2022-2023學年遼寧省撫順市重點高中六校協(xié)作體高二下學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省撫順市重點高中六校協(xié)作體2022-2023學年高二下學期期中考試數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版選擇性必修第二冊、選擇性必修第三冊.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.現(xiàn)有3幅不同的油畫，4幅不同的國畫，5幅不同的水彩畫，從這些畫中選一幅布置房間，則不同的選法共有（）A.10種 B.12種 C.20種 D.60種〖答案〗B〖解析〗分三類：第一類，從3幅不同的油畫中任選一幅，有種；第二類，從4幅不同的國畫中任選一幅，有種；第三類，從5幅不同的水彩畫任選一幅，有種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理得共有種不同的選法.故選：B.2.在數(shù)列中，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得．故選：C.3.將4個不同的小球放入2個不同的袋子中，每個袋子中放2個小球，不同的放法有（）A.6種 B.8種 C.16種 D.32種〖答案〗A〖解析〗不同的放法有種，故選：A．4.的展開式中含項的系數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為展開式的通項為，所以展中含的項為.故選：B.5.鞋子的尺碼又叫鞋號，這是一種衡量人類腳的形狀以便配鞋的標準單位系統(tǒng)，已知女鞋歐碼及對應的腳長（單位：厘米）如下表所示：腳長222222.52323.52424.52525.52626.527歐碼3535.53636.537.53838.5394040.54142某數(shù)學興趣小組通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)某高中的女學生的腳長x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）之間有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為．已知該高中某女學生的身高為166厘米，則預測她穿的鞋子為（）A.36碼 B.36.5碼 C.38碼 D.39碼〖答案〗C〖解析〗由題意可估計該女學生的腳長為，則她穿的鞋子為38碼．故選：C.6.小方計劃從4月1日開始存儲零錢，4月1日到4月4日每天都存儲1元，從4月5日開始，每天存儲的零錢比昨天多1元，則小方存錢203天（4月1日為第1天）的儲蓄總額為（）A.19903元 B.19913元 C.20103元 D.20113元〖答案〗C〖解析〗設小方第天存錢元，則數(shù)列從第4項起成等差數(shù)列，且該等差數(shù)列的首項為1，公差為1，所以小方存錢203天的儲蓄總額為元．故選：C.7.已知是定義在R上的奇函數(shù)，的導函數(shù)為，若恒成立，則的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令函數(shù)，則，因為所以.是增函數(shù)，因為是奇函數(shù)，所以，，所以的解集為，即≥的解集為；故選：D.8.某地區(qū)一個家庭中孩子個數(shù)X的情況如下．X1230P每個孩子的性別是男是女的概率均為，且相互獨立，則一個家庭中男孩比女孩多的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗一個家庭中男孩比女孩多有三種可能：“1個小孩，且為男孩”、“有2個小孩，且為男孩”、“3個小孩，3個男孩或2個男孩”，所以概率.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.某社區(qū)醫(yī)院工作人員在社區(qū)內(nèi)開展了“如何護理患有黃疸的新生兒”的知識講座，并向參與講座的每人發(fā)放了一份相關(guān)的知識問卷．該講座結(jié)束后，共收回問卷100份．據(jù)統(tǒng)計，這100份問卷的得分（滿分為100分）近似服從正態(tài)分布，下列說法正確的是（）附：若，則，，．A.這100份問卷得分數(shù)據(jù)的期望是80，標準差是25B.這100份問卷中得分超過85分的約有16份C.D.若在其他社區(qū)開展該知識講座并發(fā)放知識問卷，得到的問卷得分數(shù)據(jù)也服從正態(tài)分布〖答案〗BC〖解析〗由題意得，該問卷得分數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，可得數(shù)據(jù)的期望是，方差是，標準差是，所以A錯誤；由，可得，所以該問卷中得分超過85分約有16份，所以B正確；由正態(tài)分布概率密度曲線的對稱性，可得，所以C正確；由同一份問卷發(fā)放到不同社區(qū)，得到的數(shù)據(jù)不一定相同，所以D錯誤．故選：BC.10.已知為兩個隨機事件，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.C.若B和C是兩個互斥事件，則D.當時，〖答案〗ACD〖解析〗因為，所以．A正確．，B錯誤．若B和C是兩個互斥事件，則，C正確．因為，所以．，D正確．故選：ACD.11.已知等比數(shù)列的前n項積為,且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的公比為C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因為，所以，A正確；因為，解得，B正確；注意到，故時，；時，，所以或時，取到最大值，C錯誤；因，左邊等于右邊成立，D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.的最大值為1C.當時，D.若函數(shù)恰有2個零點，則的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗選項AB，易知的定義域為，，所以，當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，故選項A錯誤，選項B正確；選項C，令，則，因為，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即，故選項C正確；選項D，令，由，得到，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，當趨近于0時，趨近于0，當趨近于時，趨近于0，所以時，恒有，所以，如圖1，當或時，無解，則無零點，不合題意；當時，時，，由，得到，即時，則有且只有一個零點，不合題意；當時，有兩個解，因為，如圖2，有且僅有兩解，，無解，則有且兩個零點，符合題意；所以恰有兩個零點時，，故選項D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為4，則m的值為_______．〖答案〗3〖解析〗，所以，解得．故〖答案〗為：3.14.提升農(nóng)村學校教育質(zhì)量，是提高農(nóng)村人口教育素質(zhì)、實現(xiàn)鄉(xiāng)村振興的希望所在.有5名教師志愿去4所不同的農(nóng)村學校支教，每所學校都需要安排教師支教，且每名教師只能去1所學校，不同的安排方案有______種（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗將5名教師分成4組，有種分組方法，將分好的4組全排列，對應4所不同的學校，有種分配方法.故不同的安排方案有種.故〖答案〗為：.15.一個裝有水的圓柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一個半徑為1cm的球狀物體后，水面高度為6cm，如圖所示.已知該水杯的底面圓半徑為3cm，若從時刻開始，該球狀物體的半徑以1cm/s的速度變長(在該球狀物體膨脹的過程中，該球狀物體不吸水，且始終處于水面下，杯中的水不會溢出)，則在時刻，水面上升的瞬時速度為__________cm/s.〖答案〗4〖解析〗杯中水的體積為設在該過程中水面高度為h，則即令函數(shù)則故在時刻，水面上升的瞬時速度為4cm/s.故〖答案〗為：4.16.已知數(shù)列滿足記，為坐標原點，則面積的最大值為_____________.〖答案〗4〖解析〗因為，所以，即，因為，所以是以4為首項為公比的等比數(shù)列，所以，由累加法得：所以，因為，所以，，令函數(shù)，則.當時，，而，所以在上單調(diào)遞減.，故面積的最大值為4.故〖答案〗為：4.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.第十四屆全國人民代表大會第一次會議于年月日上午開幕，月日上午閉幕．某校為了鼓勵學生關(guān)心國家大事，了解學生對新聞大事的關(guān)注度，進行了一個隨機問卷調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果如下表所示男學生女學生合計關(guān)注度極高關(guān)注度一般合計（1）若從該校隨機選名學生，估計選到的學生是對新聞大事關(guān)注度極高的男學生的概率：（2）能否有90%的把握認為學生對新聞大事的關(guān)注度與性別有關(guān)？附：，.解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)可知，從該校隨機選名學生，估計選到的學生是對新聞大事關(guān)注度極高的男學生的概率為.（2），根據(jù)臨界值表可知，沒有的把握認為學生對新聞大事的關(guān)注度與性別有關(guān)．18.國產(chǎn)科幻電影《流浪地球2》在給觀眾帶來視覺震撼的同時，也引領(lǐng)觀眾對天文，航天、數(shù)字科技等領(lǐng)域展開了無限遐想，某校為激發(fā)學生對天文、航天、數(shù)字科技三類相關(guān)知識的興趣，舉行了一次知識競賽（競賽試題中天文、航天、數(shù)字科技三類相關(guān)知識題量占比分別為40%，40%，20%）.某同學回答天文、航天、數(shù)字科技這三類問題中每個題的正確率分別為，，.（1）若該同學在該題庫中任選一題作答，求他回答正確的概率；（2）若該同學從這三類題中各任選一題作答，每回答正確一題得2分，回答錯誤不得分，設該同學回答三題后的總得分為X分，求X的分布列及數(shù)學期望.解：（1）設所選的題目為天文、航天、數(shù)字科技相關(guān)知識的題目分別為事件，，，所選的題目回答正確為事件B，則，所以該同學在該題庫中任選一題作答，他回答正確的概率為；（2）X的可能取值為0，2，4，6，，，，，則X的分布列為X0246P所以.19.已知等差數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前n項和為.證明：.（1）解：設數(shù)列的公差為d，則所以故（2）證明：因為函數(shù)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，所以故20.已知兩個正項數(shù)列，滿足，．（1）求，的通項公式；（2）用表示不超過的最大整數(shù)，求數(shù)列的前項和．解：（1）由，得，由，得，，因為是正項數(shù)列，，；（2），則當時，，所以，兩式相減得，即，因為滿足，所以.21.已知函數(shù)．（1）若，證明：恒成立．（2）若存在零點，求a的取值范圍．（1）證明：當時，，可得，當時，；當時，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，所以當時，恒成立．（2）解：解法1：令，可得，令函數(shù)，可得．令函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以當時，；當時，，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．當時，；當時，，因為存在零點，所以，故實數(shù)a的取值范圍為．解法2：由函數(shù)，可得，由，可得，其判別式，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知，關(guān)于x的方程有唯一正根，設的唯一正根為m，則有，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當時，；當時，．因為存在零點，所以，設，則，則，所以在上是增函數(shù)，所以，即，由，可得，由，得，故a的取值范圍為．22.已知，函數(shù).（1）過原點作曲線的切線，求切線的方程；（2）證明：當或時，.（1）解：因為，所以.因為原點O不在的圖象上，設切點為，所以切線的斜率，解得，所以，，所以切線的方程為，即.（2）證明：（方法一）①當時，要證成立，即證，也即.令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，故，則．所以，又，所以，即.②當時，，即，即要證.令，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，從而，即當時，.由①知，所以.綜上，當或時，.（方法二）當時，同上；當時，要證，即證，亦即.令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以只需證明.由①知，下面只要證明.令，所以，單調(diào)遞增，從而.綜上，當或時，.遼寧省撫順市重點高中六校協(xié)作體2022-2023學年高二下學期期中考試數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版選擇性必修第二冊、選擇性必修第三冊.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.現(xiàn)有3幅不同的油畫，4幅不同的國畫，5幅不同的水彩畫，從這些畫中選一幅布置房間，則不同的選法共有（）A.10種 B.12種 C.20種 D.60種〖答案〗B〖解析〗分三類：第一類，從3幅不同的油畫中任選一幅，有種；第二類，從4幅不同的國畫中任選一幅，有種；第三類，從5幅不同的水彩畫任選一幅，有種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理得共有種不同的選法.故選：B.2.在數(shù)列中，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得．故選：C.3.將4個不同的小球放入2個不同的袋子中，每個袋子中放2個小球，不同的放法有（）A.6種 B.8種 C.16種 D.32種〖答案〗A〖解析〗不同的放法有種，故選：A．4.的展開式中含項的系數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為展開式的通項為，所以展中含的項為.故選：B.5.鞋子的尺碼又叫鞋號，這是一種衡量人類腳的形狀以便配鞋的標準單位系統(tǒng)，已知女鞋歐碼及對應的腳長（單位：厘米）如下表所示：腳長222222.52323.52424.52525.52626.527歐碼3535.53636.537.53838.5394040.54142某數(shù)學興趣小組通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)某高中的女學生的腳長x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）之間有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為．已知該高中某女學生的身高為166厘米，則預測她穿的鞋子為（）A.36碼 B.36.5碼 C.38碼 D.39碼〖答案〗C〖解析〗由題意可估計該女學生的腳長為，則她穿的鞋子為38碼．故選：C.6.小方計劃從4月1日開始存儲零錢，4月1日到4月4日每天都存儲1元，從4月5日開始，每天存儲的零錢比昨天多1元，則小方存錢203天（4月1日為第1天）的儲蓄總額為（）A.19903元 B.19913元 C.20103元 D.20113元〖答案〗C〖解析〗設小方第天存錢元，則數(shù)列從第4項起成等差數(shù)列，且該等差數(shù)列的首項為1，公差為1，所以小方存錢203天的儲蓄總額為元．故選：C.7.已知是定義在R上的奇函數(shù)，的導函數(shù)為，若恒成立，則的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令函數(shù)，則，因為所以.是增函數(shù)，因為是奇函數(shù)，所以，，所以的解集為，即≥的解集為；故選：D.8.某地區(qū)一個家庭中孩子個數(shù)X的情況如下．X1230P每個孩子的性別是男是女的概率均為，且相互獨立，則一個家庭中男孩比女孩多的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗一個家庭中男孩比女孩多有三種可能：“1個小孩，且為男孩”、“有2個小孩，且為男孩”、“3個小孩，3個男孩或2個男孩”，所以概率.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.某社區(qū)醫(yī)院工作人員在社區(qū)內(nèi)開展了“如何護理患有黃疸的新生兒”的知識講座，并向參與講座的每人發(fā)放了一份相關(guān)的知識問卷．該講座結(jié)束后，共收回問卷100份．據(jù)統(tǒng)計，這100份問卷的得分（滿分為100分）近似服從正態(tài)分布，下列說法正確的是（）附：若，則，，．A.這100份問卷得分數(shù)據(jù)的期望是80，標準差是25B.這100份問卷中得分超過85分的約有16份C.D.若在其他社區(qū)開展該知識講座并發(fā)放知識問卷，得到的問卷得分數(shù)據(jù)也服從正態(tài)分布〖答案〗BC〖解析〗由題意得，該問卷得分數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，可得數(shù)據(jù)的期望是，方差是，標準差是，所以A錯誤；由，可得，所以該問卷中得分超過85分約有16份，所以B正確；由正態(tài)分布概率密度曲線的對稱性，可得，所以C正確；由同一份問卷發(fā)放到不同社區(qū)，得到的數(shù)據(jù)不一定相同，所以D錯誤．故選：BC.10.已知為兩個隨機事件，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.C.若B和C是兩個互斥事件，則D.當時，〖答案〗ACD〖解析〗因為，所以．A正確．，B錯誤．若B和C是兩個互斥事件，則，C正確．因為，所以．，D正確．故選：ACD.11.已知等比數(shù)列的前n項積為,且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的公比為C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因為，所以，A正確；因為，解得，B正確；注意到，故時，；時，，所以或時，取到最大值，C錯誤；因，左邊等于右邊成立，D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.的最大值為1C.當時，D.若函數(shù)恰有2個零點，則的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗選項AB，易知的定義域為，，所以，當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，故選項A錯誤，選項B正確；選項C，令，則，因為，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即，故選項C正確；選項D，令，由，得到，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，當趨近于0時，趨近于0，當趨近于時，趨近于0，所以時，恒有，所以，如圖1，當或時，無解，則無零點，不合題意；當時，時，，由，得到，即時，則有且只有一個零點，不合題意；當時，有兩個解，因為，如圖2，有且僅有兩解，，無解，則有且兩個零點，符合題意；所以恰有兩個零點時，，故選項D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為4，則m的值為_______．〖答案〗3〖解析〗，所以，解得．故〖答案〗為：3.14.提升農(nóng)村學校教育質(zhì)量，是提高農(nóng)村人口教育素質(zhì)、實現(xiàn)鄉(xiāng)村振興的希望所在.有5名教師志愿去4所不同的農(nóng)村學校支教，每所學校都需要安排教師支教，且每名教師只能去1所學校，不同的安排方案有______種（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗將5名教師分成4組，有種分組方法，將分好的4組全排列，對應4所不同的學校，有種分配方法.故不同的安排方案有種.故〖答案〗為：.15.一個裝有水的圓柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一個半徑為1cm的球狀物體后，水面高度為6cm，如圖所示.已知該水杯的底面圓半徑為3cm，若從時刻開始，該球狀物體的半徑以1cm/s的速度變長(在該球狀物體膨脹的過程中，該球狀物體不吸水，且始終處于水面下，杯中的水不會溢出)，則在時刻，水面上升的瞬時速度為__________cm/s.〖答案〗4〖解析〗杯中水的體積為設在該過程中水面高度為h，則即令函數(shù)則故在時刻，水面上升的瞬時速度為4cm/s.故〖答案〗為：4.16.已知數(shù)列滿足記，為坐標原點，則面積的最大值為_____________.〖答案〗4〖解析〗因為，所以，即，因為，所以是以4為首項為公比的等比數(shù)列，所以，由累加法得：所以，因為，所以，，令函數(shù)，則.當時，，而，所以在上單調(diào)遞減.，故面積的最大值為4.故〖答案〗為：4.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.第十四屆全國人民代表大會第一次會議于年月日上午開幕，月日上午閉幕．某校為了鼓勵學生關(guān)心國家大事，了解學生對新聞大事的關(guān)注度，進行了一個隨機問卷調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果如下表所示男學生女學生合計關(guān)注度極高關(guān)注度一般合計（1）若從該校隨機選名學生，估計選到的學生是對新聞大事關(guān)注度極高的男學生的概率：（2）能否有90%的把握認為學生對新聞大事的關(guān)注度與性別有關(guān)？附：，.解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)可知，從該校隨機選名學生，估計選到的學生是對新聞大事關(guān)注度極高的男學生的概率為.（2），根據(jù)臨界值表可知，沒有的把握認為學生對新聞大事的關(guān)注度與性別有關(guān)．18.國產(chǎn)科幻電影《流浪地球2》在給觀眾帶來視覺震撼的同時，也引領(lǐng)觀眾對天文，航天、數(shù)字科技等領(lǐng)域展開了無限遐想，某校為激發(fā)學生對天文、航天、數(shù)字科技三類相關(guān)知識的興趣，舉行了一次知識競賽（競賽試題中天文、航天、數(shù)字科技三類相關(guān)知識題量占比分別為40%，40%，20%）.某同學回答天文、航天、數(shù)字科技這三類問題中每個題的正確率分別為，，.（1）若該同學在該題庫中任選一題作答，求他回答正確的概率；（2）若該同學從這三類題中各任選一題作答，每回答正確一題得2分，回答錯誤不得分，設該同學回答三題后的總得分為X分，求X的分布列及數(shù)學期望