適用于新高考新教材廣西專版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第三章函數(shù)與基本初等函數(shù)第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值課件

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值第三章內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)增分策略增素能精準突破課標解讀1.理解增函數(shù)和減函數(shù)的定義,會判斷和證明函數(shù)的單調(diào)性.2.掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法.3.理解函數(shù)最值的概念,會求簡單函數(shù)的最值.4.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問題.強基礎(chǔ)增分策略知識梳理1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)定義當x1<x2時,都有

,那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增.特別地,當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時,我們就稱它是增函數(shù)

當x1<x2時,都有

,那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.特別地,當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時,我們就稱它是減函數(shù)

f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,區(qū)間I?D,如果?x1,x2∈I單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的微點撥函數(shù)單調(diào)性定義的等價形式

(2)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上

或

,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫做y=f(x)的

.

單調(diào)遞增

單調(diào)遞減

單調(diào)區(qū)間

微思考如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性?提示

若構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同,則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù),否則為減函數(shù),簡稱“同增異減”.2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈D,都有

;

(2)?x0∈D,使得

(3)?x∈D,都有

;

(4)?x0∈D,使得

結(jié)論M是函數(shù)y=f(x)的最大值

最大值是所有函數(shù)值中最大的一個M是函數(shù)y=f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)=M

f(x)≥Mf(x0)=M常用結(jié)論1.若f(x),g(x)均是區(qū)間A上的增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù);若f(x),g(x)分別是區(qū)間A上的增函數(shù)和減函數(shù),則f(x)-g(x)是區(qū)間A上的增函數(shù).2.若k>0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反.3.閉區(qū)間上的圖象連續(xù)的函數(shù)一定存在最大值和最小值,當函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時,最值一定在端點處取到.對點演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)如果f(-1)<f(2),那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增.(

)(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)內(nèi)均單調(diào)遞增,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)內(nèi)單調(diào)遞增.(

)(3)函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞).(

)(4)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞減,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2,+∞).(

)××××2.下列函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.y=-2x B.y=(x-1)2C.y=

D.y=|x+2|答案D

解析

y=-2x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故A錯誤;y=(x-1)2在(0,+∞)上先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增,故B錯誤;y=在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故C錯誤;y=|x+2|在(0,+∞)上單調(diào)遞增,符合題意.答案

3

解析

由單調(diào)性的定義可知函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,因此f(x)在區(qū)間[2,b]上的最大值與最小值分別為f(b),f(2),所以有

,解得b=3.增素能精準突破考點一函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間(多考向探究)考向1.證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性典例突破例1.(1)下列函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是(

)A.f(x)=lnx

B.f(x)=e-x(2)判斷并證明函數(shù)f(x)=在區(qū)間(-1,+∞)上的單調(diào)性.答案(1)B

(2)

解

函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增.方法總結(jié)利用定義法證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟

答案

C

對點訓(xùn)練1(2023山東濰坊二模)已知函數(shù)f(x)=()x-3x,則f(x)(

)A.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)B.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù)D.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)考向2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典例突破例2.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)f(x)=x2+4x-1;(2)f(x)=|x+1|+|x-2|;(3)f(x)=log3(4x-x2).解

(1)函數(shù)f(x)的定義域為R,其圖象是開口向上的拋物線,拋物線的對稱軸是直線x=-2,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-2].(2)函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x)=|x+1|+|x-2|=該函數(shù)的大致圖象如圖所示:由圖象可知,該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1].(3)由4x-x2>0,解得0<x<4,所以函數(shù)f(x)的定義域為(0,4).令t=4x-x2,則y=log3t,由于y=log3t是定義域(0,+∞)上的增函數(shù),t=4x-x2在(-∞,2]上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2],單調(diào)遞減區(qū)間是(2,4).方法總結(jié)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法及注意點(1)求單調(diào)區(qū)間的常用方法:①定義法;②圖象法;③導(dǎo)數(shù)法.(2)求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟:①確定函數(shù)的定義域;②求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;③依據(jù)“同增異減”確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(3)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用不等式或集合表示,當函數(shù)有多個單調(diào)區(qū)間時,不能用并集符號“∪”表示.對點訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A.(-∞,-3],[0,3] B.[-3,0],[3,+∞)C.(-∞,-5),[0,1) D.(-1,0],(5,+∞)(2)(2023海南?？谀M)函數(shù)f(x)=x2-4|x|+3的單調(diào)遞減區(qū)間是(

)A.(-∞,-2)B.(-∞,-2)和(0,2)C.(-2,2)D.(-2,0)和(2,+∞)答案(1)C

(2)B

解析(2)f(x)=x2-4|x|+3=當x≥0時,y=x2-4x+3=(x-2)2-1的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2);當x<0時,y=x2+4x+3=(x+2)2-1的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-2),故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-2)和(0,2).故選B.考點二函數(shù)的最值典例突破例3.求下列函數(shù)的最值:方法總結(jié)求函數(shù)最值的常見方法(1)單調(diào)性法:若f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減),則f(a),f(b)分別是f(x)在區(qū)間[a,b]上取得的最小(大)值、最大(小)值.(2)圖象法:對于由基本初等函數(shù)變化而來的函數(shù),通過觀察函數(shù)圖象的最高點或最低點確定函數(shù)的最值.(3)換元法:形如y=ax+b±型的函數(shù),可用此法求其最值.(4)基本不等式法:注意應(yīng)用基本不等式的條件“一正、二定、三相等”.(5)導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)研究復(fù)雜函數(shù)的極值和最值,然后求出值域.對點訓(xùn)練3(1)函數(shù)y=,x∈(m,n]的最小值為0,則m的取值范圍是(

)A.(1,2) B.(-1,2)C.[1,2) D.[-1,2)答案

(1)D

(2)(-∞,2]f(x)min=f(1)=5.因為函數(shù)g(x)=2x+a-1在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(2)=3+a.由5≥3+a,得a≤2.故實數(shù)a的取值范圍是(-∞,2].考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(多考向探究)考向1.利用單調(diào)性比較大小典例突破A.b>c>a B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b答案

A

技巧點撥利用單調(diào)性比較大小的方法步驟(1)確定函數(shù)的單調(diào)性;(2)比較自變量的大小,若自變量不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),要利用函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、對稱性、周期性)轉(zhuǎn)換為同一個單調(diào)區(qū)間;(3)由單調(diào)性得到函數(shù)值的大小關(guān)系.對點訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)=2-x-4x,若a=0.3-0.25,b=log0.250.3,c=log0.32.5,則(

)A.f(b)<f(a)<f(c) B.f(c)<f(b)<f(a)C.f(c)<f(a)<f(b) D.f(a)<f(b)<f(c)答案

D

考向2.利用單調(diào)性解不等式典例突破例5.(2023安徽黃山二模)已知函數(shù)f(x)=lg(|x|-1)+2023x+2023-x,則使不等式f(3x)<f(x+1)成立的x的取值范圍是(

)A.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案

C解析f(x)的定義域為{x|x<-1或x>1}.∵f(-x)=lg(|-x|-1)+2

023-x+2

023x=f(x),∴f(x)為偶函數(shù),當x>1時,f(x)=lg(x-1)+2

023x+2

023-x.令t=2

023x,名師點析

答案

B

對點訓(xùn)練5(2023廣西北海一模)已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.若f(2)=0,則f(x)≥0的解集為(

)A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[0,2]C.[-2,0]∪[2,+∞) D.(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)解析奇函數(shù)f(x)的定義域為R,由f(0)=0,f(2)=0且f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,可作出f(x)的大致圖象如圖所示.由圖象可知f(x)≥0的解集為(-∞,-2]∪[0,2].故選B.考向3.根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)值(或取值范圍)典例突破例6.(1)(2023新高考Ⅰ,4)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是(

)A.(-∞