第二十七章　相似

PAGE第二十七章相似知識(shí)點(diǎn)1比例線段1．比例線段：(1)定義：對(duì)于四條線段a，b，c，d，如果其中兩條線段的比(即它們長度的比)與另兩條線段的比相等，如eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)(即ad＝bc)，我們就說這四條線段成比例．(2)基本性質(zhì)：性質(zhì)1：若eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，則ad＝bc(b，d≠0)；若ad＝bc，則eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)(b，d≠0).性質(zhì)2：若eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，則eq\f(a±b,b)＝eq\f(c±d,d)(b，d≠0).性質(zhì)3：若eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝…＝eq\f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，則eq\f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq\f(a,b).2．黃金分割：如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC>BC)，如果AC是線段AB和BC的比例中項(xiàng)，且eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，那么點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)2平行線分線段成比例1．基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖1，若l1∥l2∥l3，則eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)或eq\f(AB,AC)＝eq\f(DE,DF).2．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖2，若DE∥BC，則eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)；如圖3，若DE∥BC，則eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC).知識(shí)點(diǎn)3相似三角形的概念、性質(zhì)及判定1．概念：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．2．相似三角形的性質(zhì)：(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(3)相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方．3．判定兩個(gè)三角形相似的思路：已知條件判定思路有平行截線用平行線的性質(zhì)找等角．有一對(duì)等角找另一對(duì)角相等或角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例．有兩組邊對(duì)應(yīng)成比例找夾角相等或第三組邊也對(duì)應(yīng)成比例或有一對(duì)直角．4．相似三角形的判定：類型判定方法示例圖示一般三角形平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.∵eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(AC,A′C′)，∴△ABC∽△A'B'C'.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.∵eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)，∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'.兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.∵∠A=∠A',∠B=∠B',∴△ABC∽△A'B'C'.直角三角形斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.∵eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(AB,A′B′)，∴Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'.5.相似三角形的常見模型：情境圖形示例A字型及其變形已知BC∥DE已知∠1=∠B已知∠1=∠BX字型及其變形已知AB∥DE已知∠A=∠D續(xù)表情境圖形示例旋轉(zhuǎn)型垂直型雙垂直型三垂直型平移+旋轉(zhuǎn)模型一線三等角型知識(shí)點(diǎn)4相似多邊形1．概念：兩個(gè)邊數(shù)相等的多邊形，如果它們的角對(duì)應(yīng)相等，邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．2．相似多邊形的性質(zhì)：(1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；(2)相似多邊形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方．知識(shí)點(diǎn)5位似1．位似圖形的定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)我們說這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)位似．2．位似圖形的性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比．3．位似變換的坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或－k，即若原圖形的某一點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則其位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx，ky)或(－kx，－ky).4．位似作圖的步驟：(1)確定位似中心；(2)確定關(guān)鍵點(diǎn)：通常為圖形的頂點(diǎn)；(3)確定