2024年1月中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試卷及答案

中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試2024年1月測(cè)試二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

垣乙、上、”《題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)但不全得2分，有錯(cuò)選的得。分.

數(shù)學(xué)試卷

9.設(shè)a,尸,7為互不重合的平面，相，〃為互不重合的直線，則下列命題為真命題的是

本試卷共150分,考試時(shí)間120分鐘。A.若aXy,。：；y,則。(3B.若a\=m,m工y,則

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是C.若ma,n/3,m〃，則aP?.若“_17，4_17,則2,4

10.已知點(diǎn)尸為雙曲線C:《-V=i上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作漸近線的垂線，垂足分別為瓦尸，

符合題目要求的.

4

1.已知集合4={機(jī),一1,2},3={〃2,￡4},若c=A,B,且C的所有元素和為12,則_

貝U利=A.\PE\+\PF\=-B.|PE|-|PF|=|

53

12Q

A.-3B.0C.1D.2c.PEPF=——D.5M的最大值為一

25Ap25

2.已知數(shù)列{%}滿足4=1,。〃一%+]=2"4a”+i,則q=11.直線《：依+Z?y+c=O和4:樂(lè)+qy+a=0將圓C:(x—1)2+(y—l)2=1分成長(zhǎng)度相等的四段

弧，則(a—1)2+僅—1)2+(C—1)2的取值可以是

48

A.-B.2C.-D.3

3.復(fù)數(shù)z滿足(z+2)i=l-i(i為虛數(shù)單位)，則z的共輾復(fù)數(shù)的虛部是33

A.-3B.1C.iD.-i12.已知sin2a+sin2〃=2sin(2a+2〃)，且a+￡w左兀，左EZ,貝(Jtana+2tan(a+尸)+

3tan尸的值可能為

4.在直三棱柱ABC-A與G中，所有棱長(zhǎng)均為1，則點(diǎn)4到平面世。的距離為

A.-6B.-5C.50D.8

IAX.-V-2-1-Ro.-V-i-o-rU.-V-2-1-nL).-V-I-o-

7564三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

5.設(shè)(l+2x)"=%+%%+%尤2+—)■〃“%〃，若％=〃6，貝!J〃=

13.設(shè)函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,7(%)為偶函數(shù)，+為奇函數(shù)，當(dāng)xe[2,4]時(shí)，/(%)=

A.6B.7C.8D.9

a-log2x+ZJ,若/(0)+/(6)=4,則a+2Z?=.

6.若不等式J?_?+5+&2一8%+W?4的解集為[Q,4,則〃+6的值是2v2

14.已知耳，鳥(niǎo)是橢r圓方=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，尸是C上一點(diǎn)，線段尸后的中垂

A.5B.472C.6D.7

線/過(guò)點(diǎn)耳，與橢圓C相交于AB兩點(diǎn)，且|AB|=|a,則橢圓C的離心率為.

e3

7.已知。=?2,/?=萬(wàn)1!12,(?=15—51115,貝U

15.已知函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)”x)=eX—x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，動(dòng)直線x與函數(shù)

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c”x),g(x)的圖象分別交于點(diǎn)A3,函數(shù)“X)的圖象在A處的切線4與函數(shù)g(x)的圖象

??11

8.已知了,y>0,%+y7%--V=3,則13x+y的最大值是在5處的切線4相交于點(diǎn)C，則AABC面積的最小值是.

44

A.15B.18C.20D.2416.對(duì)任意的XER,不等式(f—7x+14”加12一6元+13)12—8元+17)恒成立，則實(shí)數(shù)相

的取值范圍為.

第1頁(yè)共4頁(yè)第2頁(yè)共4頁(yè)

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.20.（12分）如圖所示，已知AABC是以5c為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)

17.（10分）數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和為當(dāng)〃N2時(shí)，N在邊5c上，且BN=3NC.以MN為折痕將折起，使點(diǎn)8到達(dá)點(diǎn)。的位置，且平面

QMC1平面A3C,連接D4,OC.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求s”的表達(dá)式;

S“

“2V

（2）設(shè)么數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為7；,不等式7；4機(jī)2—3機(jī)+〃對(duì)所有的〃￡d恒成

2〃+1

立，求正整數(shù)機(jī)的最小值.

18.（12分）如圖所示，在AABC中，=是6C上的點(diǎn)，ZBAD=-ZDAC.晨、

2（第20題圖）

（1）若E是線段的中點(diǎn)，求證：NE"平面DAC；

（2）求二面角O—AC—5的余弦值.

21.（12分）如圖所示，已知拋物線＞=爐-A,5是拋物線與％軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)〃作

（第18題圖）斜率不為零的直線I與拋物線交于C,O兩點(diǎn)，與％軸交于點(diǎn)Q,直線AC與直線BD交于點(diǎn)P.

1T1

(1)若N3AC=—,求證:

2ADAC

（2）若BD=LDC,求AA6c面積的最大值.

4

19.（12分）如圖所示，一只螞蟻從正方體ABCD-446R的頂點(diǎn)A出發(fā)沿棱爬行，記螞蟻從一

個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)為一次爬行，每次爬行的方向是隨機(jī)的，螞蟻沿正方體上、下底面上的棱爬

12

行的概率為:，沿正方體的側(cè)棱爬行的概率為工.（第21題圖）

63\CM\.\DM\

⑴求回|的取值范圍;

（2）問(wèn)在平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)7,使得7P.TQ為定值？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.（12分）已知函數(shù)/（力二/+'一3一〃有兩個(gè)零點(diǎn)%,尤2（X＜馬）.

/>

A（1）求實(shí)數(shù)，的取值范圍；

（第19題圖）

(2)求證：%尤2<1；

（1）若螞蟻爬行〃次，求螞蟻在下底面頂點(diǎn)的概率;

2

(3)求證：x2-Xj<yja-4<-.

（2）若螞蟻爬行5次，記它在頂點(diǎn)。出現(xiàn)的次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

第3頁(yè)共4頁(yè)第4頁(yè)共4頁(yè)

中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試2024年1月測(cè)試

數(shù)學(xué)參考答案

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

9101112

ABBCDCDACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.414.-1-3

15.2⑹18I-

2」

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)

(1)當(dāng)〃之2時(shí)，數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足

即s；=⑸-；卜s；-^sn-snsn_i+^sn_

-1，

整理可得2sAM=S“_1—S'................................................1分

,SI=l,則2s2si=S「S2,即2s2=1-S2,可得包=-.....................2分

3

211

由2s2s3=S2—S3,即3s3=3—83,可得S3=1,?,?，

以此類推可知，對(duì)任意的〃eN*,S“>0,

11c

在等式2S,,S"T=Si-S”兩邊同時(shí)除以S5-可得一丁=2...............4分

第1頁(yè)共9頁(yè)

11I

所以數(shù)列不為等差數(shù)列，且其首項(xiàng)為不=1,公差為25分

HW

.?.-^-=1+2(-1)=2-1,因止匕，Sn=―--......................................................6分

Sn"2n-l

2

,nSlt1(1111/11)

"2/7+14((2Z?-1)(2H+1)J48(2“-12n+lJ

...............................................................................................8分

2

不等式（</一3加+〃對(duì)所有的幾eN*恒成立，則-3m+—>0,

日n9+>/57t9-157c八

即HZ2----------或〃7V......................................................................................................9分

66

因此，滿足條件的正整數(shù)m的最小值為3....................................................................10分

18.(12分)

IT1IT1T

(1)證明：由ZBAC=—,ZBAD=—ZDAC,知ZBAD=—,ZDAC=—,

2263

1711711

AARCNARD人

SZVIDC=SZVLDL/+S,7—CA5,AD,sin/—Ir—\AD,AC,sin—c=—cAB,AC,

2o232

即AD+石ADAC=2AC，

21廠

兩邊同除以AO-AC,得---------=V3....................................................................5分

ADAC

(2)設(shè)ZBAZ)=a,則NDAC=2a,

AABD中，由正弦定理，得———=且0①，

sinNBDAsina

Arr)r

AACD中，由正弦定理，得二--------=-——②

sinZCDAsin2a

2

②?①，結(jié)合sinZBZMusinNCC^DCu4B。，得AC=...........7分

cosa

3

1…A「.csin3c3sin6Z-4sinao.2

SAABC=—AB?AC?sin3a=-----------------------------=3tana-4tana-sma

2cosacose

第2頁(yè)共9頁(yè)

c/tan2a3tana-tan3a八八

=3tana-4tana--------------=..................9分

1+tana1+tana

設(shè)tana=/e(0,g),即求函數(shù)y=的最大值，

(3-3產(chǎn))(1+/)-(313”/(2V3-3-r)(2V3+3+r)

人（0,2百—3）時(shí)，/>0,函數(shù)單調(diào)遞增；入（20—3,3）時(shí)，/<0,函數(shù)單調(diào)

遞減，當(dāng)/=2百-3時(shí)，函數(shù)有最大值，y1mx=76A/3-9，

AABC面積的最大值為56百-9..................................................................................12分

19.（12分）

（1）記螞蟻爬行〃次在底面ABCD的概率為Pn,

?1?

由題意可得，^=-,^+1=-^+-(1-^,)........................................................................3分

匕M—匕—（］，］匕—是等比數(shù)列，首項(xiàng)為:，公比為—

2312yz［2J63

.............................................................................5分

（2）的0,1,2,

的2時(shí)，螞蟻第3次、第5次都在C處,

212cl12-2211111

p(X=2)=—x—x2x——i--x—x2x—d--x—x2x—x—x—+-x—H——x—

66363663633666618

........................................................................................................................................................7分

X=\Bt,螞蟻第3次在C處或第5次在C處，

設(shè)螞蟻第3次在C處的概率為片，

15211

4=—x—x2x—I—x—x2x—I—x—x2x—H——x--1——X—

663636636663318

........................................................................................................................................................8分

設(shè)螞蟻第5次在C處的概率為P.，

第3頁(yè)共9頁(yè)

設(shè)螞蟻不過(guò)點(diǎn)c且第3次在2的概率為P3,設(shè)螞蟻不過(guò)點(diǎn)C且第3次在用的概率為舄,

設(shè)螞蟻不過(guò)點(diǎn)C且第3次在/的概率為月，由對(duì)稱性知，P3=P4,

111,212,13

8=—X—X—x4+—X—X—x3

66636354

121,22211

1=—x—x—x6+—x—x—=——,

63633327

i2117

得￡=26x—x—x2+^x—x—x2=——11分

636654

.?.尸（X=l）=4+^=得,

P（X=0）=l-P（X=l）-P（X=2）=—,

X的分布列為:

X012

4151

P

542718

Q

X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0xP（X=0）+lxP（X=l）+2xP（X=2）=^12分

20.（12分）

（1）過(guò)點(diǎn)E作/M的平行線交40于點(diǎn)凡過(guò)點(diǎn)N作48的平行線交ZC于點(diǎn)G,連接尸G.因

為點(diǎn)E是線段DM的中點(diǎn)，BN=3NC,:.EF=NG=-AM,MEF；NG,四邊

2

形所GN是平行四邊形.由NE,平面D4C,尸Gu平面NC,

NE!：DAC.....................................................................................................5分

（2）解法1：以點(diǎn)/為原點(diǎn)，AB,NC所在的直線為x軸、y軸，過(guò)點(diǎn)/垂直于平面/2C的直

線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系...............................................6分

設(shè)AB=AC=2,則A（O,O,O,）,M（l,O,O）,N[gq,o],設(shè)0（x,y,z,）,

第4頁(yè)共9頁(yè)

因?yàn)槠矫妗Ｆ矫鍭BC,所以點(diǎn)D在平面N3C上的射影落在直線CMh,

x+—=1①,

2

3/—o

由題意可知，DM=l,DN=-y/2,:\x-l)+y2+z2=l②,

9

2

o22J]](822萬(wàn)、

由①②③解得，-

7,78分

22m小(8

AD=—,-----,cu=—

(7777\7

設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z),

AD?幾=04x—y+Jflz=0,—

，即｛z—，?。?Vil,y=0,z=-4.............11分

CDn=0[4%-8y+Jnz=0

取平面ABC的法向量根=(0,0,1).設(shè)二面角D-AC-B的平面角為6,

貝Ucos0=cos(m,n

所以，二面角O—AC—3的余弦值為1...............................12分

9

解法2：如圖，過(guò)點(diǎn)2作直線的垂線交于點(diǎn)/,交直線CM于點(diǎn)〃.由題意知，點(diǎn)。

在底面42C上的射影在直線以上且在直線上，所以點(diǎn)〃即點(diǎn)。在底面上的射影，

即平面N8C.....................................................6分

設(shè)A5=2,則BM=l,BN=3e,NMBN=?,由余弦定理，得MN=M，

242

cos/BMN=—叵,sin/BMN=,MI=BMCOS(TI—NBMN、=叵

1010vJ10

第5頁(yè)共9頁(yè)

c°s〃MH=c°s0MB-NHMB）=來(lái)冬嚕胃=嚕,

MH=^^T與

過(guò)點(diǎn)〃作NC的垂線交于點(diǎn)0,連接。。，由三垂線定理知，OOJ.AC,是

二面角。一AC—6的平面角9分

,AMCM8/-----;--------72而

由^^=7^7，解得==

HOCH77

tan/DOH=^=叵,得cosNDOH=￡^~

HO49

所以，二面角O—AC—3的余弦值為延

12分

9

21.（12分）

（1）設(shè)點(diǎn)。（尤1，%）,。（々，％），設(shè)直線/的方程為丁=履+1（左wO）,代入拋物線y=V—1,

得犬—反—2=0（*）,

2

\CM\\DM\_y/l+k^x^l+k|x2|_27i7F_°

----i----i-----------/--------------―/—24分

|卬收+8

g,o],設(shè)

（2）

由（*）式，知％+%2=%，%%2=一25分

直線AC的方程為y=（石一1）（%+1）,直線BD的方程為y=（x2+l）（x-l）,

口Xi+x2（再％2+玉%2—1）2（演-x-3）

角牟得九二一-一9:2

冗2一再+2*2-+2*2一石+2

/、

玉+工22（%一%—3）

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為7分

%2一%+2%2—芯+27

'芯+%以2卜廠2―3）/

TP=

、%2一再+2%2一再+2,

/

x+M2（%]-%-3）

TPTQ^——----------mm+

%2-西+2、%2—藥+2

第6頁(yè)共9頁(yè)

(1\

m—/%+/2_2(x-x-3)^

=m2%十%Il2

x2-%1+2k,k(九2—%］+2)%2一再+2

112c2n-l

=m2----m+n+2n+

<x2-x1+2k,*2一再+2

2

一.x2-x1=±y/k+8，

—km+2n—1m

TP-TQ=m2+n2+2n++—IO分

±VF+8+2k

I__5

當(dāng)噌。,”5次也為定值“

所以存在定點(diǎn)T的坐標(biāo)為［o,；］...........................................................................12分

22.22分)

_2+1nr2(x3-l)+lnx八

(1)r(x)=2%+~——...........................................................1分

又因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=2(d—l)+lnx遞增，且g(l)=O,/'(尤)>00%>1,

.?"(%)在(0,1)遞減，在［1,也)遞增........................................2分

當(dāng)/(l)=2—a<0,即a>2時(shí)，

臼一+-+aIna>0

ya)a\a)a

(『(〃+

l-］na2l——2a—1Q-ll)

f(a)=a2H-------------------a>a—ciH--------------------->u—ci-------->0,

aaaa

.."