四川省遂寧市（九市聯(lián)考）2023-2024學(xué)年高三年級上冊第一次診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

秘密★啟用前

遂寧市高2021級第一次診斷性考試

數(shù)學(xué)(理科)

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷

上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.已知集合4={川—3<%<2},3=,12+4%—540},則AIB=()

A.0B.(-3,1]C.[-1,2)D.(-3,2)

2.復(fù)數(shù)z="+i,則|z|=()

1-i11

A.1B.V2C.2D.4

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x值為2023,則輸出的y值為()

/輸

|x=x一4|

>=2弓]

/輸正7

束)

4.甲、乙兩個口袋中均裝有1個黑球和2個白球，現(xiàn)分別從甲、乙兩口袋中隨機取一個球交換放入另一口袋,

則甲口袋的三個球中恰有兩個白球的概率為()

5.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，數(shù)列也｝是等比數(shù)列，若6+%+。9=9也仇仇=3百，則9出=（）

1+b2b8

3D,電

A.2B.V3C.一

23

UUltUULUUULU

6.如圖，正方形ABC。的邊長為4,E為的中點，R為邊上一點，若AAAE=|AE「，則恒司=

C.2V6D.5

JT7T

7.是“函數(shù)y=sin（2x-°）的圖象關(guān)于直線X=—對稱”的（）

6

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22

8.已知耳，鳥為雙曲線C:——方=1伍〉0力〉0）的左、右焦點，點A在C上，若閨司=2|工司，

444工=30。,4446的面積為6百，則。的方程為（)

22222222

A.土-匕=1B.土-乙=1C,土-工=1D.土-上=1

96366963

9.甲、乙、丙、丁4個學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動,現(xiàn)有A,民C,D,石五個研學(xué)基地供選擇，每

個學(xué)校只選擇一個基地，則4個學(xué)校中至少有3個學(xué)校所選研學(xué)基地不相同的選擇種數(shù)共有（）

A.420B.460C.480D.520

10.若點P是函數(shù)y（x）=2瓜°sx圖象上任意一點,直線/為點尸處的切線，則直線/傾斜角的取值范圍

S1DX+COSX

是（）

7L71712712?

A.B.C.萬'號D.

11.如圖，在正方體A3CD-中，點P是線段A4上的動點（含端點），點Q是線段AC的中點,

設(shè)PQ與平面AC2所成角為。，貝Ucos。的最小值是（）

12.已知。為坐標(biāo)原點，耳，鳥是橢圓。：=+與=1伍〉人〉0）的左、右焦點，A,5分別為C的左、右頂

ab

點.P為c上一點,且尸6，無軸，直線”與y軸交于點〃，直線與尸B交于點Q，直線片。與y軸

交于點N.若|。叫=；|。叫，則C的離心率為（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

'”4-%,

13.已知實數(shù)滿足＜y+220,則2x+3y的最大值為.

y^x+2,

14.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)：.

①偶函數(shù)；②最大值為2；③最小正周期是萬.

15.在正四棱臺ABCD-431G2內(nèi)有一個球與該四棱臺的每個面都相切（稱為該四棱臺的內(nèi)切球），若

AB,=2,AB=4,則該四棱臺的外接球（四棱臺的頂點都在球面上）與內(nèi)切球的半徑之比為.

UUU1UUU1UUUL

16.若點尸為△ABC的重心，35sinAPA+2IsinBPB+15sinC-PC=0,貝i」cos/BAC=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，

每個試題考生都必須作答。第22,23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.（12分）

某工廠注重生產(chǎn)工藝創(chuàng)新，設(shè)計并試運行了甲、乙兩條生產(chǎn)線.現(xiàn)對這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品進行評估，在這

兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品中，隨機抽取了300件進行測評，并將測評結(jié)果（“優(yōu)”或“良”）制成如下所示列

聯(lián)表:

良優(yōu)合計

甲生產(chǎn)線4080120

乙生產(chǎn)線80100180

合計120180300

(1)通過計算判斷，是否有90%的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系？

(2)現(xiàn)對產(chǎn)品進行進一步分析，在測評結(jié)果為“良”的產(chǎn)品中按生產(chǎn)線用分層抽樣的方法抽取了6件產(chǎn)品.若

在這6件產(chǎn)品中隨機抽取3件，求這3件產(chǎn)品中產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附表及公式：

2

p(K>k0)0.150.100.050.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

苴中K?二-------"伍"-be)---------“=a+0+c+d

八(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

18.(12分)

已知數(shù)列｛4｝與正項等比數(shù)列也｝滿足4=log2〃(〃eN*),且.

(1)求｛4｝與也｝的通項公式；

(2)設(shè)%=/也,，求數(shù)列｛&｝的前〃項和S”.

從①a=16也=128；②4=4,瓦-岫3=0這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

19.(12分)

已知O為坐標(biāo)原點，過點P(2,0)的動直線/與拋物線C:V=4%相交于A3兩點.

UUUXUUUL

(1)求QV08；

(2)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，是否存在不同于點尸的定點Q,使得NAQP=NBQP恒成立？若存在，求

出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

20.(12分)

如圖，在三棱柱ABC—AgG中，直線平面ABC,平面AACC，平面331GC-

A\

（1）求證：AC±BBl；

（2）若AC=BC=BC］=2,在棱A與上是否存在一點尸，使二面角P—BC—G的余弦值為七°?若

存在，求好的值；若不存在，請說明理由.

A片

21.（12分）

已知函數(shù)/（x）=ax3+2sinx-xcosx（其中a為實數(shù)）.

（1）若〃=—%￡（。，萬），證明：/（X）20;

（2）探究了（%）在（一肛乃）上的極值點個數(shù).

（二）選考題：共10分。請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題記分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

JQ—/cosa

在直角坐標(biāo)系中，己知曲線C：Y+y2=3+y（其中y>0）,曲線G：1'。為參數(shù)，。>0）,

［y=tsina

x=-tsina.1

曲線C,G為參數(shù)，Z>0,0<6Z<-）.以坐標(biāo)原點。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐

y=/cosa2

標(biāo)系.

（1）求。的極坐標(biāo)方程；

（2）若曲線C與孰,。2分別交于A3兩點，求△048面積的最大值.

23.［選修4-5：不等式選講］（10分）

設(shè)函數(shù)/（x）=|2尤—2|+1+2卜

（1）解不等式/（x）<5-2x；

（2）令的最小值為T,正數(shù)名》滿足。2+62+26=7，證明：a+b<2y/2-l.

理科數(shù)學(xué)參考答案

1.B2,C3.D4.B5.C6.D7.A8.B9.C10.C11.A12,B

13.11

14.了（1）=2cos2式（答案不唯一，/'（久）=2|sinx\,fQi）=2sin?久，/（久）=|sinx\+1,/（久）=

cos2JC+1等均可）

13

16?豆

17，的小rhR2300X(40X100—80X80)2100?7八/7八公AZX

17.【解析】(1)由題，K=120X180X120X180=亓處3.704>2.7。6,............4分

因此，有90%的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系...............................5分

(2)6件產(chǎn)品中產(chǎn)自于甲、乙生產(chǎn)線的分別有2件和4件，則X可能值為0,1,2.

則P(X=0)=￡=/=；；P(X=l)=股=||=得/3=2)=盟=/=；.

Czg乙u0L>6乙U0乙u0

則X的分布列為

X012

131

P

10分

所以?X）=。義51+1X2?2*1=L.......................................12分

18.【解析】(1)若選①，

3

因為數(shù)列｛"｝是正項等比數(shù)列，設(shè)公比為g,所以b6=b3q,

又d=16,4=128,所以128=16/,

解得q=2,..................................................................3分

所以仇=￡=￥=4,所以6“="g"T=4?2"T=2"+L

所以an=log2^n=??+l.

故數(shù)列｛a"的通項公式為+的通項公式為d=2-L..................6分

數(shù)學(xué)(理科)試題答案第1頁(共5頁)

若選②，

由仇一仇仇=o,得仇=仇仇.

因為數(shù)列｛勿｝是正項等比數(shù)歹!I，設(shè)｛%｝的公比為9,所以仇q4m仇.仇

因為仇=4,所以/=4,又兒〉0,所以q=2,..........................................................................3分

所以-2〃T=2"+I,

所以a,=log2A=〃+l.

數(shù)列的通項公式為猴=〃+1,｛6〃｝的通項公式為a=2-1.........................................6分

(2)c?=an?bn=(w+l)?2”+i,

所以S〃=2?22+3?23+4?24H——Hk+1)?2w+1,.........................................................7分

2S〃=2?23+3-24H------Vn?2n+1+(/z+l)?2n+2.

234

兩式相減，得一Sn=2?2+2+2+…+2"1—(/?+1)?2"+2,........................................9分

所以一S.=2+(2]+22+23+24H——F2〃+i)—(%+1)?2n+2

故S〃=72-2〃+2.....................................................................................................12分

19?【解析】（1）由題知，直線，與,軸不垂直，

故可設(shè)直線I的方程為久=加）+2,4（久1,N1）,6（久2，）2）.

（丁=4式，

由，得一4心一8=0?...........................................................................................2分

［久=根/+2

顯然，△=16m2+32〉0,

于是61+丫2=4機，）1）2=-8,為久2=七賢乂=4........................................................4分

J

所以京?OB=x1x2ryiy2=-4............................................................................................5分

（2）當(dāng)直線/_Lz軸時，/：N=2,A（2,2V^）,B（2,—27^）,

故當(dāng)NAQP=/BQP時，點QG了軸............................................6分

當(dāng)直線I與z軸不垂直時，由拋物線的對稱性知，滿足條件的點QGH軸，設(shè)Q（n,O）,

由NAQP=/BQP得KQ+左陶=0,即-^+^^=0,.................................................8分

JCI—nx2—n

整理得,1(12—九)+了2(11-九)=0,即

31^my2+2—〃)+)2(Wi+2—7?)—0,

2my1y2+(2—n)(y1+y2)=0.......................................................................................1。分

故―16m+4(21%)機=0,解得n=-2.

綜上，存在定點Q(—2,0)滿足條件............................................12分

數(shù)學(xué)（理科）試題答案第2頁（共5頁）

20.【解析】（1）在平面BBJGC中作于H,

因為平面AAiGC，平面B3GC,

且平面AAiGCn平面BBiGC=CCi,

所以BH,平面AAiGC,從而..............2分

在三棱柱ABC—AiBiG中，GBJ_平面ABC,ACU平面ABC,

所以ACLGB

又因為BGABH=B，所以AC,平面BBiGC,

因此..............................................................5分

（2）由（1）可知，CA,CB,B3兩兩垂直，如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,2,2),B1(0,4,2).BTX=BA=(2,-2,0).

設(shè)布=入(2/，一2儲0),4C[0,1],

貝！]P(2/,4——2a,2)..........................................................................

設(shè)平面PBC的一個法向量為=(x,y,N),

因為前=(2入，2—2/，2),丸=(0,2,0),

?BF=0,(2Mr+(2—2/)y+2z=0,

所以《一即J

[n1?CB=0,〔2_=0,

\z=-Xxf

則有《

b=。.

令1=1,得〃1=(1,0,—A).10分

而平面BCCi的一^個法向量可以是血=（1,0,0）,

I"1,〃2I_(1,0,—A),(1,0,0)_3.4曰、—1

則ICOS〈〃1,〃2〉I一〕”/?區(qū)廠7WF解付久=可，

即P為棱&A的三等分點,考.......................................12分

21.【解析】（1）由題知a=一,時"（了）=一義13+2sinj—icosi（。，「

貝|J/'(1)=--1-J72+zsinz+cos①，令g(z)=/'(2)=-+zsinz+cosz,

所以g'(i)=—3久+KCOSK=￡(COS1—3X0,

則g(z)即/'⑺在(0企)上單調(diào)遞減..........................................2分

又/，(0)=1,/($)=—.x")+5=5(1—與)<0,故3G(0,r)/(力1)=0,

當(dāng)0＜久＜11時,/（1）〉0,/（久）單調(diào)遞增;久1＜久＜~!?時"'（1）V0"（i）單調(diào)遞減,

數(shù)學(xué)（理科）試題答案第3頁（共5頁）

所以x=xx為了⑴在（0,手）上的極大值點，又f（0）=0J傳）=—相+2〉0,

所以，當(dāng)Q=一（0,5）時"（x）>o........................................4分

（2）由/（jc）=axz+2sinjr—icosi,得/z（JC）—3tzJC2+cosjr+jcsinx,

依題意，只需探究f\x）=3ax2+cosJ:+j:sinx在（一兀,兀）上的零點個數(shù)即可,

由于/（一Z）=/（%）,則/（］）為偶函數(shù),/（。）=1,

故只需探究產(chǎn)（1）在（。,兀）上的零點個數(shù)即可.

令"（％）=/'（￡）—3aJ：2+851+15由％,貝?|U（JC）=6QK+J:COSX=R（6Q+COS%）,

（I）當(dāng)6Q>1,即■時，6Q+COSZ>0,此時M（z）20在（0,兀）恒成立，

6

則〃（I）即/（］）單調(diào)遞增，故/（^）>/（0）=1,

此時/（%）在（0,兀）上無零點，則/（%）在（一兀，兀）上的極值點個數(shù)為0...............6分

（H）當(dāng)一IV6a<1,即一4~VQ<4■時，三%oG（0,兀），使得20（6a+cosx0）=0,即cos］。=—6a,

o6

可知OVzVzo時，“'（z）〉0；々<1<兀時，〃'（z）V0,

所以〃（為即可以）在（0,充0）上單調(diào)遞增，在（死，穴）上單調(diào)遞減,....................7分

由于（兀）=3〃*—1,

①若/（兀）=3。兀2—1>0,即4時，

O7tO

r（i）在（0,汽）上沒有零點，則/（力）在（一兀,兀）上沒有零點，

故此時了（久）在（一兀,兀）上的極值點個數(shù)為0......................................8分

②若/z（7C）—3<27t2—K0,即一《<a<時，

0O7t

/'（了）在（0,7t）上有1個零點，則/'（G在（-KF）上有2個零點，

所以，八了）在（一“，式）上的極值點個數(shù)為2........................................10分

（W）當(dāng)6a<—1,即a&-4■時，V久€（0,N）,，（z）<0，

6

所以“（H）即y'（z）單調(diào)遞減，由于/（0）=1"‘（兀）=3明2—1<0,

/'（了）在（0,無）有且僅有1個零點，則/'（了）在（一“,無）上有2個零點，

此時/（Z）在（一心元）上的極值點個數(shù)為2.

綜上所述：當(dāng)工時，了（了）在（一無，冗）上的無極值點；時，”工）在（一無，足上的極值

07t07T

點個數(shù)為2....................................................................12分

數(shù)學(xué)（理科）試題答案第4頁（共5頁）

22.【解析】（1）因為x=pcos（9,y=psin仇

由11+）,得，=Ipcosdl+psinj..........................................2分

由V〉。知，p=+62〉0,且2%/〈個〈2上穴+穴，

故p=|cos+5出/2上冗〈0<2日入+兀，46Z..........................................4分

（范圍寫成0〈。</不扣分）

（Z=^COSQ,

(2)曲線G：'(方為參數(shù)">0)的極坐標(biāo)方程為8=。,

〔了=￡si