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廣東省佛山市南海區(qū)獅山石門高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.過點(diǎn)且與點(diǎn)距離最大的直線方程是()A. B.C. D.2.與角終邊相同的角是A. B. C. D.3.如圖所示,它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形,設(shè),若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小等邊三角形的概率是()A. B. C. D.4.等差數(shù)列{}中,=2,=7,則=()A.10 B.20 C.16 D.125.已知等比數(shù)列中,,且有,則()A. B. C. D.6.已知x,y滿足約束條件,則的最大值是()A.-1 B.-2 C.-5 D.17.已知圓與圓有3條公切線,則()A. B.或 C. D.或8.直線的傾斜角是()A.30° B.60° C.120° D.135°9.在正方體中,E,F(xiàn),G,H分別是,,,的中點(diǎn),K是底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn),且平面EFG,則HK與平面ABCD所成角的正弦值的最小值是()A. B. C. D.10.已知,則下列不等式一定成立的是()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.給出下列五個(gè)命題:①函數(shù)的一條對稱軸是;②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對稱;③正弦函數(shù)在第一象限為增函數(shù);④若,則,其中;⑤函數(shù)的圖像與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則的取值范圍為.以上五個(gè)命題中正確的有(填寫所有正確命題的序號)12.若正四棱錐的側(cè)棱長為,側(cè)面與底面所成的角是45°,則該正四棱錐的體積是________.13.若、分別是方程的兩個(gè)根,則______.14.設(shè)是定義在上以2為周期的偶函數(shù),已知,,則函數(shù)在上的解析式是15.若,則的值為_______.16.已知向量,,,則_________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.的內(nèi)角所對的邊分別為,向量,若.(1)求角的大小;(2)若,求的值.18.某校為了了解學(xué)生每天平均課外閱讀的時(shí)間(單位:分鐘),從本校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)收集的數(shù)據(jù),得到學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的頻率分布直方圖,如圖所示,若每天課外閱讀時(shí)間不超過30分鐘的有45人.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)該校學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)及平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表).19.已知,,且(1)求函數(shù)的解析式;(2)當(dāng)時(shí),的最小值是,求此時(shí)函數(shù)的最大值,并求出函數(shù)取得最大值時(shí)自變量的值20.已知數(shù)列滿足,.(1)若,求證:數(shù)列為等比數(shù)列.(2)若,求.21.已知數(shù)列滿足關(guān)系式,.(1)用表示,,;(2)根據(jù)上面的結(jié)果猜想用和表示的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證之.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】
過點(diǎn)且與點(diǎn)距離最大的直線滿足:,根據(jù)兩直線互相垂直,斜率的關(guān)系可以求出直線的斜率,寫出點(diǎn)斜式方程,最后化成一般方程,選出正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)且與點(diǎn)距離最大的直線滿足:,所以有,而,所以直線方程為,故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與直線垂直時(shí)斜率的性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、C【解析】∵與終邊相同的角的集合為∴令,得∴與角終邊相同的角是故選C3、A【解析】
根據(jù)題意,分析可得,由三角形面積公式計(jì)算可得△DEF和△ACF的面積,進(jìn)而可得△ABC的面積,由幾何概型公式計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,為等邊三角形,則,則,中,,其面積,中,,,其面積,則的面積,故在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小等邊三角形的概率,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型中的面積類型,基本方法是:分別求得構(gòu)成事件A的區(qū)域面積和試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積,兩者求比值,即為概率.4、D【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知第五項(xiàng)減去第三項(xiàng)等于公差的2倍,由=+5得到2d等于5,然后再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到第七項(xiàng)等于第五項(xiàng)加上公差的2倍,把的值和2d的值代入即可求出的值,即可知=,故選D.5、A【解析】,,所以選A6、A【解析】根據(jù)題意作出約束條件確定的可行域,如下圖:令,可知在圖中處,取到最大值-1,故選A.考點(diǎn):本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃.7、B【解析】
由兩圓有3條公切線,可知兩圓外切,則圓心距等于兩圓半徑之和,求解即可.【詳解】由題意,圓與圓外切,所以,即,解得或.【點(diǎn)睛】本題考查了兩圓外切的性質(zhì),考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
根據(jù)直線方程求出斜率即可得到傾斜角.【詳解】由題:直線的斜率為,所以傾斜角為120°.故選:C【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)直線方程求傾斜角,需要熟練掌握直線傾斜角與斜率的關(guān)系,熟記常見特殊角的三角函數(shù)值.9、A【解析】
根據(jù)題意取的中點(diǎn),可得平面平面,從而可得K在上移動(dòng),平面,即可HK與平面ABCD所成角中最小的為【詳解】如圖,取的中點(diǎn),連接,由E,F(xiàn),G,H分別是,,,的中點(diǎn),所以,,且,則平面平面,若K是底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn),且平面EFG,則K在上移動(dòng),由正方體的性質(zhì)可知平面,所以HK與平面ABCD所成角中最小的為,不妨設(shè)正方體的邊長為,在中,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了求線面角,同時(shí)考查了面面平行的判定定理,解題的關(guān)鍵是找出線面角,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】試題分析:若,那么,A錯(cuò);,B錯(cuò);是單調(diào)遞減函數(shù)當(dāng)時(shí),所以,C.正確;是減函數(shù),所以,故選C.考點(diǎn):不等式二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、①②⑤【解析】試題分析:①將代入可得函數(shù)最大值,為函數(shù)對稱軸;②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,包括點(diǎn);③,③錯(cuò)誤;④利用誘導(dǎo)公式,可得不同于的表達(dá)式;⑤對進(jìn)行討論,利用正弦函數(shù)圖象,得出函數(shù)與直線僅有有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則.故本題答案應(yīng)填①②⑤.考點(diǎn):三角函數(shù)的性質(zhì).【知識點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象性質(zhì).對于和的最小正周期為.若為偶函數(shù),則當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最值,若為奇函數(shù),則當(dāng)時(shí),.若要求的對稱軸,只要令,求.若要求的對稱中心的橫坐標(biāo),只要令即可.12、【解析】
過棱錐頂點(diǎn)作,平面,則為的中點(diǎn),為正方形的中心,連結(jié),設(shè)正四棱錐的底面長為,根據(jù)已知求出a=2,SO=1,再求該正四棱錐的體積.【詳解】過棱錐頂點(diǎn)作,平面,則為的中點(diǎn),為正方形的中心,連結(jié),則為側(cè)面與底面所成角的平面角,即,設(shè)正四棱錐的底面長為,則,所以,在中,∵∴,解得,∴∴棱錐的體積.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面角的計(jì)算,考查棱錐體積的計(jì)算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】
利用韋達(dá)定理可求出和的值,然后利用兩角和的正切公式可計(jì)算出的值.【詳解】由韋達(dá)定理得,,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角和的正切公式求值,同時(shí)也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】試題分析:根據(jù)題意,由于是定義在上以2為周期的偶函數(shù),那么當(dāng),,可知當(dāng)x,,那么利用周期性可知,在上的解析式就是將x,的圖像向右平移2個(gè)單位得到的,因此可知,答案為.考點(diǎn):函數(shù)奇偶性、周期性的運(yùn)用點(diǎn)評:解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),即周期性,奇偶性,單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì).15、【解析】
把已知等式展開利用二倍角余弦公式及兩角和的余弦公式,整理后兩邊平方求解.【詳解】解:由,得,,則,兩邊平方得:,即.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值,考查倍角公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.16、【解析】
根據(jù)向量平行交叉相乘相減等于0即可.【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)向量平行,所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的平行,即,若則,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)2【解析】
(1)根據(jù)向量的數(shù)量積定義,結(jié)合余弦的倍角公式,即可求得;(2)由余弦定理,及(1)中所求角度,即可直接求得.【詳解】(1)由已知易得:所以,又故.(2)由及余弦定理可得:所以,所以得:(舍)所以.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理,余弦的倍角公式,涉及向量的數(shù)量積,屬基礎(chǔ)題.18、(Ⅰ);(Ⅱ)中位數(shù)估計(jì)值為32,平均數(shù)估計(jì)值為32.5.【解析】
(Ⅰ)由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程組,能求出,;(Ⅱ)由頻率分布直方圖,能估計(jì)該校學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)及平均值.【詳解】(Ⅰ)由題意得,解得(Ⅱ)設(shè)該校學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)估計(jì)值為,則解得:.該校學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)估計(jì)值為:.答:該校學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)估計(jì)值為32,平均數(shù)估計(jì)值為32.5.【點(diǎn)睛】本題考查頻率、中位數(shù)、平均數(shù)的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.19、(1)(2)【解析】試題分析:(1)由向量的數(shù)量積運(yùn)算代入點(diǎn)的坐標(biāo)得到三角函數(shù)式,運(yùn)用三角函數(shù)基本公式化簡為的形式;(2)由定義域可得到的范圍,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)最值及對應(yīng)的自變量值試題解析:(1)即(2)由,,,,,此時(shí),考點(diǎn):1.向量的數(shù)量積運(yùn)算;2.三角函數(shù)化簡及三角函數(shù)性質(zhì)20、(1)證明見解析(2)答案見解析【解析】
(1)證明即可;(2)化簡,討論,和即可求解【詳解】因?yàn)?,所以,所以.又所以?shù)列是以3為首項(xiàng),9為公比的等比數(shù)列.(2)因?yàn)?,所?/p>
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