）已知圓錐的頂點為，底面圓心為，以過的平面截該圓錐，所得截面為一個面積為4的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗如圖所示，圓錐的軸截面是面積為4的等腰直角三角形，即，解得；所以；所以該圓錐的側(cè)面展開圖的面積為．故選：．7．（5分）在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面，，為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗如圖，側(cè)棱底面，平面，則平面平面，底面為矩形，，而平面平面，平面．連接，則為在平面上的射影，則為與底面所成角，設(shè)，則，，．．即直線與平面所成角的正弦值為．故選：．8．（5分）在中，已知，那么一定是A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形〖答案〗〖解析〗因為，所以，即，所以，所以，所以一定是等腰三角形．故選：．二、多項選擇題：（每小題5分，共20分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，選對的得5分，錯選或不選得0分，部分選對的得2分.）9．（5分）某次辯論賽有7位評委進行評分，首先7位評委各給出某選手一個原始分數(shù)，評定該選手成績時從7個原始分數(shù)中去掉一個最高分、去掉一個最低分，得到5個有效評分．則這5個有效評分與7個原始評分相比，數(shù)字特征可能不同的是A．極差 B．中位數(shù) C．平均數(shù) D．方差〖答案〗〖解析〗若原始評分為1，2，3，4，5，6，7，則7個原始評分的極差為，5個有效評分的極差為，故極差可能不同，故選項正確；7個原始評分的中位數(shù)為從小到大排序后的第4個數(shù)，5個有效評分的中位數(shù)為從小到大排序后的第3個數(shù)，故中位數(shù)一定相同，故選項錯誤；若原始評分為1，1，1，1，1，1，8，則7個原始評分的平均數(shù)為，5個有效評分的平均數(shù)為，故平均數(shù)可能不同，故選項正確；若原始評分為1，1，1，1，1，1，8，則7個原始評分的方差為，5個有效評分的方差為0，故方差可能不同，故選項正確；故選：．10．（5分）下列說法正確的是A．三個點可以確定一個平面 B．若直線在平面外，則與無公共點 C．用平行于底面的平面截正棱錐所得的棱臺是正棱臺 D．斜棱柱的側(cè)面不可能是矩形〖答案〗〖解析〗三個共線的點不可以確定一個平面，錯誤；若直線在平面外，則或與相交，當(dāng)與相交有一個公共點，錯誤；用平行于底面的平面截正棱錐所得的棱臺是正棱臺，正確；斜棱柱的側(cè)面可以是矩形，錯誤．故選：．11．（5分）下列命題為真命題的是A．復(fù)數(shù)的虛部為 B．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限 C．若為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，則 D．復(fù)數(shù)是方程的一個根，則〖答案〗〖解析〗復(fù)數(shù)的虛部為，故正確；在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，故錯誤；，故，故正確；復(fù)數(shù)是方程的一個根，則，解得（負值舍去），故正確．故選：．12．（5分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，則下列說法中正確的是A． B．若，則為等腰三角形 C．若，則 D．若，則為銳角三角形〖答案〗〖解析〗對，，所以正確；對，，即，的內(nèi)角，，，或即或，故三角形可能是等腰三角形或直角三角形，故錯誤；對，由正弦定理得：，得：，整理得：，，或，故錯誤；對：由題意知：、、中是最大的正數(shù)，由變形得：，，為銳角，又知為最大角，為銳角三角形，故正確；故選：．三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．（5分）一個封閉的正三棱柱容器的高為4，內(nèi)裝水若干（如圖（1），底面處于水平狀態(tài)）．圖（1）中水面的高度3，現(xiàn)將容器放倒（如圖（2），一個側(cè)面處于水平狀態(tài)），若此時水面與各棱的交點分別為，，，，則．〖答案〗．〖解析〗設(shè)正三棱柱的底面積為，梯形的面積為，則根據(jù)等體積可得，所以，所以，又因為，所以相似于，且，所以，故〖答案〗為：．14．（5分）已知向量，，則在上的投影向量坐標為．〖答案〗．〖解析〗向量，，在上的投影向量的坐標為：．故〖答案〗為：．15．（5分）歐拉公式為虛數(shù)單位，是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)此公式可知，，．〖答案〗1；．〖解析〗，；．故〖答案〗為：1；．16．（5分）已知半徑為5的球面上有，，，四點，滿足，，，則球心到平面的距離為，三棱錐體積的最大值為．〖答案〗4；．〖解析〗如圖，在中，由，，，得，設(shè)外接圓的半徑為，則，設(shè)球心為，三角形外接圓的圓心為，由球的性質(zhì)可得，平面，在△中，可得．即球心到平面的距離為4；要使三棱錐體積取最大值，則為與球面的交點，此時到底面的距離為9，則三棱錐體積的最大值為．故〖答案〗為：4；．四、解答題（本大題共6小題，第17題10分，第18-22題每題12分，共70分，解答應(yīng)寫成文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知向量，，，．（1）求；（2）若，求實數(shù)的值．（3）若與的夾角是鈍角，求實數(shù)的取值范圍．解：（1），，，，，，，．（2），，又，，解得．（3）與的夾角是鈍角，，且，，且，解得且，故實數(shù)的取值范圍為．18．（12分）以簡單隨機抽樣的方式從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進行用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在之間，進行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示．（1）求直方圖中的值；（2）估計該小區(qū)居民用電量的平均值和中位數(shù)；（3）從用電量落在區(qū)間，內(nèi)被抽到的用戶中任取2戶，求至少有1戶落在區(qū)間，內(nèi)的概率．解：（1）由，得，（2）平均值用電量落在區(qū)間，的頻率之和為，中位數(shù)落在區(qū)，，設(shè)中位數(shù)為，則，解得．（3）易知用電量落在區(qū)間，的用戶有4戶，用電量落在區(qū)間，用戶有2戶，記事件“至少有1戶落在區(qū)間，內(nèi)”．從，，，，，中這6個元素中任取2個元素共個基本事件，事件共9個基本事件，（E），即至少有1戶落在區(qū)間，內(nèi)的概率為．19．（12分）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)是增函數(shù)，（1），（3）．（1）解不等式；（2）若對所有，，，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為定義在區(qū)間上的函數(shù)是增函數(shù)，且（1），（3），所以，解得或，所以原不等式的解集為．（2）因為函數(shù)在，上是增函數(shù)，所以在，上的最大值為（3），所以不等式對所有，，，恒成立，所以對所有，恒成立，即對所有，恒成立．設(shè)（a），，，所以需滿足，即，解得或或，所以實數(shù)的取值范圍為，，．20．（12分）在四棱錐中，點為中點，，，，．（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值；（3）若，求四棱錐的體積．（1）證明：取中點，連接，，因為，，，所以，所以，，所以面，因為面，所以；（2）解：因為，，，所以面，因為面，面，所以，，又，，所以，，所以，設(shè)與平面所成角為，則；（3）解：．21．（12分）在中，角，，所對的邊長為，，，，．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解：（1），根據(jù)正弦定理可得，，，，，，在中，運用余弦定理可得，，，．（2），為鈍角三角形時，角必為鈍角，，，，，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，，即，即，，為正整數(shù)，．22．（12分）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點為底面圓周上異于，的點．（1）求證：平面；（2）若圓柱的側(cè)面積為，體積為，點為線段上靠近點的三等分點，是否存在一點使得直線與平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相應(yīng)的正弦值，并指出點的位置；若不存在，說明理由．（1）證明：是圓的直徑，點是圓周上一點，，即．又在圓柱中，母線底面圓，底面圓，，又，平面；（2）解：設(shè)圓柱底面半徑為，母線長為，則，解得．在中，過作交于，由（1）知，平面，平面，，又，平面．若不與重合，即為直線與平面所成角．若與重合，直線與平面所成角為，若直線與平面所成角為，則，在中，由，可得．因此．此時為直角三角形，點為兩個半圓弧中點．因此，當(dāng)點為兩個半圓弧中點時，直線與平面所成角最大為，正弦值最大為1．安徽省合肥市廬江縣2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（5分）為了扎實推進“五大行動”，學(xué)校為高一年級同學(xué)準備了形式多樣的勞動課程．有種植白菜、種植蕃茄、果樹整枝和害蟲防治4種課程，小明要隨機選報其中的2個，則該試驗中樣本點的個數(shù)為A．3 B．5 C．6 D．9〖答案〗〖解析〗設(shè)4種課程編號為1，2，3，4，隨機選報其中的2個，樣本點有：12，13，14，23，24，34，共6個．故選：．2．（5分）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為A． B． C．1 D．2〖答案〗〖解析〗設(shè)，，則，即，故，解得，故的虛部為．故選：．3．（5分）不同的直線和，不同的平面，，，下列條件中能推出的是A．，， B．， C．，， D．，，〖答案〗〖解析〗由不同的直線和，不同的平面，，，知：若，，，則與相交或平行，故不正確；若，，則與相交或平行，故不正確；若，，，則由平面平行的判定定理知，故正確；若，，，則與相交或平行，故不正確．故選：．4．（5分）某企業(yè)為響應(yīng)國家新舊動能轉(zhuǎn)換的號召，積極調(diào)整企業(yè)擁有的5種系列產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)比例，并堅持自主創(chuàng)新提升產(chǎn)業(yè)技術(shù)水平，2021年年總收入是2020年的2倍，為了更好的總結(jié)5種系列產(chǎn)品的年收入變化情況，統(tǒng)計了這兩年5種系列產(chǎn)品的年收入構(gòu)成比例，得到如圖餅圖：則下列結(jié)論錯誤的是A．2021年的甲系列產(chǎn)品收入和2020年保持不變 B．2021年的丁系列產(chǎn)品收入是2020年丁系列產(chǎn)品收入的4倍 C．2021年的丙和丁系列產(chǎn)品的收入之和比2020年的企業(yè)年總收入還多 D．2021年的乙和丙系列產(chǎn)品的收入之和比2020年的乙和丙系列產(chǎn)品收入之和的2倍還少〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意設(shè)2020年總收入為，則2021年總收入為，對于年甲系列收入為，2021年甲系列收入為，故正確；對于年丁系列收入為，2021年丁系列收入為，故正確；對于年丙和丁系列收入之和為，2020年總收入為，故正確；對于年的乙和丙系列產(chǎn)品收入之和的2倍為，由得，錯誤．故選：．5．（5分）已知兩座燈塔和與海洋觀察站的距離都等于，燈塔在觀察站的北偏東，燈塔在觀察站的南偏東，則燈塔與燈塔的距離為A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗由題意得，，，由余弦定理得，，即燈塔與燈塔的距離為．故選：．6．（5分）已知圓錐的頂點為，底面圓心為，以過的平面截該圓錐，所得截面為一個面積為4的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗如圖所示，圓錐的軸截面是面積為4的等腰直角三角形，即，解得；所以；所以該圓錐的側(cè)面展開圖的面積為．故選：．7．（5分）在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，四棱錐為陽馬，側(cè)棱底面，，為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗如圖，側(cè)棱底面，平面，則平面平面，底面為矩形，，而平面平面，平面．連接，則為在平面上的射影，則為與底面所成角，設(shè)，則，，．．即直線與平面所成角的正弦值為．故選：．8．（5分）在中，已知，那么一定是A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形〖答案〗〖解析〗因為，所以，即，所以，所以，所以一定是等腰三角形．故選：．二、多項選擇題：（每小題5分，共20分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，選對的得5分，錯選或不選得0分，部分選對的得2分.）9．（5分）某次辯論賽有7位評委進行評分，首先7位評委各給出某選手一個原始分數(shù)，評定該選手成績時從7個原始分數(shù)中去掉一個最高分、去掉一個最低分，得到5個有效評分．則這5個有效評分與7個原始評分相比，數(shù)字特征可能不同的是A．極差 B．中位數(shù) C．平均數(shù) D．方差〖答案〗〖解析〗若原始評分為1，2，3，4，5，6，7，則7個原始評分的極差為，5個有效評分的極差為，故極差可能不同，故選項正確；7個原始評分的中位數(shù)為從小到大排序后的第4個數(shù)，5個有效評分的中位數(shù)為從小到大排序后的第3個數(shù)，故中位數(shù)一定相同，故選項錯誤；若原始評分為1，1，1，1，1，1，8，則7個原始評分的平均數(shù)為，5個有效評分的平均數(shù)為，故平均數(shù)可能不同，故選項正確；若原始評分為1，1，1，1，1，1，8，則7個原始評分的方差為，5個有效評分的方差為0，故方差可能不同，故選項正確；故選：．10．（5分）下列說法正確的是A．三個點可以確定一個平面 B．若直線在平面外，則與無公共點 C．用平行于底面的平面截正棱錐所得的棱臺是正棱臺 D．斜棱柱的側(cè)面不可能是矩形〖答案〗〖解析〗三個共線的點不可以確定一個平面，錯誤；若直線在平面外，則或與相交，當(dāng)與相交有一個公共點，錯誤；用平行于底面的平面截正棱錐所得的棱臺是正棱臺，正確；斜棱柱的側(cè)面可以是矩形，錯誤．故選：．11．（5分）下列命題為真命題的是A．復(fù)數(shù)的虛部為 B．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限 C．若為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，則 D．復(fù)數(shù)是方程的一個根，則〖答案〗〖解析〗復(fù)數(shù)的虛部為，故正確；在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，故錯誤；，故，故正確；復(fù)數(shù)是方程的一個根，則，解得（負值舍去），故正確．故選：．12．（5分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，則下列說法中正確的是A． B．若，則為等腰三角形 C．若，則 D．若，則為銳角三角形〖答案〗〖解析〗對，，所以正確；對，，即，的內(nèi)角，，，或即或，故三角形可能是等腰三角形或直角三角形，故錯誤；對，由正弦定理得：，得：，整理得：，，或，故錯誤；對：由題意知：、、中是最大的正數(shù)，由變形得：，，為銳角，又知為最大角，為銳角三角形，故正確；故選：．三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．（5分）一個封閉的正三棱柱容器的高為4，內(nèi)裝水若干（如圖（1），底面處于水平狀態(tài)）．圖（1）中水面的高度3，現(xiàn)將容器放倒（如圖（2），一個側(cè)面處于水平狀態(tài)），若此時水面與各棱的交點分別為，，，，則．〖答案〗．〖解析〗設(shè)正三棱柱的底面積為，梯形的面積為，則根據(jù)等體積可得，所以，所以，又因為，所以相似于，且，所以，故〖答案〗為：．14．（5分）已知向量，，則在上的投影向量坐標為．〖答案〗．〖解析〗向量，，在上的投影向量的坐標為：．故〖答案〗為：．15．（5分）歐拉公式為虛數(shù)單位，是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)此公式可知，，．〖答案〗1；．〖解析〗，；．故〖答案〗為：1；．16．（5分）已知半徑為5的球面上有，，，四點，滿足，，，則球心到平面的距離為，三棱錐體積的最大值為．〖答案〗4；．〖解析〗如圖，在中，由，，，得，設(shè)外接圓的半徑為，則，設(shè)球心為，三角形外接圓的圓心為，由球的性質(zhì)可得，平面，在△中，可得．即球心到平面的距離為4；要使三棱錐體積取最大值，則為與球面的交點，此時到底面的距離為9，則三棱錐體積的最大值為．故〖答案〗為：4；．四、解答題（本大題共6小題，第17題10分，第18-22題每題12分，共70分，解答應(yīng)寫成文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知向量，，，．（1）求；（2）若，求實數(shù)的值．（3）若與的夾角是鈍角，求實數(shù)的取值范圍．解：（1），，，，，，，．（2），，又，，解得．（3）與的夾角是鈍角，，且，，且，解得且，故實數(shù)的取值范圍為．18．（12分）以簡單隨機抽樣的方式從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進行用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在之間，進行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示．（1）求直方圖中的值；（2）估計該小區(qū)居民用電量的平均值和中位數(shù)；（3）從用電量落在區(qū)間，內(nèi)被抽到的用戶中任取2戶，求至少有1戶落在區(qū)間，內(nèi)的概率．解：（1）由，得，（2）平均值用電量落在區(qū)間，的頻率之和為，中位數(shù)落在區(qū)，，設(shè)中位數(shù)為，則，解得．（3）易知用電量落在區(qū)間，的用戶有4戶，用電量落在區(qū)間，用戶有2戶，記事件“至少有1戶落在區(qū)間，內(nèi)”．從，，，，，中這6個元素中任取2個元素共個基本事件，事件共9個基