適用于新高考新教材廣西專版2025屆高考數(shù)學一輪總復習第七章平面向量復數(shù)第一節(jié)平面向量的概念及線性運算課件

第一節(jié)平面向量的概念及線性運算第七章課標解讀1.通過力和力的分析等實例,了解向量的實際背景,理解平面向量和相等向量的含義,理解向量的幾何表示.2.通過實例,掌握向量的加、減運算,并理解其幾何意義.3.通過實例,掌握向量的數(shù)乘運算,并理解其幾何意義,以及兩個向量共線的含義.4.了解向量的線性運算性質及其幾何意義.強基礎增分策略知識梳理1.向量的有關概念及表示名稱定義備注向量既有

又有

的量叫做向量;向量

的大小稱為向量

的

(或稱

)

記作零向量長度為

的向量叫做零向量

記作0大小

方向

長度

模

0名稱定義備注單位向量長度等于

的向量,叫做單位向量

與非零向量a共線的單位向量為±

平行向量(共線向量)方向

或

的非零向量叫做平行向量(共線向量)

零向量與任意向量平行相等向量長度

且方向

的向量叫做相等向量

兩向量只有相等或不相等,不能比較大小相反向量長度

且方向

的向量叫做相反向量

零向量的相反向量仍是零向量1個單位長度

相同

相反

相等

相同

相等

相反

微點撥1.注意0與0的區(qū)別,0是一個實數(shù),0是一個向量,且|0|=0.2.單位向量有無數(shù)個,它們的模相等,但方向不一定相等.3.任意一組平行向量都可以平移到同一直線上.微思考平行向量與平行直線有什么關系?提示

平行向量和平行直線是有區(qū)別的,平行直線不包括重合的情況,而平行向量所在直線是可以重合的.換句話說,向量平行,向量所在直線不一定平行,還有可能是同一條直線.2.向量的線性運算

向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算,叫做向量的加法三角形法則平行四邊形法則(1)交換律:a+b=

(2)結合律:(a+b)+c=

b+aa+(b+c)向量運算定義法則(或幾何意義)運算律減法向量a加上b的相反向量,叫做a與b的差.求兩個向量差的運算叫做向量的減法三角形法則—向量運算定義法則(或幾何意義)運算律數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算叫做向量的數(shù)乘(1)|λa|=

;

(2)當λ>0時,λa的方向與a的方向

;當λ<0時,λa的方向與a的方向

;當λ=0時,λa=0

λ(μa)=

;

(λ+μ)a=

;

λ(a+b)=________(λ,μ為實數(shù))|λ||a|相同

相反

(λμ)aλa+μaλa+λb微點撥兩個法則的使用條件不同:三角形法則適用于任意兩個非零向量求和,平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和.微思考向量加法的三角形法則的推論是什么?3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個實數(shù)λ,使得

.

b=λa微點撥1.在向量共線的充要條件中易忽視“a≠0”.若忽視“a≠0”,則λ可能不存在,也可能有無數(shù)個.2.證明或判斷三點共線的方法(1)一般來說,要判定A,B,C三點共線,只需看是否存在非零實數(shù)λ,使得微思考向量共線定理中為什么規(guī)定a≠0?提示

(1)若將條件a≠0去掉,即當a=0時,顯然a與b共線;(2)當a=0時,若b≠0,則不存在實數(shù)λ,使得b=λa,但此時向量a與b共線;(3)當a=0時,若b=0,則對任意實數(shù)λ,都有b=λa,與有唯一一個實數(shù)λ矛盾.常用結論

3.對于任意兩個向量a,b,都有:(1)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).對點演練1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(2)若兩個向量共線,則其方向必定相同或相反.(

)(4)若a∥b,b∥c,則a∥c.(

)√×××2.(多選)下列關于向量的結論,其中正確的選項為(

)A.若|a|=|b|,則a=b或a=-bB.非零向量a與非零向量b平行,則a與b的方向相同或相反C.起點不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量D.若向量a與b同向,且|a|=|b|,則a>b答案

BC

解析

|a|=|b|,但a,b方向不能確定,故A錯誤;非零向量a與非零向量b平行,則a與b的方向相同或相反,故B正確;根據(jù)相等向量的定義,知C正確;向量不能比較大小,故D錯誤.故選BC.3.設a與b是兩個不共線向量,且向量a+λb與-(b-2a)共線,則λ=

.

增素能精準突破考點一平面向量的有關概念典例突破例1.(多選)給出下列說法,其中不正確的有(

)A.若兩個向量相等,則它們的起點相同,終點相同B.若A,B,C,D是不共線的四點,且,則四邊形ABCD為平行四邊形C.a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥bD.已知λ,μ為實數(shù),若λa=μb,則a與b共線答案

ACD

解析

A錯誤,兩個向量起點相同,終點相同,則兩個向量相等;但兩個向量相等,不一定有相同的起點和終點;C錯誤,當a∥b且方向相反時,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,所以|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要條件,而是必要不充分條件;D錯誤,當λ=μ=0時,a與b可以為任意向量,滿足λa=μb,但a與b不一定共線.故選ACD.名師點析平面向量有關概念的關鍵點(1)平面向量定義的關鍵是方向和大小.(2)相等向量的關鍵是方向相同且長度相等.(3)單位向量的關鍵是長度都是1個單位長度.(4)零向量的關鍵是長度是0,規(guī)定零向量與任意向量共線.C考點二平面向量的線性運算(多考向探究)考向1.平面向量的線性運算典例突破例2.在△ABC中,點D在邊AB上,BD=2DA.記A.3m-2n

B.-2m+3nC.3m+2n

D.2m+3n答案

B

解析

如圖.方法總結平面向量的線性運算的求解策略

答案

B

考向2.向量加、減運算的幾何意義典例突破答案

D

方法總結

答案

A考向3.利用向量的線性運算求參數(shù)典例突破答案

BC

方法總結解決與向量的線性運算有關的參數(shù)問題,一般是構造三角形,利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算,然后通過建立方程組即可求得相關參數(shù)的值.答案A

考點三向量共線定理的應