幾何填空壓軸題-2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題（浙江新中考）（解析版）

第第頁題型01幾何求值類型一三角形求值1．（2023·浙江金華·三模）如圖，在中，于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，連接，若為的中點(diǎn)，則．【答案】/【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識．證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，證出，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，由全等三角形的性質(zhì)得出，，得出，由角平分線的性質(zhì)，再根據(jù)，求出的長，最后利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】解：，，，，，，，，，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，，，，，，，平分；，，，為的中點(diǎn)，，，，，，．故答案為：．2．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，已知，，，，繞著斜邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE、DF分別交AC、BC所在的直線于點(diǎn)P、Q．當(dāng)為等腰三角形時，AP的長為．

【答案】或或【分析】分類討論：①當(dāng)，由，，則，過作與，于，利用三角形的中位線的性質(zhì)得到，，，可得到與的長，然后利用等腰三角形的性質(zhì)得到，易得，又，利用三角形全等的性質(zhì)得到，則，即，則，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到：：，代值計(jì)算可得，從而求得；②當(dāng)，則點(diǎn)在點(diǎn)，易證，然后根據(jù)三角形相似的相似比即可得到，從而求得；②當(dāng)，則，而，得到，即，易證，然后根據(jù)三角形相似的相似比即可求得．【詳解】解：①當(dāng)，，，，則，過作與，于，如圖，

為的中點(diǎn)，，，，，，，而，，又，，而，，即，，：：，即：：，，；②當(dāng)，則點(diǎn)在點(diǎn)，如圖，

，而，，，：：，即：：，，；③當(dāng)，則，而，，即，如圖，

，：：，即：：，．故答案為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：兩腰相等，兩底角相等．也考查了三角形全等的性質(zhì)和三角形相似的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及分類討論思想的運(yùn)用．3．（2023·浙江紹興·三模）如圖，在中，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合時，連接．作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對稱點(diǎn)，連接，．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒，且，則t的值是．

【答案】或【分析】分兩種情況：點(diǎn)P在邊上時；點(diǎn)P在時，利用等角的三角函數(shù)值相等即可求解．【詳解】解：當(dāng)時，即點(diǎn)P在邊上時，如圖；過點(diǎn)P作于E；由折疊性質(zhì)得：，∴；∵，，∴，∴，∴；由勾股定理得：，∵點(diǎn)D為中點(diǎn)，∴；而，∴，即，解得：；

當(dāng)時，即點(diǎn)P在邊上時，如圖；延長交于點(diǎn)F，由折疊知，，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；而，∴運(yùn)動時間為；

綜上，當(dāng)運(yùn)動時間為或時，．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)等知識，靈活運(yùn)用這些知識是關(guān)鍵，注意分類討論．4．（2023·浙江紹興·一模）如圖.在中，，，，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，若使點(diǎn)，，構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)恰好有三個，且，則的值是.【答案】或【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，運(yùn)用平行線分線段成比例定理分類計(jì)算．【詳解】當(dāng)平分時，符合題意，如圖所示，此時四邊形是正方形，∵，∴，∴，解得；如圖，當(dāng)時，恰好有四個位置滿足Ｆ，∵，，，，∴，，∴，解得；∴時，就滿足了3個F，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江舟山·三模）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)分別為邊上的動點(diǎn)，運(yùn)動過程中始終保持．連結(jié)，在右側(cè)作等邊三角形，并連結(jié)．（1）當(dāng)時，若，則．（2）在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)的過程中，若的最小值為，則邊長是．【答案】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)得到即可解答；（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)得到，再根據(jù)中位線定理及等邊三角形的性質(zhì)得到的邊長最小，最后利用中點(diǎn)的定義即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴設(shè)，∴，∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為；（2）解：取中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，如圖，∵，∵是等腰三角形，∴，，∵，∴結(jié)合三角形內(nèi)角和可得：，∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，如圖：∵，，，∴，∵，∴，∴，同理可證明：，∴是等邊三角形，∴當(dāng)三點(diǎn)位于等邊三角形三邊中點(diǎn)時，面積最小,即的邊長最小，∴當(dāng)點(diǎn)分別位于的中點(diǎn)時，有最小值，∴此時有最小值，∵，點(diǎn)位于的中點(diǎn)，∴此時與重合，，∵此時為的中點(diǎn)，∴在中，，∴，∵的最小值為，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型二四邊形求值6．（23-24九年級上·浙江寧波·期中）由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形如圖所示．將小正方形對角線雙向延長，分別交邊，和邊的延長線于點(diǎn)G，若大正方形與小正方形的面積之比為5，，則大正方形的邊長為．

【答案】3【分析】設(shè)小正方形在線段上的一個頂點(diǎn)為M，與相交于點(diǎn)P，由大正方形與小正方形的面積之比為5，可推出，設(shè)，，則，利用勾股定理和多項(xiàng)式的因式分解推出；延長交于點(diǎn)N，利用平行線分線段成比例定理可證N是的中點(diǎn)以及，設(shè)，則，證得，同理得，由此可推出；由，得，可求得與的長，最后由求出a的值即可．【詳解】解：設(shè)小正方形在線段上的一個頂點(diǎn)為M，與相交于點(diǎn)P，∵大正方形與小正方形的面積之比為5，∴，∴，設(shè)，，則，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，延長交于點(diǎn)N，

∵，，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵，，∴，，∵，∴，∴，同理可得：，∴，∴，∵，∴，即，∴，∵，即，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，因式分解等知識，靈活運(yùn)用平行線分線段成比例定理和勾股定理求出線段之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，．菱形的頂點(diǎn)，，，分別在邊，，，上．若，則的長為．【答案】【分析】本題考查了菱形和矩形的性質(zhì)，利用它們的性質(zhì)證明三角形全等是解題關(guān)鍵；證明，設(shè)，根據(jù)勾股定理列出方程即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，四邊形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∵，=，=，∴，∴，∴，,設(shè)，則，∴解得，，則，故答案為：．8．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，在矩形中，，E為邊上的一個動點(diǎn)，連接，點(diǎn)B關(guān)于的對稱點(diǎn)為，連接．若的最大值與最小值之比為2，則的長為．【答案】【分析】本題主要考查了一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最值問題，矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，由軸對稱的性質(zhì)可得，則點(diǎn)在以A為圓心，半徑為3的圓上運(yùn)動，據(jù)此可得當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，最大，據(jù)此表示出的最大值和最小值，再由的最大值與最小值之比為2列出方程求解即可．【詳解】解；如圖所示，連接，由軸對稱的性質(zhì)可得，∴點(diǎn)在以A為圓心，半徑為3的圓上運(yùn)動，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小，∴；∵點(diǎn)E在線段上，∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，最大，最大值即為的長，∴，∵的最大值與最小值之比為2，∴，∴，∴，解得或，故答案為：．9．（2023·浙江杭州·二模）如圖，一張矩形紙片中，（m為常數(shù)），將矩形紙片沿折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，與交于點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)H落在的中點(diǎn)時，且，則．【答案】【分析】本題主要考查了矩形折疊綜合，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，是解題的關(guān)鍵．設(shè)，根據(jù)得到，根據(jù)，得到①，在中，利用勾股定理得到②，解①②即可求解．【詳解】∵，設(shè)（），則，∵點(diǎn)H是的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴①，∵，∴，在中，，∴②，聯(lián)立①②，解得：，∵，∴，∴．故答案為：．10．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，點(diǎn)G在對角線上（不與點(diǎn)B，D重合），連接使得，作，，分別交、于點(diǎn)E、點(diǎn)F，，，則線段的長為．【答案】【分析】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，菱形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，作出輔助線，并利用特殊角的三角函數(shù)值解直角三角形是求解的關(guān)鍵；過作于，根據(jù)可得，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，在中，可求出，可證，得到，可證，在中，，可得．【詳解】解：過作于，∵，∴∵四邊形是菱形，∴，∵，∴∴，∴，在中，，,∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，在中，，，故答案是：．11．（2023·浙江紹興·三模）矩形中，，，連接，，分別在邊，上，連接，分別交于點(diǎn)，，若，，則的長為．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，由勾股定理得出，延長至，使，過作的平行線交的延長線于，得正方形，延長交于，連接，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，證出，得出，可證，得出，證出，設(shè)，則，利用勾股定理列出方程求出，然后由，得，所以，即可求出的長．【詳解】解：在矩形中，，，，，如圖，延長至，使，過作的平行線交的延長線于，得正方形，延長交于，連接，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到，四邊形是正方形，，，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，即，，，，在和中，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，解得：，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；證明三角形全等和由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．12．（2023·浙江湖州·中考真題）如圖，標(biāo)號為①，②，③，④的四個直角三角形和標(biāo)號為⑤的正方形恰好拼成對角互補(bǔ)的四邊形，相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙，①和②分別是等腰和等腰，③和④分別是和，⑤是正方形，直角頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊上．（1）若，，則的長是cm．（2）若，則的值是．【答案】43【分析】（1）將和用表示出來，再代入，即可求出的長；（2）由已知條件可以證明，從而得到，設(shè)，，，用x和k的式子表示出，再利用列方程，解出x，從而求出的值．【詳解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形，∴，∵，∴，即，即，∵，∴，故答案為：4；（2）設(shè)，∵，∴可設(shè)，，∵四邊形是正方形，∴，∵和都是等腰直角三角形，∴，∴，，∵四邊形對角互補(bǔ)，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，即，整理得：，解得，（舍去），∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)定義，一元二次方程的解法等，弄清圖中線段間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．類型三圓求值13．（2023·浙江杭州·三模）如圖，的半徑于點(diǎn)C，連接并延長交于點(diǎn)E，連接，若，，（1）的半徑為；（2）的值為．

【答案】5【分析】（1）設(shè)半徑為r，根據(jù)垂徑定理得到，，，根據(jù)的勾股定理求出r的值；（2）連接，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得出為直角三角形，根據(jù)勾股定理求出，，，的長度，然后按定義進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：（1）∵的半徑于點(diǎn)C，，∴，設(shè)的半徑為r，則，在中，∵，∴，即，解得故答案為：5．（2）連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F

∵是的直徑，

∴，在中，∵，，∴∵在中，，，∴∵∴∴∴∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考差了勾股定理、垂徑定理、銳角三角函數(shù)的求值，記憶理解相關(guān)定義，性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·浙江寧波·一模）如圖，在矩形中，，為上一點(diǎn)，，以為圓心，為半徑的弧交于，交于，若為弧的中點(diǎn)，則，．【答案】【分析】連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)過圓心且平分弦所對的弧則垂直平分弦可得出，結(jié)合矩形的性質(zhì)可得出，所以，求出，根據(jù)勾股定理求出，即，由垂徑定理得出，證明四邊形是矩形，從而有，利用銳角三角函數(shù)求出，最后在中利用正切的定義即可得解．【詳解】連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，∵以為圓心，為半徑的弧交于，交于，若為弧的中點(diǎn)，∴，，，∴，，∵在矩形中，，，∴，，，∴即，∴，∴，∴，即，∴，在中，，，∵，∴，解得：，∴，∵，點(diǎn)為圓心，∴，，在四邊形中，，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，在中，，，，∴，故答案為：；．

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理及推論，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識點(diǎn)．掌握銳角三角函數(shù)的定義，垂徑定理及推論是解題的關(guān)鍵．15．（2022·浙江寧波·一模）如圖，矩形中，，分別與邊相切，點(diǎn)M，N分別在上，，將四邊形沿著翻折，使點(diǎn)B、C分別落在、處，若射線恰好與相切，切點(diǎn)為G，則線段的長為．【答案】/【分析】設(shè)與相切于點(diǎn)E，與相切于點(diǎn)H，連接，過點(diǎn)N作于點(diǎn)F，利用切線的性質(zhì)與切線長定理求得圓的半徑，，利用折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，通過證明，利用相似三角形的性質(zhì)列出方程，解方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)與相切于點(diǎn)E，與相切于點(diǎn)H，連接，過點(diǎn)N作于點(diǎn)F，如圖，∵分別與邊相切，，∴的直徑為4，∴．∵為的切線，∴，∵，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形．∴．∵為的切線，∴，，．∵四邊形沿著翻折，使點(diǎn)B、C分別落在、處，∴，，，．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∴．∵四邊形為直角梯形，，∴，設(shè)，則，，∴，解得：或（不合題意，舍去）．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，切線長定理，條件適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．16．（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，在中，，是的外接圓，在劣弧上存在點(diǎn)滿足，連結(jié)交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，若，半徑為，則．【答案】4【分析】因?yàn)?，所以設(shè)，則，證明；連接并延長交于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，再證明，是等腰三角形，，所以，因?yàn)?，所以設(shè)，則，在中，由，解得，所以，，最后根據(jù)即可得解．【詳解】解：設(shè)，，，，，，，，連接并延長交于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，是直徑，，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，又，，，，，，，，平分，，，點(diǎn)到、的距離相等，，平分，（三線合一），，，，，，，，，，，，，，中，，，，，，設(shè)，則，中，，由，解得，，，，，，，，，．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查圓的相關(guān)性質(zhì)及等腰三角形的判定，全等三角形的判定及性質(zhì)等綜合知識，難度較大，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形（作輔助線）．17．（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，連接為的切線，過切點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，，則．【答案】【分析】連接，延長交于，連接，過作于，過作于，由切線的性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)圓周角定理、勾股定理及矩形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案．【詳解】解：連接，延長交于，連接，過作于，過作于，∵為的切線，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，∵為的直徑，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵分別是中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．18．（2022·浙江金華·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC＝3cm，BD＝cm，AC⊥CD，⊙O是△ABD的外接圓，則AB的弦心距等于cm．【答案】/【分析】設(shè)AC、BD的交點(diǎn)為G，作圓的直徑AN，連接BN，過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CM⊥BD于點(diǎn)M，利用勾股定理計(jì)算DC，利用三角函數(shù)計(jì)算GM，MC，根據(jù)，計(jì)算BN，利用垂徑定理，三角形中位線定理求得OF．【詳解】解：設(shè)AC、BD的交點(diǎn)為G，∵平行四邊形ABCD中，AC=3，BD=，AC⊥CD，∴，，，∴，過點(diǎn)C作CM⊥BD于點(diǎn)M∴，，∴，∴，作直徑，連接BN，過點(diǎn)O作OF⊥AB，則：，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，三角形中位線定理，平行四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握圓的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．19．（2022·浙江衢州·二模）如圖，在矩形ABCD中，，，為AD上一點(diǎn)，且，為BC邊上的動點(diǎn)，以為EF直徑作，當(dāng)與矩形的邊相切時，BF的長為．【答案】2或或【分析】與矩形的邊相切，但沒有具體說與哪個邊相切，所以該題有三種情況：第一種情況是圓與邊AD、BC相切，此時BF=AE；第二種情況是圓與邊AB相切，利用中位線定理以及勾股定理可求出BF的長；第三種是圓與邊CD相切，同樣利用中位線定理以及勾股定理求得BF．【詳解】解：①當(dāng)圓與邊AD、BC相切時，如圖1所示此時所以四邊形AEFB為矩形即BF=AE=2；②當(dāng)圓與邊AB相切時，設(shè)圓的半徑為R，切點(diǎn)為H，圓與邊AD交于E、N兩點(diǎn)，與邊BC交于M、F兩點(diǎn)，連接EM、HO，如圖2所示此時OE=OF=OH=R，點(diǎn)O、H分別是EF、AB的中點(diǎn)∴2OH=AE+BF即BF=2R-2∵BM=AE=2∴MF=2R-4在中，∵EM=AB=6，EF=2R∴解得將代入BF=2R-2∴；③當(dāng)圓與邊CD相切時，設(shè)圓的半徑為R，切點(diǎn)為H，圓與邊AD交E、D兩點(diǎn)，與邊BC交M、F兩點(diǎn)，如圖3所示此時OE=OF=OH=R∵AE=2∴ED=6∵點(diǎn)O、H分別是EF、CD的中點(diǎn)∴2OH=ED+FC即FC=2R-6∵BM=AE=2∴MF=BC-BM-FC即MF=12-2R∵EM=AB=6，EF=2R∴在中即解得∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、中位線定理以及勾股定理，關(guān)鍵是分清楚情況，數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為方程問題．20．（2022·浙江寧波·一模）如圖，△ABC中，AC＝BC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點(diǎn)D．當(dāng)△ABD是等腰三角形時，∠C的度數(shù)為．【答案】36°或45°【分析】根據(jù)題意可知當(dāng)AB=BD，AB=AD時，△ABD是等腰三角形，分兩種情況求出答案即可．【詳解】解：連接CO，并延長交AB于點(diǎn)E．根據(jù)等腰三角形和圓的對稱性可知∠ACO=∠BCO．∵BO=CO，∴∠BCO=∠CBO，∴∠ACO=∠BCO=∠CBO．當(dāng)AB=BD時，∠A=∠ADB，∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠ADB=∠ACB+∠DBC=3∠DBC，∴∠A=3∠DBC．∵AC=BC，∴∠A=∠ABC=3∠DBC，∴∠ABD=2∠DBC，∴3∠DBC+3∠DBC+2∠DBC=180°，解得∠DBC=22.5°，∴∠ACB=2∠DBC=45°.當(dāng)AD=AB時，∠ADB=∠ABD，∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠ADB=∠ACB+∠DBC=3∠DBC，∴∠ABD=3∠DBC．∵AC=BC，∴∠A=∠ABC=4∠DBC，∴3∠DBC+3∠DBC+4∠DBC=180°，解得∠DBC=18°，∴∠ACB=2∠DBC=36°．故答案為：36°或45°．【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于圓的綜合問題，考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)等，注意分情況討論．類型四求比值21．（2024·浙江寧波·一模）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)D，E分別是上的點(diǎn)，且，交于點(diǎn)P．連接，若時，則；設(shè)的面積為，四邊形的面積為，則．【答案】2【分析】根據(jù)可證明，可得，從而得到，進(jìn)而得到C、D、P、E四點(diǎn)共圓，繼而得到點(diǎn)P恰好落在以為直徑的圓上，點(diǎn)P也落在以為直徑的圓上，可得到，連接，則，由直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到；過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)F，證出，可得，即可得出答案．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，即，在和中，∵，∴，∴，∴，∴，∴C、D、P、E四點(diǎn)共圓，∵，∴，即點(diǎn)P恰好落在以為直徑的圓上，點(diǎn)P也落在以為直徑的圓上，∵，∴，如圖，連接，則，∴，∵，∴；如圖，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)F，設(shè)，∵，，∴，∴，∴，同理，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．故答案為：2；【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理、含30度角直角三角形的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2024·浙江寧波·一模）如圖，將矩形的邊翻折到，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)在邊上，再將邊翻折到，且點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為的內(nèi)心，則．【答案】4【分析】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角形函數(shù)與解直角三角形、三角形的面積公式等知識．作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則，由翻折的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)為的內(nèi)心，得，，推導(dǎo)出，，于是得，，由，得，再證明，得，可證明，所以，則，求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則，∴，由翻折得，，，點(diǎn)為的內(nèi)心，，，四邊形是矩形，∴，，，，，，∴，，，，，，，，，設(shè)交于點(diǎn)，，，，，，，，，，故答案為：4．23．（2023·浙江臺州·二模）中，，是上一點(diǎn)，于點(diǎn)，，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，若，則．【答案】【分析】連接，先證，再證四邊形為矩形，再證，得到，設(shè)，，則，得到，從而得到、的關(guān)系．【詳解】解：連接，，，由旋轉(zhuǎn)可知：，，，，，，，，，，在和中，，，，，，又，，四邊形是矩形，，，，，，，設(shè)，，則，即：，整理得：，解得：，（舍去），，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是利用三角形相似構(gòu)建方程解決問題．24．（2023·浙江杭州·二模）如圖，射線都垂直于線段，過點(diǎn)A作的垂線分別交于點(diǎn)F，C，垂足為D，若，則．

【答案】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，求得的比例關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．設(shè)，再說明，易得，那么，因此只需求得的比例關(guān)系即可．再證明，繼而可得，聯(lián)立，求得的比例關(guān)系即可解答．【詳解】解：設(shè)；∵，∴；∴；∴；中，，∴，又∵，∴，∴，∴；∵，∴四邊形是矩形，∴；∴，即，∴，解得；∴．故答案為：．25．如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊、上，且，連接并延長至點(diǎn)F，使，連接，，連接并延長交于點(diǎn)G．若，則．

【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．如圖，延長、交于點(diǎn)H，由是等邊三角形，可知，，由，可得，證、是等邊三角形，則，，證明，則，即，證明，則，解得，證明，則，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】解：如圖，延長、交于點(diǎn)H，

∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，解得，∵，，∴，∴，故答案為：．26．（2023·浙江寧波·三模）如圖，在矩形中，．將矩形沿折疊，使點(diǎn)A落在邊上的E處，得到四邊形，連接，若，，則，．【答案】【分析】過G作于M，過P作，垂足為N，證明，推出，據(jù)此可求得；再根據(jù)三角函數(shù)推出，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理表示，在中，，，求出，即可求出面積．【詳解】解：過G作于M，過P作，垂足為N，∵矩形沿折疊，使點(diǎn)A落在邊上的E處，得到四邊形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴；∵折疊矩形，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，，∴，，解得，，∴；故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形，正方形的性質(zhì)，翻折變換，解直角三角形，熟練掌握這些知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用，善于在復(fù)雜的圖形中找出基本圖形是解題關(guān)鍵．27．（2024·浙江嘉興·一模）如圖1是古塔建筑中的方圓設(shè)計(jì)，寓意天圓地方．據(jù)古塔示意圖，以塔底座寬為邊作正方形（圖2），塔高，分別以點(diǎn)A，B為圓心，為半徑作圓弧，交于點(diǎn)．正方形內(nèi)部由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，若點(diǎn)G落在的延長線上，連接交于點(diǎn)T，則的值為．【答案】【分析】連接、，過點(diǎn)G作，垂足分別為、，根據(jù)求得，結(jié)合勾股定理和線段的和差得，，再由得出結(jié)論.【詳解】解：連接、，過點(diǎn)G作，垂足分別為、，∴四邊形是矩形，∴設(shè)正方形邊長為，由題意可知：，，∴，，，∵，，∴，∴∴，∵，∴，∵∴∴，又∵，∴故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等，熟練掌握以上知識點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形，通過相似求出的長是解此題的關(guān)鍵．28．（2022·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，，，是上與點(diǎn)關(guān)于圓心成中心對稱的點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，連接，，．已知，，是線段上一動點(diǎn)，連接并延長交四邊形的一邊于點(diǎn)，且滿足，則的值為．【答案】1或【分析】先根據(jù)圓周角定理和對稱性質(zhì)證明四邊形是正方形，得到，，根據(jù)題意，分點(diǎn)R在線段上和點(diǎn)R在線段上兩種情況，利用全等三角形的判定與性質(zhì)分別求解即可．【詳解】解：∵內(nèi)接于，，∴是的直徑，∵是上與點(diǎn)關(guān)于圓心成中心對稱的點(diǎn)，∴，，又，∴，∴四邊形是菱形，又，∴四邊形是正方形，∴，．當(dāng)點(diǎn)R在線段上時，如圖，在和中，，∴，∴，∵，∴，，在和中，，∴，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)R在線段上時，如圖，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，綜上，滿足條件的的值為1或．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、對稱性質(zhì)、菱形的判定、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理和正方形的判定與性質(zhì)，證得四邊形是正方形，利用分類討論思想結(jié)合全等三角形的性質(zhì)和等面積法求解是解答的關(guān)鍵．29．（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，，，過點(diǎn)A作AC的垂線交CD的延長線于點(diǎn)E，連結(jié)BE．若，則的值為．【答案】【分析】設(shè)AC，BD交與點(diǎn)F，過點(diǎn)B作，交EA的延長線于點(diǎn)G，利用直角三角形的邊角關(guān)系得到，設(shè)，則，利用勾股定理，相交弦定理，平行線分線段成比例定理求得BF，DF，AE，利用勾股定理求得線段CE，利用矩形的判定與性質(zhì)和勾股定理求得BE，則結(jié)論可得．【詳解】解：設(shè)AC，BD交與點(diǎn)F，過點(diǎn)B作，交EA的延長線于點(diǎn)G，如圖，∵，，∴，設(shè)CF=3k，則，∴，∵CA=CB，∴AC=5k，∴，∵CF·AF=DF·BF，∴DF=32k，∵AC⊥BD，AE⊥AC，∴DF∥AE，∴，∴，∴，∴AE=52k，∴，∵AC⊥BD，，，∴四邊形AFBG為矩形，∴BG=AF=2k，AG=BF=4k，∴EG=AE+AG=132k，∴BE=BG2+EG2=1852k，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理，相交弦定理，熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)，利用勾股定理求得對應(yīng)相等的長度是解題的關(guān)鍵．30．（2023·浙江杭州·二模）如圖，已知是的直徑，弦于點(diǎn)，．點(diǎn)是劣弧上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），交于點(diǎn)，與的延長線相交于點(diǎn)，設(shè)．

①則（用含的代數(shù)式表示）；②當(dāng)時，則．【答案】【分析】①連接，先根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)，得，再根據(jù)圓周角定理，得，即可得出結(jié)果；②在上取點(diǎn)，連接，使，先根據(jù)題意求出，設(shè)，，在中和中，根據(jù)勾股定理，求出即可．【詳解】解：①如圖，連接，

在中，，，，在中，，，，，在中，，故答案為：②在上取點(diǎn)，連接，使，

由①中結(jié)論，，，，，設(shè)，，由①中結(jié)論，在中，，，，解得：，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題屬于圓的綜合題，考查了含直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來．類型五求最大值31．（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長為4，將邊繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，過點(diǎn)A作交線段的延長線于點(diǎn)F，連接，若點(diǎn)M為線段中點(diǎn)，則點(diǎn)M與點(diǎn)C距離的最大值為．【答案】/【分析】連接，取中點(diǎn)O，中點(diǎn)H，中點(diǎn)G，連接，取中點(diǎn)N，連接，過N作于K，證明，可得，由勾股定理可得，可得當(dāng)C，N，M共線時，最大，最大為．【詳解】解：連接，取中點(diǎn)O，中點(diǎn)H，中點(diǎn)G，連接，取中點(diǎn)N，連接，過N作于K，如圖：∵是的中位線，∴，∵是中位線，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，O為中點(diǎn)，∴，∴，∵，N為中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴當(dāng)C，N，M共線時，最大，最大為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形中的旋轉(zhuǎn)問題，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形中位線及相似相似三角形．32．（2022·浙江杭州·二模）如圖，在平行四邊形中，與交于點(diǎn)，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著方向運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)停止運(yùn)動．連接，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．當(dāng)點(diǎn)落在上時，則．在運(yùn)動過程中，點(diǎn)到直線的距離的最大值為．【答案】2【分析】如圖1，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)落在上時，則AQ＝AB，連接過點(diǎn)Q作OH⊥AB于點(diǎn)H，則∠OHB＝∠OHA＝90°，在Rt△BOH中，BH＝2，OH＝2，在Rt△AOH中，AH＝OH＝2，AO＝2AB＝AQ＝BH＋AH＝2＋2，即可求得AQ－AO＝2＋2－2；如圖2，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑作圓，交BD于點(diǎn)S，取的中點(diǎn)為Q1，連接AQ1交BS于點(diǎn)T，由題意知點(diǎn)Q在上運(yùn)動，在上，點(diǎn)Q1到直線的距離最大，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q2，作Q2N⊥BD于點(diǎn)N，在上，點(diǎn)Q2到直線的距離最大，分別求解兩個距離，取最大值即可．【詳解】解：如圖1，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)落在上時，則AQ＝AB，連接過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，則∠OHB＝∠OHA＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，BD＝8，∴OB＝OD＝4，在Rt△BOH中，∠OBH＝，∠OHB＝90°，∴BH＝OB×cos∠OBH＝4×cos60°＝2，OH＝OB×sin∠OBH＝4×sin60°＝2，在Rt△AOH中，∠OAH＝，∠OHA＝90°，∴∠AOH＝90°－∠OAH＝45°，∴AH＝OH＝2，AO＝，∴AB＝AQ＝BH＋AH＝2＋2，∴AQ－AO＝2＋2－2．如圖2，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑作圓，交BD于點(diǎn)S，取的中點(diǎn)為Q1，連接AQ1交BS于點(diǎn)T，由題意知點(diǎn)Q在上運(yùn)動，在上，點(diǎn)Q1到直線的距離最大，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q2，作Q2N⊥BD于點(diǎn)N，在上，點(diǎn)Q2到直線的距離最大，下面分別求解，∵AB＝AS，∴△ABS是等腰三角形，∵∠ABS＝60°，∴△ABS是等邊三角形，∵的中點(diǎn)為Q1，

∴垂直平分BS于點(diǎn)T，∴AT＝AB×sin∠ABS＝（2＋2）×＝＋3，∴＝－AT＝－1；由題意可知點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于直線AO對稱，∴∠AB＝2∠ABO＝90°，AB＝A，

∴∠AB＝∠AB＝45°，，∴∠BN＝∠ABO－∠AB＝15°，如圖3，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，AC＝，延長CA至點(diǎn)D，使得AD＝AB＝2，∴∠D＝∠ABD＝∠BAC＝15°，CD＝AC＋AD＝＋2，∴tan15°＝tanD＝，如圖2，在Rt△NB中，∠BN＝∠ABO－∠AB＝15°，設(shè)N＝x，則BN＝，由勾股定理得，∴＝，解得x＝2，∴N＝2，∵2＞－1，

∴N＞，∴點(diǎn)到直線的距離的最大值為2．故答案為：，2【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，圓的相關(guān)知識，軸對稱的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和方法是基礎(chǔ)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．33．（2021·浙江嘉興·一模）如圖，邊長為2的正方形中，動點(diǎn)在邊上，射線上取一點(diǎn)，使，當(dāng)動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向終點(diǎn)運(yùn)動時，點(diǎn)的運(yùn)動路徑長為，線段的最大值是．【答案】π4【分析】以為邊在正方形內(nèi)作等邊三角形，點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，可知圓的半徑為2，延長，交于點(diǎn)，延長，交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接，可知點(diǎn)的運(yùn)動路徑為，根據(jù)弧長公式求解，的最大值為，根據(jù)圓的直角即可求解．【詳解】解：如圖，以為邊在正方形內(nèi)作等邊三角形，點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，則點(diǎn)在上，延長，交于點(diǎn)，延長，交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接，四邊形是正方形，，點(diǎn)、、在上，，從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，則點(diǎn)從運(yùn)動到，即點(diǎn)的運(yùn)動路徑為，四邊形是正方形，，，的長為，圓內(nèi)最長的弦為直徑，由圖可知最大值為，為的直徑，即，最大值為4．故答案為：①；②4．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的運(yùn)動，圓周角，弧長公式等知識，正確作出輔助線，找出點(diǎn)G的運(yùn)動路徑是解題的關(guān)鍵．34．（2024·浙江·一模）已知四邊形是平行四邊形，，，點(diǎn)E是邊上一個動點(diǎn)，連接，沿將翻折至（如圖1），所在的直線與交于點(diǎn)H．（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時（如圖2），則的長為；（2）當(dāng)取最大值時，的長為．【答案】【分析】（1）如圖2所示，過D作的延長線于，設(shè)，則，由折疊、平行四邊形可得，則，，可得，，，由勾股定理得，，即，計(jì)算求解即可；（2）由折疊、平行四邊形可得，則，由，可知當(dāng)最短時，最大，如圖所示，當(dāng)時，有最大值，由（1）可得之間的距離為，則，設(shè)，則，由折疊可得，由勾股定理得，，即，計(jì)算求解滿足要求的解即可．【詳解】（1）解：如圖2所示，過D作的延長線于，設(shè)，則，由折疊可得，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴，由勾股定理得，，即，解得，故答案為：．（2）解：由折疊可得，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)最短時，最大，如圖所示，當(dāng)時，有最大值，由（1）可得之間的距離為，∴當(dāng)時，，設(shè)，則，由折疊可得，由勾股定理得，，即，解得，或（舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形，勾股定理等知識．熟練掌握折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形，勾股定理是解題的關(guān)鍵．35．（2022·浙江臺州·一模）如圖，是的弦，，點(diǎn)P是優(yōu)弧上的動點(diǎn)，，連接、，是的中線，（1）若，則；（2）的最大值＝．【答案】【分析】（1）如圖，延長交于點(diǎn)D，連接，根據(jù)，由圓周角定理得到，再根據(jù)已知，可得到，所以是的直徑，再根據(jù)是的中線，由垂徑定理的推論得到，最后利用勾股定理可求解；（2）如圖，連接、，由圓周角定理得到，然后利用勾股求出圓的半徑，再根據(jù)點(diǎn)P是優(yōu)弧上的動點(diǎn)，是的中線，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系定理可得到，，當(dāng)為的直徑時最大，這時可求得的最大值．【詳解】解：（1）如圖，延長交于點(diǎn)D，連接，∵，∴，又∵，∴，∴，∴是的直徑，∵是的中線，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，解得．故答案為：（2）如圖，連接、，∴，∵，∴，∵，∴，解得：，∵點(diǎn)P是優(yōu)弧上的動點(diǎn)，是的中線，∴，，即，當(dāng)為的直徑時最大，此時，即∴的最大值為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是圓與三角形的綜合問題—動點(diǎn)問題，主要考查了圓周角定理、垂徑定理的推論、勾股定理、三角形的三邊關(guān)系定理等知識．發(fā)現(xiàn)當(dāng)為的直徑時可使取得最大值是解決問題的關(guān)鍵．類型六求最小值36．（2023·浙江嘉興·一模）平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在線段上，設(shè)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，將點(diǎn)P沿方向平移2個單位，得到點(diǎn)，再將點(diǎn)作關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)Q，連接，當(dāng)點(diǎn)M在上運(yùn)動時，長度的最大值與最小值的差為．（用含t的式子表示）

【答案】/【分析】根據(jù)題意作出點(diǎn)和點(diǎn)，連接,，并延長至點(diǎn)B，使得,連接并延長交的延長線于點(diǎn)C，證明四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，求出和的長度，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可判斷．【詳解】

解：根據(jù)題意作出點(diǎn)和點(diǎn)，如圖，連接,，并延長至點(diǎn)B，使得,連接并延長交的延長線于點(diǎn)C，將點(diǎn)作關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)Q，，，，且，將點(diǎn)P沿方向平移2個單位，，，四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，將點(diǎn)P沿方向平移2個單位，，，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，由圖得，，

的最大值為，的最小值為，長度的最大值與最小值的差為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問題，主要考查了中位線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，平行四邊形的判定及性質(zhì)，正確畫出圖形并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．37．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）如圖，在中，已知為平面上一點(diǎn)，且為上一點(diǎn)，且，則的最小值為．

【答案】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行線所分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，過作交于N，連接，由，得到再證明由性質(zhì)可得由勾股定理求出再由三邊關(guān)系即可求解，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過作交于N，連接，

∵，∴又∵，∴∵，∴，∴又∵，∴∴，∵∴在中，由勾股定理可得：∵在中，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時，有：此時取得最小值，∴，∴的最小值為，故答案為：．38．（2024·浙江寧波·一模）如圖，、是中的兩條弦，相交于點(diǎn)E，且，，點(diǎn)H為劣弧上一動點(diǎn)，G為中點(diǎn)，若，，連結(jié)，則最小值為．【答案】【分析】連接，，過點(diǎn)O作，，首先根據(jù)垂徑定理得到，然后證明出，得到，證明出四邊形是正方形，得到，然后利用勾股定理求出，，作的中點(diǎn)M，連接，連接，然后得到，判斷出當(dāng)點(diǎn)A，G，M三點(diǎn)共線時，即點(diǎn)G和點(diǎn)重合時，的值最小，然后利用勾股定理求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】如圖所示，連接，，過點(diǎn)O作，，∵，，∴∵∴∴∵，，∴∴∵，，∴∵∴四邊形是正方形∴∴，如圖所示，作的中點(diǎn)M，連接，連接，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，G為中點(diǎn)∴∴點(diǎn)G在以點(diǎn)M為圓心，以為半徑的圓上運(yùn)動連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)M作，∴當(dāng)點(diǎn)A，G，M三點(diǎn)共線時，即點(diǎn)G和點(diǎn)重合時，的值最小∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴∵，∴∴是等腰直角三角形∴∴∴∴．∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了圓綜合題，垂徑定理，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是證明出當(dāng)點(diǎn)A，G，M三點(diǎn)共線時，即點(diǎn)G和點(diǎn)重合時，的值最?。?9．（23-24九年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，弧所對圓心角，半徑為8，點(diǎn)C是中點(diǎn)，點(diǎn)D弧上一點(diǎn)，繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則的最小值是．

【答案】【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，連接，以為邊向下作正方形，連接，勾股定理求出的長，證明，得到，根據(jù)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，連接，以為邊向下作正方形，連接．

∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴AE的最小值為．故答案為：．40．（2022·浙江紹興·一模）如圖，在中，，，，為上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），為等邊三角形，過點(diǎn)作的垂線，為垂線上任一點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，則線段長的最小值是．【答案】9【分析】本題考查含角的直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，利用已知得出點(diǎn)的軌跡是解本題的突破口，利用垂線段最短求出的最小值是解本題的關(guān)鍵．首先連接根據(jù)線段中垂線性質(zhì)定理逆定理得出為線段的中垂線，然后得出，而后證明即為定值，得出G的運(yùn)動軌跡，再根據(jù)垂線段最短即可得出的最小值．【詳解】解：連接交于，如圖：為中點(diǎn)，為等邊三角形，是的中垂線，，點(diǎn)在過點(diǎn)，與所交角的直線動，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則為所求∴，，故答案為：9．41．（2023·浙江紹興·三模）如圖，矩形中，，．動點(diǎn)E在邊上，以點(diǎn)E為圓心，以為半徑作弧，點(diǎn)G是弧上一動點(diǎn)．（1）如圖①，若點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，且點(diǎn)F在上，當(dāng)與弧相切于點(diǎn)G時，則的值是；（2）如圖②，若連結(jié)，，分別取、的中點(diǎn)P、Q，連接，M為的中點(diǎn)，則CM的最小值為．

【答案】【分析】（1）如圖，連接,則,，勾股定理得，由切線長定理得，設(shè)，由勾股定理得解得，即；（2）如圖，連接、，取的中點(diǎn)H，連接，由中位線性質(zhì)得，，連接，取的中點(diǎn)I，連接，同理，；易證四邊形是平行四邊形，得，由中位線性質(zhì)得，求得；取的中點(diǎn)J，可證四邊形是平行四邊形，得，確定點(diǎn)M在以J為圓心，2.5為半徑的圓弧上，由兩點(diǎn)之間線段最短得，C，M，J三點(diǎn)共線時，最短，即最小值；延長，交于點(diǎn)K，L，求得，由勾股定理得中，，得解最小值．【詳解】（1）如圖，連接,則,，

∴，∵，∴與弧相切于點(diǎn)B，∴，設(shè)，則中，即解得，即，（2）如圖，連接、，取的中點(diǎn)H，連接，則，，連接，取的中點(diǎn)I，連接，同理，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵P、Q是、的中點(diǎn)，∴，∴，

取的中點(diǎn)J，由，∴四邊形是平行四邊形，∴，即點(diǎn)M在以J為圓心，2.5為半徑的圓弧上，∴當(dāng)C，M，J三點(diǎn)共線時，最短，即最小值，延長，交于點(diǎn)K，L，則，∴點(diǎn)K，點(diǎn)L分別是的中點(diǎn)，∴，，，∴，，中，，∴最小值．故答案為：2，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線的性質(zhì)，圓的定義，圓外一點(diǎn)與圓上點(diǎn)距離的最值問題，勾股定理解直角三角形、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等，結(jié)合題設(shè)條件確定動點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．42．（2023·浙江嘉興·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，P是x軸上動點(diǎn)，連結(jié)，將線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)，取中點(diǎn)為M．的度數(shù)為，的最小值為．【答案】/135度【分析】過A作軸，垂足為C，根據(jù)A，B的坐標(biāo)可得，即可求出；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，證明，得到，則有，進(jìn)一步推出，再利用直角三角形斜邊中線得到，，可得，從而得到點(diǎn)M的軌跡，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)M在上時，最小，結(jié)合坐標(biāo)求出最小值即可．【詳解】解：如圖，過A作軸，垂足為C，∵，，∴，∴，∴；∵繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，是中點(diǎn)，∴，，∴，過點(diǎn)Q作，垂足為D，∵，∴，又，∴，在和中，，∴，∴，即點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1，則，∴，∴，則，∴點(diǎn)M在線段的垂直平分線上，∴當(dāng)M在上時，最小，且為，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線定理，勾股定理，最值問題，找到最小時的位置是解題的關(guān)鍵．43．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在邊長為2的菱形中，，M是邊的中點(diǎn)，N是邊上一點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到，連接．當(dāng)N為邊的中點(diǎn)時，的長度為；點(diǎn)N在邊上運(yùn)動的過程中，長度的最小值為．【答案】【分析】①連接、，先證明點(diǎn)三點(diǎn)共線，再說明是等邊三角形，再利用三角函數(shù)即可解答；②先說明長度的最小值時，點(diǎn)應(yīng)在上，過點(diǎn)M作，交延長線于點(diǎn)F，再利用勾股定理即可求出．【詳解】①連接、∵將沿所在直線翻折得到∴∵M(jìn)是邊的中點(diǎn)，N為邊的中點(diǎn)∴是中位線∴∴∴點(diǎn)三點(diǎn)共線∵四邊形為菱形∴∵∴是等邊三角形，∴∴故答案為∵是定值∴長度的最小值時，點(diǎn)應(yīng)在上，過點(diǎn)M作，交延長線于點(diǎn)F．則有，∴，∴∴∴∵∴故答案為；．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握上述知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．44．（2022·浙江嘉興·一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，為軸上的動點(diǎn)，連結(jié)，，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)．連結(jié)并取的中點(diǎn)為，連結(jié)．則的度數(shù)為；線段的最小值為．【答案】【分析】答題空1：過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，在中，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用銳角三角函數(shù)，求出，得到，最后由計(jì)算即可；答題空2：設(shè)，設(shè)直線的解析式為：，設(shè)直線的解析式為：，可得，再根據(jù)，可得到，所以直線的解析式為，可得，再根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)，得到，最后利用勾股定理求得，再利用二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的最小值取可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，設(shè)，∴為直角三角形，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，∴，∴，∴，∴的度數(shù)為．∵點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，設(shè)直線的解析式為：，設(shè)直線的解析式為：，∴，∵，∴，∴直線的解析式為當(dāng)時，，即，∴，又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，即∴∵二次項(xiàng)系數(shù)，當(dāng)時，，∴線段的最小值為．故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何圖形與函數(shù)的綜合題，考查了銳角三角函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理等知識．把幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是解答本題的關(guān)鍵．類型七圓的應(yīng)用問題45．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）某一公路單向隧道由一弧形拱與矩形組成，為了確定大貨車通過公路隧道的最大高度，道路交通學(xué)習(xí)小組展開了以下研究．如圖1，經(jīng)測量得，，為了確定與弧形拱半徑的長度，學(xué)習(xí)小組找到一根長的筆直桿子，將桿子一端置于點(diǎn)C處，另一端置于上點(diǎn)E處，．如圖2，調(diào)整桿子位置，直至一端在上的點(diǎn)G處，另一端在圓弧上點(diǎn)F處，，如圖3，某一集裝箱大貨車寬為，則該大貨車的最大高度（包括貨物）．【答案】【分析】如圖1所示，過點(diǎn)E作于T，則四邊形是矩形，可得，利用勾股定理可得，則；如圖2所示，設(shè)所在圓的圓心為O，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)O作于K，則四邊形是矩形，四邊形是矩形，可得，，則，設(shè)，則，，由勾股定理可得方程，解得，則，進(jìn)而可得；如圖3所示，構(gòu)造，且，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于E，延長交于L，連接，由垂徑定理得到，則，由圖2可知，，證明四邊形是矩形，得到，，則大貨車的最大高度（包括貨物）為．【詳解】解：如圖1所示，過點(diǎn)E作于T，則四邊形是矩形，∴，∴，∴；如圖2所示，設(shè)所在圓的圓心為O，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)O作于K，則四邊形是矩形，四邊形是矩形，∴，，∴，設(shè)，則，，∵，，∴，解得，∴，∴；如圖3所示，

構(gòu)造，且，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于E，延長交于L，連接，∴，∴，由圖2可知，，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴大貨車的最大高度（包括貨物）為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形和矩形，從而求出所在圓的半徑以及線段的長是解題的關(guān)鍵．46．（2023·浙江溫州·一模）如圖，某公園有一月牙形水池，水池邊緣有A，B，C，D，E五盞裝飾燈．為了估測該水池的大小，觀測員在A，D兩點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A，E，C和D，E，B均在同一直線上，沿方向走到F點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)．測得米，米，米，則所在圓的半徑為米，所在圓的半徑為米．【答案】5【分析】如圖，連接，過點(diǎn)作于，交于，設(shè)所在圓的圓心為，連接，設(shè)圓的半徑為米，根據(jù)勾股定理和垂徑定理列方程可得的值；設(shè)所在圓的圓心為，則在上，連接，，則，設(shè)米，再根據(jù)勾股定理可得的長．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)作于，交于，設(shè)所在圓的圓心為，連接，，，米，點(diǎn)在上，設(shè)圓的半徑為米，中，米，米，米，米，在中，由勾股定理得：，，，所在圓的半徑為5米；，，，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，即，即，米，（米，設(shè)所在圓的圓心為，則在上，連接，，則，設(shè)米，由勾股定理得：，，（米，即所在圓的半徑為米．故答案為：5，．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，矩形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．47．（2023·浙江溫州·三模）圖1是由兩個正六邊形組成的壁掛置物架，軸對稱仙人堂盆栽放置在木板上，圖2是其示意圖．兩個正六邊形的邊與，與均在同一直線上．木板（木板厚度忽略不計(jì)），，則的長為．盆栽由矩形和圓弧組成，且，，恰好在同一直線上，已知，圓弧最高點(diǎn)到的距離與線段的長度之比為，則圓弧的半徑為．【答案】20【分析】設(shè)的圓心是，作于，連接，由正六邊形的性質(zhì)求出，的長，由直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)求出的長，得到的長，由勾股定理列出關(guān)于半徑的方程，即可解決問題；【詳解】解：設(shè)的圓心是，作于，連接，∵是圓弧最高點(diǎn)，∴在上，∵兩個多邊形是正六邊形，∴，∴，∴是等邊三角形，三點(diǎn)共線，∵四邊形是矩形，∴∵圓弧最高點(diǎn)到的距離與線段的長度之比為，∴到的距離是，設(shè)的半徑是，∴的半徑是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由以上知識點(diǎn)求出正六邊形的邊長，的長，的長得到的長，由勾股定理列出關(guān)于半徑的方程48．（2021·浙江溫州·一模）如圖，是某隧道的入口，它的截面如圖所示，是由和直角圍成，且點(diǎn)也在所在的圓上，已知，隧道的最高點(diǎn)離路面的距離，則該道路的路面寬m；在上，離地面相同高度的兩點(diǎn)，裝有兩排照明燈，若是的中點(diǎn)，則這兩排照明燈離地面的高度是m．【答案】【分析】先求得圓心的位置，根據(jù)垂徑定理得到，即可求得半徑為5，根據(jù)勾股定理即可求得，進(jìn)而求得，根據(jù)勾股定理求得，從而以及垂徑定理求得，利用勾股定理求得，通過證得求得，進(jìn)一步即可求得．【詳解】作的垂直平分線，交于，交于，則是圓心，連接，，，圓的半徑為，，，連接、交于，作于，于，，，，，，是的中點(diǎn)，垂直平分，，，，，在和中，，，，，故答案為，．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．49．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，是一個“摩天輪”蛋糕架，圓周上均勻分布了8個蛋糕籃懸掛點(diǎn)，圓O半徑為20cm，O到MN的距離為32cm，A，B兩個懸掛點(diǎn)之間間隔了一個懸掛點(diǎn)．（1）A、B兩個懸掛點(diǎn)之間的高度差最大可達(dá)到cm．（2）當(dāng)A在B的上方且兩個懸掛點(diǎn)的高度差為4cm時，A到MN的距離為cm．【答案】44或48或20或16【分析】（1），勾股定理求得，則當(dāng)A、B兩點(diǎn)在同一豎直線上時，A、B之間高度差達(dá)到最大值（2）A、B兩個懸掛點(diǎn)的高度差為4cm，需分為兩類情況：A比B高4cm（情形②、③）B比A高4cm（情形①、④），如圖，過點(diǎn)O作MN的平行線，過A、B分別向該平行線作垂線，垂足記為F、E，證明≌．設(shè)較短直角邊為x（cm），則較長直角邊為（x+4）cm，勾股定理建立方程，解方程求解，根據(jù)O到MN的距離為32cm，結(jié)合圖形分情況即可求解．【詳解】（1）圓周上均勻分布了8個蛋糕籃懸掛點(diǎn)，A，B兩個懸掛點(diǎn)之間間隔了一個懸掛點(diǎn)．，如圖，連接，圓O半徑為20cm，，當(dāng)A、B兩點(diǎn)在同一豎直線上時，A、B之間高度差達(dá)到最大值故答案為：（2）A、B兩個懸掛點(diǎn)的高度差為4cm，需分為兩類情況：A比B高4cm（情形②、③）B比A高4cm（情形①、④）．如圖，過點(diǎn)O作MN的平行線，過A、B分別向該平行線作垂線，垂足記為F、E，則，在與中，≌．設(shè)較短直角邊為x（cm），則較長直角邊為（x+4）cm，在中，由勾股定理可得：，解得．情形①、③中，AF=12cm，情形②、④中，AF=16cm．O到MN的距離為32cm，四個情形中，A到MN的距離分別為32+12=44，32+16=48，32-12=20，32-16=16．故答案為：44或48或20或16

①

②④【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．50．（2022·浙江金華·一模）太極推盤是一種常見的健身器材（如圖1），轉(zhuǎn)動兩個圓盤便能鍛煉身體．取推盤上半徑均為0.4米的圓A與圓B（如圖2）且米，圓A繞圓心A以2°每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，圓繞圓心以2°每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)．開始轉(zhuǎn)動時圓A上的點(diǎn)恰好落在線段上，圓上的點(diǎn)在下方且滿足，則在兩圓同時開始轉(zhuǎn)動的30秒時，的長是米．在兩圓同時轉(zhuǎn)動的前30秒以內(nèi)，的最小值是米．【答案】/0.5/【分析】根據(jù)題意作出圖形，再過點(diǎn)C作于點(diǎn)E．即可根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出CD的長；以AC、CD為鄰邊作平行四邊形ACDF，過點(diǎn)D作AB的平行線MN．設(shè)，則．根據(jù)四邊形ACDF為平行四邊形，則可求出，，從而可求出，進(jìn)而結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可求出，最后可求出，即說明當(dāng)時，AF的長最小，即CD的長最?。纱思纯汕蠼猓驹斀狻扛鶕?jù)題意可知兩圓同時開始轉(zhuǎn)動的30秒后，，D點(diǎn)在AB上，如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E．∵在中，，米，∴米，米．∵米，∴米，∴在中，米；如圖，以AC、CD為鄰邊作平行四邊形ACDF，過點(diǎn)D作AB的平行線MN．設(shè)，則．∵四邊形ACDF為平行四邊形，∴，，∴．∵，∴四邊形AMDO為平行四邊形，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴當(dāng)時，AF的長最小，即CD的長最?。撸嗝?，即CD的長最小值為0.5米．【點(diǎn)睛】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．類型八解直角三角形的應(yīng)用問題51．（21-22九年級上·浙江溫州·期末）如圖1是一款重型訂書機(jī)，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示．其主體部分為矩形，由支撐桿垂直固定于底座上，且可以繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．壓桿與伸縮片連接，點(diǎn)在上，可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，，，不使用時，，是中點(diǎn)，且點(diǎn)在的延長線上，則cm，使用時如圖3，按壓使得，此時點(diǎn)落在上，若，則壓桿到底座的距離為cm．【答案】4【分析】如圖2，延長，則過點(diǎn)，由三角形中位線定理可得的長度，如圖3，過點(diǎn)作于，可得，在中，，知，故，可得，，由，得，即可得壓桿到底座的距離為．【詳解】解：如圖2，延長，則過點(diǎn)，四邊形是矩形，，即，是中點(diǎn)，是的中位線，，如圖3，過點(diǎn)作于，，，，，，，在中，，，，即，，解得，，，，，，即，解得，壓桿到底座的距離為，故答案為：4，．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．52．（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測）圖1是一個旋轉(zhuǎn)式水龍頭延伸器，圖2是其橫截面示意圖，可繞接口轉(zhuǎn)動．四邊形是矩形，，，接口，出水口分別是，的中點(diǎn)．點(diǎn)與盥洗臺面的距離為，，，．若將該延伸器調(diào)整至使，則點(diǎn)距離的高度為．從點(diǎn)射出的水流與垂直，落水點(diǎn)為．旋轉(zhuǎn)接口，使得新位置與原位置的橫截面成軸對稱且出水口高度相同（圖3），則從出水口射出的水流落水點(diǎn)，間的距離為．【答案】【分析】過點(diǎn)B，H作的垂線，垂足分別為L，K，過點(diǎn)B作的垂線交延長線于點(diǎn)O，連接，過點(diǎn)H作，垂足為R，解直角三角形求出，即可求出，進(jìn)而求出，證明四邊形是矩形，即可得出點(diǎn)距離的高度；過點(diǎn)作，垂足為T，根據(jù)對稱的性質(zhì)得到，解直角三角形求出，即可求解．【詳解】解：如圖2，過點(diǎn)B，H作的垂線，垂足分別為L，K，過點(diǎn)B作的垂線交延長線于點(diǎn)O，連接，過點(diǎn)H作，垂足為R，，四邊形是矩形，接口，出水口分別是，的中點(diǎn)，，，，共線，，，，，，，，，，，點(diǎn)與盥洗臺面的距離為，即，，，四邊形是矩形，；如圖3，過點(diǎn)作，垂足為T，由題意得：點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，，，，，，，，，點(diǎn)，間的距離為，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，對稱的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，直角三角形的特征，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．53．（2023·浙江金華·三模）如圖是某品牌電腦支架，整體支架由組支撐條和組活動條組成，支撐條，，相連兩根支撐條可繞交點(diǎn)轉(zhuǎn)動，活動條，一端分別與支撐條，中點(diǎn)連接，并且可繞固定支點(diǎn)與支點(diǎn)轉(zhuǎn)動，通過轉(zhuǎn)動活動條，將末端點(diǎn)與點(diǎn)分別卡入支撐條及上的孔洞中，以此來完成支架調(diào)節(jié)，其中活動條．將電腦支架調(diào)節(jié)到如圖所示，底部一組支撐條貼合水平桌面，調(diào)節(jié)活動條，使得，調(diào)節(jié)活動條使得，此時活動條末端點(diǎn)到桌面的距離為，如圖某電腦鍵盤面與顯示屏面長度相等，即，將其放置到上述狀態(tài)電腦支架上，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，開合電腦顯示屏，點(diǎn)到桌面的最大高度是．

【答案】【分析】先由勾股定理求出的長，再算出，利用，即可得出活動條末端點(diǎn)到桌面的距離；②當(dāng)時，點(diǎn)到桌面的高度最大，作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，先求出，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，由三角形面積得出，由勾股定理得出，解直角三角形求出、，進(jìn)而得出、，再由直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出、，再根據(jù)三角形中位線定理得出，即可得出的值．【詳解】解：①，，，，，又，活動條末端點(diǎn)到桌面的距離；②如圖，當(dāng)時，點(diǎn)到桌面的高度最大，

，作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，在中，，，，，，，，四邊形為矩形，四邊形為矩形，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，即點(diǎn)到桌面的最大高度是．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、平行線分線段成比例定理、直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．54．（2023·浙江金華·一模）如圖1是小鳥牙簽盒實(shí)物圖，圖2是牙簽盒在取牙簽過程中一個狀態(tài)的部分側(cè)面示意圖，、為連接桿上兩個定點(diǎn)，通過按壓點(diǎn)B，連接桿繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，從而帶動連接桿上升，帶動連接桿與繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，致使牙簽托盤向外推出．在取牙簽過程中固定桿位置不變且與始終平行，牙簽托盤始終保持水平，現(xiàn)測得，，，與，桿長與桿長之間角度大小不變．已知，牙簽盒在初始狀態(tài)，D、H、F三點(diǎn)共線，在剛好取到牙簽時，E、H、G三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C落在線段上．（參考數(shù)據(jù)：）（1）從初始狀態(tài)到剛好取到牙簽時，牙簽托盤在水平方向被向外推出；（2）鳥嘴的長為．

【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）利用三角函數(shù)求得邊長，再利用三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再利用三角函數(shù)建立方程求得即可．【詳解】解：（1）如圖2，牙簽盒在初始狀態(tài)，，，三點(diǎn)共線，，桿長與桿長之間角度大小不變，，連接，過作于，，，，設(shè)，則，，，，，，，故答案為：；（2）如圖3，延長交于，，，四邊形是平行四邊形，，，桿長與桿長之間角度大小不變，，，過作于，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，．故答案為：．55．（2023·浙江溫州·二模）長嘴壺茶藝表演是一項(xiàng)深受群眾喜愛的民俗文化，所用到的長嘴壺更是歷史悠久．圖1是某款長嘴壺模型放置在水平桌面l上的抽象示意圖，已知壺身，，壺嘴，且，，，則，如圖2，若長嘴壺中裝有若干茶水，繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動壺身，當(dāng)恰好倒出茶水時，，則此時出水口F到桌面的距離為cm．

【答案】【分析】過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作，利用勾股定理求出即可得出，再由當(dāng)，過D點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，構(gòu)造，，解三角形即可。【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作，

∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴∴，∴，解得：（負(fù)值已舍去）∴，，∴，∵，，∴，∴∴，當(dāng)，過D點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，

∴，，∵，，∴，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即則此時出水口F到桌面的距離為．故答案為①，②．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．56．（2023·浙江溫州·二模）如圖1是一款便攜式拉桿車，其側(cè)面示意圖如圖2所示，前輪的直徑為，拖盤與后輪相切于點(diǎn)N，手柄．側(cè)面為矩形ABCD的貨物置于拖盤上，，．如圖3所示，傾斜一定角度拉車時，貨物繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C落在上，若，則的長為，同一時刻，點(diǎn)C離地面高度，則點(diǎn)A離地面高度為．

【答案】【分析】先證明得到，解得到，設(shè)，則，由勾股定理得，解得，則；如圖所示，過點(diǎn)O作于G，過點(diǎn)A作于H，過點(diǎn)A作垂直于水平面于P，在

上取一點(diǎn)T，使得，連接，設(shè)交于S，則四邊形是矩形，則，求出，則，利用勾股定理求出；則，即可證明，即，設(shè)，則，由勾股定理得，解得，則，即可得到，，咱們，得到，解，求出，則，再求出，即可得到．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，在中，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴；如圖所示，過點(diǎn)O作于G，過點(diǎn)A作于H，過點(diǎn)A作垂直于水平面于P，在

上取一點(diǎn)T，使得，連接，設(shè)交于S，則四邊形是矩形，∴，∵前輪的直徑為，∴，∴，∴；∴，∴，即，∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案為：，．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．題型04?？紙D形變換問題類型九折疊的應(yīng)用57．（2023·浙江寧波·一模）如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，若，，將沿翻折得，連結(jié)，點(diǎn)在的延長線上，恰好平分，則的長為，的值為．【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，延長交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，根據(jù)，證明，求得，進(jìn)而勾股定理求得，，根據(jù)得出，進(jìn)而勾股定理求得，根據(jù)余弦的定義，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴∵將沿翻折得，∴，,，設(shè)∵恰好平分，∴∴，∵∴∴∴，又∵∴；如圖所示，延長交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，則，在中，∴解得：則，在中，∵∴∴∴在中，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，求余弦，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．58．（2023·浙江舟山·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，分別為線段上一點(diǎn)，將菱形沿著翻折，翻折后的對應(yīng)點(diǎn)分別為與交于點(diǎn)．已知，，．若，；若，．

【答案】【分析】若，如圖所示，過點(diǎn)作垂直與延長于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，根據(jù)折疊，菱形，平行四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算即可求解；若，如圖所示，過點(diǎn)作的高，交于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，連接，可得點(diǎn)為的中點(diǎn)，由此即可求解．【詳解】解：若，如圖所示，過點(diǎn)作垂直與延長于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，

已知，，，∵菱形沿著翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為，∴，根據(jù)作圖可知是菱形中邊上的高，∵，∴，∵，且，∴四邊形是平行四邊形你，∴，且，∴在中，，則，同理，根據(jù)折疊，可知，且，∵，∴，∴，

∴是等腰三角形，則，∵，，∴，∴，∵，，∴，故答案為：；若，如圖所示，過點(diǎn)作的高，交于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，連接，

∵根據(jù)折疊的性質(zhì)，，∴，∴，∴，則，根據(jù)題意可知，是菱形中邊上的高，則，設(shè)，在，，∵，，∴在中，，則，∴，設(shè)，在中，，則，且，∴，即，∴，則，∴，∵，，

∴，連接，∵C到的距離，此時點(diǎn)C到的垂線段的垂足與點(diǎn)E重合，∴，且點(diǎn)三點(diǎn)共線，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得，或（不符合題意，舍去），∴，即，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算方法，三角形相似的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握以上知識的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．59．（2023·浙江杭州·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)分別在邊，上，連接，已知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱．設(shè)，若，則（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．

【答案】【分析】先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和已知條件證明，再證，推出，通過證明，推出，即可求出的值．【詳解】解：點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，，，．，，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，，又，，，，，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，，，，，在和中，，．在中，，，，，，，，，，．，，解得，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是證明．60．（2023·浙江·二模）在一次數(shù)學(xué)折紙實(shí)踐活動中，某興趣小組對一張如圖1所示的三角形紙片進(jìn)行折紙研究，中，，把對折使點(diǎn)落在的處，折痕為，點(diǎn)在上．鋪平后如圖所示，在，上分別取，兩點(diǎn)，先將沿著翻折得到，再將沿著翻折得到，然后把兩次翻折后的紙片壓平如圖3，恰有．興趣小組發(fā)現(xiàn)：把圖3所折的紙片全部鋪平如圖4所示，可知°；若，，則兩塊陰影部分的面積和為．

【答案】【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，設(shè)，則，根據(jù)已知可得，進(jìn)而即可求解；（2）在上截取，連接，過點(diǎn)于點(diǎn)，證明四點(diǎn)共圓，證明，進(jìn)而根據(jù)兩塊陰影部分的面積和為即可求解．【詳解】解：由圖3與圖4可知，，設(shè)，則，在圖3中，，∴，∴，∴，故答案為：．（2）如圖所示，在上截取，連接，過點(diǎn)于點(diǎn)，

∵∴∴四點(diǎn)共圓，∵由圖1可知，平分∴，∴，∴∵，∴，∴在中，∴，∴，∴，在中，，則，∴兩塊陰影部分的面積和為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，圓周角與弦的關(guān)系，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．61．（2023·浙江溫州·二模）小周同學(xué)在學(xué)習(xí)了折疊專題后，決定對扇形的折疊進(jìn)行研究，首先他剪出一張扇形紙片，按如圖1所示方法進(jìn)行折疊，，為扇形半徑，，為折痕，則；然后小周又剪出了一個扇形進(jìn)行不同的嘗試，按如