2024年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-“一線三垂直”模型及其變形的應(yīng)用（知識(shí)解讀）

“一線三垂直”模型及其變形的應(yīng)用（知識(shí)解讀）

【專莖餞明】

一線三垂直問題，通常問題中有一線段繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°,或者問題中有矩形

或正方形的情況下考慮，作輔助線，構(gòu)造全等三角形形或相似三角形，建立數(shù)

量關(guān)系使問題得到解決。

【方注技巧】

模型1“全等型”一線三垂直模型

如圖一，ZD=ZBCA=ZE=90°,BC=AC。結(jié)論：RtABDC^RtACEA

圖1

應(yīng)用：

（1）通過證明全等實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對(duì)應(yīng)的幾何問題；

（2）平面直角坐標(biāo)系中有直角求點(diǎn)的坐標(biāo)，可以考慮作輔助線構(gòu)造“三垂直”

作輔助線的程序：過直角頂點(diǎn)再直角外部作水平線或豎直線，過另外兩個(gè)頂點(diǎn)向上述直線

作垂線段，即可得到“三垂直”模型。如下圖所示

模型2“相似型”一線三垂直模型

如圖2,N6=NC=NADE=A45Z)sA￡)CE(一線三直角)

應(yīng)用：（1）“相似型”三垂直基本應(yīng)用

（2）平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造“相似型”三垂直。作輔助線方法和模型1一樣

（3）平面直角坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)成直角

【典例今新】

【應(yīng)用1“全等型”三垂直基本應(yīng)用】

【典例1】在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MV經(jīng)過點(diǎn)C,且于。,

BELMN于E.

（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，

求證：①AADC咨ACEB；

②DE=AD+BE；

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給

出證明；若不成立，說明理由.

【變式1-1】如圖，AC=CE,ZACE=90°,AB±BD,ED±BD,AB=6cm,DE=2cm,

則BD等于（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.4cm

【變式1-2】在△ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,直線/經(jīng)過點(diǎn)A,過點(diǎn)2、C分別作/

的垂線，垂足分別為點(diǎn)。、E.

(1)特例體驗(yàn)：如圖①，若直線/〃8C,AB=AC=?分別求出線段8。、CE和。E

的長；

(2)規(guī)律探究：

(I)如圖②，若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)a(0<a<45°),請(qǐng)?zhí)骄烤€段80、

CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

(II)如圖③，若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(45°<a<90°),與線

段BC相交于點(diǎn)X,請(qǐng)?jiān)偬骄€段8。、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

(3)嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段2。交線段AC于點(diǎn)R若C￡=3,DE=1,求

BFC.

【應(yīng)用2平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造“全等型"三垂直】

【典例2］已知：在平面直角坐標(biāo)系中，A為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，B為y軸負(fù)半軸上的點(diǎn).

(1)如圖1,以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、42為腰在第三象限作等腰RtaABC,若。4=2,02=4,

求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖2,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,-m),點(diǎn)D的縱坐

標(biāo)為"，以8為頂點(diǎn)，BA為腰作等腰Rt^ABD.當(dāng)B點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)且其他條

件都不變時(shí)，整式4“計(jì)4"-9我的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若發(fā)

生變化，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖3,若。4=。8,于點(diǎn)尸，以。8為邊作等邊△O8M,連接AM交。尸

于點(diǎn)N,若AN=m,ON=n,請(qǐng)直接寫出線段AM的長.

【變式2-1】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰RtZ\ABC的直角頂點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A

在y軸上，若點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,1),則點(diǎn)A坐標(biāo)為()

A.(4,0)B.(5,0)C.(0,4)(0,5)

【變式2-2】如圖，在△PA/N中，PM=PN,PMLPN,P(0,2),N(2,-2),則M的

坐標(biāo)是()

A.(-2歷0)B.(-273-0)C.(-2心0)D.(-4,0)

【應(yīng)用3“相似型”三垂直基本應(yīng)用】

【典例3】已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊

上的尸點(diǎn)處.如圖，己知折痕與邊交于點(diǎn)。，連接AP、OP、OA.

(1)求證：耍=2巳；

PDAP

(2)若。尸與融的比為1：2,求邊4B的長.

【變式3】如圖，在矩形A3C。中，E,F,G分別在AB,BC,C￡＞上，DE±EF,EF1FG,

BE=3,BF=2,FC=6,則DG的長是()

A.4B.HC.HD.5

【應(yīng)用4平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造“相似型”三垂直】

【典例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線>=丘+2與y軸交于點(diǎn)A,

與x軸交于點(diǎn)2，且02=204

(1)如圖1,求直線的解析式；

(2)如圖2,點(diǎn)P在第三象限的直線4B上，點(diǎn)C在點(diǎn)A上方的y軸上，連接PC、BC,

PC交無軸于點(diǎn)M且tan/APC=」，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為f,△ABC的面積為S,求S與

3

f的函數(shù)關(guān)系；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)。在y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)E為A8的中點(diǎn)，連接。E、

【變式4】(2022?禪城區(qū)二模)如圖，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)。，對(duì)稱軸為直線x=2且與x軸交

于點(diǎn)D,直線/：y=-2尤-1與y軸交于點(diǎn)4與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)8,并且點(diǎn)

8在第四象限，直線/與直線x=2交于點(diǎn)C.

(1)連接AD,求證：AD±AC.

(2)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

(3)在直線/上有一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)尸，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)△尸2。是以尸。為斜邊的等腰

直角三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

備用圖

【應(yīng)用5平面直角坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)成直角】

【典例5】如圖，已知拋物線尸-尹+5+2與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C.

(1)則點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)8的坐標(biāo)為,點(diǎn)C的坐標(biāo)為

(2)設(shè)點(diǎn)P(xi,yi),Q(必”)(其中xi>x2)者B在拋物線y=—^>X24^X+：

若Xl+X2=l,請(qǐng)證明：yi>J2；

(3)已知點(diǎn)M是線段8C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段8c上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若/CNM

=90°,且△CMN與△02C相似，試求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).

【變式5】(2022?碑林區(qū)校級(jí)四模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線Q：y=ax1+bx+c

交x軸于點(diǎn)A(-5,0),B(-1,0),交y軸于點(diǎn)C(0,5).

(1)求拋物線Ci的表達(dá)式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

(2)將拋物線Ci關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線記作C2,點(diǎn)E為拋物線C2上一點(diǎn)若是

以。。為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

“一線三垂直”模型及其變形的應(yīng)用(知識(shí)解讀)

一線三垂直問題，通常問題中有一線段繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°,或者問題中有矩形

或正方形的情況下考慮，作輔助線，構(gòu)造全等三角形形或相似三角形，建立數(shù)

量關(guān)系使問題得到解決。

【方法技巧】

模型1“全等型”一線三垂直模型

如圖一，ZD=ZBCA=ZE=90°,BC=AC。結(jié)論：RtABDC^RtACEA

圖1

應(yīng)用：

(1)通過證明全等實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對(duì)應(yīng)的幾何問題；

(2)平面直角坐標(biāo)系中有直角求點(diǎn)的坐標(biāo)，可以考慮作輔助線構(gòu)造“三垂直”

作輔助線的程序：過直角頂點(diǎn)再直角外部作水平線或豎直線，過另外兩個(gè)頂點(diǎn)向上述直線

作垂線段，即可得到“三垂直”模型。如下圖所示

模型2“相似型”一線三垂直模型

如圖2,NB=NC=ZADE=^ABDS^DCE（一線三直角）

應(yīng)用：(1)“相似型”三垂直基本應(yīng)用

(3)平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造“相似型”三垂直。作輔助線方法和模型1一樣

(3)平面直角坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)成直角

【典例合符】

【應(yīng)用1“全等型”三垂直基本應(yīng)用】

【典例1】在△ABC中，ZACB=90°，AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且AD1MN于D,

BELMN于E.

(1)當(dāng)直線MV繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),

求證：①△AOC經(jīng)△CE8；

②DE=AD+BE；

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)、C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給

出證明；若不成立，說明理由.

圖1

【解答】（1）證明：?VZACD+ZBCE=90°ZDAC+ZACD=90°,

Z.ZDAC=ZBCE.

又AC=BC,ZADC=ZBEC=9Q°,

AADC^ACEB.

②：△ADgACEB,

：.CD=BE,AD=CE.

：.DE=CE+CD=AD+BE.

(2)AADC咨ACEB成立,DE=AD+BE.不成立，此時(shí)應(yīng)有-BE.

證明：VZACD+ZBCE=90°ZDAC+ZACD=90°,

：.ZDAC=ZBCE.

又AC=BC,ZADC=ZBEC=90°,

：.AADC沿ACEB.

：.CD=BE,AD=CE.

：.DE=AD-BE.

【變式1-1】如圖，AC=CE,/ACE=90°,ABLBD,ED±BD,AB=6cm,DE=2cm,

則出)等于()

A.6cmB.8cmC.IQcmD.4cm

【答案】B

【解答】解：'：AB±BD,EDLBD,

.?./8=/O=NACE=90°,

：.ZBAC+ZACB=90°,ZACB+ZECD=90°,

：.ZBAC=ZECD,

,：在RtAABC與RtACDE中，

ARtAABC^RtACDE(AAS),

:,BC=DE=2cm,CD=AB=6cm,

BD=BC+CD=2-^6=Scmf

故選：B.

【變式1-2】在△ABC中，NB4c=90°,AB=AC,直線/經(jīng)過點(diǎn)A,過點(diǎn)8、。分別作/

的垂線，垂足分別為點(diǎn)。、E.

(1)特例體驗(yàn)：如圖①，若直線/〃BC,AB=AC=y/2>分別求出線段跳入CE和。E

的長；

(2)規(guī)律探究：

(I)如圖②，若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)a(0<a<45°),請(qǐng)?zhí)骄烤€段B。、

CE和?！甑臄?shù)量關(guān)系并說明理由；

(II)如圖③，若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(45°<a<90°),與線

段BC相交于點(diǎn)H,請(qǐng)?jiān)偬骄€段跳入CE和。E的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

(3)嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段3。交線段AC于點(diǎn)尸，若CE=3,DE=\,求必

BFC?

圖③

：.ZABC=ZACB=45°,

：.ZDAB=ZABC=45°,ZCAE=ZACB=45°,

AZDAB=ZABD=45°,ZEAC=ZACE=45°,

：.AD=BDfAE=CE,

t：AB=AC=y[2^

：.AD^BD=AE=CE=1,

:.DE=Z

(2)(I)DE=BD+CE.理由如下：

在RtZXADB中，ZABD+ZBAD=90°,

VZBAC=90°,

AZBAD+ZCAE=90°,

：.NABD=/CAE,

在△A3。和中，

rZABD=ZCAE

<ZBDA=ZAEC=90°，

AB=AC

AAABD^ACAE(44S)；

J.CE^AD,BD=AE,

：.DE=AE+AD=BD+CE.

(II)DE=BD-CE.理由如下：

在RtZkAQB中，ZABD+ZBAD=9Q°,

VZBAC=90°,

：.ZBAD+ZCAE=90°,

：.NABD=/CAE,

在△A3。和△◎￡■中，

，ZABD=ZCAE

<ZBDA=ZAEC=90°，

AB=AC

.?.△ABD絲ACAECAAS)；

J.CE^AD,BD=AE,

C.DE^AE-AD=BD-CE.

(3)由(2)可知，ZABD=ZCAE,DE=AE-AD=BD-CE

,：ZBAC=ZADB=9Q°,

△ABDsdFBA,

：.AB：FB=BD：AB,

,:CE=3,DE=l,

：.AE=BD=4,

；.AB=5.

m空.

4

:&BFC=SAABC-5AABF=AX52-』X3X二=互.

2248

【應(yīng)用2平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造“全等型"三垂直】

【典例2］已知：在平面直角坐標(biāo)系中，A為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，B為y軸負(fù)半軸上的點(diǎn).

(1)如圖1,以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、為腰在第三象限作等腰Rt^ABC,若。4=2,08=4,

求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖2,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2愿，0),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(0,-機(jī))，點(diǎn)。的縱坐

標(biāo)為"，以B為頂點(diǎn)，BA為腰作等腰當(dāng)B點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)且其他條

件都不變時(shí)，整式4加+4〃-9我的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若發(fā)

生變化，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖3,若04=05,_LA8于點(diǎn)R以0B為邊作等邊△05M,連接AM交。尸

于點(diǎn)N,若AN=m,0N=n,請(qǐng)直接寫出線段AM的長.

圖1

???ZAQC=90°

???△ABC等腰直角三角形,

：.AC=AB,ZCAB=90°,

ZACQ=ZBAO.

：.AAQC^ABOA(AAS),

ACQ=AO,AQ=B0.

VOA=2,05=4,

/.CQ=2,AQ=4,

???。。=6,

：.C(-6,-2).

(2)整式4m+4n-9y的值不會(huì)變化.

理由如下：

如圖2,過點(diǎn)。作。03于點(diǎn)尸，

圖2

：.ZBPD=90°,

?.?△A3。等腰RtA,

：.AB=BD,ZABD=ZABO+ZOBD=90°,

，ZABO=/BDP,

:?△AOBmLBPD(A4S),

：.AO=BPf

'JBP—OB-P0=m-(-?)=m+n,

：.A(-2A/3，0),

.?.OA=2?,

.".m+n=2y/3>

，當(dāng)2點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)AO=BP=m+n=2y[3>

；.4機(jī)+4〃-9A/3=4X2V3-9如=-V3，

二整式4冽+4"-9?的值不變，為

(3)AM=2m+n.

證明：如圖3,在M4上截取MG=ON,連接3G,

圖3

?二△03M是等邊三角形，

：.BO=BM=MO,ZOBM=ZOMB=ZBOM=60°,

：.AO=MOfZABM=105°,NHOM=30°,

?：OA=OB,

：.OA=OM=BM.

：.ZOAN=ZAMO=15°,

：.ZBAM=30°,ZBAM=45°,

OFLAB,

：.ZAOF=45°,

JZAOF=ZBMA.

：.AANO^/\BGM(A4S),

：.BG=AN.

?：ON=MG,

；?NGBM=/OAN,

：.ZGBM=15°,

???ZABG=90°

2BG=AGJ

：.2AN=AG,

9

：AG=AM-GMf

：.2AN+ON=AM,

BPAM=2m+n.

【變式2-1】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰RtZ\A8C的直角頂點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A

在y軸上，若點(diǎn)8坐標(biāo)為（6,1）,則點(diǎn)A坐標(biāo)為（）

A.(4,0)B.(5,0)C.(0,4)D.(0,5)

【答案】D

【解答】解：作BDLx軸于D

?；B(6,1),

：.BD=lfOD=6,

???AABC是等腰直角三角形，

：.AC=BC,ZACB=90°,

AZACO+ZBCD=90°,

VZACO+ZOAC=90°,

：.ZBCD=ZOAC,

ZAOC=ZBDO,

：.AACO^ACBD(A4S),

/.OC=BD=1,CD=0A=5,

AA(0,5),

故選：D.

【變式2-2】如圖，在△PMN中，PM=PN,PMJLPN,P(0,2),N(2,-2),貝的

坐標(biāo)是()

A.(-2&，0)B.(-2?,0)C.0)D.(-4,0)

【答案】D

【解答】解：過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)。，

VP(0,2),N(2,-2),

：?OP=2,OD=2,DN=2,

???尸。=4,

?：PM上PN,

:?/MPN=90°,

:.NMPO+NDPN=90°,

又,：/DPN+/PND=90°,

ZMPO=ZPND,

又,：/MOP=/PDN=90°,

:.AMOP%APDN(A4S),

：.0M=PD=4,

：.M(-4,0),

故選：D.

【應(yīng)用3“相似型”三垂直基本應(yīng)用】

【典例3］已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊

上的尸點(diǎn)處.如圖，已知折痕與邊8c交于點(diǎn)。，連接AP、OP、OA.

(1)求證：叟=空；

PDAP

(2)若。尸與出的比為1：2,求邊的長.

【解答】(1)證明：由折疊的性質(zhì)可知，NAPO=/B=90°,

AZAPD+ZOPC=90°,

?..四邊形ABC。為矩形，

：.ZD=ZC=90°,

：.ZPOC+ZOPC^9Q°,

：.ZAPD=ZPOC,

：./\OCP^/\PDA,

???0C=OP,.

PDAP

(2)解：?.?△OCPSAPOA,

?PCOP

AD'PA"

尸與E4的比為1：2,AD=S,

：.PC=4,

設(shè)則OC=x,AP=x,DP=x-4,

在RtZXAPO中，AP2=AD2+PD2,

.\j^=S2+(x-4)2,

解得：x=10,

/.AB=10.

【變式3】如圖，在矩形ABC。中，E,F,G分別在A5,BC,CD上，DE±EF,EFUG,

BE=3,BF=2,FC=6,則。G的長是()

A.4B.12D.5

3

【解答】'：EF±FG,

：.ZEFB+ZGFC=9Q°,

???四邊形ABC。為矩形，

AZA=ZB=ZC=90°,AB=CD,

；.NGFC+NFGC=9Q°,

NEFB=NFGC,

:.△EFBs^FGC,

?BEBF

''FC"CG，

*；BE=3,BF=2,FC=6,

?.?-3-----2-,

6CG

：.CG=4,

同理可得△ZMEs△班R

??--AD二--A-E,

BEBF

??--8=--A-E,

32

.-.A￡=JA,

3

BA=AE+BE=JA+3=空，

33

：.DG=CD-CG=^--4=里

33

故選：B.

【應(yīng)用4平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造“相似型”三垂直】

【典例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=fcv+2與y軸交于點(diǎn)4

與x軸交于點(diǎn)8,且。8=2。4.

(1)如圖1,求直線的解析式；

(2)如圖2,點(diǎn)P在第三象限的直線A8上，點(diǎn)C在點(diǎn)A上方的y軸上，連接PC、BC,

PC交無軸于點(diǎn)N,且tan/APC=_l,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為f,△ABC的面積為S,求S與

3

r的函數(shù)關(guān)系；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)。在y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接。E、

PD,AD=ON,當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

令無=O則y=2,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),

：.OA=2f

*：OB=2OA,

???O8=4,

：.B(-4,0),

將(一4,0)代入〉=丘+2得：0=-4女+2,

解得：k=工,

2

直線的解析式為：y=lx+2；

(2)過點(diǎn)A作及交PC于點(diǎn)E,過E點(diǎn)作EGLy軸，垂足為G,過點(diǎn)尸作

軸，垂足為尸，

u：ZPAE=90°,

：.ZPAF+ZEAG=90°,

VZB4F+ZAPF=90°,

???ZAPF=ZEAG,

VZEGA=ZAFP=90°,

AAEG^AB4F,

tanZAPC=—,

3

?.?，AE二EG=—AG=—1，

APAFPF3

設(shè)PCt,工+0,則PF=-1,AF^-主，

22

/.AG=1PF=-A,EG=1.^=-A,

00o0

丁點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（0,2）,

：.E（）,

設(shè)PE的解析式為：y=ax+b,

由P（6.l+2）,E（）可得：

z

aXt+b=-1-+2

<,

ax[+b=2-

63。

解得：，

：.C（0,2-主），

2

；.AC=2-A-2=-A,

22

?.”0=4,

A5=yAC-B0="3

（3）作EFLDE交P￡）于尸，過點(diǎn)E作EGLy軸于點(diǎn)G,作FHLEG于H,

由(2)得直線尸C的解析式：y=x+(2-A),

2

ZPCO=45°,

：.ON=OC=2-主，

2

:.AD=0N=2-主，

2

：.D(0,主),

2

'：ZPDE=ZPCD=45°,

:ADEG"八EFH(AAS).

：.EG=FH=2,DG=EH=\-主,

2

，尸（-36，-1），

設(shè)尸￡）的解析式為：y=mx+n,

由P（6工、D（0,主）可得:

22

/

—+2=mpt+n

t

7=n

'_2_

m=V

解得：〈，

t

n=7

???尸。的解析式為：y=2J,

t2

把點(diǎn)F（-3+）代入丁=2乂彳得：

n=-6,ti=2（舍去），

：.D（0,-3）.

【變式4】（2022?禪城區(qū)二模）如圖，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)。，對(duì)稱軸為直線尤=2且與x軸交

于點(diǎn)。，直線/：y=-2x-1與y軸交于點(diǎn)A,與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)8,并且點(diǎn)

2在第四象限，直線/與直線x=2交于點(diǎn)C.

(1)連接AD,求證：AD±AC.

(2)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

(3)在直線/上有一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P,拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)。，當(dāng)△PB。是以P。為斜邊的等腰

直角三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

備用圖

【解答】解：(1)如圖1,過點(diǎn)C作CELy軸于點(diǎn)E,

則/AEC=/￡)OA=90°,

?直線y=-2r-1與y軸交于點(diǎn)A,與直線尤=2交于點(diǎn)C,

AA(0,-1),C(2,-5),

：.E(0,-5),

/.OA=1,OD=2,CE=2,AE=4,

.0A=lCE=2=1

"0D~2AEI

?OA=CE

"0DAE'

ZAEC=ZDOA,

：.△AECS/XOOA,

：.ZCAE=ZADO,

VZADO+ZDAO=90°,

：.ZCAE+ZDAO^90°,

AZDAC=180°-(ZCAE+ZDAO)=180°-90°=90°,

：.AD±AC.

(2)設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為

:對(duì)稱軸為直線x=2,

/.—L=2,

2a

:?b=-4m

??y=aj？-4ox,

由ax2-4ax=-2x-1,整理得加+(2-4i)x+l=O,

???直線y=-2x-l與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)B,

△=(2-4a)2-4〃=0,

解得：a\=~,。2=1,

4

當(dāng)。=工時(shí)，拋物線解析式為y=*-x,

44

聯(lián)立得12-X--lx-1,

4

解得：X\=X2=-2,

：.B(-2,3)與點(diǎn)8在第四象限矛盾，故。=!不符合題意，舍去，

4

當(dāng)〃=1時(shí)，y=x1-4x,

聯(lián)立得%2-4x=-2x-1,

解得：Xl=X2=lf

：.B(1,-3),點(diǎn)3在第四象限符合題意，

??(2~~1,

該拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=7-4x.

(3)如圖2,過點(diǎn)8作交拋物線于點(diǎn)。，作GH〃x軸交y軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)。

作QHLGH,

：.ZABG+ZQBH=ZABG+ZBAG=90°,

：.ZQBH=ZBAG,

：.AABGS^BQH,

?旭=里

"BGQH，

設(shè)。G,z2-4r),

VA(0,-1),B(1,-3),

：.AG=2,BG=\,BH=t-1,QH=t1-4f+3,

.2-t-1

1t2-4t+3

解得：f=l（舍去）或/=工，

2

：.BH=2_-1=±L,QH=（工）2-4X1+3=5,

22224

過點(diǎn)2作所〃y軸，過點(diǎn)Pi作P1ELEF,過點(diǎn)P2作公斤,后孔

???△尸8。是以「。為斜邊的等腰直角三角形，

:.P1B=BQ=P?B,

VZPiBE+ZEBQ=ZEBQ+ZQBH=9Q°,

：.ZP1BE^ZQBH,

■:NBEPi=/BHQ=90°,

:.△BEPW4BHQ（A45）,

：.EPi=QH=^,BE=BH=^,

.".Pi（-A,-A）,

42

同理可得：P2（2,-11）,

42

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為Pl（-1,-工），P2（2,--11）.

4242

圖2

y

圖1

【應(yīng)用5平面直角坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)成直角】

【典例5］如圖，已知拋物線產(chǎn)-景+■|>x+2與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C.

（1）則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為,點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（2）設(shè)點(diǎn)P（xi,_yi）,Q（無2,>2）（其中xi>x2）都在拋物線y=

若Xl+X2=l,請(qǐng)證明：V1>J2；

（3）已知點(diǎn)M是線段8c上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段8c上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若/CNM

=90°,且△CMN與△02C相似，試求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).

【解答】(1)證明：當(dāng)x=0時(shí)，y=2,

.,.點(diǎn)C(0,2),

當(dāng)y=0時(shí)，-+_1_x+2=0,

解得：x=-1或x=4,

.?.點(diǎn)A(-1,0),B(4,0).

(2)證明：由題意得：

VI-V2=-Axi2+-?.xi+2-(-Ax22+—X2+2)=AX22-Axi2+^X1--X2=A(X2+X1)(X2

222222222

o

-xi)+—(XI-X2),

2

Vxi4-X2=L

..?yi-y2=xi-xi,

又

（3）解：設(shè)直線5。的解析式為>=丘+4則

，妹+b=0,解得：k=?,

1b=2b=2

直線BC的解析式為y=-Xr+2,

2

如圖，過點(diǎn)N作NG，y軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)M作MHLGN于點(diǎn)H,則/CGN=/〃=90°,

:./GNC+/GCN=90°,

；NCNM=90°,

ZGNC+ZHNM=90°,

ZGCN=ZHNM,

:ACNGs/\NMH,

.CN_CG_NG

"NM"NH'MH

2，貝〃，名號(hào)

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（九,-1-n-k^-n+2^1JGN=GC=n,

①當(dāng)△NCA/S^OCB時(shí)，幽4

OBOC

VOB=4,OC=2,

：.CN：MN=OC：08=1：2,

:.NH=2CG=2(-n2+3n,HM=2NG=2n,

:.GH=GN+NH=n+(-n2+3n)=-M2+4M,yM^GC+CO-MH門+2-2n=

--n~--n+2,

22

/.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-$+4m-—>r-—n+2